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diff --git a/stegoyousra.tex b/stegoyousra.tex
index fdc3bf4..d931298 100644
--- a/stegoyousra.tex
+++ b/stegoyousra.tex
@@ -1,10 +1,10 @@
 La plupart des schÃ©mas de stÃ©ganographie sont conÃ§us de sorte  Ã  minimiser une 
 fonction de distorsion. Dans les exemples du chapitre prÃ©cÃ©dent, 
 ces fonctions de distorsion sont construites dans l'objectif de prÃ©server 
-les caractÃ©ristiques de l'images. 
+les caractÃ©ristiques de l'image. 
 On comprend aisÃ©ment que dans des rÃ©gions uniformes ou sur des bords clairement dÃ©finis,
 une modification mÃªme mineure de l'image est facilement dÃ©tectable.
-Au contraire dans les textures, le bruit ou les rÃ©gions chaotiques 
+Au contraire les textures, le bruit ou les rÃ©gions chaotiques 
 sont  difficiles Ã  modÃ©liser. Les caractÃ©ristiques des images 
 dont ces zones ont Ã©tÃ© modifiÃ©es sont ainsi similaires Ã  celles
 des images initiales.
@@ -17,17 +17,19 @@ pour les courbes de niveau.
 Pour peu qu'on sache dÃ©finir une fonction $P$ 
 qui associe Ã  chaque pixel $(x,y)$ sa valeur $P(x,y)$,
 les pixels tels que les dÃ©rivÃ©es secondes de $P$ ont des valeurs Ã©levÃ©es 
-sont des bon candidats pour contenir un bit du message.
+sont des bons candidats pour contenir un bit du message.
 Cependant, une telle fonction $P$ n'est connue que de maniÃ¨re discrÃ¨te,
 \textit{i.e.}, en un nombre fini de points. 
 Les dÃ©rivÃ©es premiÃ¨res et secondes ne peuvent donc pas Ãªtre Ã©valuÃ©es mathÃ©matiquement.
-Au mieux, on peut construire une fonction qui approxime ces $P$ sur cet ensemble 
+Au mieux, on peut construire une fonction qui approxime les 
+dÃ©rivÃ©es de $P$ sur cet ensemble 
 de pixels. Ordonner alors les pixels selon la matrice hessienne 
 (\textit{i.e.}, la matrice des dÃ©rivÃ©es secondes) n'est pas trivial puisque celle-ci 
 contient de nombreuses valeurs pour un seul pixel donnÃ©. 
 
 On verra dans ce chapitre comment des approximations des dÃ©rivÃ©es 
-premiÃ¨res et secondes pour des images numÃ©riques (Section~\ref{sec:gradient}) on peu Ãªtre
+premiÃ¨res et secondes pour des images numÃ©riques (Section~\ref{sec:gradient}) 
+ont pu Ãªtre
 obtenues.
 Deux propositions de dÃ©rivÃ©es secondes sont ensuite 
 donnÃ©es et prouvÃ©es (Section~\ref{sec:second} et Section~\ref{sec:poly}).
@@ -71,8 +73,9 @@ En un pixel $(x_0,y_0)$, plus les valeurs de cette matrice sont Ã©loignÃ©es de z
 plus le gradient varie en ce point. Ãvaluer ce type de matrice est ainsi primordial
 en stÃ©ganographie. Cependant cette tÃ¢che n'est pas aussi triviale qu'elle n'y 
 paraÃ®t puisque les images naturelles ne sont pas  dÃ©finies Ã  l'aide 
-de fonction diffÃ©rentiables de $\R^+\times \R^+$
-dans $\R^+$. La suite montre comment obtenir des approximations de telles matrices. 
+de fonctions diffÃ©rentiables de $\R^+\times \R^+$
+dans $\R^+$. 
+La suite montre comment obtenir des approximations de telles matrices. 
 
 \subsection{Approches classiques pour Ã©valuer le gradient dans des images}\label{sub:class:1}
 Dans ce contexte, les approches les plus utilisÃ©es pour Ã©valuer un gradient 
@@ -82,13 +85,13 @@ Chacune de ces  approches applique un produit de convolution $*$ entre un noyau
 $3\times 3$. Le rÃ©sultat 
  $A * K$ est une approximation du gradient horizontal
 \textit{i.e.}, $\dfrac{\partial P}{\partial x}$.
-Soit $K\rl$ le rÃ©sultat de la rotation  d'un angle $\pi/2$ sur $K$.
+Soit $K'$ le rÃ©sultat de la rotation d'un angle $\pi/2$ appliquÃ©e Ã  $K$.
 La composante verticale du gradient,  $\dfrac{\partial P}{\partial y}$ est obtenue 
-de maniÃ¨re similaire en Ã©valuant $A * K\rl$. Lorsqu'on applique ceci sur toute 
-la matrice image, on obtient peu ou prou une matrice de mÃªme taille pour chacune des 
+de maniÃ¨re similaire en Ã©valuant $A * K'$. Lorsqu'on applique ceci sur toute 
+la matrice image, on obtient  une matrice de mÃªme taille pour chacune des 
 dÃ©rivÃ©es partielles. 
 
