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index 47ecd36..7f33772 100644
--- a/15TSI.tex
+++ b/15TSI.tex
@@ -1,20 +1,19 @@
 On reprend ici le même plan que dans la section précédente.
 
-Soit ${\mathsf{N}}$ un entier naturel et $f$ une fonction de 
-$\Bool^{{\mathsf{N}}}$ dans lui-même.
+
 
 
 \subsection{Des itérations généralisées aux itérations parallèles}
 
 Dans le schéma généralisé, à la  $t^{\textrm{ème}}$ itération, 
 c'est l'ensemble 
-des $s_{t}^{\textrm{ème}}$ éléments (inclus dans $[n]$) qui 
-sont  mis à jour (c.f. équation~(\ref{eq:schema:generalise})).
-On redéfinit la fonction la fonction
-  $F_f:  \Bool^{\mathsf{N}} \times \mathcal{P}(\{1, \ldots, \mathsf{N}\}) 
+des $s_{t}^{\textrm{ème}}$ éléments (inclus dans $[{\mathsf{N}}]$) qui 
+sont  mis à jour (cf. équation~(\ref{eq:schema:generalise})).
+On redéfinit la fonction 
+  $F_{f_g}:  \Bool^{\mathsf{N}} \times \mathcal{P}(\{1, \ldots, \mathsf{N}\}) 
   \rightarrow \Bool^{\mathsf{N}}$  par
   \[
-  F_f(x,s)_i=\left\{
+  F_{f_g}(x,s)_i=\left\{
     \begin{array}{l}
       f_i(x) \textrm{ si $i \in s$;}\\   
       x_i \textrm{ sinon.}
@@ -27,32 +26,30 @@ $x^0\in\Bool^{\mathsf{N}}$ et une stratégie $S = \left(s_t\right)_{t \in  \math
 \in \mathcal{P}(\{1, \ldots, {\mathsf{N}}\})^{\Nats}$,
 les
 configurations $x^t$ sont définies par la récurrence
-\begin{equation}\label{eq:asyn}
-    x^{t+1}=F_f(s_t,x^t).
+\begin{equation}\label{eq:asyn:g}
+    x^{t+1}=F_{f_g}(s_t,x^t).
   \end{equation}
-  Soit alors $G_f$ une fonction de $\Bool^{\mathsf{N}}  \times  \mathcal{P}(\{1, \ldots, {\mathsf{N}}\})^{\Nats}$ 
+  Soit alors $G_{f_g}$ une fonction de $\Bool^{\mathsf{N}}  \times  \mathcal{P}(\{1, \ldots, {\mathsf{N}}\})^{\Nats}$ 
   dans lui-même définie par 
   \[
-  G_f(S,x)=(\sigma(S),F_f(s_0,x)),
+  G_{f_g}(S,x)=(\sigma(S),F_{f_g}(s_0,x)),
   \] 
-  où la fonction $\sigma$ est définit comme à la section précédente.
+  où la fonction $\sigma$ est définie comme à la section précédente.
   A nouveau, les itérations généralisées 
-  de $f$ induites par $x^0$ et la  stratégie $S$.
+  de $f$ induites par $x^0$ et la  stratégie $S$ 
   décrivent la même orbite que les 
-  itérations parallèles de $G_f$ depuis un point initial
+  itérations parallèles de $G_{f_g}$ depuis un point initial
   $X^0=(x^0,S)$ 
   
   
-
-%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-On peut alors construire l'espace 
-$\mathcal{X} = \Bool^{\mathsf{N}} \times
+On construit cette fois ci l'espace 
+$\mathcal{X}_g = \Bool^{\mathsf{N}} \times
 \mathcal{P}(\{1, \ldots, {\mathsf{N}}\})^{\Nats}$
 
-\subsection{Une métrique pour $\mathcal{X}$}
+\subsection{Une métrique pour $\mathcal{X}_g$}
 
 Cette nouvelle distance va comparer des ensembles. 
-On rappelle pour quelques notions ensemblistes. 
+On rappelle quelques notions ensemblistes. 
 Pour $A$ et $B$ deux ensembles de l'univers $\Omega$,
 on rappelle la définition de l'opérateur 
 de \emph{différence ensembliste} symétrique :
@@ -61,11 +58,12 @@ A \Delta B = (A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B)
 \]  
 où $\overline{B}$ désigne le complémentaire de $B$ dans $\Omega$.
 
