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diff --git a/14Secrypt.tex b/14Secrypt.tex
index 10a4f85..b499f1b 100644
--- a/14Secrypt.tex
+++ b/14Secrypt.tex
@@ -12,18 +12,19 @@ Une approche plus pragmatique consiste  Ã  supprimer un cycle hamiltonien dans l
 graphe d'itÃ©rations $\textsc{giu}(\neg)$ (section~\ref{sec:hamiltonian}). 
 Pour obtenir plus rapidement une distribution uniforme, l'idÃ©al serait
 de supprimer un cycle hamiltonien qui nierait autant de fois chaque bit. 
-Cette forme de cycle est dit Ã©quilibrÃ©. La section~\ref{sub:gray} Ã©tablit le
-lien avec les codes de Gray Ã©quilibrÃ©s, Ã©tudiÃ©s dans la litÃ©rature. 
+Cette forme de cycle est dite Ã©quilibrÃ©. La section~\ref{sub:gray} Ã©tablit le
+lien avec les codes de Gray Ã©quilibrÃ©s, Ã©tudiÃ©s dans la littÃ©rature. 
 La section suivante prÃ©sente une dÃ©marche de gÃ©nÃ©ration automatique de code de Gray Ã©quilibrÃ© (section~\ref{sec:induction}).
 La vitesse avec laquelle l'algorithme de PRNG converge en interne vers 
-une distribution unifiorme est Ã©tduiÃ©e thÃ©oriquement et pratiquement Ã  la 
+une distribution uniforme est Ã©tudiÃ©e thÃ©oriquement et pratiquement Ã  la 
 section~\ref{sec:mixing}.
-L'extension du travail aux itÃ©rations gÃ©nÃ©ralisÃ©es est prÃ©sentÃ© Ã  la 
+L'extension du travail aux itÃ©rations gÃ©nÃ©ralisÃ©es est prÃ©sentÃ©e Ã  la 
 section~\ref{sec:prng:gray:general}.
-Finalement, des instances de PRNGS engendrÃ©s selon les mÃ©thodes dÃ©taillÃ©es dans 
-ce chapitre sont prÃ©sentÃ©s en section~\ref{sec:prng;gray:tests}.
-Les sections~\ref{sec:plc} Ã ~\ref{sub:gray} ont Ã©tÃ© publiÃ©es 
+Finalement, des instances de PRNGs engendrÃ©s selon les mÃ©thodes dÃ©taillÃ©es dans 
+ce chapitre sont prÃ©sentÃ©es en section~\ref{sec:prng;gray:tests}.
+Les sections~\ref{sec:plc}  Ã ~\ref{sub:gray} ont Ã©tÃ© publiÃ©es 
 Ã ~\cite{chgw+14:oip}.
+La section~\ref{sec:mixing} est publiÃ©e dans~\cite{ccgh16}.
 
 
 % This aim of this section is to show 
@@ -49,16 +50,16 @@ On cherche ainsi toutes les matrices $M$ de taille  $2^{\mathsf{N}}\times 2^{\ma
 configuration $i$ est infÃ©rieur Ã  ${\mathsf{N}}$;
 
 \item pour $j \neq i$,  $0 \le M_{ij} \le 1$: on construit l'arc de $i$ Ã  $j$ 
-si et seulement si $M_{ij}$ vaut 1 (et 0 sinon)
+si et seulement si $M_{ij}$ vaut 1 (et 0 sinon);
 \item pour chaque indice de ligne  $i$, $1 \le i\le 2^{\mathsf{N}}$, ${\mathsf{N}} = \sum_{1 \le j\le 2^{\mathsf{N}}} M_{ij}$: 
 la matrice est stochastique Ã  droite; 
 \item pour chaque indice de colonne $j$, 
   $1 \le j\le 2^{\mathsf{N}}$, ${\mathsf{N}} = \sum_{1 \le i\le 2^{\mathsf{N}}} M_{ij}$: 
   la matrice est stochastique Ã  gauche;
-\item Toutes les Ã©lÃ©ments de la somme $\sum_{1\le k\le 2^{\mathsf{N}}}M^k$ sont strictement positif, \textit{i.e.}, le graphe $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe;
+\item Tous les Ã©lÃ©ments de la somme $\sum_{1\le k\le 2^{\mathsf{N}}}M^k$ sont strictement positifs, \textit{i.e.}, le graphe $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe;
 \end{enumerate}
 Ce problÃ¨me s'exprime sur des domaines finis entiers avec des opÃ©rateurs  
-arithmÃ©tiques simples (sommes et produits). il pourrait thÃ©oriquement Ãªtre 
+arithmÃ©tiques simples (sommes et produits). Il pourrait thÃ©oriquement Ãªtre 
 traitÃ© par des dÃ©marches de programmation logique par contrainte
 sur des domaines finis (comme en PROLOG).
 L'algorithme donnÃ© en Figure~\ref{fig:prolog}
@@ -69,8 +70,8 @@ ici pour  $\mathsf{N} = 2$. Dans ce code,
 \verb+summ(+$X,Y,R$\verb+)+ 
 valent True si et seulement si $R$ 
 est le produit matriciel  (ou la somme matricielle) 
-entre  $X$ and $Y$ respectivement. 
-il n'est pas difficile d'adapter ce code Ã  n'importe quelle valeur 
+entre  $X$ et $Y$ respectivement. 
+Il n'est pas difficile d'adapter ce code Ã  n'importe quelle valeur 
 entiÃ¨re naturelle  $\mathsf{N}$.  
 
 \begin{figure}[ht]
@@ -100,15 +101,15 @@ bistoc(X):-
 \end{figure}
 
 Enfin, on dÃ©finit la relation $\mathcal{R}$, qui est Ã©tablie pour les deux 
-fonctions  $f$ et $g$ si leur graphes 
-respectifs  $\textsf{giu}(f)$ et $\textsf{giu}(g)$ 
+fonctions  $f$ et $g$ si leurs graphes 
+respectifs  $\textsc{giu}(f)$ et $\textsc{giu}(g)$ 
 sont isomorphes.
 C'est Ã©videmment une relation d'Ã©quivalence.
 
