X-Git-Url: https://bilbo.iut-bm.univ-fcomte.fr/and/gitweb/hdrcouchot.git/blobdiff_plain/591062c8359275f37c6528d0fb3909479f6e4a6e..fcbc9202a51285ff17060f4d330eca0d57b2a3c1:/15RairoGen.tex?ds=sidebyside diff --git a/15RairoGen.tex b/15RairoGen.tex index f85d8b8..6832d33 100644 --- a/15RairoGen.tex +++ b/15RairoGen.tex @@ -5,25 +5,85 @@ a de \og bonnes\fg{} propriétés chaotiques, le mot $x^b$ devrait \og sembler ne plus dépendre\fg{} de $x^0$. On peut penser à exploiter une de ces fonctions $G_f$ comme un générateur aléatoire. -Enfin, un bon générateur aléatoire se doit de -fournir des nombres selon une distribution uniforme -La suite de ce document donnera -une condition nécessaire est suffisante pour que -cette propriété soit satisfaite. - - -Cette section présente une application directe de la théorie développée ci-avant -à la génération de nombres pseudo aléatoires. -On présente tout d'abord le générateur -basé sur des fonctions chaotiques (section~\ref{sub:prng:algo}), -puis comment intégrer la contrainte de distribution uniforme -de la sortie -dans le choix de la fonction à itérer (section~\ref{sub:prng:unif}). -L'approche est évaluée dans la dernière section. -\JFC{plan à revoir} + +Ce chapitre présente donc une application directe +de la théorie développée ci-avant +à la génération de nombres pseudo-aléatoires. +La section~\ref{sec:PRNG:chaos:autres} présente un état de l'art (incomplet) de l'exploitation de +fonctions au comportement chaotique pour obtenir des PRNGs. +La section~\ref{sub:prng:algo} +présente ensuite l'algorithme de PRNG. La contrainte de +distribution uniforme de la sortie est discutée dans cette section. +La chaoticité du générateur est étudiée en +section~\ref{prng:unaire:chaos}. +La section~\ref{sub:prng:algo} a été publiée à ~\cite{bcgw11:ip,bcgr11:ip}. + +\section{Quelques PRNGs basés sur des fonctions aux itérations chaotiques}\label{sec:PRNG:chaos:autres} + +Les PRNGs chaotiques (CPRNGs) sont des générateurs non linéaires définis par +$x_0 \in \mathbb{R}$ et $x_{t+1} = f(x_t)$, où $f$ est une fonction au comportement chaotique. +Les raisons qui expliquent l'intérêt de telles fonctions sont naturellement la sensibilité aux conditions initiales, +leur imprévisibilité\ldots Cependant, comme l'ordinateur sur lequel elles s'exécutent a une précision finie, +les générateurs qui les embarquent peuvent avoir des périodes arbitrairement courtes, +ne pas fournir de sortie selon une distribution uniforme\ldots +D'un point de vue cryptographique, ces CPRNGs sont critiquables~\cite{wiggins2003introduction}. +Réduire ces critiques est l'objectif de nombreux travaux de recherche reportés ci dessous. + + +Parmi les suites simples classiquement embarquées dans les CPRNGs, on trouve principalement +la suite logistique, +la suite de Hénon. +La suite logistique~\cite{may1976simple} est définie de $[0;1]$ dans lui même par $x_{t+1} = r \times x_t(1-x_t)$ +avec $x_0 \in [0;1]$ et $3,570.