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diff --git a/15RairoGen.tex b/15RairoGen.tex
index 4c9a25b..c1cf7d3 100644
--- a/15RairoGen.tex
+++ b/15RairoGen.tex
@@ -5,25 +5,73 @@ a de \og bonnes\fg{} propriÃ©tÃ©s chaotiques,
 le mot $x^b$ devrait  \og sembler ne plus dÃ©pendre\fg{} de $x^0$.
 On peut penser Ã  exploiter une de ces fonctions $G_f$ 
 comme un gÃ©nÃ©rateur alÃ©atoire. 
-Enfin, un bon gÃ©nÃ©rateur alÃ©atoire se doit de 
-fournir  des nombres selon une distribution uniforme 
-La suite de ce document donnera
-une condition nÃ©cessaire est suffisante pour que
-cette propriÃ©tÃ© soit satisfaite.
-
-
-Cette section prÃ©sente une application directe de la thÃ©orie dÃ©veloppÃ©e ci-avant
-Ã  la gÃ©nÃ©ration de nombres pseudo alÃ©atoires. 
-On prÃ©sente tout d'abord le gÃ©nÃ©rateur
-basÃ© sur des fonctions chaotiques (section~\ref{sub:prng:algo}), 
-puis comment intÃ©grer la contrainte de distributionuniforme
-de la sortie 
-dans le choix de la fonction Ã  itÃ©rer (section~\ref{sub:prng:unif}). 
-L'approche est Ã©valuÃ©e dans la derniÃ¨re section.
-\JFC{plan Ã  revoir}
+
+Ce chapitre  prÃ©sente donc une application directe
+de la thÃ©orie dÃ©veloppÃ©e ci-avant
+Ã  la gÃ©nÃ©ration de nombres pseudo-alÃ©atoires. 
+La section~\ref{sec:PRNG:chaos:autres} prÃ©sente un Ã©tat de l'art (incomplet) de l'exploitation de 
+fonctions au comportement chaotique pour obtenir des PRNGs.
+La section~\ref{sub:prng:algo} 
+prÃ©sente ensuite l'algorithme de PRNG. La contrainte de  
+distribution uniforme de la sortie est discutÃ©e dans cette section.
+La chaoticitÃ© du gÃ©nÃ©rateur est  Ã©tudiÃ©e en 
+section~\ref{prng:unaire:chaos}.
+La section~\ref{sub:prng:algo}  a Ã©tÃ© publiÃ©e Ã  ~\cite{bcgw11:ip,bcgr11:ip}.
+
+\section{Quelques PRNGs basÃ©s sur des fonctions aux itÃ©rations chaotiques}\label{sec:PRNG:chaos:autres}
+
+Les PRNGs chaotiques (CPRNGs) sont des gÃ©nÃ©rateurs non linÃ©aires dÃ©finis par 
+$x_0 \in \mathbb{R}$ et $x_{t+1} = f(x_t)$, oÃ¹  $f$ est une fonction au comportement chaotique.
+Les raisons qui expliquent l'intÃ©rÃªt de telles fonctions sont naturellement la sensibilitÃ© aux conditions initiales, 
+leur imprÃ©visibilitÃ©\ldots Cependant, comme l'ordinateur sur lequel elles s'exÃ©cutent a une prÃ©cision finie, 
+les gÃ©nÃ©rateurs qui les embarquent peuvent avoir des pÃ©riodes arbitrairement courtes, 
+ne pas fournir de sortie selon une distribution uniforme\ldots
+D'un point de vue cryptographique, ces CPRNGs sont critiquables~\cite{wiggins2003introduction}.
+RÃ©duire ces critiques est l'objectif de nombreux travaux de recherche reportÃ©s ci dessous.
+
+
+Parmi les suites simples classiquement embarquÃ©es dans les CPRNGs, on trouve principalement
+la suite logistique et 
+la suite de HÃ©non. La suite logistique~\cite{may1976simple} est dÃ©finie de $[0;1]$ dans lui mÃªme par $x_{t+1} = r \times x_t(1-x_t)$ 
+avec $x_0 \in [0;1]$ et $3,57<r<4,0$.
+La suite de HÃ©non~\cite{henon1976two} de $A \times B$ dans lui mÃªme, avec $A$ et $B$ deux sous-ensembles de $\R$, 
+est dÃ©finie par  
+$x_{t+1} = (1-a x_t^2)+y_t$  et $y_{t+1}= bx_{t+1}$, oÃ¹ $a$ et $b$ sont les paramÃ¨tres canoniques. 
+Pour $a=1,4$, $b=0,3$, $A=[-1,5;1,5]$ et $B=-[0,4;0,4]$ le comportement de cette suite est chaotique.
+
+La suite logistique est utilisÃ©e dans l'article~\cite{dabal2011chaos} dans lequel 
+les auteurs utilisent une reprÃ©sentation des rÃ©els Ã  virgule fixe.
+Les auteurs de~\cite{dabal2012fpga} comparent leur implantation de la suite logistique avec celle 
+de la suite de HÃ©non. 
+Les auteurs de~\cite{6868789} ont exploitÃ© la rÃ©Ã©criture de la suite logistique sous la forme
+$x_{t+1} = (r \times x_t)-(r \times x_t^2)$ et la possibilitÃ© de parallÃ©liser ceci 
+pour accroÃ®tre la frÃ©quence du PRNG.   
+Les auteurs de~\cite{liu2008improved} proposent de coupler deux suites logistiques,
+chacune Ã©tant paramÃ©trÃ©e diffÃ©remment ($x_0$, $r_1$ et  $y_0$, $r_2$ respectivement). L'idÃ©e principale 
+est de modifier iterrativement le paramÃ¨tre $r_2$ Ã  l'aide des itÃ©rÃ©s de $x_t$.
+Quant aux auteurs de~\cite{merahcoupling13}, ils couplent la suite logistique et celle de HÃ©non. 
+La premiÃ¨re suite sert Ã  sÃ©lectionner les Ã©lÃ©ments parmi ceux gÃ©nÃ©rÃ©s par la seconde.
+Les auteurs de~\cite{mao2006design}, combinent spatialement $L$ suites logistiques 
+et construisent ainsi $x_t(0)$, \dots, $x_t(L-1)$ selon l'Ã©quation suivante:
+\begin{equation}
+x_{t+1}(i) = 
+(1- \varepsilon) f(x_t(i)) + 
+\frac{\varepsilon}{2} 
+(f(x_t(i-1)) + f(x_t(i+1))),
+\label{eq:cml}
+\end{equation}
+\noindent oÃ¹ 
+$i \in \dfrac{\Z}{L\Z}$,
+$f$ est une adaptation de la suite logistique au cas discret,
+la graine $(X_0(0),\dots, X_0(L-1))$ et la pondÃ©ration $\varepsilon$ sont fournies par l'utilisateur.
  