-Les deux Ã©lÃ©ments de la premiÃ¨re ligne (respectivement de la seconde ligne) 
+Les deux Ã©lÃ©ments de la premiÃ¨re colonne (respectivement de la seconde) 
 de la matrice hessienne
 sont le rÃ©sultat du calcul du gradient sur la matrice $\dfrac{\partial P}{\partial x}$
 (resp. sur la matrice  $\dfrac{\partial P}{\partial y}$).
@@ -122,9 +125,9 @@ de gradient d'images}\label{sub:class:2}
 Il est connu que  
 $\dfrac{\partial^2 P}{\partial x \partial y} $ est Ã©gal Ã  
 $\dfrac{\partial^2 P}{\partial y \partial x}$ si 
-les mÃ©thode qui calculent le gradient et le gradient du gradient (la matrice hessienne)
+les mÃ©thodes qui calculent le gradient et le gradient du gradient (la matrice hessienne)
 sont les mÃªmes.
-Le tableau~\ref{table:hessian:usual} rÃ©sume les les noyaux 
+Le tableau~\ref{table:hessian:usual} rÃ©sume les noyaux 
 $K_{x^2}''$ et
 $K_{xy}''$  
 qui permettent de calculer respectivement 
@@ -235,15 +238,16 @@ pour chacun des opÃ©rateurs de gradient rappelÃ©s Ã  la section prÃ©cÃ©dente.
 
 \end{table}
 
-Le noyau $\textit{Ks}_{x^2}''$ permet de dÃ©tecter si le le pixel central 
-pixel central appartient Ã  une bord ``vertical'', mÃªme si celui contient du bruit,
-en considÃ©rant ces voisins verticaux. Ces derniers sont vraiment 
+Le noyau $\textit{Ks}_{x^2}''$ permet de dÃ©tecter si le 
+pixel central appartient Ã  un bord ``vertical'', mÃªme si celui-ci
+ contient du bruit,
+en considÃ©rant ses voisins verticaux. Ces derniers sont vraiment 
 pertinents dans un objectif de dÃ©tecter les bords. Cependant, leur lien avec 
 les lignes de niveau n'est pas direct. De plus tous les pixels qui sont dans la 
 deuxiÃ¨me et la quatriÃ¨me colonne de ce noyau sont ignorÃ©s.
 Le noyau de Prewitt a des propriÃ©tÃ©s similaires.
 Le noyau de diffÃ©rence centrale $\textit{Kc}_{x^2}''$ n'est pas influencÃ© par les 
-voisins verticaux du pixel central et peu paraÃ®tre plus adaptÃ© ici.
+voisins verticaux du pixel central et peut paraÃ®tre plus adaptÃ© ici.
 Cependant, le noyau $\textit{Kc}_{xy}''$ perd aussi les valeurs des pixels 
 qui sont alignÃ©s verticalement et diagonalement avec le pixel central.
 Enfin, le noyau de diffÃ©rence intermÃ©diaire  $\textit{Ki}_{x^2}''$ dÃ©cale
@@ -288,10 +292,10 @@ qui reprÃ©sente en effet les variation horizontales de la partie horizontale
 du gradient autour du pixel central. On obtient donc bien une approximation de 
 $\dfrac{\partial^2 P}{\partial x^2}$.
 Lorsque $n$ vaut 1, ce noyau est une version centrÃ©e du noyau horizontal de diffÃ©rence 
-intermÃ©diaires. $\textit{Ki}_{x^2}''$ Ã  un facteur  $1/2$ prÃ¨s).
+intermÃ©diaire. $\textit{Ki}_{x^2}''$ Ã  un facteur  $1/2$ prÃ¨s).
 Lorsque $n$ vaut 2, on retrouve $\textit{Kc}_{x^2}''$.
 
-Les variations verticales du gradient sont aussi obtenus en faisant subir 
+Les variations verticales du gradient sont aussi obtenues en faisant subir 
 Ã  $\textit{Ky}_{x^2}''$ une rotation d'angle  $\pi/2$.
 Les variations diagonales sont obtenues Ã  l'aide du gradient 
 $\textit{Ky}_{xy}''$ dÃ©fini par:
@@ -372,7 +376,7 @@ et de
 $\dfrac{\partial^2 P}{\partial y^2}$.
 
 La section suivante Ã©tudie la pertinence d'interpoler une image par un polynome 
-lorsqu'on cherche a obtenir ces dÃ©rivÃ©es secondes.
+lorsqu'on cherche Ã  obtenir ces dÃ©rivÃ©es secondes.
 
