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index a57e19f..c1cf7d3 100644
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@@ -8,16 +8,70 @@ comme un générateur aléatoire.
 
 Ce chapitre  présente donc une application directe
 de la théorie développée ci-avant
-à la génération de nombres pseudo aléatoires. 
+à la génération de nombres pseudo-aléatoires. 
+La section~\ref{sec:PRNG:chaos:autres} présente un état de l'art (incomplet) de l'exploitation de 
+fonctions au comportement chaotique pour obtenir des PRNGs.
 La section~\ref{sub:prng:algo} 
-présente tout d'abord l'algorithme de PRNG. La contrainte de  
+présente ensuite l'algorithme de PRNG. La contrainte de  
 distribution uniforme de la sortie est discutée dans cette section.
-La chaoticité du générateur est ensuite étudiée en 
+La chaoticité du générateur est  étudiée en 
 section~\ref{prng:unaire:chaos}.
 La section~\ref{sub:prng:algo}  a été publiée à ~\cite{bcgw11:ip,bcgr11:ip}.
 
+\section{Quelques PRNGs basés sur des fonctions aux itérations chaotiques}\label{sec:PRNG:chaos:autres}
+
+Les PRNGs chaotiques (CPRNGs) sont des générateurs non linéaires définis par 
+$x_0 \in \mathbb{R}$ et $x_{t+1} = f(x_t)$, où  $f$ est une fonction au comportement chaotique.
+Les raisons qui expliquent l'intérêt de telles fonctions sont naturellement la sensibilité aux conditions initiales, 
+leur imprévisibilité\ldots Cependant, comme l'ordinateur sur lequel elles s'exécutent a une précision finie, 
+les générateurs qui les embarquent peuvent avoir des périodes arbitrairement courtes, 
+ne pas fournir de sortie selon une distribution uniforme\ldots
+D'un point de vue cryptographique, ces CPRNGs sont critiquables~\cite{wiggins2003introduction}.
+Réduire ces critiques est l'objectif de nombreux travaux de recherche reportés ci dessous.
+
+
+Parmi les suites simples classiquement embarquées dans les CPRNGs, on trouve principalement
+la suite logistique et 
+la suite de Hénon. La suite logistique~\cite{may1976simple} est définie de $[0;1]$ dans lui même par $x_{t+1} = r \times x_t(1-x_t)$ 
+avec $x_0 \in [0;1]$ et $3,57<r<4,0$.
+La suite de Hénon~\cite{henon1976two} de $A \times B$ dans lui même, avec $A$ et $B$ deux sous-ensembles de $\R$, 
+est définie par  
+$x_{t+1} = (1-a x_t^2)+y_t$  et $y_{t+1}= bx_{t+1}$, où $a$ et $b$ sont les paramètres canoniques. 
+Pour $a=1,4$, $b=0,3$, $A=[-1,5;1,5]$ et $B=-[0,4;0,4]$ le comportement de cette suite est chaotique.
+
+La suite logistique est utilisée dans l'article~\cite{dabal2011chaos} dans lequel 
+les auteurs utilisent une représentation des réels à virgule fixe.
+Les auteurs de~\cite{dabal2012fpga} comparent leur implantation de la suite logistique avec celle 
+de la suite de Hénon. 
+Les auteurs de~\cite{6868789} ont exploité la réécriture de la suite logistique sous la forme
+$x_{t+1} = (r \times x_t)-(r \times x_t^2)$ et la possibilité de paralléliser ceci 
+pour accroître la fréquence du PRNG.   
+Les auteurs de~\cite{liu2008improved} proposent de coupler deux suites logistiques,
+chacune étant paramétrée différemment ($x_0$, $r_1$ et  $y_0$, $r_2$ respectivement). L'idée principale 
+est de modifier iterrativement le paramètre $r_2$ à l'aide des itérés de $x_t$.
+Quant aux auteurs de~\cite{merahcoupling13}, ils couplent la suite logistique et celle de Hénon. 
+La première suite sert à sélectionner les éléments parmi ceux générés par la seconde.
+Les auteurs de~\cite{mao2006design}, combinent spatialement $L$ suites logistiques 
+et construisent ainsi $x_t(0)$, \dots, $x_t(L-1)$ selon l'équation suivante:
+\begin{equation}
+x_{t+1}(i) = 
+(1- \varepsilon) f(x_t(i)) + 
+\frac{\varepsilon}{2} 
+(f(x_t(i-1)) + f(x_t(i+1))),
+\label{eq:cml}
+\end{equation}
+\noindent où 
+$i \in \dfrac{\Z}{L\Z}$,
+$f$ est une adaptation de la suite logistique au cas discret,
+la graine $(X_0(0),\dots, X_0(L-1))$ et la pondération $\varepsilon$ sont fournies par l'utilisateur.
+ 
+Certaines équations différentielles ont été à la base de PRNGs chaotiques. 
+On pense aux équations de Lorenz~\cite{Lorenz1963}, à celles de Rössler~\cite{Rossler1976397}\ldots
+Celles-ci ont par exemple embarquées dans les PRNG dans les articles~\cite{Silva:2009:LLP:1592409.1592411}
+et~\cite{mansingka2013fibonacci} respectivement.
 