+Certaines Ã©quations diffÃ©rentielles ont Ã©tÃ© Ã  la base de PRNGs chaotiques. 
+On pense aux Ã©quations de Lorenz~\cite{Lorenz1963}, Ã  celles de RÃ¶ssler~\cite{Rossler1976397}\ldots
+Celles-ci ont par exemple embarquÃ©es dans les PRNG dans les articles~\cite{Silva:2009:LLP:1592409.1592411}
+et~\cite{mansingka2013fibonacci} respectivement.
 
-\section{ Nombres pseudo alÃ©atoires construits par itÃ©rations unaires}\label{sub:prng:algo}
+
+\section{ Nombres pseudo-alÃ©atoires construits par itÃ©rations unaires}\label{sub:prng:algo}
 
 
 
@@ -33,78 +81,84 @@ L'approche est Ã©valuÃ©e dans la derniÃ¨re section.
 \begin{algorithm}[h]
 %\begin{scriptsize}
 \KwIn{une fonction $f$, un nombre d'itÃ©rations $b$, 
-une configuration initiale $x^0$ ($n$ bits)}
-\KwOut{une configuration $x$ ($n$ bits)}
+une configuration initiale $x^0$ (${\mathsf{N}}$ bits)}
+\KwOut{une configuration $x$ (${\mathsf{N}}$ bits)}
 $x\leftarrow x^0$\;
-$k\leftarrow b $\;
 %$k\leftarrow b + \textit{XORshift}(b+1)$\;
-\For{$i=1,\dots,k$}
+\For{$i=1,\dots,b$}
 {
-$s\leftarrow{\textit{Random}(n)}$\;
+$s\leftarrow{\textit{Random}({\mathsf{N}})}$\;
 %$s\leftarrow{\textit{XORshift}(n)}$\;
-$x\leftarrow{F_{f_u}(s,x)}$\;
+$x\leftarrow{F_{f_u}(x,s)}$\;
 }
 return $x$\;
 %\end{scriptsize}
-\caption{Algorithme de gÃ©nÃ©ration de nombres pseudo alÃ©atoires 
-Ã  l'aide de la fonction chaotique $G_f$}
+\caption{PRNG basÃ© sur les itÃ©rations unaires.}
 \label{CI Algorithm}
 \end{algorithm}
 
 \subsection{Algorithme d'un gÃ©nÃ©rateur}
-On peut penser Ã  construire un gÃ©nÃ©rateur de nombres pseudo 
-alÃ©atoires comme dans l'algorithme~\ref{CI Algorithm} donnÃ© ci-dessous.
+On peut penser Ã  construire un gÃ©nÃ©rateur de nombres 
+pseudo-alÃ©atoires comme dans l'algorithme~\ref{CI Algorithm} donnÃ© ci-dessous.
 
 
 Celui-ci prend en entrÃ©e: une fonction $f$;
-un entier $b$, qui assure que le nombre d'itÃ©rations
-est compris entre $b+1 $ et  $2b+1$ (et donc supÃ©rieur Ã  $b$) 
+un entier $b$, qui est le nombre d'itÃ©rations Ã  effectuer entre deux sorties 
 et une configuration initiale $x^0$.
 Il retourne une nouvelle configuration $x$ en appliquant 
-la fonction $F_{f_u}$ vue au chapitre~\ref{chap:carachaos} et correspondant 
+la fonction $F_{f_u}$ (Ã©quation~\ref{eq:iterations:unaires}
+vue au chapitre~\ref{chap:carachaos}) et correspondant 
 Ã  des itÃ©rations unaires.
 En interne, il exploite un algorithme de gÃ©nÃ©ration
-de nombres pseudo alÃ©atoires
-\textit{Random}$(l)$. 
-Cet algorithme est utilisÃ©e dans notre gÃ©nÃ©rateur pour construire la longueur 
-de la stratÃ©gie ainsi que les Ã©lÃ©ments qui la composent.
-Pratiquement, il retourne des entiers dans $\llbracket 1 ; l \rrbracket$ 
-selon une distributionuniforme et utilise 
-\textit{XORshift} qui est une classe de gÃ©nÃ©rateurs de
-nombres pseudo alÃ©atoires conÃ§us par George Marsaglia. 
-
-
-L'algorithme \textit{XORshift} 
-exploite itÃ©rativement l'opÃ©rateur $\oplus$  
-sur des nombres obtenus grÃ¢ce Ã  des decalages de bits.
-Cet opÃ©rateur, dÃ©fini dans $\Bool^{n}$, 
-applique la fonction \og  xor \fg{} 
-aux bits de mÃªme rang de ses deux opÃ©randes (\og opÃ©ration bit Ã  bit \fg{}).
-Une instance de cette classe est donnÃ©e dans l'algorithme~\ref{XORshift} donnÃ© 
-ci-dessous.
-
-\begin{algorithm}[h]
-%\SetLine
-\KwIn{la configuration interne $z$ (un mot de 32-bit)}
-\KwOut{$y$ (un mot de 32-bits)}
-$z\leftarrow{z\oplus{(z\ll13)}}$\;
-$z\leftarrow{z\oplus{(z\gg17)}}$\;
-$z\leftarrow{z\oplus{(z\ll5)}}$\;
-$y\leftarrow{z}$\;
-return $y$\;
-\medskip
-\caption{Une boucle de l'algorithme de \textit{XORshift}}
-\label{XORshift}
-\end{algorithm}
+de nombres pseudo-alÃ©atoires donnÃ© en paramÃ¨tre.
+Cela peut Ãªtre n'importe quel PRNG (XORshift, Mersenne-Twister) dont la 
+sortie est uniformÃ©ment distribuÃ©e.
+Notre approche vise a donner des propriÃ©tÃ©s de chaos Ã  ce gÃ©nÃ©rateur embarquÃ©.
+
+
+% \textit{Random}$(l)$. 
+% Cet algorithme est utilisÃ©e dans notre gÃ©nÃ©rateur pour construire la longueur 
+% de la stratÃ©gie ainsi que les Ã©lÃ©ments qui la composent.
+% Pratiquement, il retourne des entiers dans $\llbracket 1 ; l \rrbracket$ 
+% selon une distribution uniforme et utilise 
+% \textit{XORshift} qui est une classe de gÃ©nÃ©rateurs de
+% nombres pseudo alÃ©atoires conÃ§us par George Marsaglia. 
+
+
+% L'algorithme \textit{XORshift} 
+% exploite itÃ©rativement l'opÃ©rateur $\oplus$  
+% sur des nombres obtenus grÃ¢ce Ã  des dÃ©calages de bits.
+% Cet opÃ©rateur, dÃ©fini dans $\Bool^{n}$, 
+% applique la fonction \og  xor \fg{} 
+% aux bits de mÃªme rang de ses deux opÃ©randes (\og opÃ©ration bit Ã  bit \fg{}).
+% Une instance de cette classe est donnÃ©e dans l'algorithme~\ref{XORshift} donnÃ© 
+% ci-dessous.
+
+% \begin{algorithm}[h]
+% %\SetLine
+% \KwIn{la configuration interne $z$ (un mot de 32-bit)}
+% \KwOut{$y$ (un mot de 32-bits)}
+% $z\leftarrow{z\oplus{(z\ll13)}}$\;
+% $z\leftarrow{z\oplus{(z\gg17)}}$\;
+% $z\leftarrow{z\oplus{(z\ll5)}}$\;
+% $y\leftarrow{z}$\;
+% return $y$\;
+% \medskip
+% \caption{Une boucle de l'algorithme de \textit{XORshift}}
+% \label{XORshift}
+% \end{algorithm}
 