$$ -On énonce enfin le théorème suivant liant les -vecteur de probabilités +On énonce le théorème classique suivant liant les +vecteurs de probabilités et les chaînes de Markov. @@ -138,8 +205,8 @@ et les chaînes de Markov. Montrons sur un exemple jouet à deux éléments que ce théorème permet de vérifier si la sortie d'un générateur de -nombres pseudo aléatoires est uniformément distribuée ou non. -Soit alors $g$ et $h$ deux fonctions de $\Bool^2$ +nombres pseudo-aléatoires est uniformément distribuée ou non. +Soient alors $g$ et $h$ deux fonctions de $\Bool^2$ définies par $g(x_1,x_2)=(\overline{x_1},x_1.\overline{x_2}) $ et $h(x_1,x_2)=(\overline{x_1},x_1\overline{x_2}+\overline{x_1}x_2)$. Leurs graphes d'interactions donnés en figure \ref{fig:g:inter} et \ref{fig:h:inter} @@ -148,7 +215,7 @@ Leurs graphes d'itérations sont donc fortement connexes, ce que l'on peut vérifier aux figures~\ref{fig:g:iter} et~\ref{fig:h:iter}. \textit{A priori}, ces deux fonctions pourraient être intégrées -dans un générateur de nombres pseudo aléatoires. Montrons que ce n'est pas le cas pour $g$ et +dans un générateur de nombres pseudo-aléatoires. Montrons que ce n'est pas le cas pour $g$ et que cela l'est pour $h$. @@ -282,10 +349,10 @@ Alors d'après le théorème~\ref{th}, pour n'importe quel vecteur initial de probabilités $\pi^0$, on a $\lim_{k \to \infty} \pi^0 M^k_g = \pi_g$ et $\lim_{k \to \infty} \pi^0 M^k_h = \pi_h$. -Ainsi la chaîne de Markov associé à $h$ tend vers une +Ainsi la chaîne de Markov associée à $h$ tend vers une distribution uniforme, contrairement à celle associée à $g$. On en déduit que $g$ ne devrait pas être itérée dans -un générateur de nombres pseudo aléatoires. +un générateur de nombres pseudo-aléatoires. Au contraire, $h$ devrait pouvoir être embarquée dans l'algorithme~\ref{CI Algorithm}, pour peu que le nombre $b$ d'itérations entre deux mesures successives @@ -293,28 +360,30 @@ de valeurs soit suffisamment grand de sorte que le vecteur d’état de la chaîne de Markov ait une distribution suffisamment proche de la distribution uniforme. -On énonce directement le théorème suivant dont la preuve est donnée en annexes~\ref{anx:generateur}. +On énonce directement le théorème suivant dont la preuve est donnée en annexe~\ref{anx:generateur}. -\begin{theorem}\label{thm:prng:u} - Soit $f: \Bool^{n} \rightarrow \Bool^{n}$, $\textsc{giu}(f)$ son +\begin{restatable}[Uniformité de la sortie de l'algorithme~\ref{CI Algorithm}]{theorem}{PrngCIUniforme}\label{thm:prng:u} + Soit $f: \Bool^{\mathsf{N}} \rightarrow \Bool^{\mathsf{N}}$, $\textsc{giu}(f)$ son graphe d'itérations , $\check{M}$ sa matrice d'adjacence et $M$ une matrice $2^n\times 2^n$ définie par - $M = \dfrac{1}{n} \check{M}$. + $M = \dfrac{1}{\mathsf{N}} \check{M}$. Si $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe, alors - la sortie du générateur de nombres pseudo aléatoires détaillé par + la sortie du générateur de nombres pseudo-aléatoires détaillé par l'algorithme~\ref{CI Algorithm} suit une loi qui tend vers la distribution uniforme si et seulement si $M$ est une matrice doublement stochastique. -\end{theorem} +\end{restatable} \subsection{Quelques exemples} -On reprend le graphe d'interactions $\Gamma(f)$ donné en figure~\ref{fig:G} à la section~\ref{sec:11FCT}. -On a vu qu'il y avait 520 fonctions $f$ non isomorphes de graphe d'interactions $\Gamma(f)$, -dont seulement 16 d'entre elles possèdent une matrice doublement