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diff --git a/15RairoGen.tex b/15RairoGen.tex
index 4c9a25b..a950d85 100644
--- a/15RairoGen.tex
+++ b/15RairoGen.tex
@@ -16,7 +16,7 @@ Cette section présente une application directe de la théorie développée ci-a
 à la génération de nombres pseudo aléatoires. 
 On présente tout d'abord le générateur
 basé sur des fonctions chaotiques (section~\ref{sub:prng:algo}), 
-puis comment intégrer la contrainte de distributionuniforme
+puis comment intégrer la contrainte de distribution uniforme
 de la sortie 
 dans le choix de la fonction à itérer (section~\ref{sub:prng:unif}). 
 L'approche est évaluée dans la dernière section.
@@ -46,8 +46,7 @@ $x\leftarrow{F_{f_u}(s,x)}$\;
 }
 return $x$\;
 %\end{scriptsize}
-\caption{Algorithme de génération de nombres pseudo aléatoires 
-à l'aide de la fonction chaotique $G_f$}
+\caption{PRNG basé sur les itérations unaires.}
 \label{CI Algorithm}
 \end{algorithm}
 
@@ -64,38 +63,43 @@ Il retourne une nouvelle configuration $x$ en appliquant
 la fonction $F_{f_u}$ vue au chapitre~\ref{chap:carachaos} et correspondant 
 à des itérations unaires.
 En interne, il exploite un algorithme de génération
-de nombres pseudo aléatoires
-\textit{Random}$(l)$. 
-Cet algorithme est utilisée dans notre générateur pour construire la longueur 
-de la stratégie ainsi que les éléments qui la composent.
-Pratiquement, il retourne des entiers dans $\llbracket 1 ; l \rrbracket$ 
-selon une distributionuniforme et utilise 
-\textit{XORshift} qui est une classe de générateurs de
-nombres pseudo aléatoires conçus par George Marsaglia. 
-
-
-L'algorithme \textit{XORshift} 
-exploite itérativement l'opérateur $\oplus$  
-sur des nombres obtenus grâce à des decalages de bits.
-Cet opérateur, défini dans $\Bool^{n}$, 
-applique la fonction \og  xor \fg{} 
-aux bits de même rang de ses deux opérandes (\og opération bit à bit \fg{}).
-Une instance de cette classe est donnée dans l'algorithme~\ref{XORshift} donné 
-ci-dessous.
-
-\begin{algorithm}[h]
-%\SetLine
-\KwIn{la configuration interne $z$ (un mot de 32-bit)}
-\KwOut{$y$ (un mot de 32-bits)}
-$z\leftarrow{z\oplus{(z\ll13)}}$\;
-$z\leftarrow{z\oplus{(z\gg17)}}$\;
-$z\leftarrow{z\oplus{(z\ll5)}}$\;
-$y\leftarrow{z}$\;
-return $y$\;
-\medskip
-\caption{Une boucle de l'algorithme de \textit{XORshift}}
-\label{XORshift}
-\end{algorithm}
+de nombres pseudo aléatoires donné en paramètre.
+Cela peut être n'importe quel PRNG (XORshift, Mersenne-Twister) dont la 
+sortie est uniformément distribuée.
+Notre approche vise a donner des propriétés de chaos a ce générateur embarqué.
+
+
+% \textit{Random}$(l)$. 
+% Cet algorithme est utilisée dans notre générateur pour construire la longueur 
+% de la stratégie ainsi que les éléments qui la composent.
+% Pratiquement, il retourne des entiers dans $\llbracket 1 ; l \rrbracket$ 
+% selon une distribution uniforme et utilise 
+% \textit{XORshift} qui est une classe de générateurs de
+% nombres pseudo aléatoires conçus par George Marsaglia. 
+
+
+% L'algorithme \textit{XORshift} 
+% exploite itérativement l'opérateur $\oplus$  
+% sur des nombres obtenus grâce à des décalages de bits.
+% Cet opérateur, défini dans $\Bool^{n}$, 
+% applique la fonction \og  xor \fg{} 
+% aux bits de même rang de ses deux opérandes (\og opération bit à bit \fg{}).
+% Une instance de cette classe est donnée dans l'algorithme~\ref{XORshift} donné 
+% ci-dessous.
+
+% \begin{algorithm}[h]
+% %\SetLine
+% \KwIn{la configuration interne $z$ (un mot de 32-bit)}
+% \KwOut{$y$ (un mot de 32-bits)}
+% $z\leftarrow{z\oplus{(z\ll13)}}$\;
+% $z\leftarrow{z\oplus{(z\gg17)}}$\;
+% $z\leftarrow{z\oplus{(z\ll5)}}$\;
+% $y\leftarrow{z}$\;
+% return $y$\;
+% \medskip
+% \caption{Une boucle de l'algorithme de \textit{XORshift}}
+% \label{XORshift}
+% \end{algorithm}
 