-\section{ Nombres pseudo aléatoires construits par itérations unaires}\label{sub:prng:algo}
+
+\section{ Nombres pseudo-aléatoires construits par itérations unaires}\label{sub:prng:algo}
 
 
 
@@ -44,8 +98,8 @@ return $x$\;
 \end{algorithm}
 
 \subsection{Algorithme d'un générateur}
-On peut penser à construire un générateur de nombres pseudo 
-aléatoires comme dans l'algorithme~\ref{CI Algorithm} donné ci-dessous.
+On peut penser à construire un générateur de nombres 
+pseudo-aléatoires comme dans l'algorithme~\ref{CI Algorithm} donné ci-dessous.
 
 
 Celui-ci prend en entrée: une fonction $f$;
@@ -56,7 +110,7 @@ la fonction $F_{f_u}$ (équation~\ref{eq:iterations:unaires}
 vue au chapitre~\ref{chap:carachaos}) et correspondant 
 à des itérations unaires.
 En interne, il exploite un algorithme de génération
-de nombres pseudo aléatoires donné en paramètre.
+de nombres pseudo-aléatoires donné en paramètre.
 Cela peut être n'importe quel PRNG (XORshift, Mersenne-Twister) dont la 
 sortie est uniformément distribuée.
 Notre approche vise a donner des propriétés de chaos à ce générateur embarqué.
@@ -139,7 +193,7 @@ et les chaînes de Markov.
 
 Montrons sur un exemple jouet à deux éléments 
 que ce théorème permet de vérifier si la sortie d'un générateur de 
-nombres pseudo aléatoires est uniformément distribuée ou non.
+nombres pseudo-aléatoires est uniformément distribuée ou non.
 Soient alors $g$ et $h$ deux fonctions  de $\Bool^2$
 définies par $g(x_1,x_2)=(\overline{x_1},x_1.\overline{x_2}) $
 et $h(x_1,x_2)=(\overline{x_1},x_1\overline{x_2}+\overline{x_1}x_2)$.
@@ -149,7 +203,7 @@ Leurs graphes d'itérations
 sont donc fortement connexes, ce que l'on peut vérifier aux figures~\ref{fig:g:iter} 
 et~\ref{fig:h:iter}.
 \textit{A priori}, ces deux fonctions pourraient être intégrées
-dans un générateur de nombres pseudo aléatoires. Montrons que ce n'est pas le cas pour $g$ et 
+dans un générateur de nombres pseudo-aléatoires. Montrons que ce n'est pas le cas pour $g$ et 
 que cela l'est pour $h$.
 
 
@@ -283,10 +337,10 @@ Alors d'après le théorème~\ref{th},
 pour n'importe quel vecteur initial de probabilités $\pi^0$, on a 
 $\lim_{k \to \infty} \pi^0 M^k_g = \pi_g$ et 
 $\lim_{k \to \infty} \pi^0 M^k_h = \pi_h$. 
-Ainsi la chaîne de Markov associé à $h$ tend vers une 
+Ainsi la chaîne de Markov associée à $h$ tend vers une 
 distribution uniforme, contrairement à celle associée à $g$.
 On en déduit que $g$ ne devrait pas être itérée dans 
-un générateur de nombres pseudo aléatoires.
+un générateur de nombres pseudo-aléatoires.
 Au contraire, 
 $h$ devrait pouvoir être embarquée dans l'algorithme~\ref{CI Algorithm}, 
 pour peu que le nombre $b$ d'itérations entre deux mesures successives 
@@ -303,7 +357,7 @@ On énonce directement le théorème suivant dont la preuve est donnée en annex
   définie par 
   $M = \dfrac{1}{n} \check{M}$.
   Si $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe, alors 
-  la sortie du générateur de nombres pseudo aléatoires détaillé par 
+  la sortie du générateur de nombres pseudo-aléatoires détaillé par 
   l'algorithme~\ref{CI Algorithm} suit une loi qui 
   tend vers la distribution uniforme si 
   et seulement si  $M$ est une matrice doublement stochastique.
@@ -325,7 +379,7 @@ Expliquons enfin comment a été calculé le nombre de la troisième
 colonne utilisé comme le paramètre $b$ 
 dans l'algorithme~\ref{CI Algorithm}.
 
-Soit $e_i$ le $i^{\textrm{ème}}$ vecteur la base canonique de $\R^{2^{n}}$. 
+Soit $e_i$ le $i^{\textrm{ème}}$ vecteur de la base canonique de $\R^{2^{n}}$. 
 Chacun des éléments $v_j$, $1 \le j \le 2^n$, 
 du vecteur $e_i M_f^t$ représente la probabilité 
 d'être dans la configuration $j$ après $t$ étapes du processus de Markov 
@@ -431,7 +485,7 @@ $\mathcal{F}_{16}$ &14, 15, 13, 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0
 
 La qualité des séquences aléatoires a été évaluée à travers la suite 
 de tests statistiques développée pour les générateurs de nombres 
-pseudo aléatoires par le 
+pseudo-aléatoires par le 
 \emph{National Institute of Standards and Technology} (NIST).
 L'expérience a montré notamment que toutes ces fonctions
 passent avec succès cette batterie de tests.
@@ -758,6 +812,8 @@ est fortement connexe.
 % \end{proof}
 
 
+
+
 \section{Conclusion}
 Ce chapitre a proposé un algorithme permettant de construire un 
 PRNG chaotique à partir d'un PRNG existant. Pour ce faire, il est nécessaire