stochastique. +On considère le graphe d'interactions $\Gamma(f)$ donné +en figure~\ref{fig:G}. C'est le même qui a été présenté +à la section~\ref{sec:11FCT}. +On a vu qu'il y avait 520 fonctions $f$ non isomorphes de graphe d'interactions $\Gamma(f)$. +Seulement 16 d'entre elles possèdent une matrice doublement stochastique. La figure~\ref{fig:listfonction} explicite ces 16 fonctions en définissant les images des éléments de la liste 0, 1, 2,\ldots, 14, 15 en respectant l'ordre. @@ -322,27 +391,27 @@ Expliquons enfin comment a été calculé le nombre de la troisième colonne utilisé comme le paramètre $b$ dans l'algorithme~\ref{CI Algorithm}. -Soit $e_i$ le $i^{\textrm{ème}}$ vecteur la base canonique de $\R^{2^{n}}$. -Chacun des éléments $v_j$, $1 \le j \le 2^n$, +Soit $e_i$ le $i^{\textrm{ème}}$ vecteur de la base canonique de $\R^{2^{\mathsf{N}}}$. +Chacun des éléments $v_j$, $1 \le j \le 2^{\mathsf{N}}$, du vecteur $e_i M_f^t$ représente la probabilité d'être dans la configuration $j$ après $t$ étapes du processus de Markov associé à $\textsc{giu}(f)$ en partant de la configuration $i$. Le nombre $\min \{ t \mid t \in \Nats, \vectornorm{e_i M_f^t - \pi} < 10^{-4} \}$ représente le plus petit nombre d'itérations où la distance de -ce vecteur au vecteur $\pi=(\frac{1}{2^n},\ldots,\frac{1}{2^n})$ +ce vecteur au vecteur $\pi=(\frac{1}{2^{\mathsf{N}}},\ldots,\frac{1}{2^{\mathsf{N}}})$ -- autrement dit, où la déviation par rapport à la distribution uniforme -- est inférieure à $10^{-4}$. En prenant le max pour tous les $e_i$, on obtient une valeur pour $b$. Ainsi, on a \begin{equation} -b = \max\limits_{i \in \llbracket 1, 2^n \rrbracket} -\{ -\min \{ +b = \max\limits_{i \in \llbracket 1, 2^{\mathsf{N}} \rrbracket} +\left\{ +\min \left\{ t \mid t \in \Nats, \vectornorm{e_i M_f^t - \pi} < 10^{-4} -\} -\}. +\right\} +\right\}. \label{eq:mt:ex} \end{equation} @@ -428,7 +497,7 @@ $\mathcal{F}_{16}$ &14, 15, 13, 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0 La qualité des séquences aléatoires a été évaluée à travers la suite de tests statistiques développée pour les générateurs de nombres -pseudo aléatoires par le +pseudo-aléatoires par le \emph{National Institute of Standards and Technology} (NIST). L'expérience a montré notamment que toutes ces fonctions passent avec succès cette batterie de tests. @@ -439,11 +508,11 @@ Ceci est difficilement compatible avec la volonté d'avoir une sortie uniformém se rapprocher de cette distribution nécessite en effet un nombre plus élevé d'itérations $b$ entre chaque sortie. Par exemple, dans l'exemple précédent, il est nécessaire d'itérer au moins 42 fois entre chaque sortie pour suivre une loi uniforme à $10^{-4}$ près. -Montrer les sous-séquences de suites chaotiques ainsi générées demeurent chaotiques +Montrer que les sous-séquences de suites chaotiques ainsi générées demeurent chaotiques est l'objectif de la section suivante. -\section{Un PRNG basé sur des itérations unaires qui est chaotique } +\section{Un PRNG basé sur des itérations unaires qui est chaotique }\label{prng:unaire:chaos} Cette section présente un espace métrique adapté au générateur de nombres pseudo-aléatoires présenté à l'algorithme~\ref{CI