 
 Nous avons vu au chapitre~\ref{chap:carachaos} que 
@@ -118,8 +122,8 @@ si  la propriété suivante est établie:
 $$\exists k \in \mathds{N}^\ast, \forall i,j \in \llbracket 1; n \rrbracket, M_{ij}^k>0.$$
 
 On énonce enfin le théorème suivant liant les 
-vecteur de probabilite 
-et les chaines de Markov.
+vecteur de probabilités 
+et les chaînes de Markov.
 
 
  
@@ -128,11 +132,11 @@ et les chaines de Markov.
   Si $M$ est une matrice stochastique régulière, alors $M$ 
   possède un unique vecteur stationnaire de probabilités  $\pi$
   ($\pi.M = \pi$).
-  De plus, si $\pi^0$ est un {vecteurDeProbabilite} 
+  De plus, si $\pi^0$ est un {vecteur de probabilités} 
  et si on définit 
   la suite $(\pi^{k})^{k \in  \Nats}$ par 
   $\pi^{k+1} = \pi^k.M $ pour $k = 0, 1,\dots$ 
-  alors la {chaineDeMarkov} $\pi^k$
+  alors la {chaîne de Markov} $\pi^k$
   converge vers $\pi$ lorsque $k$ tend vers l'infini.
 \end{theorem}
 
@@ -178,7 +182,8 @@ que cela l'est pour $h$.
       \end{minipage}
       \label{fig:h:iter}
     }    \end{center}
-    \caption{Graphes d'itérations de fonctions booléennes dans $\Bool^2$}
+    \caption{Graphes des itérations unaires 
+      de fonctions booléennes dans $\Bool^2$}
     \label{fig:xplgraphIter}
   \end{figure}
 
@@ -228,7 +233,7 @@ Il est facile de vérifier que la matrice de transitions
 d'un tel processus 
 est $M_g   = \frac{1}{2} \check{M}_g$, 
 où $\check{M}_g$ est la matrice d' adjacence  donnée en 
-figure~\ref{fig:g:incidence} (voir ci-après), et similairement pour $M_h$. 
+figure~\ref{fig:g:incidence} (voir ci-après), et  de manière similaire pour $M_h$. 
 
 \begin{figure}[h]
   \begin{center}
@@ -293,12 +298,14 @@ de valeurs  soit suffisamment grand de sorte que
 le vecteur d’état de la chaîne de Markov
 ait une distribution suffisamment proche de la distribution uniforme.
 
-On énnonce directement le théorème suivant dont la preuve est donnée en annexes~\ref{anx:generateur}.
+On énonce directement le théorème suivant dont la preuve est donnée en annexes~\ref{anx:generateur}.
 