 
 Nous avons vu au chapitre~\ref{chap:carachaos} que 
 $G_{f_u}$ est chaotique dans l'espace $\mathcal{X}_u$ 
-si et seulement le graphe d'itÃ©rations $\textsc{giu}(f)$ 
-doit Ãªtre fortement connexe.
+si et seulement si le graphe d'itÃ©rations $\textsc{giu}(f)$ 
+est fortement connexe.
 Pour $b=1$, l'algorithme itÃ¨re la fonction $F_{f_u}$.
-Regardons comment l'uniformitÃ© de la distribution a
-contraint la fonction.
+
+Pour simuler au mieux l'alÃ©a, un bon gÃ©nÃ©rateur de nombres pseudo-alÃ©atoires
+se doit de fournir  des nombres selon une distribution uniforme.
+Regardons comment l'uniformitÃ© de la distribution 
+contraint la fonction $f$ Ã  itÃ©rer.
 
 \subsection{Un gÃ©nÃ©rateur Ã  sortie uniformÃ©ment distribuÃ©e}\label{sub:prng:unif}
 
@@ -117,9 +171,9 @@ Enfin, une matrice stochastique de taille $n \times n$ est rÃ©guliÃ¨re
 si  la propriÃ©tÃ© suivante est Ã©tablie:
 $$\exists k \in \mathds{N}^\ast, \forall i,j \in \llbracket 1; n \rrbracket, M_{ij}^k>0.$$
 
-On Ã©nonce enfin le thÃ©orÃ¨me suivant liant les 
-vecteur de probabilite 
-et les chaines de Markov.
+On Ã©nonce le thÃ©orÃ¨me classique suivant liant les 
+vecteurs de probabilitÃ©s 
+et les chaÃ®nes de Markov.
 
 
  
@@ -128,19 +182,19 @@ et les chaines de Markov.
   Si $M$ est une matrice stochastique rÃ©guliÃ¨re, alors $M$ 
   possÃ¨de un unique vecteur stationnaire de probabilitÃ©s  $\pi$
   ($\pi.M = \pi$).
-  De plus, si $\pi^0$ est un {vecteurDeProbabilite} 
+  De plus, si $\pi^0$ est un {vecteur de probabilitÃ©s} 
  et si on dÃ©finit 
   la suite $(\pi^{k})^{k \in  \Nats}$ par 
   $\pi^{k+1} = \pi^k.M $ pour $k = 0, 1,\dots$ 
-  alors la {chaineDeMarkov} $\pi^k$
+  alors la {chaÃ®ne de Markov} $\pi^k$
   converge vers $\pi$ lorsque $k$ tend vers l'infini.
 \end{theorem}
 
 
 Montrons sur un exemple jouet Ã  deux Ã©lÃ©ments 
 que ce thÃ©orÃ¨me permet de vÃ©rifier si la sortie d'un gÃ©nÃ©rateur de 
-nombres pseudo alÃ©atoires est uniformÃ©ment distribuÃ©e ou non.
-Soit alors $g$ et $h$ deux fonctions  de $\Bool^2$
+nombres pseudo-alÃ©atoires est uniformÃ©ment distribuÃ©e ou non.
+Soient alors $g$ et $h$ deux fonctions  de $\Bool^2$
 dÃ©finies par $g(x_1,x_2)=(\overline{x_1},x_1.\overline{x_2}) $
 et $h(x_1,x_2)=(\overline{x_1},x_1\overline{x_2}+\overline{x_1}x_2)$.
 Leurs graphes d'interactions donnÃ©s en figure \ref{fig:g:inter} et \ref{fig:h:inter}
@@ -149,7 +203,7 @@ Leurs graphes d'itÃ©rations
 sont donc fortement connexes, ce que l'on peut vÃ©rifier aux figures~\ref{fig:g:iter} 
 et~\ref{fig:h:iter}.
 \textit{A priori}, ces deux fonctions pourraient Ãªtre intÃ©grÃ©es
-dans un gÃ©nÃ©rateur de nombres pseudo alÃ©atoires. Montrons que ce n'est pas le cas pour $g$ et 
+dans un gÃ©nÃ©rateur de nombres pseudo-alÃ©atoires. Montrons que ce n'est pas le cas pour $g$ et 
 que cela l'est pour $h$.
 