 
 
 %\subsection{Analyse de l'approche}\label{sub:prng:ana}
-ExÃ©cutÃ©e sur un ordinateur personnelle, PROLOG trouve 
+ExÃ©cutÃ©e sur un ordinateur personnel, PROLOG trouve 
 en moins d'une seconde les
 49 solutions pour  $n=2$, 
 dont 2 seulement ne sont pas Ã©quivalentes, 
@@ -120,9 +121,9 @@ Cette approche, basÃ©e sur une dÃ©marche de type \emph{gÃ©nÃ©rer, tester} ne peu
 pas Ãªtre retenue pour $n$ de grande taille, mÃªme 
 en s'appuyant sur l'efficience de l'algorithme de backtrack natif de PROLOG.
 
-Cependant, pour des valeurs de $n$ petites, nous avons 
+Cependant, pour des petites valeurs de $n$, nous avons 
 comparÃ© les fonctions non Ã©quivalentes selon leur proportion
-Ã  engendrer des temps de mÃ©lange petits (cf. Ã©quation~\ref{eq:mt:ex}).
+Ã  engendrer des temps de mÃ©lange petits (cf. Ã©quation~(\ref{eq:mt:ex})).
 
 
 
@@ -162,14 +163,14 @@ $$
 \end{table}
 \end{xpl}
 
-Une analyse syntaxique de ces fonctions ne permet pas, Ã  priori, 
+Une analyse syntaxique de ces fonctions ne permet pas, a priori, 
 de dÃ©duire des rÃ¨gles permettant de construire de nouvelles
-fonction dont le temps de mÃ©lange serait faible.
+fonctions dont le temps de mÃ©lange serait faible.
 Cependant, le graphe $\textsc{giu}(f^*)$ 
 (donnÃ© Ã  la Figure~\ref{fig:iteration:f*})
 est le $3$-cube dans lequel le cycle 
 $000,100,101,001,011,111,110,010,000$ 
-a Ã©tÃ© enlevÃ©. Dans cette figure, le le graphe $\textsc{giu}(f)$ est
+a Ã©tÃ© enlevÃ©. Dans cette figure, le  graphe $\textsc{giu}(f)$ est
 en continu tandis que le cycle est en pointillÃ©s.
 Ce cycle qui visite chaque n{\oe}ud exactement une fois est un  
 \emph{cycle hamiltonien}.
@@ -278,12 +279,12 @@ connexitÃ© du graphe d'itÃ©rations.
   La suppression d'un cycle hamiltonien dans une matrice de Markov $M$, issue du
   $n$-cube, produit une matrice doublement stochastique.
 \end{theorem}
-\begin{Proof}
+\begin{proof}
 
 Un cycle hamiltonien passe par chaque n{\oe}ud une et une seule fois.
 Pour chaque n{\oe}ud $v$ dans le $n$-cube $C_1$,
 une arÃªte entrante $(o,v)$ et une arÃªte sortante $(v,e)$ 
-est ainsi enlevÃ©e.
+sont ainsi enlevÃ©es.
 ConsidÃ©rons un autre  $n$-cube $C_2$ auquel on ajoute les arÃªtes 
 pour le rendre complet. La matrice de Markov $M$ correspondante est
 remplie de $\frac{1}{2^n}$ et est doublement stochastique.
@@ -302,7 +303,7 @@ $2^{n-1}$ arÃªtes menant Ã  $v$ qui sont enlevÃ©es.
 Dans $M$ les $2^{n-1}$ coefficients correspondants sont mis Ã  0 et 
 $M_{vv}$ vaut alors $\frac{2^{n-1} +1}{2}$.
 $M$ est donc doublement stochastique.
-\end{Proof}
+\end{proof}
 
 
 
@@ -312,7 +313,7 @@ $M$ est donc doublement stochastique.
 \end{theorem}
 
 
-\begin{Proof}
+\begin{proof}
 On considÃ¨re les deux $n$-cubes $C_1$ et $C_2$ dÃ©finis 
 dans la preuve du thÃ©orÃ¨me~\ref{th:supprCH}.
 Dans $C_1$ on considÃ¨re le cycle inverse $r$ du cycle
@@ -320,61 +321,59 @@ hamiltonien $c$.
 Aucun arc n'appartient Ã  la fois  Ã  $r$ et Ã  $c$: 
 en effet, sinon $c$ contiendrait un n{\oe}ud deux fois.
 Ainsi aucune arÃªte de $r$ n'est enlevÃ©e dans $C_1$.
-Le cycle $r$ est Ã©videment un cycle hamiltonien et contient tous les n{\oe}uds.
-Tous les n{\oe}uds de $C_1$ dans lequel $c$ a Ã©tÃ© enlevÃ© sont accessibles 
-depuis n'importe quel n{\oe}ud. Le graphe des itÃ©rations $\textsf{giu}$ qui
+Le cycle $r$ est Ã©videmment un cycle hamiltonien et contient tous les n{\oe}uds.
+Tous les n{\oe}uds de $C_1$ dans lesquels $c$ a Ã©tÃ© enlevÃ© sont accessibles 
+depuis n'importe quel n{\oe}ud. Le graphe des itÃ©rations $\textsc{giu}$ qui
 Ã©tend le prÃ©cÃ©dent graphe est ainsi fortement connexe. 
 
-\end{Proof}
+\end{proof}
 
 
 
 %Les preuves, relativement directes, sont  laissÃ©es en exercices au lecteur.  
-La gÃ©nÃ©ration de  cycles hamiltoniens dans le
-$n$-cube,  ce qui  revient Ã   trouver des  \emph{codes de  Gray  cycliques}.  On
-rappelle que  les codes de  Gray sont des  sÃ©quences de mots binaires  de taille
-fixe ($n$),  dont les Ã©lÃ©ments successifs ne  diffÃ©rent que par un  seul bit. Un
+GÃ©nÃ©rer un  cycle hamiltonien dans le
+$n$-cube revient Ã   trouver un  \emph{code de  Gray  cyclique}.  On
+rappelle qu'un code de  Gray est une  sÃ©quence de mots binaires  de taille
+fixe ($\mathsf{N}$),  dont les Ã©lÃ©ments successifs ne  diffÃ©rent que par un  seul bit. Un
 code  de  Gray est  \emph{cyclique}  si  le premier  Ã©lÃ©ment  et  le dernier  ne
 diffÃ©rent que par un seul bit.
 