Algorithm} et prouve ensuite que la fonction qu'il représente @@ -459,31 +528,30 @@ Intuitivement, c'est le nombre d'itérations qu'il est autorisé de faire. On ordonne les $\mathsf{p}$ éléments de $\mathcal{P}$ comme suit: $\mathcal{P} = \{ p_1, p_2, \hdots, p_\mathsf{p}\}$ et $p_1< p_2< \hdots < p_\mathsf{p}$. + Dans l'algorithme~\ref{CI Algorithm}, $\mathsf{p}$ vaut 1 et $p_1=b$. - - Cet algorithme peut être vu comme $b$ compostions de la fonction $F_{f_u}$. Ceci peut cependant se généraliser à $p_i$, $p_i \in \mathcal{P}$, compositions fonctionnelles de $F_{f_u}$. Ainsi, pour chaque $p_i \in \mathcal{P}$, on construit la fonction -$F_{{f_u},p_i} : \mathds{B}^\mathsf{N} \times \llbracket 1, \mathsf{N} \rrbracket^{p_i} +$F_{{f_u},p_i} : \mathds{B}^\mathsf{N} \times [\mathsf{N}]^{p_i} \rightarrow \mathds{B}^\mathsf{N}$ définie par $$ -F_{f_u,p_i} (x,(u^0, u^1, \hdots, u^{p_i-1})) \mapsto +F_{f_u,p_i} (x,(u^0, u^1, \hdots, u^{p_i-1})) = F_{f_u}(\hdots (F_{f_u}(F_{f_u}(x,u^0), u^1), \hdots), u^{p_i-1}). $$ -on construit l'espace +On construit l'espace $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}= \mathds{B}^\mathsf{N} \times \mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$, où $\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}= -\llbracket 1, \mathsf{N} \rrbracket^{\Nats}\times +[\mathsf{N}]^{\Nats}\times \mathcal{P}^{\Nats}$. Chaque élément de l'espace est une paire où le premier élément est un $\mathsf{N}$-uplet de $\Bool^{\mathsf{N}}$ (comme dans $\mathcal{X}_u$). -Le second élément est aussi une paire $((u^k)_{k \in \Nats},(v^k)_{k \in \Nats})$ de suites infinies. +Le second élément est une paire $((u^k)_{k \in \Nats},(v^k)_{k \in \Nats})$ de suites infinies. La suite $(v^k)_{k \in \Nats}$ définit combien d'itérations sont exécutées au temps $k$ entre deux sorties. La séquence $(u^k)_{k \in \Nats}$ définit quel élément est modifié (toujours au temps $k$). @@ -502,7 +570,7 @@ sur la seconde. Ainsi, les sorties $(y^0, y^1, \hdots )$ produites par le générateur détaillé dans l'algorithme~\ref{CI Algorithm} sont les premiers composants des itérations $X^0 = (x^0, (u,v))$ et $\forall n \in \mathds{N}, -X^{n+1} = G_{f_u,\mathcal{P}}(X^n)$ dans $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$ où +X^{n+1} = G_{f_u,\mathcal{P}}(X^{\mathsf{N}})$ dans $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$ où $G_{f_u,\mathcal{P}}$ est définie par: @@ -524,9 +592,9 @@ Soit $x=(e,s)$ et $\check{x}=(\check{e},\check{s})$ dans $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}} = \mathds{B}^\mathsf{N} \times \mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}} $, où $s=(u,v)$ et $\check{s}=(\check{u},\check{v})$ sont dans $ \mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}} = \mathcal{S}_{\llbracket 1, \mathsf{N} \rrbracket} \times \mathcal{S}_\mathcal{P}$. -\begin{itemize} +\begin{enumerate} \item $e$ et $\check{e}$ sont des entiers appartenant à $\llbracket 0, 2^{\mathsf{N}-1} \rrbracket$. -La distance de Hamming $d_{\mathds{B}^\mathsf{N}}$ sur entre les +La distance de Hamming $d_{\mathds{B}^\mathsf{N}}$ entre les décompositions binaires de $e$ et de $\check{e}$ (\textit{i.e.