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diff --git a/15RairoGen.tex b/15RairoGen.tex
index 06f84b1..432991f 100644
--- a/15RairoGen.tex
+++ b/15RairoGen.tex
@@ -6,25 +6,17 @@ le mot $x^b$ devrait  \og sembler ne plus dÃ©pendre\fg{} de $x^0$.
 On peut penser Ã  exploiter une de ces fonctions $G_f$ 
 comme un gÃ©nÃ©rateur alÃ©atoire. 
 
-Ce chapitre  prÃ©sente une application directe
+Ce chapitre  prÃ©sente donc une application directe
 de la thÃ©orie dÃ©veloppÃ©e ci-avant
 Ã  la gÃ©nÃ©ration de nombres pseudo alÃ©atoires. 
+La section~\ref{sub:prng:algo} 
+prÃ©sente tout d'abord l'algorithme de PRNG. La contrainte de  
+distribution uniforme de la sortie est discutÃ©e dans cette section.
+La chaoticitÃ© du gÃ©nÃ©rateur est ensuite Ã©tudiÃ©e en 
+section~\ref{prng:unaire:chaos}.
+La section~\ref{sub:prng:algo}  a Ã©tÃ© publiÃ©e Ã  ~\cite{bcgw11:ip,bcgr11:ip}.
 
 
-La suite de ce document donnera
-une condition nÃ©cessaire est suffisante pour que
-cette propriÃ©tÃ© soit satisfaite.
-
-
-On prÃ©sente tout d'abord le gÃ©nÃ©rateur
-basÃ© sur des fonctions chaotiques (section~\ref{sub:prng:algo}), 
-puis comment intÃ©grer la contrainte de distribution uniforme
-de la sortie 
-dans le choix de la fonction Ã  itÃ©rer (section~\ref{sub:prng:unif}). 
-L'approche est Ã©valuÃ©e dans la derniÃ¨re section.
-\JFC{plan Ã  revoir}
- 
-
 \section{ Nombres pseudo alÃ©atoires construits par itÃ©rations unaires}\label{sub:prng:algo}
 
 
@@ -304,7 +296,7 @@ ait une distribution suffisamment proche de la distribution uniforme.
 
 On Ã©nonce directement le thÃ©orÃ¨me suivant dont la preuve est donnÃ©e en annexes~\ref{anx:generateur}.
 
-\begin{theorem}\label{thm:prng:u}
+\begin{restatable}[UniformitÃ© de la sortie de l'algorithme~\ref{CI Algorithm}]{theorem}{PrngCIUniforme}\label{thm:prng:u}
   Soit $f: \Bool^{n} \rightarrow \Bool^{n}$, $\textsc{giu}(f)$ son 
   graphe d'itÃ©rations , $\check{M}$ sa matrice d'adjacence
   et $M$ une matrice  $2^n\times 2^n$  
@@ -315,7 +307,7 @@ On Ã©nonce directement le thÃ©orÃ¨me suivant dont la preuve est donnÃ©e en annex
   l'algorithme~\ref{CI Algorithm} suit une loi qui 
   tend vers la distribution uniforme si 
   et seulement si  $M$ est une matrice doublement stochastique.
-\end{theorem}
+\end{restatable}
 
 
 \subsection{Quelques exemples}
@@ -454,7 +446,7 @@ Montrer que les sous-sÃ©quences de suites chaotiques ainsi gÃ©nÃ©rÃ©es  demeuren
 est l'objectif de la section suivante.
 
 
-\section{Un PRNG basÃ© sur des itÃ©rations unaires qui est chaotique }
+\section{Un PRNG basÃ© sur des itÃ©rations unaires qui est chaotique }\label{prng:unaire:chaos}
 
 Cette section prÃ©sente un espace mÃ©trique adaptÃ© au gÃ©nÃ©rateur de nombres pseudo-alÃ©atoires 
 prÃ©sentÃ© Ã  l'algorithme~\ref{CI Algorithm} et prouve ensuite que la fonction qu'il reprÃ©sente 
@@ -661,9 +653,11 @@ la sÃ©quence.
 