 \section{Lien avec les codes de Gray cycliques (totalement) Ã©quilibrÃ©s}
 \label{sub:gray}
 
-La borne  infÃ©rieure du  nombre de codes  de Gray  ($\left(\frac{n*\log2}{e \log
+Un minorant du  nombre de codes  de Gray  ($\left(\frac{n*\log2}{e \log
     \log   n}\times(1  -  o(1))\right)^{2^n}$),   donnÃ©e  dans~\cite{Feder2009NTB},
 indique  une explosion combinatoire  pour notre  recherche.  Afin  de contourner
 cette  difficultÃ©,  nous  nous   restreignons  aux  codes  induisant  un  graphe
-d'itÃ©rations $\textsf{giu}(f)$  \emph{uniforme}.  Cette uniformitÃ© se  traduit par des
+d'itÃ©rations $\textsc{giu}(f)$  \emph{uniforme}.  Cette uniformitÃ© se  traduit par des
 nombres d'arcs  Ã©quilibrÃ©s entre les  \emph{dimensions} du graphe,  la dimension
 $i$  correspondant aux  seules variations  du  bit $i$  (parmi les  $n$ bits  au
 total).   Cette  approche  revient  Ã   chercher  des  codes  de  Gray  cycliques
 \emph{Ã©quilibrÃ©s}.
 
-Un code de Gray Ã©quilibrÃ© peut Ãªtre dÃ©fini de la faÃ§on suivante :
-
-\begin{Def}[Code de Gray cyclique Ã©quilibrÃ©]\label{def:grayequ}
-  Soit $L = w_1,  w_2, \dots, w_{2^n}$ la sÃ©quence d'un code  de Gray cyclique Ã 
-  $n$ bits.  Soit $S = s_1,  s_2, \dots, s_{2^n}$ la sÃ©quence des transitions oÃ¹
-  $s_i$, $1  \le i \le 2^n$  est l'indice du seul  bit qui varie  entre les mots
-  $w_i$ et  $w_{i+1}$. Enfin, soit  $\textit{NT}_n : \{1,\dots,  n\} \rightarrow
-  \{0, \ldots, 2^n\}$  la fonction qui au paramÃ¨tre  $i$ associe le \emph{nombre
-    de transitions} prÃ©sentes dans la sÃ©quence $L$ pour le bit $i$, c'est-Ã -dire
-  le nombre d'occurrences de $i$ dans $S$.
+On formalise un code de Gray Ã©quilibrÃ© comme suit.
+Soit $L = w_1,  w_2, \dots, w_{2^n}$ la sÃ©quence d'un code  de Gray cyclique Ã 
+$n$ bits.  Soit $S = s_1,  s_2, \dots, s_{2^n}$ la sÃ©quence des transitions oÃ¹
+$s_i$, $1  \le i \le 2^n$  est l'indice du seul  bit qui varie  entre les mots
+$w_i$ et  $w_{i+1}$. Enfin, soit  $\textit{TC}_n : \{1,\dots,  n\} \rightarrow
+\{0, \ldots, 2^n\}$  la fonction qui au paramÃ¨tre  $i$ associe le \emph{nombre
+  de transitions} prÃ©sentes dans la sÃ©quence $L$ pour le bit $i$, c'est-Ã -dire
+le nombre d'occurrences de $i$ dans $S$.
   
-  Le      code       $L$      est      \textbf{Ã©quilibrÃ©}       si      $\forall
-  i,j\in\{1,...,n\},~|\textit{NT}_n(i)  -  \textit{NT}_n(j)|  \le  2$.   Il  est
-  \textbf{totalement             Ã©quilibrÃ©}             si             $\forall
-  i\in\{1,...,n\},~\textit{NT}_n(i)=\frac{2^n}{n}$.
-\end{Def}
+Le      code       $L$      est      \textbf{Ã©quilibrÃ©}       si      $\forall
+i,j\in\{1,...,n\},~|\textit{TC}_n(i)  -  \textit{TC}_n(j)|  \le  2$.   Il  est
+\textbf{totalement             Ã©quilibrÃ©}             si             $\forall
+i\in\{1,...,n\},~\textit{TC}_n(i)=\frac{2^n}{n}$.
+
 
 On peut  donc dÃ©jÃ  dÃ©duire  qu'il ne peut  exister des codes de  Gray totalement
 Ã©quilibrÃ©s que  pour les  systÃ¨mes ayant un  nombre d'Ã©lÃ©ments $n=2^k,  k>0$. De
-plus,  comme  dans tout  code  de  Gray  cyclique, $\textit{NT}_n(i)$  est  pair
+plus,  comme  dans tout  code  de  Gray  cyclique, $\textit{TC}_n(i)$  est  pair
 $\forall  i\in\{1,...,n\}$,  alors  les  systÃ¨mes  ayant  un  nombre  d'Ã©lÃ©ments
 diffÃ©rent  de $2^k$,  ne peuvent  avoir  que des  codes de  Gray Ã©quilibrÃ©s  avec
-$\textit{NT}_n(i)=\lfloor\frac{2^n}{n}\rfloor$                                 ou
-$\textit{NT}_n(i)=\lceil\frac{2^n}{n}\rceil,    \forall    i\in\{1,...,n\}$   et
-vÃ©rifiant $\sum_{i=1}^nNT_n(i) = 2^n$.
+$\textit{TC}_n(i)=\lfloor\frac{2^n}{n}\rfloor$                                 ou
+$\textit{TC}_n(i)=\lceil\frac{2^n}{n}\rceil,    \forall    i\in\{1,...,n\}$   et
+vÃ©rifiant $\sum_{i=1}^n\textit{TC}_n(i) = 2^n$.
 
 \begin{xpl}
   Soit  $L^*=000,100,101,001,011,111,110,010$ le code  de Gray  correspondant au
@@ -393,7 +392,7 @@ vÃ©rifiant $\sum_{i=1}^nNT_n(i) = 2^n$.
 \section{GÃ©nÃ©ration de codes de Gray Ã©quilibrÃ©s par induction}
 \label{sec:induction}
 
-De nombreuses approches ont Ã©tÃ© developpÃ©es pour rÃ©soudre le problÃ¨me de construire
+De nombreuses approches ont Ã©tÃ© dÃ©veloppÃ©es pour rÃ©soudre le problÃ¨me de construire
 un code de Gray dans un $\mathsf{N}$-cube~\cite{Robinson:1981:CS,DBLP:journals/combinatorics/BhatS96,ZanSup04}, 
 selon les propriÃ©tÃ©s que doit vÃ©rifier ce code.
 