}, le le nombre de bits qu'elles ont de différent) constitue la partie entière de $d(X,\check{X})$. @@ -539,7 +607,7 @@ $\check{u}^{\check{v}^0}, \check{u}^{\check{v}^0+1}, \hdots, \check{u}^{\check{v Plus précisément, soit $p = \lfloor \log_{10}{(\max{\mathcal{P}})}\rfloor +1$ et $n = \lfloor \log_{10}{(\mathsf{N})}\rfloor +1$. -\begin{itemize} +\begin{enumerate} \item Les $p$ premiers éléments de $d(x,\check{x})$ sont $|v^0-\check{v}^0|$ écrits en base 10 et sur $p$ indices; \item les $n\times \max{(\mathcal{P})}$ éléments suivants servent @@ -547,7 +615,7 @@ $n = \lfloor \log_{10}{(\mathsf{N})}\rfloor +1$. $\check{u}^0, \check{u}^1, \hdots, \check{u}^{\check{v}^0-1}$. Les $n$ premiers éléments sont $|u^0-\check{u}^0|$. Il sont suivis de $|u^1-\check{u}^1|$ écrits à l'aide de $n$ éléments, etc. -\begin{itemize} +\begin{enumerate} \item Si $v^0=\check{v}^0$, alors le processus se continue jusqu'à $|u^{v^0-1}-\check{u}^{\check{v}^0-1}|$ et la @@ -556,12 +624,12 @@ jusqu'à atteindre $p+n\times \max{(\mathcal{P})}$ éléments. \item Si $v^0<\check{v}^0$, alors les $ \max{(\mathcal{P})}$ blocs de $n$ éléments sont $|u^0-\check{u}^0|$, ..., $|u^{v^0-1}-\check{u}^{v^0-1}|$, -$\check{u}^{v^0}$ (sur $n$ éléments), ..., $\check{u}^{\check{v}^0-1}$ (sur $n$ éléments), suivi par des 0, si besoin. +$\check{u}^{v^0}$ (sur $n$ éléments), ..., $\check{u}^{\check{v}^0-1}$ (sur $n$ éléments), suivis par des 0, si besoin. \item Le cas $v^0>\check{v}^0$ est similaire, et donc omis -\end{itemize} +\end{enumerate} \item Les $p$ suivants sont $|v^1-\check{v}^1|$, etc. -\end{itemize} -\end{itemize} +\end{enumerate} +\end{enumerate} La fonction $d$ peut se formaliser comme suit: @@ -601,8 +669,10 @@ $\check{s}=\left\{ \check{v}=2,1,... \end{array} \right.$. - -Ainsi $d_{\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}}(s,\check{s}) = 0.010004000000000000000000011005 ...$ +Ainsi +\[ +d_{\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}}(s,\check{s}) = +0.01~0004000000000000000000~01~1005 \dots\] En effet, les $p=2$ premiers éléments sont 01, c'est-à-dire $|v^0-\check{v}^0|=1$, et on utilise $p$ éléments pour représenter cette différence @@ -611,47 +681,49 @@ On prend alors le $v^0=1$ premier terme de $u$, chaque terme étant codé sur $n=2$ éléments, soit 06. Comme on itère au plus $\max{(\mathcal{P})}$ fois, on complète cette valeur par des 0 de sorte que -la chaîne obtenue a $n\times \max{(\mathcal{P})}=22$ éléments, soit: +la chaîne obtenue ait $n\times \max{(\mathcal{P})}=22$ éléments, soit: 0600000000000000000000. De manière similaire, les $\check{v}^0=2$ premiers termes de $\check{u}$ sont représentés par 0604000000000000000000. -LA valeur absolue de leur différence est égale à +La valeur absolue de leur différence est égale à 0004000000000000000000. Ces éléments sont concaténés avec 01. On peut construire alors le reste de la séquence. \end{xpl} -\begin{xpl} -On considère à présent que $\mathsf{N}=9$, que $\mathcal{P}=\{2,7\}$ et que -$$s=\left\{ -\begin{array}{l} -u=\underline{6,7,} ~ \underline{4,2,} ...\\ -v=2,2,... -\end{array} -\right.$$ -avec -$$\check{s}=\left\{ -\begin{array}{l} -\check{u}=\underline{4, 9, 6, 3, 6, 6, 7,} ~ \underline{9, 8}, ...