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index 432991f..6832d33 100644
--- a/15RairoGen.tex
+++ b/15RairoGen.tex
@@ -8,16 +8,82 @@ comme un gÃ©nÃ©rateur alÃ©atoire.
 
 Ce chapitre  prÃ©sente donc une application directe
 de la thÃ©orie dÃ©veloppÃ©e ci-avant
-Ã  la gÃ©nÃ©ration de nombres pseudo alÃ©atoires. 
+Ã  la gÃ©nÃ©ration de nombres pseudo-alÃ©atoires. 
+La section~\ref{sec:PRNG:chaos:autres} prÃ©sente un Ã©tat de l'art (incomplet) de l'exploitation de 
+fonctions au comportement chaotique pour obtenir des PRNGs.
 La section~\ref{sub:prng:algo} 
-prÃ©sente tout d'abord l'algorithme de PRNG. La contrainte de  
+prÃ©sente ensuite l'algorithme de PRNG. La contrainte de  
 distribution uniforme de la sortie est discutÃ©e dans cette section.
-La chaoticitÃ© du gÃ©nÃ©rateur est ensuite Ã©tudiÃ©e en 
+La chaoticitÃ© du gÃ©nÃ©rateur est  Ã©tudiÃ©e en 
 section~\ref{prng:unaire:chaos}.
 La section~\ref{sub:prng:algo}  a Ã©tÃ© publiÃ©e Ã  ~\cite{bcgw11:ip,bcgr11:ip}.
 
+\section{Quelques PRNGs basÃ©s sur des fonctions aux itÃ©rations chaotiques}\label{sec:PRNG:chaos:autres}
+
+Les PRNGs chaotiques (CPRNGs) sont des gÃ©nÃ©rateurs non linÃ©aires dÃ©finis par 
+$x_0 \in \mathbb{R}$ et $x_{t+1} = f(x_t)$, oÃ¹  $f$ est une fonction au comportement chaotique.
+Les raisons qui expliquent l'intÃ©rÃªt de telles fonctions sont naturellement la sensibilitÃ© aux conditions initiales, 
+leur imprÃ©visibilitÃ©\ldots Cependant, comme l'ordinateur sur lequel elles s'exÃ©cutent a une prÃ©cision finie, 
+les gÃ©nÃ©rateurs qui les embarquent peuvent avoir des pÃ©riodes arbitrairement courtes, 
+ne pas fournir de sortie selon une distribution uniforme\ldots
+D'un point de vue cryptographique, ces CPRNGs sont critiquables~\cite{wiggins2003introduction}.
+RÃ©duire ces critiques est l'objectif de nombreux travaux de recherche reportÃ©s ci dessous.
+
+
+Parmi les suites simples classiquement embarquÃ©es dans les CPRNGs, on trouve principalement
+la suite logistique,  
+la suite de HÃ©non. 
+La suite logistique~\cite{may1976simple} est dÃ©finie de $[0;1]$ dans lui mÃªme par $x_{t+1} = r \times x_t(1-x_t)$ 
+avec $x_0 \in [0;1]$ et $3,57<r<4,0$.
+La suite de HÃ©non~\cite{henon1976two} de $A \times B$ dans lui mÃªme, avec $A$ et $B$ deux sous-ensembles de $\R$, 
+est dÃ©finie par  
+$x_{t+1} = (1-a x_t^2)+y_t$  et $y_{t+1}= bx_{t+1}$, oÃ¹ $a$ et $b$ sont les paramÃ¨tres canoniques. 
+Pour $a=1,4$, $b=0,3$, $A=[-1,5;1,5]$ et $B=-[0,4;0,4]$ le comportement de cette suite est chaotique.
+
+La suite logistique est utilisÃ©e dans l'article~\cite{dabal2011chaos} dans lequel 
+les auteurs utilisent une reprÃ©sentation des rÃ©els Ã  virgule fixe.
+Les auteurs de~\cite{dabal2012fpga} comparent leur implantation de la suite logistique avec celle 
+de la suite de HÃ©non. 
+Les auteurs de~\cite{6868789} ont exploitÃ© la rÃ©Ã©criture de la suite logistique sous la forme
+$x_{t+1} = (r \times x_t)-(r \times x_t^2)$ et la possibilitÃ© de parallÃ©liser ceci 
+pour accroÃ®tre la frÃ©quence du PRNG.   
+Les auteurs de~\cite{liu2008improved} proposent de coupler deux suites logistiques,
+chacune Ã©tant paramÃ©trÃ©e diffÃ©remment ($x_0$, $r_1$ et  $y_0$, $r_2$ respectivement). L'idÃ©e principale 
+est de modifier iterrativement le paramÃ¨tre $r_2$ Ã  l'aide des itÃ©rÃ©s de $x_t$.
+Quant aux auteurs de~\cite{merahcoupling13}, ils couplent la suite logistique et celle de HÃ©non. 
+La premiÃ¨re suite sert Ã  sÃ©lectionner les Ã©lÃ©ments parmi ceux gÃ©nÃ©rÃ©s par la seconde.
+Les auteurs de~\cite{mao2006design}, combinent spatialement $L$ suites logistiques 
+et construisent ainsi $x_t(0)$, \dots, $x_t(L-1)$ selon l'Ã©quation suivante:
+\begin{equation}
+x_{t+1}(i) = 
+(1- \varepsilon) f(x_t(i)) + 
+\frac{\varepsilon}{2} 
+(f(x_t(i-1)) + f(x_t(i+1))),
+\label{eq:cml}
+\end{equation}
+\noindent oÃ¹ 
+$i \in \dfrac{\Z}{L\Z}$,
+$f$ est une adaptation de la suite logistique au cas discret,
+la graine $(X_0(0),\dots, X_0(L-1))$ et la pondÃ©ration $\varepsilon$ sont fournies par l'utilisateur.
+ 
+
+RenÃ© Lozi a aussi Ã©tudiÃ© la construction de PRNGs en couplant 
+des suites de Lozi~\cite{espinelrojas:hal-00622989} (qui sont une variation des suites de HÃ©non: $x^2_t$ est remplacÃ© par $| x_t|$),
+la suite tente~\cite{DBLP:journals/ijbc/Lozi12} et en extrayant des 
+sous-suites pour construire la sortie du PRNG~\cite{lozi:hal-00813087}. 
+ 
+ 
+
 