-On considère l'espace $\mathcal{X}=\mathcal{P}(\{1, \ldots, {\mathsf{N}}\})^{\Nats}\times
+On considère l'espace $\mathcal{X}_g=\mathcal{P}(\{1, \ldots, {\mathsf{N}}\})^{\Nats}\times
 \Bool^{\mathsf{N}}$ et
 on définit la distance $d$ entre les points $X=(S,x)$ et
-$X'=(S',x')$ de $\mathcal{X}$ par 
-\[
+$X'=(S',x')$ de $\mathcal{X}_g$ par 
+
+\begin{equation}
 d(X,X')= d_H(x,x')+d_S(S,S'),~\textrm{où}~
 \left\{
 \begin{array}{l}
@@ -73,36 +71,48 @@ d(X,X')= d_H(x,x')+d_S(S,S'),~\textrm{où}~
 \displaystyle{d_S(S,S')=\frac{9}{{\mathsf{N}}}\sum_{t\in\Nats}\frac{|S_t \Delta S'_t|}{10^{t+1}}}.
 \end{array}
 \right.\,.
-\]
+\label{eq:distance:Xg}
+\end{equation}
 
 La fonction $d$ est une somme de deux fonctions.
 La fonction $d_H$ est la distance de Hamming; il est aussi établi que la 
 somme de deux distances est une distance.
 Ainsi, pour montrer que $d$ est aussi une distance, il suffit 
-de montrer que $d_S$ en une aussi, ce qui est fait en annexe~\ref{anx:distance:generalise}.
+de montrer que $d_S$ en est une aussi, ce qui est fait en annexe~\ref{anx:distance:generalise}.
 
 La section suivante caractérise les fonctions $f$ qui sont  
-chaotiques pour le schéma généralisées.
-
+chaotiques pour le schéma généralisé.
 
-\subsection{Caractérisation des fonctions chaotiques 
-pour le schéma généralisé}
+\subsection{Caractérisation des fonctions rendant 
+chaotiques $G_{f_g}$ sur $\mathcal{X}_g$}
+On reprend les définitions des ensembles $\mathcal{T}$, $\mathcal{R}$ et $\mathcal{C}$
+en les adaptant à  $G_{f_g}$.
 On a les théorèmes suivants dont les preuves sont données en 
 annexe~\ref{anx:chaos:generalise}.
 
-\begin{theorem} $G_f$  est transitive si et seulement si 
- $\Gamma(f)$ est fortement connexe.
-\end{theorem}
 
-\begin{theorem}
-\label{Prop: T est dans R} $\mathcal{T} \subset \mathcal{R}$.
-\end{theorem}
+
+\begin{restatable}{theorem}{caractransitivegeneralise}
+\label{Theo:carac:transitive:gen}
+$G_{f_g}$  est transitive si et seulement si 
+ $\textsc{gig}(f)$ est fortement connexe.
+\end{restatable}
+
+
+
+\begin{restatable}{theorem}{caracsubgeneralise}
+\label{Prop: T est dans R:g}
+ $\mathcal{T} \subset \mathcal{R}$.
+\end{restatable}
+
+On peut conclure  que $\mathcal{C} = \mathcal{R} \cap \mathcal{T}
+= \mathcal{T}$. On a alors la  caractérisation suivante:
 
 
 \begin{theorem}%[Characterization of $\mathcal{C}$]
-\label{Th:CaracIC}  
-Soit $f:\Bool^{\mathsf{N}}\to\Bool^{\mathsf{N}}$. La fonction $G_f$ est chaotique  
-si et seulement si $\Gamma(f)$ est fortement connexe.
+\label{Th:CaracIC:g}  
+Soit $f:\Bool^{\mathsf{N}}\to\Bool^{\mathsf{N}}$. La fonction $G_{f_g}$ est chaotique  
+si et seulement si $\textsc{gig}(f)$ est fortement connexe.
 \end{theorem}