 
@@ -178,7 +232,8 @@ que cela l'est pour $h$.
       \end{minipage}
       \label{fig:h:iter}
     }    \end{center}
-    \caption{Graphes d'itÃ©rations de fonctions boolÃ©ennes dans $\Bool^2$}
+    \caption{Graphes des itÃ©rations unaires 
+      de fonctions boolÃ©ennes dans $\Bool^2$}
     \label{fig:xplgraphIter}
   \end{figure}
 
@@ -228,7 +283,7 @@ Il est facile de vÃ©rifier que la matrice de transitions
 d'un tel processus 
 est $M_g   = \frac{1}{2} \check{M}_g$, 
 oÃ¹ $\check{M}_g$ est la matrice d' adjacence  donnÃ©e en 
-figure~\ref{fig:g:incidence} (voir ci-aprÃ¨s), et similairement pour $M_h$. 
+figure~\ref{fig:g:incidence} (voir ci-aprÃ¨s), et  de maniÃ¨re similaire pour $M_h$. 
 
 \begin{figure}[h]
   \begin{center}
@@ -282,10 +337,10 @@ Alors d'aprÃ¨s le thÃ©orÃ¨me~\ref{th},
 pour n'importe quel vecteur initial de probabilitÃ©s $\pi^0$, on a 
 $\lim_{k \to \infty} \pi^0 M^k_g = \pi_g$ et 
 $\lim_{k \to \infty} \pi^0 M^k_h = \pi_h$. 
-Ainsi la chaÃ®ne de Markov associÃ© Ã  $h$ tend vers une 
+Ainsi la chaÃ®ne de Markov associÃ©e Ã  $h$ tend vers une 
 distribution uniforme, contrairement Ã  celle associÃ©e Ã  $g$.
 On en dÃ©duit que $g$ ne devrait pas Ãªtre itÃ©rÃ©e dans 
-un gÃ©nÃ©rateur de nombres pseudo alÃ©atoires.
+un gÃ©nÃ©rateur de nombres pseudo-alÃ©atoires.
 Au contraire, 
 $h$ devrait pouvoir Ãªtre embarquÃ©e dans l'algorithme~\ref{CI Algorithm}, 
 pour peu que le nombre $b$ d'itÃ©rations entre deux mesures successives 
@@ -293,26 +348,30 @@ de valeurs  soit suffisamment grand de sorte que
 le vecteur dâÃ©tat de la chaÃ®ne de Markov
 ait une distribution suffisamment proche de la distribution uniforme.
 
-On Ã©nnonce directement le thÃ©orÃ¨me suivant dont la preuve est donnÃ©e en annexes~\ref{anx:generateur}.
+On Ã©nonce directement le thÃ©orÃ¨me suivant dont la preuve est donnÃ©e en annexe~\ref{anx:generateur}.
 
-\begin{theorem}
+\begin{restatable}[UniformitÃ© de la sortie de l'algorithme~\ref{CI Algorithm}]{theorem}{PrngCIUniforme}\label{thm:prng:u}
   Soit $f: \Bool^{n} \rightarrow \Bool^{n}$, $\textsc{giu}(f)$ son 
   graphe d'itÃ©rations , $\check{M}$ sa matrice d'adjacence
-  et $M$ une matrice  $2^n\times 2^n$  dÃ©finie comme dans le lemme prÃ©cÃ©dent.
+  et $M$ une matrice  $2^n\times 2^n$  
+  dÃ©finie par 
+  $M = \dfrac{1}{n} \check{M}$.
   Si $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe, alors 
-  la sortie du gÃ©nÃ©rateur de nombres pseudo alÃ©atoires dÃ©taillÃ© par 
+  la sortie du gÃ©nÃ©rateur de nombres pseudo-alÃ©atoires dÃ©taillÃ© par 
   l'algorithme~\ref{CI Algorithm} suit une loi qui 
   tend vers la distribution uniforme si 
   et seulement si  $M$ est une matrice doublement stochastique.
-\end{theorem}
+\end{restatable}
 
 
 \subsection{Quelques exemples}
 
-On reprend le graphe d'interactions $\Gamma(f)$ donnÃ© en figure~\ref{fig:G} Ã  la section~\ref{sec:11FCT}.
-On a vu qu'il y avait  520 fonctions $f$ non isomorphes de graphe d'interactions  $\Gamma(f)$, 
-dont seulement 16 d'entre elles possÃ©dent une matrice doublement stochastique.
+On considÃ¨re le graphe d'interactions $\Gamma(f)$ donnÃ©
+en figure~\ref{fig:G}. C'est le mÃªme qui a Ã©tÃ© prÃ©sentÃ©
+Ã  la section~\ref{sec:11FCT}.
+On a vu qu'il y avait  520 fonctions $f$ non isomorphes de graphe d'interactions  $\Gamma(f)$. 
 
+Seulement 16 d'entre elles possÃ¨dent une matrice doublement stochastique.
 La figure~\ref{fig:listfonction} explicite ces 16 fonctions en 
 dÃ©finissant les images des Ã©lÃ©ments de la liste
 0, 1, 2,\ldots, 14, 15 en respectant  l'ordre.
@@ -320,7 +379,7 @@ Expliquons enfin comment a Ã©tÃ© calculÃ© le nombre de la troisiÃ¨me
 colonne utilisÃ© comme le paramÃ¨tre $b$ 
 dans l'algorithme~\ref{CI Algorithm}.
 