-\section{ Nombres pseudo alÃ©atoires construits par itÃ©rations unaires}\label{sub:prng:algo}
+Certaines Ã©quations diffÃ©rentielles ont Ã©tÃ© Ã  la base de PRNGs chaotiques. 
+On pense aux Ã©quations de Lorenz~\cite{Lorenz1963}, Ã  celles de RÃ¶ssler~\cite{Rossler1976397}\ldots
+Celles-ci ont par exemple embarquÃ©es dans les PRNG dans les articles~\cite{Silva:2009:LLP:1592409.1592411}
+et~\cite{mansingka2013fibonacci} respectivement.
+
+
+
+
+\section{Nombres pseudo-alÃ©atoires construits par itÃ©rations unaires}\label{sub:prng:algo}
 
 
 
@@ -44,8 +110,8 @@ return $x$\;
 \end{algorithm}
 
 \subsection{Algorithme d'un gÃ©nÃ©rateur}
-On peut penser Ã  construire un gÃ©nÃ©rateur de nombres pseudo 
-alÃ©atoires comme dans l'algorithme~\ref{CI Algorithm} donnÃ© ci-dessous.
+On peut penser Ã  construire un gÃ©nÃ©rateur de nombres 
+pseudo-alÃ©atoires comme dans l'algorithme~\ref{CI Algorithm} donnÃ© ci-dessous.
 
 
 Celui-ci prend en entrÃ©e: une fonction $f$;
@@ -56,10 +122,10 @@ la fonction $F_{f_u}$ (Ã©quation~\ref{eq:iterations:unaires}
 vue au chapitre~\ref{chap:carachaos}) et correspondant 
 Ã  des itÃ©rations unaires.
 En interne, il exploite un algorithme de gÃ©nÃ©ration
-de nombres pseudo alÃ©atoires donnÃ© en paramÃ¨tre.
+de nombres pseudo-alÃ©atoires donnÃ© en paramÃ¨tre.
 Cela peut Ãªtre n'importe quel PRNG (XORshift, Mersenne-Twister) dont la 
 sortie est uniformÃ©ment distribuÃ©e.
-Notre approche vise a donner des propriÃ©tÃ©s de chaos a ce gÃ©nÃ©rateur embarquÃ©.
+Notre approche vise a donner des propriÃ©tÃ©s de chaos Ã  ce gÃ©nÃ©rateur embarquÃ©.
 