@@ -404,52 +403,52 @@ pour peu que l'utilisateur fournisse une sous-sÃ©quence possÃ©dant certaines
 propriÃ©tÃ©s Ã  chaque pas inductif.
 Ce travail a Ã©tÃ© renforcÃ© dans ~\cite{DBLP:journals/combinatorics/BhatS96}
 oÃ¹ les auteurs donnent une maniÃ¨re explicite de construire une telle sous-sÃ©quence.
-Enfin, les autheurs de~\cite{ZanSup04} prÃ©sentent une extension de l'algorithme de
+Enfin, les auteurs de~\cite{ZanSup04} prÃ©sentent une extension de l'algorithme de
 \emph{Robinson-Cohn}. La prÃ©sentation rigoureuse de cette extension leur permet 
 principalement de prouver que si $\mathsf{N}$ est une puissance de 2, 
 le code de Gray Ã©quilibrÃ© engendrÃ© par l'extension est toujours totalement Ã©quilibrÃ© et 
 que $S_{\mathsf{N}}$ est la sÃ©quence de transition d'un code de Gray de $\mathsf{N}$ bits 
-si  $S_{\mathsf{N}-2}$ l'est aussi.. 
+si  $S_{\mathsf{N}-2}$ l'est aussi. 
 Cependant les auteurs ne prouvent pas que leur approche fournit systÃ©matiquement  
 un code de Gray (totalement) Ã©quilibrÃ©. 
 Cette section montre que ceci est vrai en rappelant tout d'abord
 l'extension de l'algorithme de \emph{Robinson-Cohn} pour un 
-code de Gray avec $\mathsf{N}-2$ bits.
+code de Gray avec $\mathsf{N}-2$ bits
+dÃ©fini Ã  partir de la sÃ©quence $S_{\mathsf{N}-2}$.
 
 \begin{enumerate}
-\item \label{item:nondet}Soit $l$ un entier positif pair. Trouver des sous-sequences 
+\item \label{item:nondet}Soit $l$ un entier positif pair. Trouver des sous-sÃ©quences 
 $u_1, u_2, \dots , u_{l-2}, v$ (possiblement vides) de $S_{\mathsf{N}-2}$ 
 telles que $S_{\mathsf{N}-2}$ est la concatÃ©nation de  
 $$
 s_{i_1}, u_0, s_{i_2}, u_1, s_{i_3}, u_2, \dots , s_{i_l-1}, u_{l-2}, s_{i_l}, v
 $$
 oÃ¹ $i_1 = 1$, $i_2 = 2$, et $u_0 = \emptyset$ (la sÃ©quence vide).
-\item\label{item:u'} Remplacer dans $S_{\mathsf{N}-2}$ les sequences $u_0, u_1, u_2, \ldots, u_{l-2}$ 
+\item\label{item:u'} Remplacer dans $S_{\mathsf{N}-2}$ les sÃ©quences $u_0, u_1, u_2, \ldots, u_{l-2}$ 
   par 
   $\mathsf{N} - 1,  u'(u_1,\mathsf{N} - 1, \mathsf{N}) , u'(u_2,\mathsf{N}, \mathsf{N} - 1), u'(u_3,\mathsf{N} - 1,\mathsf{N}), \dots, u'(u_{l-2},\mathsf{N}, \mathsf{N} - 1)$
   respectivement, oÃ¹ $u'(u,x,y)$ est la sÃ©quence $u,x,u^R,y,u$ telle que 
   $u^R$ est $u$, mais dans l'ordre inverse. La sÃ©quence obtenue est ensuite notÃ©e $U$.
-\item\label{item:VW} Contruire les sÃ©quences $V=v^R,\mathsf{N},v$, $W=\mathsf{N}-1,S_{\mathsf{N}-2},\mathsf{N}$. Soit  alors $W'$ dÃ©finie commÃ© Ã©tant Ã©gale Ã  $W$ sauf pour les 
+\item\label{item:VW} Construire les sÃ©quences $V=v^R,\mathsf{N},v$, $W=\mathsf{N}-1,S_{\mathsf{N}-2},\mathsf{N}$. Soit  alors $W'$ dÃ©finie comme Ã©tant Ã©gale Ã  $W$ sauf pour les 
 deux premiers Ã©lÃ©ments qui ont Ã©tÃ© intervertis.
-\item La sÃ©quence de transition  $S_{\mathsf{N}}$ est la concatenation $U^R, V, W'$.
+\item La sÃ©quence de transition  $S_{\mathsf{N}}$ est la concatÃ©nation $U^R, V, W'$.
 \end{enumerate} 
 
 L'Ã©tape~(\ref{item:nondet}) n'est pas constructive: il n'est pas prÃ©cisÃ©
 comment sÃ©lectionner des sous-sÃ©quences qui assurent que le code obtenu est Ã©quilibrÃ©.
-La thÃ©oreme suivante montre que c'est possible et sa preuve explique comment le faire. 
+Le thÃ©orÃ¨me suivant montre que c'est possible et sa preuve,
+donnÃ©e en annexe~\ref{anx:generateur}, explique comment le faire. 
 
-
-\begin{theorem}\label{prop:balanced}
+\begin{restatable}[Existence d'un code de Gray Ã©quilibrÃ©]{theorem}{theograyequilibre}
+\label{prop:balanced}
 Soit $\mathsf{N}$ dans $\Nats^*$, et $a_{\mathsf{N}}$ dÃ©fini par 
 $a_{\mathsf{N}}= 2 \left\lfloor \dfrac{2^{\mathsf{N}}}{2\mathsf{N}} \right\rfloor$. 
-il existe une sÃ©quence $l$ dans l'Ã©tape~(\ref{item:nondet}) de l'extension
-de l'algorithme de \emph{Robinson-Cohn} extension telle que 
-le nombres de transitions $\textit{TC}_{\mathsf{N}}(i)$ 
-sont tous $a_{\mathsf{N}}$ ou $a_{\mathsf{N}}+2$ 
+Il existe une sÃ©quence $l$ dans l'Ã©tape~(\ref{item:nondet}) de l'extension
+de l'algorithme de \emph{Robinson-Cohn}  telle que 
+les nombres de transitions $\textit{TC}_{\mathsf{N}}(i)$ 
+valent tous $a_{\mathsf{N}}$ ou $a_{\mathsf{N}}+2$ 
 pour chaque  $i$, $1 \le i \le \mathsf{N}$.
-\end{theorem}
-
-La preuve de ce thÃ©orÃ¨me est donnÃ©e en annexes~\ref{anx:generateur}.
+\end{restatable}
 