 
 \section{Interpolation polynomiale pour le calcul de la matrice hessienne}\label{sec:poly}
@@ -397,7 +401,7 @@ L(x,y) =
 \right)
 \end{array}
 \end{equation}
-On peut facilement prouver que les dÃ©rivÃ©es partielles  de $L$ selon $x$ est 
+On peut facilement prouver que la dÃ©rivÃ©e partielle  de $L$ selon $x$ est 
 \begin{equation}
 \begin{array}{l}
 \dfrac{\partial L}{\partial x} =  
@@ -454,7 +458,7 @@ P(i,j)
 \label{eq:deriv:poly:yx}
 \end{eqnarray}
 Ces dÃ©rivÃ©es secondes sont calculÃ©es pour chaque pixel central, \textit{i.e.} le pixel dont l'indice est  $(0,0)$ dans la fenÃªtre.
-En considÃ©rant cette particularisation, l'Ã©quation~(\ref{eq:deriv:poly:x2}) peut 
+En considÃ©rant cette particularisation, l'Ã©quation~(\ref{eq:deriv:poly:x2}) 
 se simplifie en 
 
 \begin{equation}
@@ -542,7 +546,7 @@ On remarque que pour $n=1$, le noyau est Ã©gal Ã  $Kc''_{xy}$.
 
 \section{Fonction de distorsion}\label{sec:distortion}
 Une fonction de distorsion associe Ã  chaque pixel  $(i,j)$ 
-le coÃ»t $\rho_{ij}$ du modification  par $\pm 1$. L'objectif est d'associer une 
+le coÃ»t $\rho_{ij}$ de modification  par $\pm 1$. L'objectif est d'associer une 
 valeur faible aux pixels dont toutes les dÃ©rivÃ©es secondes sont Ã©loignÃ©es de 0 
 et une valeur rÃ©dhibitoire sinon.
 Dans WOW comme dans  UNIWARD la fonction de distorsion est dÃ©finie par 
@@ -556,7 +560,7 @@ Dans WOW comme dans  UNIWARD la fonction de distorsion est dÃ©finie par
 \]
 oÃ¹ $p$ est un nombre nÃ©gatif et  
 $\xi_{ij}^h$ (resp. $\xi_{ij}^v$ et $\xi_{ij}^d$)
-reprÃ©sentent la pertinence horizontale (resp. verticale et diagonale) de modification.
+reprÃ©sente la pertinence horizontale (resp. verticale et diagonale) de modification.
 Une faible pertinence dans une direction signifie que l'embarquement 
 dans ce pixel est inappropriÃ©.
 La fonction de distorsion que l'on a retenu est une particularisation ($p=-1$) 
@@ -612,10 +616,9 @@ concentrent les changements.
 Les deux mÃ©thodes prÃ©sentÃ©es ici dÃ©pendent de noyaux dont la taille va jusqu'Ã   
 $(2N+1)\times(2N+1)$. Cette section montre comment Ã©valuer $N$ pour maximiser 
 le niveau de sÃ©curitÃ©.
-Pour chaque approche, 1,000 images stÃ©gos avec  
-$N=2$, $4$, $6$, $8$, $10$, $12$ et $14$ et dont les supports appartiennent 
-Ã  l'ensemble des 10000 images du challenge BOSS. 
-LA sÃ©curitÃ© de l'approche a Ã©tÃ© Ã©valuÃ©e avec le stÃ©ganalyseur 
+Pour chaque approche ($N=2$, $4$, $6$, $8$, $10$, $12$ et $14$),
+1000 images stÃ©gos du challenge BOSS ont Ã©tÃ© selectionnÃ©es.
+La sÃ©curitÃ© de l'approche a Ã©tÃ© Ã©valuÃ©e avec le stÃ©ganalyseur 
 Ensemble Classifier~\cite{DBLP:journals/tifs/KodovskyFH12}.
 Pour un taux d'embarquement   $\alpha$ Ã©gal soit Ã   $0.1$ ou soit Ã   $0.4$, 
 l'erreur moyenne de test (exprimÃ©e en pourcentage) a Ã©tÃ© calculÃ©e. 
@@ -623,7 +626,7 @@ Le tableau~\ref{table:choice:parameter} synthÃ©tise les rÃ©sultats.
 On observe que la taille $N=4$ (respectivement $N=12$) 
 permet d'obtenir des erreurs suffisamment Ã©levÃ©es pour l'approche basÃ©e sur $Ky$  
 (resp. pour celle basÃ©e sur  $Ko$). 
-Ces deux valeurs de paramÃ¨tre sont retenues par la suite.
+Ces deux valeurs de paramÃ¨tres sont retenues par la suite.
 
 \begin{table}[ht]
 \caption{Erreur moyenne de test en fonction de la taille du noyau}