 
 % \textit{Random}$(l)$. 
@@ -97,11 +163,11 @@ Notre approche vise a donner des propriÃ©tÃ©s de chaos a ce gÃ©nÃ©rateur embarqu
 
 Nous avons vu au chapitre~\ref{chap:carachaos} que 
 $G_{f_u}$ est chaotique dans l'espace $\mathcal{X}_u$ 
-si et seulement le graphe d'itÃ©rations $\textsc{giu}(f)$ 
+si et seulement si le graphe d'itÃ©rations $\textsc{giu}(f)$ 
 est fortement connexe.
 Pour $b=1$, l'algorithme itÃ¨re la fonction $F_{f_u}$.
 
-Pour simuler au mieux l'alÃ©a, un bon gÃ©nÃ©rateur de nombre pseudo-alÃ©atoires
+Pour simuler au mieux l'alÃ©a, un bon gÃ©nÃ©rateur de nombres pseudo-alÃ©atoires
 se doit de fournir  des nombres selon une distribution uniforme.
 Regardons comment l'uniformitÃ© de la distribution 
 contraint la fonction $f$ Ã  itÃ©rer.
@@ -118,7 +184,7 @@ si  la propriÃ©tÃ© suivante est Ã©tablie:
 $$\exists k \in \mathds{N}^\ast, \forall i,j \in \llbracket 1; n \rrbracket, M_{ij}^k>0.$$
 
 On Ã©nonce le thÃ©orÃ¨me classique suivant liant les 
-vecteur de probabilitÃ©s 
+vecteurs de probabilitÃ©s 
 et les chaÃ®nes de Markov.
 
 
@@ -139,8 +205,8 @@ et les chaÃ®nes de Markov.
 
 Montrons sur un exemple jouet Ã  deux Ã©lÃ©ments 
 que ce thÃ©orÃ¨me permet de vÃ©rifier si la sortie d'un gÃ©nÃ©rateur de 
-nombres pseudo alÃ©atoires est uniformÃ©ment distribuÃ©e ou non.
-Soit alors $g$ et $h$ deux fonctions  de $\Bool^2$
+nombres pseudo-alÃ©atoires est uniformÃ©ment distribuÃ©e ou non.
+Soient alors $g$ et $h$ deux fonctions  de $\Bool^2$
 dÃ©finies par $g(x_1,x_2)=(\overline{x_1},x_1.\overline{x_2}) $
 et $h(x_1,x_2)=(\overline{x_1},x_1\overline{x_2}+\overline{x_1}x_2)$.
 Leurs graphes d'interactions donnÃ©s en figure \ref{fig:g:inter} et \ref{fig:h:inter}
@@ -149,7 +215,7 @@ Leurs graphes d'itÃ©rations
 sont donc fortement connexes, ce que l'on peut vÃ©rifier aux figures~\ref{fig:g:iter} 
 et~\ref{fig:h:iter}.
 \textit{A priori}, ces deux fonctions pourraient Ãªtre intÃ©grÃ©es
-dans un gÃ©nÃ©rateur de nombres pseudo alÃ©atoires. Montrons que ce n'est pas le cas pour $g$ et 
+dans un gÃ©nÃ©rateur de nombres pseudo-alÃ©atoires. Montrons que ce n'est pas le cas pour $g$ et 
 que cela l'est pour $h$.
 
 
@@ -283,10 +349,10 @@ Alors d'aprÃ¨s le thÃ©orÃ¨me~\ref{th},
 pour n'importe quel vecteur initial de probabilitÃ©s $\pi^0$, on a 
 $\lim_{k \to \infty} \pi^0 M^k_g = \pi_g$ et 
 $\lim_{k \to \infty} \pi^0 M^k_h = \pi_h$. 
-Ainsi la chaÃ®ne de Markov associÃ© Ã  $h$ tend vers une 
+Ainsi la chaÃ®ne de Markov associÃ©e Ã  $h$ tend vers une 
 distribution uniforme, contrairement Ã  celle associÃ©e Ã  $g$.
 On en dÃ©duit que $g$ ne devrait pas Ãªtre itÃ©rÃ©e dans 
-un gÃ©nÃ©rateur de nombres pseudo alÃ©atoires.
+un gÃ©nÃ©rateur de nombres pseudo-alÃ©atoires.
 Au contraire, 
 $h$ devrait pouvoir Ãªtre embarquÃ©e dans l'algorithme~\ref{CI Algorithm}, 
 pour peu que le nombre $b$ d'itÃ©rations entre deux mesures successives 
@@ -294,16 +360,16 @@ de valeurs  soit suffisamment grand de sorte que
 le vecteur dâÃ©tat de la chaÃ®ne de Markov
 ait une distribution suffisamment proche de la distribution uniforme.
 