 Ces fonctions Ã©tant gÃ©nÃ©rÃ©es, on s'intÃ©resse Ã  Ã©tudier Ã  quelle vitesse 
 un gÃ©nÃ©rateur les embarquant converge vers la distribution uniforme.
@@ -463,11 +462,11 @@ stratÃ©gie donnÃ©e.
 Tout d'abord, celles-ci peuvent Ãªtre interprÃ©tÃ©es comme une marche le long d'un 
 graphe d'itÃ©rations $\textsc{giu}(f)$ tel que le choix de tel ou tel arc est donnÃ© par la 
 stratÃ©gie.
-On remarque que ce graphe d'itÃ©ration est toujours un sous graphe 
+On remarque que ce graphe d'itÃ©rations est toujours un sous graphe 
 du   ${\mathsf{N}}$-cube augmentÃ© des 
 boucles sur chaque sommet, \textit{i.e.}, les arcs
 $(v,v)$ pour chaque $v \in \Bool^{\mathsf{N}}$. 
-Ainsi, le travail ci dessous rÃ©pond Ã  la question de 
+Ainsi, le travail ci-dessous rÃ©pond Ã  la question de 
 dÃ©finir la longueur du chemin minimum dans ce graphe pour 
 obtenir une distribution uniforme.
 Ceci se base sur la thÃ©orie des chaÃ®nes de Markov.
@@ -479,6 +478,8 @@ particuliÃ¨rement au chapitre sur les temps d'arrÃªt.
 
 
 
+
+
 \begin{xpl}
 On considÃ¨re par exemple le graphe $\textsc{giu}(f)$ donnÃ© Ã  la 
 \textsc{Figure~\ref{fig:iteration:f*}.} et la fonction de 
@@ -486,7 +487,7 @@ probabilitÃ©s $p$ dÃ©finie sur l'ensemble des arcs comme suit:
 $$
 p(e) \left\{
 \begin{array}{ll}
-= \frac{2}{3} \textrm{ si $e=(v,v)$ avec $v \in \Bool^3$,}\\
+= \frac{1}{2} + \frac{1}{6} \textrm{ si $e=(v,v)$ avec $v \in \Bool^3$,}\\
 = \frac{1}{6} \textrm{ sinon.}
 \end{array}
 \right.  
@@ -509,7 +510,17 @@ P=\dfrac{1}{6} \left(
 \]
 \end{xpl}
 
+On remarque que dans cette marche on reste sur place avec une probabilitÃ© Ã©gale 
+Ã  $\frac{1}{2}+\frac{1}{2\mathsf{N}}$ et l'on passe d'un sommet Ã  son voisin
+lorsque c'est possible avec une probabilitÃ© $\frac{1}{2\mathsf{N}}$.
+Les probabilitÃ©s usuelles que l'on appliquerait aux transitions de 
+l'algorithme~\ref{CI Algorithm} seraient quant Ã  elles uniformÃ©ment Ã©gales 
+Ã  $\frac{1}{\mathsf{N}}$.
+Cette maniÃ¨re paresseuse d'itÃ©rer (puisqu'on reste plus souvent sur place) n'est donc pas Ã©quivalente Ã  celle issue de l'algorithme. 
 
+Cependant, l'Ã©tude thÃ©orique de rÃ©fÃ©rence~\cite{LevinPeresWilmer2006}
+considÃ¨re cette marche comme cadre. S'inspirant de 
+celle-ci, le travail suivant se replace donc dans ce cadre thÃ©orique.
 
 
 Tout d'abord, soit $\pi$ et $\mu$ deux distributions sur 
@@ -520,7 +531,7 @@ $$\tv{\pi-\mu}=\max_{A\subset \Bool^{\mathsf{N}}} |\pi(A)-\mu(A)|.$$
 On sait que 
 $$\tv{\pi-\mu}=\frac{1}{2}\sum_{X\in\Bool^{\mathsf{N}}}|\pi(X)-\mu(X)|.$$
 De plus, si 
-$\nu$ est une distribution on $\Bool^{\mathsf{N}}$, on a 
+$\nu$ est une distribution sur $\Bool^{\mathsf{N}}$, on a 
 $$\tv{\pi-\mu}\leq \tv{\pi-\nu}+\tv{\nu-\mu}.$$
 
 Soit $P$ une matrice d'une chaÃ®ne de Markov sur $\Bool^{\mathsf{N}}$. 
@@ -533,81 +544,44 @@ $$d(t)=\max_{X\in\Bool^{\mathsf{N}}}\tv{P^t(X,\cdot)-\pi}$$
 et
 
 $$t_{\rm mix}(\varepsilon)=\min\{t \mid d(t)\leq \varepsilon\}.$$
-
-Un rÃ©sultat classique est
-
-$$t_{\rm mix}(\varepsilon)\leq \lceil\log_2(\varepsilon^{-1})\rceil t_{\rm mix}(\frac{1}{4})$$
-
-
-
-
-Soit $(X_t)_{t\in \mathbb{N}}$ une suite de  variables alÃ©atoires de 
-$\Bool^{\mathsf{N}}$.
-une variable alÃ©atoire $\tau$ dans $\mathbb{N}$ est un  
-\emph{temps d'arrÃªt} pour la suite
-$(X_i)$ si pour chaque $t$ il existe $B_t\subseteq
-(\Bool^{\mathsf{N}})^{t+1}$ tel que 
-$\{\tau=t\}=\{(X_0,X_1,\ldots,X_t)\in B_t\}$. 
-En d'autres termes, l'Ã©vÃ©nement $\{\tau = t \}$ dÃ©pend uniquement des valeurs 
-de  
-$(X_0,X_1,\ldots,X_t)$, et non de celles de $X_k$ pour $k > t$. 
  
