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diff --git a/15RairoGen.tex b/15RairoGen.tex
index aff664f..d71c0d3 100644
--- a/15RairoGen.tex
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@@ -146,8 +146,8 @@ et $h(x_1,x_2)=(\overline{x_1},x_1\overline{x_2}+\overline{x_1}x_2)$.
 Leurs graphes d'interactions donnÃ©s en figure \ref{fig:g:inter} et \ref{fig:h:inter}
 vÃ©rifient les hypothÃ¨ses du thÃ©orÃ¨me~\ref{th:Adrien}. 
 Leurs graphes d'itÃ©rations
-sont donc fortement connexes, ce que l'on peut vÃ©rifier aux figures
-\ref{fig:g:iter} et \ref{fig:h:iter}.
+sont donc fortement connexes, ce que l'on peut vÃ©rifier aux figures~\ref{fig:g:iter} 
+et~\ref{fig:h:iter}.
 \textit{A priori}, ces deux fonctions pourraient Ãªtre intÃ©grÃ©es
 dans un gÃ©nÃ©rateur de nombres pseudo alÃ©atoires. Montrons que ce n'est pas le cas pour $g$ et 
 que cela l'est pour $h$.
@@ -648,5 +648,98 @@ $d$ est une distance sur $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$.
 
 \subsection{Le graphe $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(f)$ Ã©tendant  $\textsc{giu}(f)$}
 
+A partir de  $\mathcal{P}=\{p_1, p_2, \hdots, p_\mathsf{p}\}$, on 
+definit le graphe orientÃ© $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(f)$ de la maniÃ¨re suivante:
+\begin{itemize}
+\item les n{\oe}uds sont les  $2^\mathsf{N}$ configurations de $\mathds{B}^\mathsf{N}$,
+%\item Each vertex has $\displaystyle{\sum_{i=1}^\mathsf{p} \mathsf{N}^{p_i}}$ arrows, namely all the $p_1, p_2, \hdots, p_\mathsf{p}$ tuples 
+%  having their elements in $\llbracket 1, \mathsf{N} \rrbracket $.
+\item il y a un arc libellÃ© $u_0, \hdots, u_{p_i-1}$, $i \in \llbracket 1, \mathsf{p} \rrbracket$ entre les n{\oe}uds $x$ et $y$ si et seulement si $p_i$ est un Ã©lÃ©ment de 
+$\mathcal{P}$ (\textit{i.e.}, on peut itÃ©rer $p_i$ fois), 
+chaque $u_k$ de la suite appartient Ã  $[\mathsf{N}]$ et 
+$y=F_{f_u,p_i} (x, (u_0, \hdots, u_{p_i-1})) $.
+\end{itemize}
+Il n'est pas difficile de constater que $\textsc{giu}_{\{1\}}(f)$ est $\textsc{giu}(f)$.
+
+
+
+
+
+\begin{figure}%[t]
+  \begin{center}
+    \subfigure[$\textsc{giu}_{\{2\}}(h)$]{
+      \begin{minipage}{0.30\textwidth}
+        \begin{center}
+          \includegraphics[height=4cm]{images/h2prng}
+        \end{center}
+      \end{minipage}
+      \label{fig:h2prng}
+    }
+    \subfigure[$\textsc{giu}_{\{3\}}(h)$]{
+      \begin{minipage}{0.40\textwidth}
+        \begin{center}
+          \includegraphics[height=4cm]{images/h3prng}
+        \end{center}
+      \end{minipage}
+      \label{fig:h3prng}
+    }
+    \subfigure[$\textsc{giu}_{\{2,3\}}(h)$]{
+      \begin{minipage}{0.40\textwidth}
+        \begin{center}
+          \includegraphics[height=4cm]{images/h23prng}
+        \end{center}
+      \end{minipage}
+      \label{fig:h23prng}
+    }
+
+    \end{center}
+    \caption{Graphes d'iterations $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(h)$ pour $h(x_1,x_2)=(\overline{x_1},x_1\overline{x_2}+\overline{x_1}x_2)$}
+    \label{fig:xplgraphIter}
+  \end{figure}
+
+
+
+
+\begin{xpl}
+On reprend l'exemple oÃ¹ $\mathsf{N}=2$ et 
+$h(x_1,x_2)=(\overline{x_1},x_1\overline{x_2}+\overline{x_1}x_2)$ dÃ©jÃ  dÃ©taillÃ© 
+Ã  la section~\ref{sub:prng:unif}.
+
+Le graphe $\textsc{giu}_{\{1\}}(h)$ a dÃ©jÃ  Ã©tÃ© donnÃ© Ã  la figure~\ref{fig:h:iter}.
+Les graphes $\textsc{giu}_{\{2\}}(h)$, $\textsc{giu}_{\{3\}}(h)$  et
+$\textsc{giu}_{\{2,3\}}(h)$ sont respectivement donnÃ©s aux figure~\ref{fig:h2prng}, ~\ref{fig:h3prng} et ~\ref{fig:h23prng}. 
+Le premier (repsectivement le second) 
+illustre le comportement du gÃ©nÃ©rateur lorsque qu'on itÃ¨re exactement 
+2 fois (resp. 3 fois) puis qu'on affiche le rÃ©sultat.
+Le dernier donnerait le comportement d'un gÃ©nÃ©rateur qui s'autoriserait 
+Ã  itÃ©rer en interne systÃ©matiquement 2 ou trois fois avant de retourner un rÃ©sultat.
+
+\end{xpl}
+
+
 \subsection{le PRNG de l'algorithme~\ref{CI Algorithm} est chaotique sur $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$}
 
+Le thÃ©orÃ¨me suivant, similaire Ã  celui dans $\mathcal{X}_u$ et dans $\mathcal{X}_g$
+est prouvÃ© en annexes~\ref{anx:generateur}.
+
+\begin{theorem}
+La fonction $G_{f_u,\mathcal{P}}$ est chaotique sur 
+ $(\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}},d)$ si et seulement si 
+graphe d'itÃ©ration $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(f)$ 
+est fortement connexe.
+\end{theorem}
+On alors corollaire suivant 
+
+\begin{corollary}
+  Le gÃ©nÃ©rateur de nombre pseudo alÃ©atoire dÃ©taillÃ© 
+  Ã  l'algorithme~\ref{CI Algorithm}
+  n'est pas chaotique 
+  sur $(\mathcal{X}_{\mathsf{N},\{b\}},d)$ pour la fonction nÃ©gation.
+\end{corollary}
+\begin{proof}
+  Dans cet algorithme, $\mathcal{P}$ est le singleton $\{b\}$.
+  Que $b$ soit pair ou impair,  $\textsc{giu}_{\mathcal{b}}(f)$
+  n'est pas fortement connexe.
+\end{proof}
+
+