-On Ã©nonce directement le thÃ©orÃ¨me suivant dont la preuve est donnÃ©e en annexes~\ref{anx:generateur}.
+On Ã©nonce directement le thÃ©orÃ¨me suivant dont la preuve est donnÃ©e en annexe~\ref{anx:generateur}.
 
 \begin{restatable}[UniformitÃ© de la sortie de l'algorithme~\ref{CI Algorithm}]{theorem}{PrngCIUniforme}\label{thm:prng:u}
-  Soit $f: \Bool^{n} \rightarrow \Bool^{n}$, $\textsc{giu}(f)$ son 
+  Soit $f: \Bool^{\mathsf{N}} \rightarrow \Bool^{\mathsf{N}}$, $\textsc{giu}(f)$ son 
   graphe d'itÃ©rations , $\check{M}$ sa matrice d'adjacence
   et $M$ une matrice  $2^n\times 2^n$  
   dÃ©finie par 
-  $M = \dfrac{1}{n} \check{M}$.
+  $M = \dfrac{1}{\mathsf{N}} \check{M}$.
   Si $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe, alors 
-  la sortie du gÃ©nÃ©rateur de nombres pseudo alÃ©atoires dÃ©taillÃ© par 
+  la sortie du gÃ©nÃ©rateur de nombres pseudo-alÃ©atoires dÃ©taillÃ© par 
   l'algorithme~\ref{CI Algorithm} suit une loi qui 
   tend vers la distribution uniforme si 
   et seulement si  $M$ est une matrice doublement stochastique.
@@ -325,22 +391,22 @@ Expliquons enfin comment a Ã©tÃ© calculÃ© le nombre de la troisiÃ¨me
 colonne utilisÃ© comme le paramÃ¨tre $b$ 
 dans l'algorithme~\ref{CI Algorithm}.
 
-Soit $e_i$ le $i^{\textrm{Ã¨me}}$ vecteur la base canonique de $\R^{2^{n}}$. 
-Chacun des Ã©lÃ©ments $v_j$, $1 \le j \le 2^n$, 
+Soit $e_i$ le $i^{\textrm{Ã¨me}}$ vecteur de la base canonique de $\R^{2^{\mathsf{N}}}$. 
+Chacun des Ã©lÃ©ments $v_j$, $1 \le j \le 2^{\mathsf{N}}$, 
 du vecteur $e_i M_f^t$ reprÃ©sente la probabilitÃ© 
 d'Ãªtre dans la configuration $j$ aprÃ¨s $t$ Ã©tapes du processus de Markov 
 associÃ© Ã  $\textsc{giu}(f)$ en partant de la configuration $i$.   
 Le nombre $\min \{
  t \mid t \in \Nats, \vectornorm{e_i M_f^t - \pi} < 10^{-4}
 \}$ reprÃ©sente le plus petit nombre d'itÃ©rations oÃ¹ la distance de 
-ce vecteur au vecteur $\pi=(\frac{1}{2^n},\ldots,\frac{1}{2^n})$
+ce vecteur au vecteur $\pi=(\frac{1}{2^{\mathsf{N}}},\ldots,\frac{1}{2^{\mathsf{N}}})$
 -- autrement dit, oÃ¹ la dÃ©viation par rapport Ã  la distribution uniforme --
  est infÃ©rieure 
 Ã  $10^{-4}$. En prenant le max pour tous les $e_i$, on obtient une valeur pour
  $b$. 
 Ainsi, on a 
 \begin{equation}
-b = \max\limits_{i \in \llbracket 1, 2^n \rrbracket} 
+b = \max\limits_{i \in \llbracket 1, 2^{\mathsf{N}} \rrbracket} 
 \left\{
 \min \left\{
  t \mid t \in \Nats, \vectornorm{e_i M_f^t - \pi} < 10^{-4}
@@ -431,7 +497,7 @@ $\mathcal{F}_{16}$ &14, 15, 13, 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0
 