-Soit $e_i$ le $i^{\textrm{Ã¨me}}$ vecteur la base canonique de $\R^{2^{n}}$. 
+Soit $e_i$ le $i^{\textrm{Ã¨me}}$ vecteur de la base canonique de $\R^{2^{n}}$. 
 Chacun des Ã©lÃ©ments $v_j$, $1 \le j \le 2^n$, 
 du vecteur $e_i M_f^t$ reprÃ©sente la probabilitÃ© 
 d'Ãªtre dans la configuration $j$ aprÃ¨s $t$ Ã©tapes du processus de Markov 
@@ -332,15 +391,21 @@ ce vecteur au vecteur $\pi=(\frac{1}{2^n},\ldots,\frac{1}{2^n})$
 -- autrement dit, oÃ¹ la dÃ©viation par rapport Ã  la distribution uniforme --
  est infÃ©rieure 
 Ã  $10^{-4}$. En prenant le max pour tous les $e_i$, on obtient une valeur pour
- $b$. Ainsi, on a 
-$$
+ $b$. 
+Ainsi, on a 
+\begin{equation}
 b = \max\limits_{i \in \llbracket 1, 2^n \rrbracket} 
-\{
-\min \{
+\left\{
+\min \left\{
  t \mid t \in \Nats, \vectornorm{e_i M_f^t - \pi} < 10^{-4}
-\}
-\}. 
-$$
+\right\}
+\right\}. 
+\label{eq:mt:ex}
+\end{equation}
+
+\noindent Par la suite, ce nombre sera appelÃ© \emph{temps de mÃ©lange}.
+
+
 
 \begin{figure}%[h]
   \begin{center}
@@ -420,25 +485,25 @@ $\mathcal{F}_{16}$ &14, 15, 13, 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0
 
 La qualitÃ© des sÃ©quences alÃ©atoires a Ã©tÃ© Ã©valuÃ©e Ã  travers la suite 
 de tests statistiques dÃ©veloppÃ©e pour les gÃ©nÃ©rateurs de nombres 
-pseudo alÃ©atoires par le 
+pseudo-alÃ©atoires par le 
 \emph{National Institute of Standards and Technology} (NIST).
 L'expÃ©rience a montrÃ© notamment que toutes ces fonctions
 passent avec succÃ¨s cette batterie de tests.
 
 Pour conclure cette section, on remarque que le gÃ©nÃ©rateur de nombres pseudo-alÃ©atoires 
-a Ã©tÃ© prouvÃ© chaotique pour $b=1$, \textit{i.e.}, lorqu'il y a une sortie pour chaque itÃ©ration.
-Ceci est difficilement compatible avec la volontÃ© d'avoir une sortie uniformÃ©mement distribuÃ©e: 
+a Ã©tÃ© prouvÃ© chaotique pour $b=1$, \textit{i.e.}, lorsqu'il y a une sortie pour chaque itÃ©ration.
+Ceci est difficilement compatible avec la volontÃ© d'avoir une sortie uniformÃ©ment distribuÃ©e: 
 se rapprocher de cette distribution nÃ©cessite en effet un nombre plus Ã©levÃ©
 d'itÃ©rations $b$ entre chaque sortie. Par exemple, dans l'exemple prÃ©cÃ©dent, il est nÃ©cessaire 
 d'itÃ©rer au moins 42 fois entre chaque sortie pour suivre une loi uniforme Ã  $10^{-4}$ prÃ¨s.
-Montrer les sous-sÃ©quences de suites chaotiques ainsi gÃ©nÃ©rÃ©es  demeurent chaotiques
+Montrer que les sous-sÃ©quences de suites chaotiques ainsi gÃ©nÃ©rÃ©es  demeurent chaotiques
 est l'objectif de la section suivante.
 
 
-\section{Un PRNG basÃ© sur des itÃ©rations unaires qui est chaotique }
+\section{Un PRNG basÃ© sur des itÃ©rations unaires qui est chaotique }\label{prng:unaire:chaos}
 
 Cette section prÃ©sente un espace mÃ©trique adaptÃ© au gÃ©nÃ©rateur de nombres pseudo-alÃ©atoires 
-pÃ©sentÃ© Ã  l'algorithme~\ref{CI Algorithm} et prouve ensuite que la fonction qu'il reprÃ©sente 
+prÃ©sentÃ© Ã  l'algorithme~\ref{CI Algorithm} et prouve ensuite que la fonction qu'il reprÃ©sente 
 est chaotique sur cet espace.
 
 \subsection{Un espace  $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$    pour le PRNG de l'algorithme~\ref{CI Algorithm}}
@@ -451,15 +516,14 @@ Intuitivement, c'est le nombre d'itÃ©rations qu'il est autorisÃ© de faire.
 On ordonne les $\mathsf{p}$ Ã©lÃ©ments de $\mathcal{P}$ comme suit: 
 $\mathcal{P} = \{ p_1, p_2, \hdots, p_\mathsf{p}\}$
 et $p_1< p_2< \hdots < p_\mathsf{p}$.
+
 Dans l'algorithme~\ref{CI Algorithm}, 
 $\mathsf{p}$ vaut 1 et  $p_1=b$. 
-
-
-Cet  algorithme peut Ãªtre vu comme $b$ compostions de la function $F_{f_u}$.
+Cet  algorithme peut Ãªtre vu comme $b$ compostions de la fonction $F_{f_u}$.
 Ceci peut cependant se gÃ©nÃ©raliser Ã  $p_i$, $p_i \in \mathcal{P}$,
 compositions fonctionnelles de $F_{f_u}$.
 Ainsi, pour chaque $p_i \in \mathcal{P}$, on construit la fonction
-$F_{{f_u},p_i} :  \mathds{B}^\mathsf{N} \times \llbracket 1, \mathsf{N} \rrbracket^{p_i}
+$F_{{f_u},p_i} :  \mathds{B}^\mathsf{N} \times [\mathsf{N}]^{p_i}
 \rightarrow \mathds{B}^\mathsf{N}$ dÃ©finie par
 
 $$
@@ -468,18 +532,18 @@ F_{f_u}(\hdots (F_{f_u}(F_{f_u}(x,u^0), u^1), \hdots), u^{p_i-1}).
 $$
 