-
-Soit $(X_t)_{t\in \mathbb{N}}$ une chaÃ®ne de Markov et 
-$f(X_{t-1},Z_t)$  une reprÃ©sentation fonctionnelle de celle-ci. 
-Un \emph{temps d'arrÃªt alÃ©atoire} pour la chaÃ®ne de 
-Markov  est un temps d'arrÃªt pour 
-$(Z_t)_{t\in\mathbb{N}}$.
-Si la chaÃ®ne de Markov  est irrÃ©ductible et a $\pi$
-comme distribution stationnaire, alors un 
-\emph{temps stationnaire} $\tau$ est temps d'arrÃªt alÃ©atoire
-(qui peut dÃ©pendre de la configuration initiale $X$),
-tel que la distribution de $X_\tau$ est $\pi$:
-$$\P_X(X_\tau=Y)=\pi(Y).$$
+Intuitivement, $t_{\rm mix}(\varepsilon)$ est le nombre d'itÃ©rations nÃ©cessaire 
+pour Ãªtre proche de la distribution stationnaire Ã  $\varepsilon$ prÃ¨s, 
+peu importe la configuration de dÃ©part. On a le thÃ©orÃ¨me suivant dÃ©montrÃ© en annexe~\ref{anx:generateur}.
 
 
-Un temps d'arrÃªt  $\tau$ est qualifiÃ© de  \emph{fort} si  $X_{\tau}$ 
-est indÃ©pendant de  $\tau$.  On a les deux thÃ©orÃ¨mes suivants, dont les 
-dÃ©monstrations sont donnÃ©es en annexes~\ref{anx:generateur}.
-
-
-\begin{theorem}
-Si $\tau$ est un temps d'arrÃªt fort, alors $d(t)\leq \max_{X\in\Bool^{\mathsf{N}}}
-\P_X(\tau > t)$.
-\end{theorem}
-
-
-Soit alors $\ov{h} : \Bool^{\mathsf{N}} \rightarrow \Bool^{\mathsf{N}}$ la fonction 
-telle que pour $X \in \Bool^{\mathsf{N}} $, 
-$(X,\ov{h}(X)) \in E$ et $X\oplus\ov{h}(X)=0^{{\mathsf{N}}-h(X)}10^{h(X)-1}$. 
-La fonction $\ov{h}$ est dite  {\it anti-involutive} si pour tout $X\in \Bool^{\mathsf{N}}$,
-$\ov{h}(\ov{h}(X))\neq X$. 
+\begin{restatable}[Temps de mixage sans chemin hamiltonien]{theorem}{theotpsmix}
+\label{theo:tmps:mix}
+On considÃ¨re un $\mathsf{N}$-cube dans lequel un chemin hamiltonien a Ã©tÃ© supprimÃ© et la fonction de 
+probabilitÃ©s $p$ dÃ©finie sur l'ensemble des arcs comme suit:
+\[
+p(e) \left\{
+\begin{array}{ll}
+= \frac{1}{2} + \frac{1}{2\mathsf{N}} \textrm{ si $e=(v,v)$ avec $v \in \Bool^{\mathsf{N}}$,}\\
+= \frac{1}{2\mathsf{N}} \textrm{ sinon.}
+\end{array}
+\right.  
+\]
 
+La chaÃ®ne de Markov associÃ©e converge vers la distribution uniforme et 
 
-\begin{theorem} \label{prop:stop}
-Si $\ov{h}$ is bijective et anti involutive 
-$\ov{h}(\ov{h}(X))\neq X$, alors
-$E[\ts]\leq 8{\mathsf{N}}^2+ 4{\mathsf{N}}\ln ({\mathsf{N}}+1)$. 
-\end{theorem}
+\[
+\forall \varepsilon >0,\, t_{\rm mix}(\varepsilon) \le 
+x
+\leq \lceil\log_2(\varepsilon^{-1})
+(32 {\mathsf{N}}^2+ 16{\mathsf{N}}\ln ({\mathsf{N}}+1)) 
+\] 
+\end{restatable}
 
-Les dÃ©tails de la preuve sont donnÃ©s en annexes~\ref{anx:generateur}.
-On remarque tout d'abord que la chaÃ®ne de Markov proposÃ©e ne suit pas exactement
-l'algorithme~\ref{CI Algorithm}. En effet dans la section prÃ©sente, 
-la probabilitÃ© de rester dans une configuration donnÃ©e 
-est fixÃ©e Ã  $frac{1}{2}+\frac{1}{2n}$.
-Dans l'algorithme initial, celle-ci est de ${1}{n}$.
-Cette version, qui reste davantage sur place que l'algorithme original,
-a Ã©tÃ© introduite pour simplifier le calcul de la borne sup 
-du temps d'arrÃªt.   
 
 
 Sans entrer dans les dÃ©tails de la preuve, on remarque aussi
-que le calcul  de cette borne impose uniquement que 
+que le calcul  de ce majorant impose uniquement que 
 pour chaque n{\oe}ud du $\mathsf{N}$-cube 
 un arc entrant et un arc sortant sont supprimÃ©s.
 Le fait qu'on enlÃ¨ve un cycle  hamiltonien et que ce dernier 
 soit Ã©quilibrÃ© n'est pas pris en compte.
-En intÃ©grant cette contrainte, la borne supÃ©rieure pourrait Ãªtre rÃ©duite.
+En intÃ©grant cette contrainte, ce majorant  pourrait Ãªtre rÃ©duit.
 
 En effet, le temps de mixage est en $\Theta(N\ln N)$ lors d'une
 marche alÃ©atoire classique paresseuse dans le $\mathsf{N}$-cube.
@@ -616,17 +590,17 @@ dans le contexte du $\mathsf{N}$-cube privÃ© d'un chemin hamiltonien.
 