 La qualitÃ© des sÃ©quences alÃ©atoires a Ã©tÃ© Ã©valuÃ©e Ã  travers la suite 
 de tests statistiques dÃ©veloppÃ©e pour les gÃ©nÃ©rateurs de nombres 
-pseudo alÃ©atoires par le 
+pseudo-alÃ©atoires par le 
 \emph{National Institute of Standards and Technology} (NIST).
 L'expÃ©rience a montrÃ© notamment que toutes ces fonctions
 passent avec succÃ¨s cette batterie de tests.
@@ -473,12 +539,12 @@ $F_{{f_u},p_i} :  \mathds{B}^\mathsf{N} \times [\mathsf{N}]^{p_i}
 \rightarrow \mathds{B}^\mathsf{N}$ dÃ©finie par
 
 $$
-F_{f_u,p_i} (x,(u^0, u^1, \hdots, u^{p_i-1}))  \mapsto 
+F_{f_u,p_i} (x,(u^0, u^1, \hdots, u^{p_i-1}))  = 
 F_{f_u}(\hdots (F_{f_u}(F_{f_u}(x,u^0), u^1), \hdots), u^{p_i-1}).
 $$
 
 
-on construit l'espace 
+On construit l'espace 
  $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}=  \mathds{B}^\mathsf{N} \times \mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$, oÃ¹
 $\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}=
 [\mathsf{N}]^{\Nats}\times 
@@ -504,7 +570,7 @@ sur la seconde.
 Ainsi, les  sorties  $(y^0, y^1, \hdots )$ produites par le gÃ©nÃ©rateur dÃ©taillÃ© dans 
 l'algorithme~\ref{CI Algorithm}
 sont les premiers  composants des itÃ©rations $X^0 = (x^0, (u,v))$ et $\forall n \in \mathds{N}, 
-X^{n+1} = G_{f_u,\mathcal{P}}(X^n)$ dans $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$ oÃ¹
+X^{n+1} = G_{f_u,\mathcal{P}}(X^{\mathsf{N}})$ dans $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$ oÃ¹
 $G_{f_u,\mathcal{P}}$  est dÃ©finie par:
 
 
@@ -528,7 +594,7 @@ oÃ¹ $s=(u,v)$ et $\check{s}=(\check{u},\check{v})$ sont dans $ \mathds{S}_{\math
 \mathcal{S}_{\llbracket 1, \mathsf{N} \rrbracket} \times \mathcal{S}_\mathcal{P}$. 
 \begin{enumerate}
 \item $e$ et $\check{e}$ sont des entiers appartenant Ã  $\llbracket 0, 2^{\mathsf{N}-1} \rrbracket$. 
-La distance de Hamming $d_{\mathds{B}^\mathsf{N}}$ sur entre les 
+La distance de Hamming $d_{\mathds{B}^\mathsf{N}}$ entre les 
 dÃ©compositions binaires de $e$ et de $\check{e}$ (\textit{i.e.}, le 
 le nombre de bits qu'elles ont de diffÃ©rent) constitue 
 la partie entiÃ¨re de $d(X,\check{X})$.
@@ -558,7 +624,7 @@ jusqu'Ã  atteindre
 $p+n\times \max{(\mathcal{P})}$ Ã©lÃ©ments.
 \item Si $v^0<\check{v}^0$, alors les $ \max{(\mathcal{P})}$  blocs de $n$
 Ã©lÃ©ments sont $|u^0-\check{u}^0|$, ..., $|u^{v^0-1}-\check{u}^{v^0-1}|$,
-$\check{u}^{v^0}$ (sur $n$ Ã©lÃ©ments), ..., $\check{u}^{\check{v}^0-1}$ (sur $n$ Ã©lÃ©ments), suivi par des 0, si besoin.
+$\check{u}^{v^0}$ (sur $n$ Ã©lÃ©ments), ..., $\check{u}^{\check{v}^0-1}$ (sur $n$ Ã©lÃ©ments), suivis par des 0, si besoin.
 \item Le cas $v^0>\check{v}^0$ est similaire, et donc omis
 \end{enumerate}
 \item Les $p$ suivants sont $|v^1-\check{v}^1|$, etc.
@@ -615,7 +681,7 @@ On prend alors le $v^0=1$ premier terme de $u$,
 chaque terme Ã©tant codÃ© sur $n=2$ Ã©lÃ©ments, soit 06.
 Comme on itÃ¨re au plus $\max{(\mathcal{P})}$ fois, 
 on complÃ¨te cette valeur par des 0 de sorte que 
-la chaÃ®ne obtenue a $n\times \max{(\mathcal{P})}=22$ Ã©lÃ©ments, soit:
+la chaÃ®ne obtenue ait $n\times \max{(\mathcal{P})}=22$ Ã©lÃ©ments, soit:
 0600000000000000000000. 
 De maniÃ¨re similaire, les $\check{v}^0=2$ premiers
 termes de $\check{u}$ sont reprÃ©sentÃ©s par 
@@ -652,7 +718,7 @@ la sÃ©quence.
 