\\ -\check{v}=7,2,... -\end{array} -\right. -$$ +% \begin{xpl} +% On considère à présent que $\mathsf{N}=9$, que $\mathcal{P}=\{2,7\}$ et que +% $$s=\left\{ +% \begin{array}{l} +% u=\underline{6,7,} ~ \underline{4,2,} ...\\ +% v=2,2,... +% \end{array} +% \right.$$ +% avec +% $$\check{s}=\left\{ +% \begin{array}{l} +% \check{u}=\underline{4, 9, 6, 3, 6, 6, 7,} ~ \underline{9, 8}, ...\\ +% \check{v}=7,2,... +% \end{array} +% \right. +% $$ + +% Ainsi $d_{\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}}(s,\check{s}) = 0.5173633305600000...$, +% puisque +% $|v^0-\check{v}^0|=5$, $|4963667-6700000| = 1736333$, $|v^1-\check{v}^1|=0$, +% et $|9800000-4200000| = 5600000$. +% \end{xpl} -Ainsi $d_{\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}}(s,\check{s}) = 0.5173633305600000...$, -puisque -$|v^0-\check{v}^0|=5$, $|4963667-6700000| = 1736333$, $|v^1-\check{v}^1|=0$, -et $|9800000-4200000| = 5600000$. -\end{xpl} +On a la proposition suivante, qui est démontrée en annexe~\ref{anx:generateur}. -On a la proposition suivante, qui est démontrée en annexes~\ref{anx:generateur}. -\begin{lemma} + +\begin{restatable}[Une distance dans $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$]{theorem}{distancedsxnp} $d$ est une distance sur $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$. -\end{lemma} +\end{restatable} \subsection{Le graphe $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(f)$ étendant $\textsc{giu}(f)$} @@ -663,8 +735,9 @@ définit le graphe orienté $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(f)$ de la manière suiva %\item Each vertex has $\displaystyle{\sum_{i=1}^\mathsf{p} \mathsf{N}^{p_i}}$ arrows, namely all the $p_1, p_2, \hdots, p_\mathsf{p}$ tuples % having their elements in $\llbracket 1, \mathsf{N} \rrbracket $. \item il y a un arc libellé $u_0, \hdots, u_{p_i-1}$, $i \in \llbracket 1, \mathsf{p} \rrbracket$ entre les n{\oe}uds $x$ et $y$ si et seulement si $p_i$ est un élément de -$\mathcal{P}$ (\textit{i.e.}, on peut itérer $p_i$ fois), -chaque $u_k$ de la suite appartient à $[\mathsf{N}]$ et +$\mathcal{P}$ (\textit{i.e.}, on peut itérer $p_i$ fois), et pour chaque +$k$, $0 \le k \le p_i-1$, on a + $u_k$ qui appartient à $[\mathsf{N}]$ et $y=F_{f_u,p_i} (x, (u_0, \hdots, u_{p_i-1})) $. \end{itemize} Il n'est pas difficile de constater que $\textsc{giu}_{\{1\}}(f)$ est $\textsc{giu}(f)$. @@ -678,7 +751,7 @@ Il n'est pas difficile de constater que $\textsc{giu}_{\{1\}}(f)$ est $\textsc{g \subfigure[$\textsc{giu}_{\{2\}}(h)$]{ \begin{minipage}{0.30\textwidth} \begin{center} - \includegraphics[height=4cm]{images/h2prng} + \includegraphics[scale=0.5]{images/h2prng} \end{center} \end{minipage} \label{fig:h2prng} @@ -686,7 +759,7 @@ Il n'est pas difficile de constater que $\textsc{giu}_{\{1\}}(f)$ est $\textsc{g \subfigure[$\textsc{giu}_{\{3\}}(h)$]{ \begin{minipage}{0.40\textwidth} \begin{center} - \includegraphics[height=4cm]{images/h3prng} + \includegraphics[scale=0.5]{images/h3prng} \end{center} \end{minipage} \label{fig:h3prng} @@ -694,7 +767,7 @@ Il n'est pas difficile de constater que $\textsc{giu}_{\{1\}}(f)$ est $\textsc{g \subfigure[$\textsc{giu}_{\{2,3\}}(h)$]{ \begin{minipage}{0.40\textwidth} \begin{center} - \includegraphics[height=4cm]{images/h23prng} + \includegraphics[scale=0.5]{images/h23prng} \end{center} \end{minipage} \label{fig:h23prng} @@ -715,39 +788,50 @@ $h(x_1,x_2)=(\overline{x_1},x_1\overline{x_2}+\overline{x_1}x_2)$ déjà détail Le graphe $\textsc{giu}_{\{1\}}(h)$ a déjà été donné à la figure~\ref{fig:h:iter}. Les graphes $\textsc{giu}_{\{2\}}(h)$, $\textsc{giu}_{\{3\}}(h)$ et -$\textsc{giu}_{\{2,3\}}(h)$ sont respectivement donnés aux figure~\ref{fig:h2prng}, ~\ref{fig:h3prng} et ~\ref{fig:h23prng}. +$\textsc{giu}_{\{2,3\}}(h)$ sont respectivement donnés aux figures~\ref{fig:h2prng}, ~\ref{fig:h3prng} et ~\ref{fig:h23prng}. Le premier (respectivement le second) illustre le comportement du générateur lorsque qu'on itère exactement 2 fois (resp. 3 fois) puis qu'on affiche le résultat. Le dernier donnerait le comportement d'un générateur qui s'autoriserait -à itérer en interne systématiquement 2 ou trois fois avant de retourner un résultat. +à itérer en interne systématiquement 2 ou 3 fois avant de retourner un résultat. \end{xpl} \subsection{le PRNG de l'algorithme~\ref{CI Algorithm} est chaotique sur $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$} -Le théorème suivant, similaire à celui dans $\mathcal{X}_u$ et dans $\mathcal{X}_g$ -est prouvé en annexes~\ref{anx:generateur}. +Le théorème suivant, similaire à ceux dans $\mathcal{X}_u$ et dans $\mathcal{X}_g$ +est prouvé en annexe~\ref{anx:generateur}. -\begin{theorem} +\begin{restatable}[Conditions pour la chaoticité de $G_{f_u,\mathcal{P}}$]{theorem}{thmchoticitgfp} La fonction $G_{f_u,\mathcal{P}}$ est chaotique sur $(\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}},d)$ si et seulement si -graphe d'itération $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(f)$ +le graphe d'itérations $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(f)$ est fortement connexe. -\end{theorem} -On alors corollaire suivant +\end{restatable} +% On alors corollaire suivant -\begin{corollary} - Le générateur de nombre pseudo aléatoire détaillé - à l'algorithme~\ref{CI Algorithm} - n'est pas chaotique - sur $(\mathcal{X}_{\mathsf{N},\{b\}},d)$ pour la fonction négation. -\end{corollary} -\begin{proof} - Dans cet algorithme, $\mathcal{P}$ est le singleton $\{b\}$. - Que $b$ soit pair ou impair, $\textsc{giu}_{\mathcal{b}}(f)$ - n'est pas fortement connexe. -\end{proof} +% \begin{corollary} +% Le générateur de nombre pseudo aléatoire détaillé +% à l'algorithme~\ref{CI Algorithm} +% n'est pas chaotique +% sur $(\mathcal{X}_{\mathsf{N},\{b\}},d)$ pour la fonction négation. +% \end{corollary} +% \begin{proof} +% Dans cet algorithme, $\mathcal{P}$ est le singleton $\{b\}$. +% Que $b$ soit pair ou impair, $\textsc{giu}_{\{b\}}(f)$ +% n'est pas fortement connexe. +% \end{proof} + + +\section{Conclusion} +Ce chapitre a proposé un algorithme permettant de construire un +PRNG chaotique à partir d'un PRNG existant. Pour ce faire, il est nécessaire +et suffisant que la fonction $f$ qui est itérée un nombre $b$ de fois +possède un $\textsc{giu}_{\{b\}}(f)$ fortement connexe et que sa matrice de Markov associée soit doublement stochastique. +Le chapitre suivant montre comment construire une telle fonction. + + +