 
-on construit l'espace 
+On construit l'espace 
  $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}=  \mathds{B}^\mathsf{N} \times \mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$, oÃ¹
 $\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}=
-\llbracket 1, \mathsf{N} \rrbracket^{\Nats}\times 
+[\mathsf{N}]^{\Nats}\times 
 \mathcal{P}^{\Nats}$. 
 Chaque Ã©lÃ©ment de l'espace est une paire oÃ¹ le premier Ã©lÃ©ment est 
 un $\mathsf{N}$-uplet de  $\Bool^{\mathsf{N}}$ (comme dans $\mathcal{X}_u$).
-Le second Ã©lÃ©ment est aussi une paire $((u^k)_{k \in \Nats},(v^k)_{k \in \Nats})$ de suites infinies.
+Le second Ã©lÃ©ment est une paire $((u^k)_{k \in \Nats},(v^k)_{k \in \Nats})$ de suites infinies.
 La suite $(v^k)_{k \in \Nats}$ dÃ©finit combien d'itÃ©rations sont exÃ©cutÃ©es au temps $k$ entre deux sorties.
 La sÃ©quence $(u^k)_{k \in \Nats}$ dÃ©finit quel Ã©lÃ©ment est modifiÃ© (toujours au temps $k$).
 
-DÃ©finissons la fonction de dÃ©callage  $\Sigma$ pour chaque  Ã©lÃ©ment de $\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$.
+DÃ©finissons la fonction de dÃ©calage  $\Sigma$ pour chaque  Ã©lÃ©ment de $\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$.
 $$\begin{array}{cccc}
 \Sigma:&\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}} &\longrightarrow
 &\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}} \\
@@ -487,7 +551,7 @@ $$\begin{array}{cccc}
 \end{array}
 $$
 En d'autres termes, $\Sigma$ reÃ§oit deux suites $u$ et $v$ et 
-effectue $v^0$ dÃ©callage vers la droite sur la premiÃ¨re et un dÃ©callage vers la droite 
+effectue $v^0$ dÃ©calage vers la droite sur la premiÃ¨re et un dÃ©calage vers la droite 
 sur la seconde.
 
 
@@ -516,9 +580,9 @@ Soit  $x=(e,s)$ et $\check{x}=(\check{e},\check{s})$ dans
 $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}} = \mathds{B}^\mathsf{N} \times \mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}} $,
 oÃ¹ $s=(u,v)$ et $\check{s}=(\check{u},\check{v})$ sont dans $ \mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}} = 
 \mathcal{S}_{\llbracket 1, \mathsf{N} \rrbracket} \times \mathcal{S}_\mathcal{P}$. 
-\begin{itemize}
+\begin{enumerate}
 \item $e$ et $\check{e}$ sont des entiers appartenant Ã  $\llbracket 0, 2^{\mathsf{N}-1} \rrbracket$. 
-La distance de Hamming $d_{\mathds{B}^\mathsf{N}}$ sur entre les 
+La distance de Hamming $d_{\mathds{B}^\mathsf{N}}$ entre les 
 dÃ©compositions binaires de $e$ et de $\check{e}$ (\textit{i.e.}, le 
 le nombre de bits qu'elles ont de diffÃ©rent) constitue 
 la partie entiÃ¨re de $d(X,\check{X})$.
@@ -528,10 +592,10 @@ $u^0, u^1, \hdots, u^{v^0-1}$ et  $\check{u}^0, \check{u}^1, \hdots, \check{u}^{
 suivie par les diffÃ©rences entre $u^{v^0}, u^{v^0+1}, \hdots, u^{v^1-1}$ et
 $\check{u}^{\check{v}^0}, \check{u}^{\check{v}^0+1}, \hdots, \check{u}^{\check{v}^1-1}$, etc.
 
-Plus prÃ©cisemment, soit 
+Plus prÃ©cisÃ©ment, soit 
 $p = \lfloor \log_{10}{(\max{\mathcal{P}})}\rfloor +1$ et 
 $n = \lfloor \log_{10}{(\mathsf{N})}\rfloor +1$.
-\begin{itemize}
+\begin{enumerate}
 \item Les $p$ premiers Ã©lÃ©ments de $d(x,\check{x})$ sont $|v^0-\check{v}^0|$ 
   Ã©crits en base 10 et sur $p$ indices;
 \item les $n\times \max{(\mathcal{P})}$ Ã©lÃ©ments suivants servent 
@@ -539,7 +603,7 @@ $n = \lfloor \log_{10}{(\mathsf{N})}\rfloor +1$.
   $\check{u}^0, \check{u}^1, \hdots, \check{u}^{\check{v}^0-1}$. 
   Les $n$ premiers Ã©lÃ©ments sont $|u^0-\check{u}^0|$. Il sont suivis de 
 $|u^1-\check{u}^1|$ Ã©crits Ã  l'aide de $n$ Ã©lÃ©ments, etc.
-\begin{itemize}
+\begin{enumerate}
 \item Si
 $v^0=\check{v}^0$,
 alors le processus se continue jusqu'Ã  $|u^{v^0-1}-\check{u}^{\check{v}^0-1}|$ et la 
@@ -548,12 +612,12 @@ jusqu'Ã  atteindre
 $p+n\times \max{(\mathcal{P})}$ Ã©lÃ©ments.
 \item Si $v^0<\check{v}^0$, alors les $ \max{(\mathcal{P})}$  blocs de $n$
 Ã©lÃ©ments sont $|u^0-\check{u}^0|$, ..., $|u^{v^0-1}-\check{u}^{v^0-1}|$,
-$\check{u}^{v^0}$ (sur $n$ Ã©lÃ©ments), ..., $\check{u}^{\check{v}^0-1}$ (sur $n$ Ã©lÃ©ments), suivi par des 0, si besoin.
+$\check{u}^{v^0}$ (sur $n$ Ã©lÃ©ments), ..., $\check{u}^{\check{v}^0-1}$ (sur $n$ Ã©lÃ©ments), suivis par des 0, si besoin.
 \item Le cas $v^0>\check{v}^0$ est similaire, et donc omis
-\end{itemize}
+\end{enumerate}
 \item Les $p$ suivants sont $|v^1-\check{v}^1|$, etc.
-\end{itemize}
-\end{itemize}
+\end{enumerate}
+\end{enumerate}
 
