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index d21e7c1..1111939 100644
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@@ -1,8 +1,8 @@
 On prouve les thÃ©orÃ¨mes suivants
 
 
-\begin{theorem} $G_f$  est transitive si et seulement si 
- $\Gamma(f)$ est fortement connexe.
+\begin{theorem} $G_{f_u}$  est transitive si et seulement si 
+ $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe.
 \end{theorem}
 
 
@@ -10,48 +10,48 @@ On prouve les thÃ©orÃ¨mes suivants
 
 \begin{Proof} 
 
-$\Longleftarrow$ Supposons que $\Gamma(f)$ soit fortement connexe.
-Soient $(x,S)$ et $(x',S')$ deux points de $\mathcal{X}$ et  $\varepsilon >0$. 
+$\Longleftarrow$ Supposons que $\textsc{giu}(f)$ soit fortement connexe.
+Soient $(x,S)$ et $(x',S')$ deux points de $\mathcal{X}_u$ et  $\varepsilon >0$. 
 On construit la stratÃ©gie $\tilde S$ telle que la distance 
 entre $(x,\tilde S)$ et  $(x,S)$ est infÃ©rieure Ã  
-$\varepsilon$ et telle que les  itÃ©rations parallÃ¨les de $G_f$ depuis
+$\varepsilon$ et telle que les  itÃ©rations parallÃ¨les de $G_{f_u}$ depuis
 $(x,\tilde S)$ mÃ¨nent au point $(x',S')$.
 
 Pour cela, on pose $t_1 =-\lfloor\log_{10}(\varepsilon)\rfloor$ et   $x''$ la 
 configuration de $\Bool^{\mathsf{N}}$ obtenue depuis $(x,S)$ aprÃ¨s $t_1$ 
 itÃ©rations
-parallÃ¨les de $G_f$. 
-Comme $\Gamma(f)$ est fortement connexe, il existe une 
+parallÃ¨les de $G_{f_u}$. 
+Comme $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe, il existe une 
 stratÃ©gie $S''$ et un entier  $t_2$ tels que $x'$ est atteint depuis 
-$(x'',S'')$ aprÃ¨s $t_2$ itÃ©rations de $G_f$.
+$(x'',S'')$ aprÃ¨s $t_2$ itÃ©rations de $G_{f_u}$.
 
 ConsidÃ©rons Ã  prÃ©sent la stratÃ©gie 
 $\tilde S=(s_0,\dots,s_{t_1-1},s''_0,\dots,s''_{t_2-1},s'_0,s'_1,s'_2,s'_3\dots)$.
 Il est Ã©vident que $(x',s')$ est atteint depuis  $(x,\tilde S)$ aprÃ¨s 
-$t_1+t_2$ itÃ©rations parallÃ¨les de $G_f$. Puisque 
+$t_1+t_2$ itÃ©rations parallÃ¨les de $G_{f_u}$. Puisque 
 $\tilde s_t=s_t$ pour $t<t_1$, grÃ¢ce au choix de $t_1$,
 on a $d((x,S),(x,\tilde S))<\epsilon$. 
-Par consÃ©quent, $G_f$ est transitive.
+Par consÃ©quent, $G_{f_u}$ est transitive.
 
 $\Longrightarrow$ DÃ©montrons la contraposÃ©e.
-Si $\Gamma(f)$ n'est pas  fortement connexe, alors 
+Si $\textsc{giu}(f)$ n'est pas  fortement connexe, alors 
 il existe deux configurations $x$  et $x'$ telles qu'aucun chemin de 
-$\Gamma(f)$ ne mÃ¨ne de $x$ Ã  $x'$. 
+$\textsc{giu}(f)$ ne mÃ¨ne de $x$ Ã  $x'$. 
 Soient $S$ et $S'$ deux stratÃ©gies et $\varepsilon \in ]0;1[$.
 Alors, pour tout $(x'',S'')$ tel que 
 $d((x'',S''),(x,S))<\varepsilon$ on a $x''$ qui est Ã©gal Ã  $x$.
-Comme il n'existe aucun chemin de $\Gamma(f)$ 
+Comme il n'existe aucun chemin de $\textsc{giu}(f)$ 
 qui mÃ¨ne de $x$ Ã  $x'$, 
-les itÃ©rations de $G_f$ Ã  partir de 
+les itÃ©rations de $G_{f_u}$ Ã  partir de 
 $(x'',S'') = (x,S'')$ ne peuvent atteindre que des points 
-$(x''',S''')$ de $\mathcal{X}$ tels que $x''' \neq x'$, 
+$(x''',S''')$ de $\mathcal{X}_u$ tels que $x''' \neq x'$, 
 et donc ne peuvent pas atteindre $(x',S')$. 
 On peut remarquer que, du fait que $x''' \neq x'$, 
-elles n'atteignent que des points de $\mathcal{X}$
+elles n'atteignent que des points de $\mathcal{X}_u$
 dont la distance Ã  $(x',S')$ est supÃ©rieure Ã  1.
 Pour tout entier naturel $t$, on a 
-$G_f^t(x'',S'') \neq (x',S')$.
-Ainsi $G_f$ n'est pas transitive et 
+$G_{f_u}^t(x'',S'') \neq (x',S')$.
+Ainsi $G_{f_u}$ n'est pas transitive et 
 par contraposÃ©e, on a la dÃ©monstration souhaitÃ©e.
 \end{Proof}
 
