X-Git-Url: https://bilbo.iut-bm.univ-fcomte.fr/and/gitweb/hdrcouchot.git/blobdiff_plain/523864c862215a63c5133568a9771f5b8f60c89e..3759a997c005ffb313be135f98820410cb6061b4:/annexePreuveMarquagefldblement.tex?ds=inline

diff --git a/annexePreuveMarquagefldblement.tex b/annexePreuveMarquagefldblement.tex
index 2c7c1e1..a56ddc2 100644
--- a/annexePreuveMarquagefldblement.tex
+++ b/annexePreuveMarquagefldblement.tex
@@ -16,7 +16,7 @@ x_i \oplus x_{i-1} \textrm{ si $i$ est pair}
 Prouvons que la matrice de Markov associÃ©e est doublement stochastique par induction 
 sur la longueur $l$.
 Pour $l=1$ et $l=2$ la preuve est Ã©vidente.
-ConsidÃ©rons que le rÃ©sulat est Ã©tabli jusqu'Ã  $l=2k$ avec $k \in \Nats$.
+ConsidÃ©rons que le rÃ©sultat est Ã©tabli jusqu'Ã  $l=2k$ avec $k \in \Nats$.
 
 On montre d'abord que la double stochasticitÃ© est Ã©tablie pour $l=2k+1$.
 En suivant les notations introduites Ã  la section~\ref{anx:sccg}, soit
@@ -31,7 +31,7 @@ $(x_1,\dots,x_{2k},1) \to (x_1,\dots,x_{2k},0)$.
 Dans $\textsc{giu}(f_{2k+1})$, deux sortes d'arcs pointent vers $(x_1,\dots,x_{2k},0)$.
 Ceux qui sont de la forme $(y_1,\dots,y_{2k},0)$, oÃ¹ un seul des $y_i$ est diffÃ©rent de $x_i$, 
 et leur nombre est celui des arcs qui pointent vers $(x_1,\dots,x_{2k})$ dans $\textsc{giu}(f_{2k})$.
-L'arc $(x_1,\dots,x_{2k},0) \to (x_1,\dots,x_{2k},0)$ qui existe d'aprÃ¨s la dÃ©finition de $f_l$
+L'arc $(x_1,\dots,x_{2k},0) \to (x_1,\dots,x_{2k},0)$ qui existe d'aprÃ¨s la dÃ©finition de $f_l$.
 De mÃªme pour le nombre d'arcs dont l'extrÃ©mitÃ© est de la forme $(x_1,\dots,x_{2k},1)$.
 Par hypothÃ¨se d'induction, la chaÃ®ne de Markov associÃ©e Ã  $\textsc{giu}(f_{2k})$ 
 est doublement stochastique.
@@ -40,22 +40,22 @@ Ainsi tous les sommets $(x_1,\dots,x_{2k})$ ont le mÃªme nombre d'arcs entrants
 Montrons Ã  prÃ©sent la double stochasticitÃ© pour $l=2k+2$.
 La fonction $f_l$ est dÃ©finie par $f_l(x)= (\overline{x_1},x_2 \oplus x_{1},\dots,\overline{x_{2k+1}},x_{2k+2} \oplus x_{2k+1})$.  On se concentre sur  
 $\textsc{giu}(f_{2k+2})^0$ et   $\textsc{giu}(f_{2k+2})^1$ qui sont isomorphes Ã   $\textsc{giu}(f_{2k+1})$. 
-Parmi les configurations de  $\Bool^{2k+2}$, seuls  quatre suffixes de longueur 2 peuvent appraÃ®tre:
+Parmi les configurations de  $\Bool^{2k+2}$, seuls  quatre suffixes de longueur 2 peuvent apparaÃ®tre:
 $00$, $10$, $11$ et $01$.
 Puisque 
 $f_{2k+2}(\dots,0,0)_{2k+2}=0$, $f_{2k+2}(\dots,1,0)_{2k+2}=1$, 
-$f_{2k+2}(\dots,1,1)_{2k+2}=0$ et  $f_{2k+2}(\dots,0,1)_{2k+2}=1$, le nombre d'arcs dont les extrÃ©mitÃ©s est  
+$f_{2k+2}(\dots,1,1)_{2k+2}=0$ et  $f_{2k+2}(\dots,0,1)_{2k+2}=1$, le nombre d'arcs dont les extrÃ©mitÃ©s sont  
 \begin{itemize}
 \item $(x_1,\dots,x_{2k},0,0)$
 est le mÃªme que celui dont l'extrÃ©mitÃ© est de la forme  $(x_1,\dots,x_{2k},0)$ dans $\textsc{giu}(f_{2k+1})$
- auquel on ajoute 1 (une boucle autours des configurations $(x_1,\dots,x_{2k},0,0)$);
+ auquel on ajoute 1 (une boucle autour des configurations $(x_1,\dots,x_{2k},0,0)$);
 \item $(x_1,\dots,x_{2k},1,0)$
 est le mÃªme que celui dont l'extrÃ©mitÃ© est de la forme $(x_1,\dots,x_{2k},0)$ in $\textsc{giu}(f_{2k+1})$ 
  auquel on ajoute 1 (l'arc entre les configurations  $(x_1,\dots,x_{2k},1,1)$ et les  configurations 
 $(x_1,\dots,x_{2k},1,0)$); 
 \item $(x_1,\dots,x_{2k},0,1)$
 est le mÃªme que celui dont l'extrÃ©mitÃ© est de la forme $(x_1,\dots,x_{2k},0)$ in $\textsc{giu}(f_{2k+1})$ 
- auquel on ajoute 1 (une boucle autours des configurations $(x_1,\dots,x_{2k},0,1)$);
+ auquel on ajoute 1 (une boucle autour des configurations $(x_1,\dots,x_{2k},0,1)$);
 \item $(x_1,\dots,x_{2k},1,1)$
 est le mÃªme que celui dont l'extrÃ©mitÃ© est de la forme $(x_1,\dots,x_{2k},1)$ in $\textsc{giu}(f_{2k+1})$
 auquel on ajoute 1 (l'arc entre les configurations  