 
 La fonction $d$ peut se formaliser comme suit:
@@ -593,8 +657,10 @@ $\check{s}=\left\{
 \check{v}=2,1,...
 \end{array}
 \right.$.
-
-Ainsi $d_{\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}}(s,\check{s}) = 0.010004000000000000000000011005 ...$
+Ainsi 
+\[
+d_{\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}}(s,\check{s}) = 
+0.01~0004000000000000000000~01~1005 \dots\]
 En effet, les $p=2$ premiers Ã©lÃ©ments sont  01, c'est-Ã -dire 
 $|v^0-\check{v}^0|=1$, 
 et on utilise $p$ Ã©lÃ©ments pour reprÃ©senter cette diffÃ©rence
@@ -603,60 +669,63 @@ On prend alors le $v^0=1$ premier terme de $u$,
 chaque terme Ã©tant codÃ© sur $n=2$ Ã©lÃ©ments, soit 06.
 Comme on itÃ¨re au plus $\max{(\mathcal{P})}$ fois, 
 on complÃ¨te cette valeur par des 0 de sorte que 
-la chaine obtenue a $n\times \max{(\mathcal{P})}=22$ Ã©lÃ©ments, soit:
+la chaÃ®ne obtenue ait $n\times \max{(\mathcal{P})}=22$ Ã©lÃ©ments, soit:
 0600000000000000000000. 
 De maniÃ¨re similaire, les $\check{v}^0=2$ premiers
 termes de $\check{u}$ sont reprÃ©sentÃ©s par 
 0604000000000000000000.
-LA valeur absolue de leur diffÃ©rence est Ã©gale Ã  
+La valeur absolue de leur diffÃ©rence est Ã©gale Ã  
 0004000000000000000000.
 Ces Ã©lÃ©ments sont concatÃ©nÃ©s avec 01. On peut construire alors le reste de 
 la sÃ©quence.
 \end{xpl}
 
 
-\begin{xpl}
-On considÃ¨re Ã  prÃ©sent que  $\mathsf{N}=9$, que $\mathcal{P}=\{2,7\}$ et que
-$$s=\left\{
-\begin{array}{l}
-u=\underline{6,7,} ~ \underline{4,2,} ...\\
-v=2,2,...
-\end{array}
-\right.$$
-avec
-$$\check{s}=\left\{
-\begin{array}{l}
-\check{u}=\underline{4, 9, 6, 3, 6, 6, 7,} ~ \underline{9, 8}, ...\\
-\check{v}=7,2,...
-\end{array}
-\right.
-$$
+% \begin{xpl}
+% On considÃ¨re Ã  prÃ©sent que  $\mathsf{N}=9$, que $\mathcal{P}=\{2,7\}$ et que
+% $$s=\left\{
+% \begin{array}{l}
+% u=\underline{6,7,} ~ \underline{4,2,} ...\\
+% v=2,2,...
+% \end{array}
+% \right.$$
+% avec
+% $$\check{s}=\left\{
+% \begin{array}{l}
+% \check{u}=\underline{4, 9, 6, 3, 6, 6, 7,} ~ \underline{9, 8}, ...\\
+% \check{v}=7,2,...
+% \end{array}
+% \right.
+% $$
+
+% Ainsi $d_{\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}}(s,\check{s}) = 0.5173633305600000...$, 
+% puisque 
+% $|v^0-\check{v}^0|=5$, $|4963667-6700000| = 1736333$, $|v^1-\check{v}^1|=0$,
+% et $|9800000-4200000| = 5600000$.
+% \end{xpl}
+
 
-Ainsi $d_{\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}}(s,\check{s}) = 0.5173633305600000...$, 
-puisque 
-$|v^0-\check{v}^0|=5$, $|4963667-6700000| = 1736333$, $|v^1-\check{v}^1|=0$,
-et $|9800000-4200000| = 5600000$.
-\end{xpl}
 
+On a la proposition suivante, qui est dÃ©montrÃ©e en annexe~\ref{anx:generateur}.
 
 
-On a la proposition suivante, qui est dÃ©montrÃ©e en annexes~\ref{anx:generateur}.
-\begin{lemma}
+\begin{restatable}[Une distance dans $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$]{theorem}{distancedsxnp}
 $d$ est une distance sur $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$.
-\end{lemma}
+\end{restatable}
 
 
 \subsection{Le graphe $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(f)$ Ã©tendant  $\textsc{giu}(f)$}
 
 A partir de  $\mathcal{P}=\{p_1, p_2, \hdots, p_\mathsf{p}\}$, on 
-definit le graphe orientÃ© $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(f)$ de la maniÃ¨re suivante:
+dÃ©finit le graphe orientÃ© $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(f)$ de la maniÃ¨re suivante:
 \begin{itemize}
 \item les n{\oe}uds sont les  $2^\mathsf{N}$ configurations de $\mathds{B}^\mathsf{N}$,
 %\item Each vertex has $\displaystyle{\sum_{i=1}^\mathsf{p} \mathsf{N}^{p_i}}$ arrows, namely all the $p_1, p_2, \hdots, p_\mathsf{p}$ tuples 
 %  having their elements in $\llbracket 1, \mathsf{N} \rrbracket $.
 \item il y a un arc libellÃ© $u_0, \hdots, u_{p_i-1}$, $i \in \llbracket 1, \mathsf{p} \rrbracket$ entre les n{\oe}uds $x$ et $y$ si et seulement si $p_i$ est un Ã©lÃ©ment de 
-$\mathcal{P}$ (\textit{i.e.}, on peut itÃ©rer $p_i$ fois), 
-chaque $u_k$ de la suite appartient Ã  $[\mathsf{N}]$ et 
+$\mathcal{P}$ (\textit{i.e.}, on peut itÃ©rer $p_i$ fois), et pour chaque 
+$k$, $0 \le k \le p_i-1$, on a 
+ $u_k$ qui appartient Ã   $[\mathsf{N}]$ et 
 $y=F_{f_u,p_i} (x, (u_0, \hdots, u_{p_i-1})) $.
 \end{itemize}
 Il n'est pas difficile de constater que $\textsc{giu}_{\{1\}}(f)$ est $\textsc{giu}(f)$.
@@ -670,7 +739,7 @@ Il n'est pas difficile de constater que $\textsc{giu}_{\{1\}}(f)$ est $\textsc{g
     \subfigure[$\textsc{giu}_{\{2\}}(h)$]{
       \begin{minipage}{0.30\textwidth}
         \begin{center}
-          \includegraphics[height=4cm]{images/h2prng.pdf}
+          \includegraphics[scale=0.5]{images/h2prng}
         \end{center}
       \end{minipage}
       \label{fig:h2prng}
@@ -678,7 +747,7 @@ Il n'est pas difficile de constater que $\textsc{giu}_{\{1\}}(f)$ est $\textsc{g
     \subfigure[$\textsc{giu}_{\{3\}}(h)$]{
       \begin{minipage}{0.40\textwidth}
         \begin{center}
-          \includegraphics[height=4cm]{images/h3prng.pdf}
+          \includegraphics[scale=0.5]{images/h3prng}
         \end{center}
       \end{minipage}
       \label{fig:h3prng}
@@ -686,15 +755,15 @@ Il n'est pas difficile de constater que $\textsc{giu}_{\{1\}}(f)$ est $\textsc{g
     \subfigure[$\textsc{giu}_{\{2,3\}}(h)$]{
       \begin{minipage}{0.40\textwidth}
         \begin{center}
-          \includegraphics[height=4cm]{images/h23prng.pdf}
+          \includegraphics[scale=0.5]{images/h23prng}
         \end{center}
       \end{minipage}
       \label{fig:h23prng}
     }
 