-\begin{theorem}
+\begin{theorem}\label{thm:prng:u}
   Soit $f: \Bool^{n} \rightarrow \Bool^{n}$, $\textsc{giu}(f)$ son 
   graphe d'itérations , $\check{M}$ sa matrice d'adjacence
-  et $M$ une matrice  $2^n\times 2^n$  définie comme dans le lemme précédent.
+  et $M$ une matrice  $2^n\times 2^n$  
+  définie par 
+  $M = \dfrac{1}{n} \check{M}$.
   Si $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe, alors 
   la sortie du générateur de nombres pseudo aléatoires détaillé par 
   l'algorithme~\ref{CI Algorithm} suit une loi qui 
@@ -311,7 +318,7 @@ On énnonce directement le théorème suivant dont la preuve est donnée en anne
 
 On reprend le graphe d'interactions $\Gamma(f)$ donné en figure~\ref{fig:G} à la section~\ref{sec:11FCT}.
 On a vu qu'il y avait  520 fonctions $f$ non isomorphes de graphe d'interactions  $\Gamma(f)$, 
-dont seulement 16 d'entre elles possédent une matrice doublement stochastique.
+dont seulement 16 d'entre elles possèdent une matrice doublement stochastique.
 
 La figure~\ref{fig:listfonction} explicite ces 16 fonctions en 
 définissant les images des éléments de la liste
@@ -332,15 +339,21 @@ ce vecteur au vecteur $\pi=(\frac{1}{2^n},\ldots,\frac{1}{2^n})$
 -- autrement dit, où la déviation par rapport à la distribution uniforme --
  est inférieure 
 à $10^{-4}$. En prenant le max pour tous les $e_i$, on obtient une valeur pour
- $b$. Ainsi, on a 
-$$
+ $b$. 
+Ainsi, on a 
+\begin{equation}
 b = \max\limits_{i \in \llbracket 1, 2^n \rrbracket} 
 \{
 \min \{
  t \mid t \in \Nats, \vectornorm{e_i M_f^t - \pi} < 10^{-4}
 \}
 \}. 
-$$
+\label{eq:mt:ex}
+\end{equation}
+
+\noindent Par la suite, ce nombre sera appelé \emph{temps de mélange}.
+
+
 
 \begin{figure}%[h]
   \begin{center}
@@ -426,8 +439,8 @@ L'expérience a montré notamment que toutes ces fonctions
 passent avec succès cette batterie de tests.
 
 Pour conclure cette section, on remarque que le générateur de nombres pseudo-aléatoires 
-a été prouvé chaotique pour $b=1$, \textit{i.e.}, lorqu'il y a une sortie pour chaque itération.
-Ceci est difficilement compatible avec la volonté d'avoir une sortie uniformémement distribuée: 
+a été prouvé chaotique pour $b=1$, \textit{i.e.}, lorsqu'il y a une sortie pour chaque itération.
+Ceci est difficilement compatible avec la volonté d'avoir une sortie uniformément distribuée: 
 se rapprocher de cette distribution nécessite en effet un nombre plus élevé
 d'itérations $b$ entre chaque sortie. Par exemple, dans l'exemple précédent, il est nécessaire 
 d'itérer au moins 42 fois entre chaque sortie pour suivre une loi uniforme à $10^{-4}$ près.
@@ -438,7 +451,7 @@ est l'objectif de la section suivante.
 \section{Un PRNG basé sur des itérations unaires qui est chaotique }
 
 Cette section présente un espace métrique adapté au générateur de nombres pseudo-aléatoires 
-pésenté à l'algorithme~\ref{CI Algorithm} et prouve ensuite que la fonction qu'il représente 
+présenté à l'algorithme~\ref{CI Algorithm} et prouve ensuite que la fonction qu'il représente 
 est chaotique sur cet espace.
 
 \subsection{Un espace  $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$    pour le PRNG de l'algorithme~\ref{CI Algorithm}}
@@ -455,7 +468,7 @@ Dans l'algorithme~\ref{CI Algorithm},
 $\mathsf{p}$ vaut 1 et  $p_1=b$. 
 