 On peut Ã©valuer ceci pratiquement: pour une fonction
 $f: \Bool^{\mathsf{N}} \rightarrow \Bool^{\mathsf{N}}$ et une graine initiale
-$x^0$, le code donnÃ© Ã  l'algorithme algorithm~\ref{algo:stop} retourne le 
+$x^0$, le code donnÃ© Ã  l'algorithme~\ref{algo:stop} retourne le 
 nombre d'itÃ©rations suffisant tel que tous les Ã©lÃ©ments $\ell\in \llbracket 1,{\mathsf{N}} \rrbracket$ sont Ã©quitables. Il permet de dÃ©duire une approximation de $E[\ts]$
 en l'instanciant un grand nombre de fois: pour chaque nombre $\mathsf{N}$, 
-$ 3 \le \mathsf{N} \le 16$, 10 fonctionss ont Ã©tÃ© gÃ©nÃ©rÃ©es comme dans 
+$ 3 \le \mathsf{N} \le 16$, 10 fonctions ont Ã©tÃ© gÃ©nÃ©rÃ©es comme dans 
 ce chapitre. Pour chacune d'elle, le calcul d'une approximation de $E[\ts]$
-est exÃ©cutÃ© 10000 fois avec une graine alÃ©atoire.La Figure~\ref{fig:stopping:moy}
-rÃ©sume ces resultats. Dans celle-ci, un cercle  reprÃ©sente une approximation de 
+est exÃ©cutÃ© 10000 fois avec une graine alÃ©atoire. La Figure~\ref{fig:stopping:moy}
+rÃ©sume ces rÃ©sultats. Dans celle-ci, un cercle  reprÃ©sente une approximation de 
 $E[\ts]$ pour un  $\mathsf{N}$ donnÃ© tandis que la courbe est une reprÃ©sentation de 
 la fonction $x \mapsto 2x\ln(2x+8)$. 
-On  cosntate que l'approximation de $E[\ts]$ est largement infÃ©rieure 
-Ã  la borne quadratique donnÃ©e au thÃ©rÃ¨me~\ref{prop:stop} et que la conjecture 
+On  constate que l'approximation de $E[\ts]$ est largement infÃ©rieure 
+au majorant quadratique donnÃ© au thÃ©orÃ¨me~\ref{prop:stop} et que la conjecture 
 donnÃ©e au paragraphe prÃ©cÃ©dent est sensÃ©e.
 
 
@@ -650,7 +624,7 @@ $\textit{fair}\leftarrow\emptyset$\;
 }
 \Return{$\textit{nbit}$}\;
 %\end{scriptsize}
-\caption{Pseudo Code of stoping time calculus }
+\caption{Pseudo-code pour Ã©valuer le temps d'arrÃªt}
 \label{algo:stop}
 \end{algorithm}
 
@@ -658,14 +632,14 @@ $\textit{fair}\leftarrow\emptyset$\;
 \begin{figure}
 \centering
 \includegraphics[width=0.49\textwidth]{images/complexityET}
-\caption{Average Stopping Time Approximation}\label{fig:stopping:moy}
+\caption{Interpolation du temps d'arrÃªt}\label{fig:stopping:moy}
 \end{figure}
 
 
 
 
 \section{Et les itÃ©rations gÃ©nÃ©ralisÃ©es?}\label{sec:prng:gray:general}
-Le chaptire prÃ©cÃ©dent a prÃ©sentÃ© un algorithme de 
+Le chapitre prÃ©cÃ©dent a prÃ©sentÃ© un algorithme de 
 PRNG construit Ã  partir d'itÃ©rations unaires. 
 On pourrait penser que cet algorithme est peu efficace puisqu'il 
 dispose d'une fonction $f$ de $\Bool^n$ dans lui mÃªme mais il ne modifie Ã  
@@ -698,7 +672,7 @@ la ligne $s\leftarrow{\textit{Set}(\textit{Random}(2^n))}$ est diffÃ©rente.
 Dans celle-ci la fonction  $\textit{Set}   :    \{1,\ldots,2^n\}   \rightarrow
 \mathcal{P}(\{1,\ldots   n\})$   retourne  l'ensemble   dont   la   fonction
 caractÃ©ristique  serait  reprÃ©sentÃ©e par  le  nombre  donnÃ©  en argument.
-Par exemple, pour $n=3$, l'ensemble $\textit{Set}(6)$ vaudraitt $\{3,2\}$.
+Par exemple, pour $n=3$, l'ensemble $\textit{Set}(6)$ vaudrait $\{3,2\}$.
 On remarque aussi que l'argument de la fonction  $\textit{Random}$
 passe de $n$ Ã  $2^n$.
 
@@ -713,7 +687,7 @@ gÃ©nÃ©ralisÃ©es.
   dÃ©finie par 
   $M = \dfrac{1}{2^n} \check{M}$.
   Si $\textsc{gig}(f)$ est fortement connexe, alors 
-  la sortie du gÃ©nÃ©rateur de nombres pseudo alÃ©atoires dÃ©taillÃ© par 
+  la sortie du gÃ©nÃ©rateur de nombres pseudo-alÃ©atoires dÃ©taillÃ© par 
   l'algorithme~\ref{CI Algorithm:prng:g} suit une loi qui 
   tend vers la distribution uniforme si 
   et seulement si  $M$ est une matrice doublement stochastique.
@@ -725,8 +699,9 @@ Elle n'est donc pas rappelÃ©e.
 \begin{xpl}
 
   On reprend l'exemple donnÃ© Ã  la section~\ref{sec:plc}.
-  Dans le $3$-cube, le cycle hamiltonien dÃ©fini par la sÃ©quence
-  $000,100,101,001,011,111,110,010,000$ a Ã©tÃ© supprimÃ© engendrant 
+  On considÃ¨re le cycle hamiltonien dÃ©fini par la sÃ©quence
+  $000,100,101,001,011,111,110,010,000$. En supprimant celui-ci dans 
+  le $3$-cube, cela engendre 
   la fonction $f^*$ dÃ©finie par 
   $$f^*(x_1,x_2,x_3)=
   (x_2 \oplus x_3, \overline{x_1}.\overline{x_3} + x_1\overline{x_2},
@@ -857,7 +832,7 @@ fonctions qui  ont Ã©tÃ©  gÃ©nÃ©rÃ©es selon  la mÃ©thode dÃ©taillÃ©e
 Ã  la  section~\ref{sec:hamiltonian}.
 Pour  chaque nombre $n=3$,  $4$, $5$ et $6$,
 tous  les cycles  hamiltoniens non isomorphes  ont Ã©tÃ© gÃ©nÃ©rÃ©s.   Pour les
-valeur de $n=7$ et $8$,  seules $10^{5}$ cycles ont Ã©tÃ© Ã©valuÃ©s.  Parmi
+valeur de $n=7$ et $8$,  seuls $10^{5}$ cycles ont Ã©tÃ© Ã©valuÃ©s.  Parmi
 toutes  les fonctions  obtenues en  enlevant du  $n$-cube ces  cycles,  n'ont Ã©tÃ©
 retenues que celles  qui minimisaient le temps de mÃ©lange relatif  Ã  une valeur de
 $\epsilon$ fixÃ©e Ã  $10^{-8}$ et pour un mode donnÃ©.  
@@ -867,22 +842,22 @@ colonne sous la variable $b$.
 La variable $b'$ reprend le temps de mÃ©lange pour
 l'algorithme~\ref{CI Algorithm}. 
 On note que pour un nombre $n$ de bits fixÃ© et un mode donnÃ© d'itÃ©rations, 
-il peut avoir plusieurs fonctions minimisant ce temps de mÃ©lange. De plus, comme ce temps 
+il peut y avoir plusieurs fonctions minimisant ce temps de mÃ©lange. De plus, comme ce temps 
 de mÃ©lange est construit Ã  partir de la matrice de Markov et que celle-ci dÃ©pend 
 du mode, une fonction peut Ãªtre optimale pour un mode et  ne pas l'Ãªtre pour l'autre
 (c.f. pour $n=5$).
 
