X-Git-Url: https://bilbo.iut-bm.univ-fcomte.fr/and/gitweb/hdrcouchot.git/blobdiff_plain/75aa438e61284f634375e2c1e62c79f2af12678f..ab1271f8b9509a86f3434c2389be47fe3a1c4d04:/15RairoGen.tex diff --git a/15RairoGen.tex b/15RairoGen.tex index 06f84b1..38920d8 100644 --- a/15RairoGen.tex +++ b/15RairoGen.tex @@ -6,26 +6,18 @@ le mot $x^b$ devrait \og sembler ne plus dépendre\fg{} de $x^0$. On peut penser à exploiter une de ces fonctions $G_f$ comme un générateur aléatoire. -Ce chapitre présente une application directe +Ce chapitre présente donc une application directe de la théorie développée ci-avant -à la génération de nombres pseudo aléatoires. +à la génération de nombres pseudo-aléatoires. +La section~\ref{sub:prng:algo} +présente tout d'abord l'algorithme de PRNG. La contrainte de +distribution uniforme de la sortie est discutée dans cette section. +La chaoticité du générateur est ensuite étudiée en +section~\ref{prng:unaire:chaos}. +La section~\ref{sub:prng:algo} a été publiée à ~\cite{bcgw11:ip,bcgr11:ip}. -La suite de ce document donnera -une condition nécessaire est suffisante pour que -cette propriété soit satisfaite. - - -On présente tout d'abord le générateur -basé sur des fonctions chaotiques (section~\ref{sub:prng:algo}), -puis comment intégrer la contrainte de distribution uniforme -de la sortie -dans le choix de la fonction à itérer (section~\ref{sub:prng:unif}). -L'approche est évaluée dans la dernière section. -\JFC{plan à revoir} - - -\section{ Nombres pseudo aléatoires construits par itérations unaires}\label{sub:prng:algo} +\section{ Nombres pseudo-aléatoires construits par itérations unaires}\label{sub:prng:algo} @@ -52,8 +44,8 @@ return $x$\; \end{algorithm} \subsection{Algorithme d'un générateur} -On peut penser à construire un générateur de nombres pseudo -aléatoires comme dans l'algorithme~\ref{CI Algorithm} donné ci-dessous. +On peut penser à construire un générateur de nombres +pseudo-aléatoires comme dans l'algorithme~\ref{CI Algorithm} donné ci-dessous. Celui-ci prend en entrée: une fonction $f$; @@ -64,10 +56,10 @@ la fonction $F_{f_u}$ (équation~\ref{eq:iterations:unaires} vue au chapitre~\ref{chap:carachaos}) et correspondant à des itérations unaires. En interne, il exploite un algorithme de génération -de nombres pseudo aléatoires donné en paramètre. +de nombres pseudo-aléatoires donné en paramètre. Cela peut être n'importe quel PRNG (XORshift, Mersenne-Twister) dont la sortie est uniformément distribuée. -Notre approche vise a donner des propriétés de chaos a ce générateur embarqué. +Notre approche vise a donner des propriétés de chaos à ce générateur embarqué. % \textit{Random}$(l)$. @@ -105,11 +97,11 @@ Notre approche vise a donner des propriétés de chaos a ce générateur embarqu Nous avons vu au chapitre~\ref{chap:carachaos} que $G_{f_u}$ est chaotique dans l'espace $\mathcal{X}_u$ -si et seulement le graphe d'itérations $\textsc{giu}(f)$ +si et seulement si le graphe d'itérations $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe. Pour $b=1$, l'algorithme itère la fonction $F_{f_u}$. -Pour simuler au mieux l'aléa, un bon générateur de nombre pseudo-aléatoires +Pour simuler au mieux l'aléa, un bon générateur de nombres pseudo-aléatoires se doit de fournir des nombres selon une distribution uniforme. Regardons comment l'uniformité de la distribution contraint la fonction $f$ à itérer. @@ -126,7 +118,7 @@ si la propriété suivante est établie: $$\exists k \in \mathds{N}^\ast, \forall i,j \in \llbracket 1; n \rrbracket, M_{ij}^k>0.