 
-Cet  algorithme peut être vu comme $b$ compostions de la function $F_{f_u}$.
+Cet  algorithme peut être vu comme $b$ compostions de la fonction $F_{f_u}$.
 Ceci peut cependant se généraliser à $p_i$, $p_i \in \mathcal{P}$,
 compositions fonctionnelles de $F_{f_u}$.
 Ainsi, pour chaque $p_i \in \mathcal{P}$, on construit la fonction
@@ -479,7 +492,7 @@ Le second élément est aussi une paire $((u^k)_{k \in \Nats},(v^k)_{k \in \Nats
 La suite $(v^k)_{k \in \Nats}$ définit combien d'itérations sont exécutées au temps $k$ entre deux sorties.
 La séquence $(u^k)_{k \in \Nats}$ définit quel élément est modifié (toujours au temps $k$).
 
-Définissons la fonction de décallage  $\Sigma$ pour chaque  élément de $\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$.
+Définissons la fonction de décalage  $\Sigma$ pour chaque  élément de $\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$.
 $$\begin{array}{cccc}
 \Sigma:&\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}} &\longrightarrow
 &\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}} \\
@@ -487,7 +500,7 @@ $$\begin{array}{cccc}
 \end{array}
 $$
 En d'autres termes, $\Sigma$ reçoit deux suites $u$ et $v$ et 
-effectue $v^0$ décallage vers la droite sur la première et un décallage vers la droite 
+effectue $v^0$ décalage vers la droite sur la première et un décalage vers la droite 
 sur la seconde.
 
 
@@ -528,7 +541,7 @@ $u^0, u^1, \hdots, u^{v^0-1}$ et  $\check{u}^0, \check{u}^1, \hdots, \check{u}^{
 suivie par les différences entre $u^{v^0}, u^{v^0+1}, \hdots, u^{v^1-1}$ et
 $\check{u}^{\check{v}^0}, \check{u}^{\check{v}^0+1}, \hdots, \check{u}^{\check{v}^1-1}$, etc.
 
-Plus précisemment, soit 
+Plus précisément, soit 
 $p = \lfloor \log_{10}{(\max{\mathcal{P}})}\rfloor +1$ et 
 $n = \lfloor \log_{10}{(\mathsf{N})}\rfloor +1$.
 \begin{itemize}
@@ -603,7 +616,7 @@ On prend alors le $v^0=1$ premier terme de $u$,
 chaque terme étant codé sur $n=2$ éléments, soit 06.
 Comme on itère au plus $\max{(\mathcal{P})}$ fois, 
 on complète cette valeur par des 0 de sorte que 
-la chaine obtenue a $n\times \max{(\mathcal{P})}=22$ éléments, soit:
+la chaîne obtenue a $n\times \max{(\mathcal{P})}=22$ éléments, soit:
 0600000000000000000000. 
 De manière similaire, les $\check{v}^0=2$ premiers
 termes de $\check{u}$ sont représentés par 
@@ -649,7 +662,7 @@ $d$ est une distance sur $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$.
 \subsection{Le graphe $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(f)$ étendant  $\textsc{giu}(f)$}
 