 
 On a la proposition suivante, qui est dÃ©montrÃ©e en annexes~\ref{anx:generateur}.
-\begin{lemma}
+
+
+\begin{restatable}[Une distance dans $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$]{theorem}{distancedsxnp}
 $d$ est une distance sur $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$.
-\end{lemma}
+\end{restatable}
 
 
 \subsection{Le graphe $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(f)$ Ã©tendant  $\textsc{giu}(f)$}
@@ -677,7 +671,7 @@ dÃ©finit le graphe orientÃ© $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(f)$ de la maniÃ¨re suiva
 \item il y a un arc libellÃ© $u_0, \hdots, u_{p_i-1}$, $i \in \llbracket 1, \mathsf{p} \rrbracket$ entre les n{\oe}uds $x$ et $y$ si et seulement si $p_i$ est un Ã©lÃ©ment de 
 $\mathcal{P}$ (\textit{i.e.}, on peut itÃ©rer $p_i$ fois), et pour chaque 
 $k$, $0 \le k \le p_i-1$, on a 
- $u_k$ qui apaprtient Ã   $[\mathsf{N}]$ et 
+ $u_k$ qui appartient Ã   $[\mathsf{N}]$ et 
 $y=F_{f_u,p_i} (x, (u_0, \hdots, u_{p_i-1})) $.
 \end{itemize}
 Il n'est pas difficile de constater que $\textsc{giu}_{\{1\}}(f)$ est $\textsc{giu}(f)$.
@@ -743,24 +737,33 @@ Le dernier donnerait le comportement d'un gÃ©nÃ©rateur qui s'autoriserait
 Le thÃ©orÃ¨me suivant, similaire Ã  ceux dans $\mathcal{X}_u$ et dans $\mathcal{X}_g$
 est prouvÃ© en annexes~\ref{anx:generateur}.
 
-\begin{theorem}
+\begin{restatable}[Conditions pour la choticitÃ© de $G_{f_u,\mathcal{P}}$]{theorem}{thmchoticitgfp}
 La fonction $G_{f_u,\mathcal{P}}$ est chaotique sur 
  $(\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}},d)$ si et seulement si 
-graphe d'itÃ©ration $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(f)$ 
+le graphe d'itÃ©ration $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(f)$ 
 est fortement connexe.
-\end{theorem}
-On alors corollaire suivant 
-
-\begin{corollary}
-  Le gÃ©nÃ©rateur de nombre pseudo alÃ©atoire dÃ©taillÃ© 
-  Ã  l'algorithme~\ref{CI Algorithm}
-  n'est pas chaotique 
-  sur $(\mathcal{X}_{\mathsf{N},\{b\}},d)$ pour la fonction nÃ©gation.
-\end{corollary}
-\begin{proof}
-  Dans cet algorithme, $\mathcal{P}$ est le singleton $\{b\}$.
-  Que $b$ soit pair ou impair,  $\textsc{giu}_{\{b\}}(f)$
-  n'est pas fortement connexe.
-\end{proof}
-
+\end{restatable}
+% On alors corollaire suivant 
+
+% \begin{corollary}
+%   Le gÃ©nÃ©rateur de nombre pseudo alÃ©atoire dÃ©taillÃ© 
+%   Ã  l'algorithme~\ref{CI Algorithm}
+%   n'est pas chaotique 
+%   sur $(\mathcal{X}_{\mathsf{N},\{b\}},d)$ pour la fonction nÃ©gation.
+% \end{corollary}
+% \begin{proof}
+%   Dans cet algorithme, $\mathcal{P}$ est le singleton $\{b\}$.
+%   Que $b$ soit pair ou impair,  $\textsc{giu}_{\{b\}}(f)$
+%   n'est pas fortement connexe.
+% \end{proof}
+
+
+\section{Conclusion}
+Ce chapitre a proposÃ© un algorithme permettant de construire un 
+PRNG chaotique Ã  partir d'un PRNG existant. Pour ce faire, il est nÃ©cessaire 
+et suffisant que la fonction $f$ qui est itÃ©rÃ©e un nombre $b$ de fois 
+possÃ¨de un $\textsc{giu}_{\{b\}}(f)$ fortement connexe et que sa matrice de Markov associÃ©e soit doublement stochastique.
+Le chapitre suivant montre comment construire une telle fonction.
 
+ 
+ 