$$ On énonce le théorème classique suivant liant les -vecteur de probabilités +vecteurs de probabilités et les chaînes de Markov. @@ -147,8 +139,8 @@ et les chaînes de Markov. Montrons sur un exemple jouet à deux éléments que ce théorème permet de vérifier si la sortie d'un générateur de -nombres pseudo aléatoires est uniformément distribuée ou non. -Soit alors $g$ et $h$ deux fonctions de $\Bool^2$ +nombres pseudo-aléatoires est uniformément distribuée ou non. +Soient alors $g$ et $h$ deux fonctions de $\Bool^2$ définies par $g(x_1,x_2)=(\overline{x_1},x_1.\overline{x_2}) $ et $h(x_1,x_2)=(\overline{x_1},x_1\overline{x_2}+\overline{x_1}x_2)$. Leurs graphes d'interactions donnés en figure \ref{fig:g:inter} et \ref{fig:h:inter} @@ -157,7 +149,7 @@ Leurs graphes d'itérations sont donc fortement connexes, ce que l'on peut vérifier aux figures~\ref{fig:g:iter} et~\ref{fig:h:iter}. \textit{A priori}, ces deux fonctions pourraient être intégrées -dans un générateur de nombres pseudo aléatoires. Montrons que ce n'est pas le cas pour $g$ et +dans un générateur de nombres pseudo-aléatoires. Montrons que ce n'est pas le cas pour $g$ et que cela l'est pour $h$. @@ -291,10 +283,10 @@ Alors d'après le théorème~\ref{th}, pour n'importe quel vecteur initial de probabilités $\pi^0$, on a $\lim_{k \to \infty} \pi^0 M^k_g = \pi_g$ et $\lim_{k \to \infty} \pi^0 M^k_h = \pi_h$. -Ainsi la chaîne de Markov associé à $h$ tend vers une +Ainsi la chaîne de Markov associée à $h$ tend vers une distribution uniforme, contrairement à celle associée à $g$. On en déduit que $g$ ne devrait pas être itérée dans -un générateur de nombres pseudo aléatoires. +un générateur de nombres pseudo-aléatoires. Au contraire, $h$ devrait pouvoir être embarquée dans l'algorithme~\ref{CI Algorithm}, pour peu que le nombre $b$ d'itérations entre deux mesures successives @@ -302,20 +294,20 @@ de valeurs soit suffisamment grand de sorte que le vecteur d’état de la chaîne de Markov ait une distribution suffisamment proche de la distribution uniforme. -On énonce directement le théorème suivant dont la preuve est donnée en annexes~\ref{anx:generateur}. +On énonce directement le théorème suivant dont la preuve est donnée en annexe~\ref{anx:generateur}. -\begin{theorem}\label{thm:prng:u} +\begin{restatable}[Uniformité de la sortie de l'algorithme~\ref{CI Algorithm}]{theorem}{PrngCIUniforme}\label{thm:prng:u} Soit $f: \Bool^{n} \rightarrow \Bool^{n}$, $\textsc{giu}(f)$ son graphe d'itérations , $\check{M}$ sa matrice d'adjacence et $M$ une matrice $2^n\times 2^n$ définie par $M = \dfrac{1}{n} \check{M}$. Si $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe, alors - la sortie du générateur de nombres pseudo aléatoires détaillé par + la sortie du générateur de nombres pseudo-aléatoires détaillé par l'algorithme~\ref{CI Algorithm} suit une loi qui tend vers la distribution uniforme si et seulement si $M$ est une matrice doublement stochastique. -\end{theorem} +\end{restatable} \subsection{Quelques exemples} @@ -333,7 +325,7 @@ Expliquons enfin comment a été calculé le nombre de la troisième colonne utilisé comme le paramètre $b$ dans l'algorithme~\ref{CI Algorithm}. -Soit $e_i$ le $i^{\textrm{ème}}$ vecteur la base canonique de $\R^{2^{n}}$. +Soit $e_i$ le $i^{\textrm{ème}}$ vecteur de la base canonique de $\R^{2^{n}}$. Chacun des éléments $v_j$, $1 \le j \le 2^n$, du vecteur $e_i M_f^t$ représente la probabilité d'être dans la configuration $j$ après $t$ étapes du processus de Markov @@ -439,7 +431,7 @@ $\mathcal{F}_{16}$ &14, 15, 13, 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0 La qualité