 A partir de  $\mathcal{P}=\{p_1, p_2, \hdots, p_\mathsf{p}\}$, on 
-definit le graphe orienté $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(f)$ de la manière suivante:
+définit le graphe orienté $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(f)$ de la manière suivante:
 \begin{itemize}
 \item les n{\oe}uds sont les  $2^\mathsf{N}$ configurations de $\mathds{B}^\mathsf{N}$,
 %\item Each vertex has $\displaystyle{\sum_{i=1}^\mathsf{p} \mathsf{N}^{p_i}}$ arrows, namely all the $p_1, p_2, \hdots, p_\mathsf{p}$ tuples 
@@ -670,7 +683,7 @@ Il n'est pas difficile de constater que $\textsc{giu}_{\{1\}}(f)$ est $\textsc{g
     \subfigure[$\textsc{giu}_{\{2\}}(h)$]{
       \begin{minipage}{0.30\textwidth}
         \begin{center}
-          \includegraphics[height=4cm]{images/h2prng.pdf}
+          \includegraphics[height=4cm]{images/h2prng}
         \end{center}
       \end{minipage}
       \label{fig:h2prng}
@@ -678,7 +691,7 @@ Il n'est pas difficile de constater que $\textsc{giu}_{\{1\}}(f)$ est $\textsc{g
     \subfigure[$\textsc{giu}_{\{3\}}(h)$]{
       \begin{minipage}{0.40\textwidth}
         \begin{center}
-          \includegraphics[height=4cm]{images/h3prng.pdf}
+          \includegraphics[height=4cm]{images/h3prng}
         \end{center}
       \end{minipage}
       \label{fig:h3prng}
@@ -686,15 +699,15 @@ Il n'est pas difficile de constater que $\textsc{giu}_{\{1\}}(f)$ est $\textsc{g
     \subfigure[$\textsc{giu}_{\{2,3\}}(h)$]{
       \begin{minipage}{0.40\textwidth}
         \begin{center}
-          \includegraphics[height=4cm]{images/h23prng.pdf}
+          \includegraphics[height=4cm]{images/h23prng}
         \end{center}
       \end{minipage}
       \label{fig:h23prng}
     }
 
     \end{center}
-    \caption{Graphes d'iterations $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(h)$ pour $h(x_1,x_2)=(\overline{x_1},x_1\overline{x_2}+\overline{x_1}x_2)$}
-    \label{fig:xplgraphIter}
+    \caption{Graphes d'itérations $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(h)$ pour $h(x_1,x_2)=(\overline{x_1},x_1\overline{x_2}+\overline{x_1}x_2)$}
+    %\label{fig:xplgraphIter}
   \end{figure}
 
 
@@ -708,7 +721,7 @@ $h(x_1,x_2)=(\overline{x_1},x_1\overline{x_2}+\overline{x_1}x_2)$ déjà détail
 Le graphe $\textsc{giu}_{\{1\}}(h)$ a déjà été donné à la figure~\ref{fig:h:iter}.
 Les graphes $\textsc{giu}_{\{2\}}(h)$, $\textsc{giu}_{\{3\}}(h)$  et
 $\textsc{giu}_{\{2,3\}}(h)$ sont respectivement donnés aux figure~\ref{fig:h2prng}, ~\ref{fig:h3prng} et ~\ref{fig:h23prng}. 
-Le premier (repsectivement le second) 
+Le premier (respectivement le second) 
 illustre le comportement du générateur lorsque qu'on itère exactement 
 2 fois (resp. 3 fois) puis qu'on affiche le résultat.
 Le dernier donnerait le comportement d'un générateur qui s'autoriserait 
@@ -720,7 +733,7 @@ Le dernier donnerait le comportement d'un générateur qui s'autoriserait
 \subsection{le PRNG de l'algorithme~\ref{CI Algorithm} est chaotique sur $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$}
 
 Le théorème suivant, similaire à celui dans $\mathcal{X}_u$ et dans $\mathcal{X}_g$
-est prouvé en annexes~\ref{}.
+est prouvé en annexes~\ref{anx:generateur}.
 
 \begin{theorem}
 La fonction $G_{f_u,\mathcal{P}}$ est chaotique sur 
@@ -728,6 +741,18 @@ La fonction $G_{f_u,\mathcal{P}}$ est chaotique sur
 graphe d'itération $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(f)$ 
 est fortement connexe.
 \end{theorem}
-
+On alors corollaire suivant 
+
+\begin{corollary}
+  Le générateur de nombre pseudo aléatoire détaillé 
+  à l'algorithme~\ref{CI Algorithm}
+  n'est pas chaotique 
+  sur $(\mathcal{X}_{\mathsf{N},\{b\}},d)$ pour la fonction négation.
+\end{corollary}
+\begin{proof}
+  Dans cet algorithme, $\mathcal{P}$ est le singleton $\{b\}$.
+  Que $b$ soit pair ou impair,  $\textsc{giu}_{\mathcal{b}}(f)$
+  n'est pas fortement connexe.
+\end{proof}