 
 
-On a la proposition suivante, qui est dÃ©montrÃ©e en annexes~\ref{anx:generateur}.
+On a la proposition suivante, qui est dÃ©montrÃ©e en annexe~\ref{anx:generateur}.
 
 
 \begin{restatable}[Une distance dans $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$]{theorem}{distancedsxnp}
@@ -722,12 +788,12 @@ $h(x_1,x_2)=(\overline{x_1},x_1\overline{x_2}+\overline{x_1}x_2)$ dÃ©jÃ  dÃ©tail
 
 Le graphe $\textsc{giu}_{\{1\}}(h)$ a dÃ©jÃ  Ã©tÃ© donnÃ© Ã  la figure~\ref{fig:h:iter}.
 Les graphes $\textsc{giu}_{\{2\}}(h)$, $\textsc{giu}_{\{3\}}(h)$  et
-$\textsc{giu}_{\{2,3\}}(h)$ sont respectivement donnÃ©s aux figure~\ref{fig:h2prng}, ~\ref{fig:h3prng} et ~\ref{fig:h23prng}. 
+$\textsc{giu}_{\{2,3\}}(h)$ sont respectivement donnÃ©s aux figures~\ref{fig:h2prng}, ~\ref{fig:h3prng} et ~\ref{fig:h23prng}. 
 Le premier (respectivement le second) 
 illustre le comportement du gÃ©nÃ©rateur lorsque qu'on itÃ¨re exactement 
 2 fois (resp. 3 fois) puis qu'on affiche le rÃ©sultat.
 Le dernier donnerait le comportement d'un gÃ©nÃ©rateur qui s'autoriserait 
-Ã  itÃ©rer en interne systÃ©matiquement 2 ou trois fois avant de retourner un rÃ©sultat.
+Ã  itÃ©rer en interne systÃ©matiquement 2 ou 3 fois avant de retourner un rÃ©sultat.
 
 \end{xpl}
 
@@ -735,12 +801,12 @@ Le dernier donnerait le comportement d'un gÃ©nÃ©rateur qui s'autoriserait
 \subsection{le PRNG de l'algorithme~\ref{CI Algorithm} est chaotique sur $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$}
 
 Le thÃ©orÃ¨me suivant, similaire Ã  ceux dans $\mathcal{X}_u$ et dans $\mathcal{X}_g$
-est prouvÃ© en annexes~\ref{anx:generateur}.
+est prouvÃ© en annexe~\ref{anx:generateur}.
 
-\begin{restatable}[Conditions pour la choticitÃ© de $G_{f_u,\mathcal{P}}$]{theorem}{thmchoticitgfp}
+\begin{restatable}[Conditions pour la chaoticitÃ© de $G_{f_u,\mathcal{P}}$]{theorem}{thmchoticitgfp}
 La fonction $G_{f_u,\mathcal{P}}$ est chaotique sur 
  $(\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}},d)$ si et seulement si 
-le graphe d'itÃ©ration $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(f)$ 
+le graphe d'itÃ©rations $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(f)$ 
 est fortement connexe.
 \end{restatable}
 % On alors corollaire suivant 
@@ -758,6 +824,8 @@ est fortement connexe.
 % \end{proof}
 
 
+
+
 \section{Conclusion}
 Ce chapitre a proposÃ© un algorithme permettant de construire un 
 PRNG chaotique Ã  partir d'un PRNG existant. Pour ce faire, il est nÃ©cessaire 