des séquences aléatoires a été évaluée à travers la suite de tests statistiques développée pour les générateurs de nombres -pseudo aléatoires par le +pseudo-aléatoires par le \emph{National Institute of Standards and Technology} (NIST). L'expérience a montré notamment que toutes ces fonctions passent avec succès cette batterie de tests. @@ -454,7 +446,7 @@ Montrer que les sous-séquences de suites chaotiques ainsi générées demeuren est l'objectif de la section suivante. -\section{Un PRNG basé sur des itérations unaires qui est chaotique } +\section{Un PRNG basé sur des itérations unaires qui est chaotique }\label{prng:unaire:chaos} Cette section présente un espace métrique adapté au générateur de nombres pseudo-aléatoires présenté à l'algorithme~\ref{CI Algorithm} et prouve ensuite que la fonction qu'il représente @@ -486,7 +478,7 @@ F_{f_u}(\hdots (F_{f_u}(F_{f_u}(x,u^0), u^1), \hdots), u^{p_i-1}). $$ -on construit l'espace +On construit l'espace $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}= \mathds{B}^\mathsf{N} \times \mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$, où $\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}= [\mathsf{N}]^{\Nats}\times @@ -536,7 +528,7 @@ où $s=(u,v)$ et $\check{s}=(\check{u},\check{v})$ sont dans $ \mathds{S}_{\math \mathcal{S}_{\llbracket 1, \mathsf{N} \rrbracket} \times \mathcal{S}_\mathcal{P}$. \begin{enumerate} \item $e$ et $\check{e}$ sont des entiers appartenant à $\llbracket 0, 2^{\mathsf{N}-1} \rrbracket$. -La distance de Hamming $d_{\mathds{B}^\mathsf{N}}$ sur entre les +La distance de Hamming $d_{\mathds{B}^\mathsf{N}}$ entre les décompositions binaires de $e$ et de $\check{e}$ (\textit{i.e.}, le le nombre de bits qu'elles ont de différent) constitue la partie entière de $d(X,\check{X})$. @@ -566,7 +558,7 @@ jusqu'à atteindre $p+n\times \max{(\mathcal{P})}$ éléments. \item Si $v^0<\check{v}^0$, alors les $ \max{(\mathcal{P})}$ blocs de $n$ éléments sont $|u^0-\check{u}^0|$, ..., $|u^{v^0-1}-\check{u}^{v^0-1}|$, -$\check{u}^{v^0}$ (sur $n$ éléments), ..., $\check{u}^{\check{v}^0-1}$ (sur $n$ éléments), suivi par des 0, si besoin. +$\check{u}^{v^0}$ (sur $n$ éléments), ..., $\check{u}^{\check{v}^0-1}$ (sur $n$ éléments), suivis par des 0, si besoin. \item Le cas $v^0>\check{v}^0$ est similaire, et donc omis \end{enumerate} \item Les $p$ suivants sont $|v^1-\check{v}^1|$, etc. @@ -623,7 +615,7 @@ On prend alors le $v^0=1$ premier terme de $u$, chaque terme étant codé sur $n=2$ éléments, soit 06. Comme on itère au plus $\max{(\mathcal{P})}$ fois, on complète cette valeur par des 0 de sorte que -la chaîne obtenue a $n\times \max{(\mathcal{P})}=22$ éléments, soit: +la chaîne obtenue ait $n\times \max{(\mathcal{P})}=22$ éléments, soit: 0600000000000000000000. De manière similaire, les $\check{v}^0=2$ premiers termes de $\check{u}$ sont représentés par @@ -660,10 +652,12 @@ la séquence. -On a la proposition suivante, qui est démontrée en annexes~\ref{anx:generateur}. -\begin{lemma} +On a la proposition suivante, qui est démontrée en annexe~\ref{anx:generateur}. + + +\begin{restatable}[Une distance dans $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$]{theorem}{distancedsxnp} $d$ est une distance sur $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$. -\end{lemma} +\end{restatable} \subsection{Le graphe $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(f)$ étendant $\textsc{giu}(f)$} @@ -677,7 +671,7 @@ définit le graphe orienté $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(f)$ de la manière suiva \item il y a un arc libellé $u_0, \hdots, u_{p_i-1}$, $i \in \llbracket 1, \mathsf{p} \rrbracket$ entre les n{\oe}uds $x$ et $y$ si et seulement si $p_i$ est un élément de $\mathcal{P}$ (\textit{i.e.