     \end{center}
-    \caption{Graphes d'iterations $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(h)$ pour $h(x_1,x_2)=(\overline{x_1},x_1\overline{x_2}+\overline{x_1}x_2)$}
-    \label{fig:xplgraphIter}
+    \caption{Graphes d'itÃ©rations $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(h)$ pour $h(x_1,x_2)=(\overline{x_1},x_1\overline{x_2}+\overline{x_1}x_2)$}
+    %\label{fig:xplgraphIter}
   \end{figure}
 
 
@@ -707,27 +776,50 @@ $h(x_1,x_2)=(\overline{x_1},x_1\overline{x_2}+\overline{x_1}x_2)$ dÃ©jÃ  dÃ©tail
 
 Le graphe $\textsc{giu}_{\{1\}}(h)$ a dÃ©jÃ  Ã©tÃ© donnÃ© Ã  la figure~\ref{fig:h:iter}.
 Les graphes $\textsc{giu}_{\{2\}}(h)$, $\textsc{giu}_{\{3\}}(h)$  et
-$\textsc{giu}_{\{2,3\}}(h)$ sont respectivement donnÃ©s aux figure~\ref{fig:h2prng}, ~\ref{fig:h3prng} et ~\ref{fig:h23prng}. 
-Le premier (repsectivement le second) 
+$\textsc{giu}_{\{2,3\}}(h)$ sont respectivement donnÃ©s aux figures~\ref{fig:h2prng}, ~\ref{fig:h3prng} et ~\ref{fig:h23prng}. 
+Le premier (respectivement le second) 
 illustre le comportement du gÃ©nÃ©rateur lorsque qu'on itÃ¨re exactement 
 2 fois (resp. 3 fois) puis qu'on affiche le rÃ©sultat.
 Le dernier donnerait le comportement d'un gÃ©nÃ©rateur qui s'autoriserait 
-Ã  itÃ©rer en interne systÃ©matiquement 2 ou trois fois avant de retourner un rÃ©sultat.
+Ã  itÃ©rer en interne systÃ©matiquement 2 ou 3 fois avant de retourner un rÃ©sultat.
 
 \end{xpl}
 
 
 \subsection{le PRNG de l'algorithme~\ref{CI Algorithm} est chaotique sur $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$}
 
-Le thÃ©orÃ¨me suivant, similaire Ã  celui dans $\mathcal{X}_u$ et dans $\mathcal{X}_g$
-est prouvÃ© en annexes~\ref{}.
+Le thÃ©orÃ¨me suivant, similaire Ã  ceux dans $\mathcal{X}_u$ et dans $\mathcal{X}_g$
+est prouvÃ© en annexe~\ref{anx:generateur}.
 
-\begin{theorem}
+\begin{restatable}[Conditions pour la chaoticitÃ© de $G_{f_u,\mathcal{P}}$]{theorem}{thmchoticitgfp}
 La fonction $G_{f_u,\mathcal{P}}$ est chaotique sur 
  $(\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}},d)$ si et seulement si 
-graphe d'itÃ©ration $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(f)$ 
+le graphe d'itÃ©rations $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(f)$ 
 est fortement connexe.
-\end{theorem}
+\end{restatable}
+% On alors corollaire suivant 
 
+% \begin{corollary}
+%   Le gÃ©nÃ©rateur de nombre pseudo alÃ©atoire dÃ©taillÃ© 
+%   Ã  l'algorithme~\ref{CI Algorithm}
+%   n'est pas chaotique 
+%   sur $(\mathcal{X}_{\mathsf{N},\{b\}},d)$ pour la fonction nÃ©gation.
+% \end{corollary}
+% \begin{proof}
+%   Dans cet algorithme, $\mathcal{P}$ est le singleton $\{b\}$.
+%   Que $b$ soit pair ou impair,  $\textsc{giu}_{\{b\}}(f)$
+%   n'est pas fortement connexe.
+% \end{proof}
 
 
+
+
+\section{Conclusion}
+Ce chapitre a proposÃ© un algorithme permettant de construire un 
+PRNG chaotique Ã  partir d'un PRNG existant. Pour ce faire, il est nÃ©cessaire 
+et suffisant que la fonction $f$ qui est itÃ©rÃ©e un nombre $b$ de fois 
+possÃ¨de un $\textsc{giu}_{\{b\}}(f)$ fortement connexe et que sa matrice de Markov associÃ©e soit doublement stochastique.
+Le chapitre suivant montre comment construire une telle fonction.
+
+ 
+ 