@@ -64,19 +64,19 @@ Prouvons Ã  prÃ©sent le thÃ©orÃ¨me suivant:
 
 
 \begin{Proof}  
-Soit $f:\Bool^{\mathsf{N}}\to\Bool^{\mathsf{N}}$ telle que  $G_f$ est transitive (\textit{i.e.}
+Soit $f:\Bool^{\mathsf{N}}\to\Bool^{\mathsf{N}}$ telle que  $G_{f_u}$ est transitive (\textit{i.e.}
 $f$ appartient Ã  $\mathcal{T}$). 
-Soit $(x,S) \in\mathcal{X}$ et $\varepsilon >0$. Pour 
+Soit $(x,S) \in\mathcal{X}_u$ et $\varepsilon >0$. Pour 
 prouver que $f$ appartient Ã   $\mathcal{R}$, il suffit de prouver 
 qu'il existe une stratÃ©gie $\tilde S$ telle que la distance entre
 $(x,\tilde S)$ et $(x,S)$ est infÃ©rieure Ã   $\varepsilon$ et telle que 
 $(x,\tilde S)$ est un  point pÃ©riodique.
 
 Soit $t_1=-\lfloor \log_{10}(\varepsilon)\rfloor$  et soit $x'$ la 
-configuration obtenue aprÃ¨s $t_1$ itÃ©rations de $G_f$ depuis  $(x,S)$. 
-D'aprÃ¨s la proposition prÃ©cÃ©dente, $\Gamma(f)$ est fortement connexe.
+configuration obtenue aprÃ¨s $t_1$ itÃ©rations de $G_{f_u}$ depuis  $(x,S)$. 
+D'aprÃ¨s la proposition prÃ©cÃ©dente, $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe.
 Ainsi, il existe une stratÃ©gie $S'$ et un nombre $t_2\in\Nats$ tels
-que $x$ est atteint depuis $(x',S')$ aprÃ¨s $t_2$ itÃ©rations de $G_f$.
+que $x$ est atteint depuis $(x',S')$ aprÃ¨s $t_2$ itÃ©rations de $G_{f_u}$.
 
 Soit alors la  stratÃ©gie $\tilde S$ qui alterne les $t_1$ premiers termes
 de $S$ avec les $t_2$ premiers termes de $S'$. 
@@ -85,7 +85,7 @@ Ainsi $\tilde S$ est dÃ©finie par
 (s_0,\dots,s_{t_1-1},s'_0,\dots,s'_{t_2-1},s_0,\dots,s_{t_1-1},s'_0,\dots,s'_{t_2-1},s_0,\dots).
 \end{equation*}
 Il est Ã©vident que  $(x,\tilde S)$ s'obtient Ã  partir de  $(x,\tilde S)$ aprÃ¨s
-$t_1+t_2$ itÃ©rations parallÃ¨les de $G_f$. Ainsi $(x,\tilde S)$ est un point 
+$t_1+t_2$ itÃ©rations parallÃ¨les de $G_{f_u}$. Ainsi $(x,\tilde S)$ est un point 
 pÃ©riodique. Puisque $\tilde s_t$ est Ã©gal Ã  $s_t$ pour $t<t_1$, d'aprÃ¨s le 
 choix de  $t_1$, on a  $d((x,S),(x,\tilde S))<\epsilon$.
 \end{Proof}
@@ -94,8 +94,8 @@ On peut conclure  que $\mathcal{C} = \mathcal{R} \cap \mathcal{T}
 = \mathcal{T}$. On a alors la  caractÃ©risation suivante:
 
 \begin{theorem}%[Characterization of $\mathcal{C}$]
-\label{Th:CaracIC}  
-Soit $f:\Bool^{\mathsf{N}}\to\Bool^{\mathsf{N}}$. La fonction $G_f$ est chaotique  
-si et seulement si $\Gamma(f)$ est fortement connexe.
+\label{Th:CaracIC:up}  
+Soit $f:\Bool^{\mathsf{N}}\to\Bool^{\mathsf{N}}$. La fonction $G_{f_u}$ est chaotique  
+si et seulement si $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe.
 \end{theorem}
 