}, on peut itérer $p_i$ fois), et pour chaque $k$, $0 \le k \le p_i-1$, on a - $u_k$ qui apaprtient à $[\mathsf{N}]$ et + $u_k$ qui appartient à $[\mathsf{N}]$ et $y=F_{f_u,p_i} (x, (u_0, \hdots, u_{p_i-1})) $. \end{itemize} Il n'est pas difficile de constater que $\textsc{giu}_{\{1\}}(f)$ est $\textsc{giu}(f)$. @@ -728,12 +722,12 @@ $h(x_1,x_2)=(\overline{x_1},x_1\overline{x_2}+\overline{x_1}x_2)$ déjà détail Le graphe $\textsc{giu}_{\{1\}}(h)$ a déjà été donné à la figure~\ref{fig:h:iter}. Les graphes $\textsc{giu}_{\{2\}}(h)$, $\textsc{giu}_{\{3\}}(h)$ et -$\textsc{giu}_{\{2,3\}}(h)$ sont respectivement donnés aux figure~\ref{fig:h2prng}, ~\ref{fig:h3prng} et ~\ref{fig:h23prng}. +$\textsc{giu}_{\{2,3\}}(h)$ sont respectivement donnés aux figures~\ref{fig:h2prng}, ~\ref{fig:h3prng} et ~\ref{fig:h23prng}. Le premier (respectivement le second) illustre le comportement du générateur lorsque qu'on itère exactement 2 fois (resp. 3 fois) puis qu'on affiche le résultat. Le dernier donnerait le comportement d'un générateur qui s'autoriserait -à itérer en interne systématiquement 2 ou trois fois avant de retourner un résultat. +à itérer en interne systématiquement 2 ou 3 fois avant de retourner un résultat. \end{xpl} @@ -741,26 +735,35 @@ Le dernier donnerait le comportement d'un générateur qui s'autoriserait \subsection{le PRNG de l'algorithme~\ref{CI Algorithm} est chaotique sur $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$} Le théorème suivant, similaire à ceux dans $\mathcal{X}_u$ et dans $\mathcal{X}_g$ -est prouvé en annexes~\ref{anx:generateur}. +est prouvé en annexe~\ref{anx:generateur}. -\begin{theorem} +\begin{restatable}[Conditions pour la chaoticité de $G_{f_u,\mathcal{P}}$]{theorem}{thmchoticitgfp} La fonction $G_{f_u,\mathcal{P}}$ est chaotique sur $(\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}},d)$ si et seulement si -graphe d'itération $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(f)$ +le graphe d'itérations $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(f)$ est fortement connexe. -\end{theorem} -On alors corollaire suivant - -\begin{corollary} - Le générateur de nombre pseudo aléatoire détaillé - à l'algorithme~\ref{CI Algorithm} - n'est pas chaotique - sur $(\mathcal{X}_{\mathsf{N},\{b\}},d)$ pour la fonction négation. -\end{corollary} -\begin{proof} - Dans cet algorithme, $\mathcal{P}$ est le singleton $\{b\}$. - Que $b$ soit pair ou impair, $\textsc{giu}_{\{b\}}(f)$ - n'est pas fortement connexe. -\end{proof} - +\end{restatable} +% On alors corollaire suivant + +% \begin{corollary} +% Le générateur de nombre pseudo aléatoire détaillé +% à l'algorithme~\ref{CI Algorithm} +% n'est pas chaotique +% sur $(\mathcal{X}_{\mathsf{N},\{b\}},d)$ pour la fonction négation. +% \end{corollary} +% \begin{proof} +% Dans cet algorithme, $\mathcal{P}$ est le singleton $\{b\}$. +% Que $b$ soit pair ou impair, $\textsc{giu}_{\{b\}}(f)$ +% n'est pas fortement connexe. +% \end{proof} + + +\section{Conclusion} +Ce chapitre a proposé un algorithme permettant de construire un +PRNG chaotique à partir d'un PRNG existant. Pour ce faire, il est nécessaire +et suffisant que la fonction $f$ qui est itérée un nombre $b$ de fois +possède un $\textsc{giu}_{\{b\}}(f)$ fortement connexe et que sa matrice de Markov associée soit doublement stochastique. +Le chapitre suivant montre comment construire une telle fonction. + +