X-Git-Url: https://bilbo.iut-bm.univ-fcomte.fr/and/gitweb/hdrcouchot.git/blobdiff_plain/714ce29544c8cc7bf8b4530d28352fb1a5306991..b00f4bba43bbc502f81d237292f4757d9fd548cc:/devaney.tex

diff --git a/devaney.tex b/devaney.tex
index 1291793..2a2a167 100644
--- a/devaney.tex
+++ b/devaney.tex
@@ -1,80 +1,60 @@
 
-Dans  cette  partie, les  dÃ©finitions  fondamentales  liÃ©es  au chaos
-dans  les systÃ¨mes boolÃ©ens sont rappelÃ©es.
 
+Dans  cette  partie, les  dÃ©finitions  fondamentales  liÃ©es  au chaos  dans  les
+systÃ¨mes boolÃ©ens sont rappelÃ©es et plusieurs rÃ©sultats thÃ©oriques sont montrÃ©s.
 
-
-Soit un espace topologique $(\mathcal{X},\tau)$ et une fonction continue $f :
-\mathcal{X} \rightarrow \mathcal{X}$.
-
-
-
-
-\begin{Def}[Chaos selon Devaney~\cite{Devaney}]
-La fonction $f$  \emph{chaotique} sur $(\mathcal{X},\tau)$ 
-si elles est rÃ©guliÃ¨re et topologiquement transitive.
+\begin{Def}[Chaos (Devaney)]
+Une fonction $k$ continue sur un espace mÃ©trique $(\mathcal{X},d)$ est \textbf{chaotique}
+si elle est transitive,
+rÃ©guliÃ¨re et fortement sensible aux conditions initiales.
 \end{Def}
 
-
-
-\begin{Def}[Transitivite topologique]
-La fonction  $f$ est dite  \emph{topologiquement transitive} si, 
-pour chaque paire d'ensembles ouverts
-$U,V \subset \mathcal{X}$, 
-il existe  $k>0$ tel que $f^k(U) \cap V \neq
-\varnothing$.
+\begin{Def}[TransitivitÃ©]
+Une fonction $k$ est  \textbf{transitive} sur $(\mathcal{X},d)$ si  la propriÃ©tÃ© suivante est Ã©tablie:
+\[
+\forall X, Y\in \mathcal{X},
+\forall \epsilon > 0,
+\exists  Z \in \mathcal{X},
+\exists  t \in \Nats,
+d(X,Z) < \epsilon  \land k^t(Z) = Y
+\] 
 \end{Def}
 
 \begin{Def}[Point pÃ©riodique]
-  Un point $P  \in \mathcal{X}$ est dit \emph{pÃ©riodique}  de pÃ©riode $t$ pour
+  Un point $P  \in \mathcal{X}$ est dit \textbf{pÃ©riodique}  de pÃ©riode $t$ pour
   une fonction $k$ si $t$ est un entier  naturel non nul tel que $k^t(P) = P$ et
   pour tout $n$, $0 < n \le t-1$, on a $k^n(P) \neq P$.
-  Par la  suite, $\emph{Per(k)}$ dÃ©note  l'ensemble des points  pÃ©riodiques de
+  Par la  suite, $\textbf{Per(k)}$ dÃ©note  l'ensemble des points  pÃ©riodiques de
   $k$ dans $\mathcal{X}$ de pÃ©riode quelconque.
 \end{Def}
 
-
-
 \begin{Def}[RÃ©gularitÃ©]
-La fonction $f$ est dite \emph{rÃ©guliÃ¨re} 
-sur $(\mathcal{X}, \tau)$ si l'ensemble des points pÃ©riodiques 
- de $f$ is dense in $\mathcal{X}$: 
-pour chaque point $x \in \mathcal{X}$, chaque voisin 
-de $x$ contient au moins un point pÃ©riodique 
-(sans que la pÃ©riode soit nÃ©cessairement constante).
+Une fonction $k$  est dite \textbf{rÃ©guliÃ¨re} dans $(\mathcal{X},d)$ 
+si l'ensemble des points pÃ©riodiques de $k$ est dense dans $\mathcal{X}$, 
+c'est-Ã -dire  si la propriÃ©tÃ© suivante est Ã©tablie: 
+\[
+\forall X \in \mathcal{X}, \forall \epsilon > 0, \exists Y \in \textit{Per}(k) 
+ \textrm{ tel que } d(X,Y) < \epsilon.
+\]
 \end{Def}
 
-
-
-
-
-
-
-
-
-La propriÃ©tÃ© de chaos est souvent associÃ©e Ã  la notion de 
-\og sensibilitÃ© aux conditions initiales\fg{}, notion dÃ©finie elle 
-sur un espace mÃ©trique $(\mathcal{X},d)$ par:
-
-
 \begin{Def}[Forte sensibilitÃ© aux conditions initiales]
-Une fonction $k$ dÃ©finie sur $(\mathcal{X},\tau)$ 
-est  \emph{fortement sensible aux conditions initiales} 
+Une fonction $k$ dÃ©finie sur $(\mathcal{X},d)$ 
+est  \textbf{fortement sensible aux conditions initiales} 
 s'il existe une valeur $\epsilon> 0$ telle que
 pour tout $X \in \mathcal{X}$ et pour tout 
  $\delta > 0$, il existe  $Y \in  \mathcal{X}$ et  
 $t \in \Nats$ qui vÃ©rifient  $d(X,Y) < \delta$ et 
 $d(k^t(X) , k^t(Y)) > \epsilon$.
-
-La constante $\delta$ est appelÃ©e \emph{constante de sensibilitÃ©} de $f$.
 \end{Def}
 
+
 John Banks et ses collÃ¨gues ont cependant
 dÃ©montrÃ© que la sensibilitÃ© aux conditions initiales est une consÃ©quence
 de la rÃ©gularitÃ© et de la transitivitÃ© topologique~\cite{Banks92}. 
-
-
-
+On ne se focalise donc dans la suite que sur ces deux derniÃ¨res
+propriÃ©tÃ©s pour caractÃ©riser les fonctions boolÃ©ennes $f$ 
+rendant chaotique la fonction engendrÃ©e $G_f$.
 
 
 