 Un second  rÃ©sultat est  que ce nouvel  algorithme rÃ©duit grandement  le nombre
 d'itÃ©rations  suffisant pour  obtenir une  faible  dÃ©viation par  rapport Ã   une
-distribution uniforme.  On constate de  plus que ce nombre dÃ©croit avec
+distribution uniforme.  On constate de  plus que ce nombre dÃ©croÃ®t avec
 le nombre d'Ã©lÃ©ments alors qu'il augmente dans l'approche initiale oÃ¹ 
 l'on marche.
 
 Cela s'explique assez simplement. Depuis une configuration initiale, le nombre 
 de configurations qu'on ne peut pas atteindre en une itÃ©ration est de: 
 \begin{itemize}
-\item $2^n-n$ en unaire. Ceci reprÃ©sente un rapport de 
-  $\dfrac{2^n-n}{2^n} = 1-\dfrac{n}{2^n}$ 
+\item $2^n-n-1$ en unaire. Ceci reprÃ©sente un rapport de 
+  $\dfrac{2^n-n-1}{2^n} = 1-\dfrac{n-1}{2^n}$ 
   de toutes les configurations; plus $n$ est grand, 
   plus ce nombre est proche de $1$, et plus grand devient le nombre 
   d'itÃ©rations nÃ©cessaires pour atteinte une dÃ©viation faible;
@@ -912,7 +887,7 @@ donc $b'*\ln(n)/(n*\ln(2))$ appels pour 1 bit gÃ©nÃ©rÃ© en moyenne.
 Le tableau~\ref{table:marchevssaute} donne des instances de 
 ces valeurs pour $n \in\{4,5,6,7,8\}$ et les fonctions  
 donnÃ©es au tableau~\ref{table:functions}.
-On constate que le nombre d'appels par bit gÃ©nÃ©rÃ© dÃ©croit avec $n$ dans le 
+On constate que le nombre d'appels par bit gÃ©nÃ©rÃ© dÃ©croÃ®t avec $n$ dans le 
 cas des itÃ©rations gÃ©nÃ©ralisÃ©es et est toujours plus faible
 que celui des itÃ©rations unaires.
 
@@ -931,7 +906,7 @@ $$
 \end{array}
 $$
 \caption{Nombre moyen 
-  d'appels Ã  un gÃ©nÃ©rateurs binaire par bit gÃ©nÃ©rÃ©}\label{table:marchevssaute}
+  d'appels Ã  un gÃ©nÃ©rateur binaire par bit gÃ©nÃ©rÃ©}\label{table:marchevssaute}
 \end{table}
 
 
@@ -956,20 +931,20 @@ permet de gÃ©nÃ©rer la stratÃ©gie alÃ©atoire.
  que la chaÃ®ne est considÃ©rÃ©e comme alÃ©atoire avec une confiance de $99\%$.
 
 
-Les tableau~\ref{fig:TEST:generalise} donnent
+Les tableaux~\ref{fig:TEST:generalise} donnent
 une vision synthÃ©tique de ces expÃ©rimentations. 
 Nous avons Ã©valuÃ© les fonctions prÃ©fixÃ©es par 
-$f$ (respecitvement $g$) avec les gÃ©nÃ©rateurs issus des itÃ©rations 
+$f$ (respectivement $g$) avec les gÃ©nÃ©rateurs issus des itÃ©rations 
 gÃ©nÃ©ralisÃ©es (resp. unaires).
 Quelle que soit la mÃ©thode utilisÃ©e, on constate que chacun des 
 gÃ©nÃ©rateurs passe 
-avec succes le test de NIST. 
+avec succÃ¨s le test de NIST. 
 
-InterprÃ©ter ces resultats en concluant que ces gÃ©nÃ©rateurs sont 
-tous Ã©quivalents serait erronÃ©: la meilleur des 
+InterprÃ©ter ces rÃ©sultats en concluant que ces gÃ©nÃ©rateurs sont 
+tous Ã©quivalents serait erronÃ©: la meilleure des 
 mÃ©thodes basÃ©es sur le mode des itÃ©rations
 gÃ©nÃ©ralisÃ©es (pour $n=8$ par exemple) 
-est au moins deux fois plus rapide que la meilleur de celles qui 
+est au moins deux fois plus rapide que la meilleure de celles qui 
 sont basÃ©es sur les itÃ©rations unaires.
 
 
@@ -1086,13 +1061,13 @@ ComplexitÃ© linaire& 0.005 (0.98)& 0.534 (0.99)& 0.085 (0.97)& 0.996 (1.0)\\ \hl
 
 
 \section{Conclusion}
-Ce chaptitre a montrÃ© comment construire un PRNG chaotique, notamment Ã  partir 
-de codes de Gray Ã©quilibrÃ©s. Une mÃ©thode completement automatique de
+Ce chapitre a montrÃ© comment construire un PRNG chaotique, notamment Ã  partir 
+de codes de Gray Ã©quilibrÃ©s. Une mÃ©thode complÃ¨tement automatique de
 construction de ce type de codes a Ã©tÃ© prÃ©sentÃ©e Ã©tendant les mÃ©thodes 
 existantes. 
 Dans le cas des itÃ©rations unaires, 
 l'algorithme qui en dÃ©coule a un temps de mÃ©lange qui a 
-une borne sup quadratique de convergence vers la distribution uniforme. 
+un majorant quadratique de convergence vers la distribution uniforme. 
 Pratiquement,  ce temps de mÃ©lange se rapproche de $N\ln N$.
 Les expÃ©rimentations au travers de la batterie de test de NIST ont montrÃ©
 que toutes les propriÃ©tÃ©s statistiques sont obtenues pour
