X-Git-Url: https://bilbo.iut-bm.univ-fcomte.fr/and/gitweb/hdrcouchot.git/blobdiff_plain/5307c38b9fdbec499a398c994ee36eb2ac51b2fb..3759a997c005ffb313be135f98820410cb6061b4:/11FCT.tex diff --git a/11FCT.tex b/11FCT.tex index 5c7747a..498af15 100644 --- a/11FCT.tex +++ b/11FCT.tex @@ -55,19 +55,39 @@ $f_j$ et qui permet de n'engendrer que des fonctions $f$ dont le graphe d'itérations $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe. -\begin{theorem}\label{th:Adrien} +\begin{restatable}{theorem}{thAdrien} +\label{th:Adrien} Soit $f$ une fonction de $\Bool^{\mathsf{N}}$ vers lui-même telle que: \begin{enumerate} \item -$G(f)$ n'a pas de cycle de longueur supérieure ou égale à deux; +$\Gamma(f)$ n'a pas de cycle de longueur supérieure ou égale à deux; \item -chaque sommet de $G(f)$ qui possède une boucle +chaque sommet de $\Gamma(f)$ qui possède une boucle positive a aussi une boucle négative; \item -chaque sommet de $G(f)$ est accessible depuis un sommet qui possède +chaque sommet de $\Gamma(f)$ est accessible depuis un sommet qui possède une boucle négative. \end{enumerate} Alors, $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe. -\end{theorem} +\end{restatable} La preuve de ce théorème est donnée en annexe~\ref{anx:sccg}. + +Illustrons ce théorème par un exemple. On considère le graphe d'interactions +$\Gamma(f)$ donné en figure~\ref{fig:Adrien:G}. +Il vérifie le théorème~\ref{th:Adrien}: +toutes les fonctions $f$ possédant un tel graphe d'interactions +ont un graphe d'itérations $\textsc{giu}(f)$ fortement connexe. +Pratiquement, il existe 34226 fonctions de $\Bool^4$ dans lui même qui +vérifient ce graphe d'intéraction. +Cependant, nombreuses sont celles qui possèdent un comportement équivalent. +Deux fonctions sont équivalentes si leurs \textsc{giu} sont isomorphes +(au sens de l'isomorphisme de graphes). Il ne reste alors plus que +520 fonctions $f$ non équivalentes de graphe d'interactions $\Gamma(f)$. + +\begin{figure}%[h] + \begin{center} + \includegraphics[scale=0.5]{images/Gi.pdf} + \end{center} +\caption{Exemple de graphe d'interactions vérifiant le théorème~\ref{th:Adrien}} \label{fig:Adrien:G} +\end{figure}