X-Git-Url: https://bilbo.iut-bm.univ-fcomte.fr/and/gitweb/hdrcouchot.git/blobdiff_plain/78cd1e6fef0e2664357da1584c958f06b0820a88..01003216d61845263ad195f3ecf7334817d60407:/14Secrypt.tex diff --git a/14Secrypt.tex b/14Secrypt.tex index f1fae6f..e36720b 100644 --- a/14Secrypt.tex +++ b/14Secrypt.tex @@ -1,16 +1,29 @@ On a vu dans le chapitre précédent que pour avoir un générateur à sortie uniforme, il est nécessaire que la matrice d'adjacence du graphe d'itération du -système soit doublement stochastique. Nous présentons dans cette partie une -méthode permettant de générer de telles matrices. - -Les approches théoriques basées sur la programmation logique par contraintes sur -domaines finis ne sont pas envisageables en pratique dès que la taille des -matrices considérées devient suffisamment grande. - +système soit doublement stochastique. Nous présentons dans cette partie +des méthodes effectives permettant de générer de telles matrices. +La première est basée sur la programmation logique par contraintes +(Section~\ref{sec:plc}). +Cependant celle-ci souffre de ne pas passer à l'échelle et ne fournit pas +une solution en un temps raisonnable dès que la fonction à engendrer +porte sur un grand nombre de bits. Une approche plus pragmatique consiste à supprimer un cycle hamiltonien dans le -graphe d'itérations, ce qui revient à supprimer en chaque n{\oe}ud de ce graphe une -arête sortante et une arête entrante. +graphe d'itérations $\textsc{giu}(\neg)$ (section~\ref{sec:hamiltonian}). +Pour obtenir plus rapidement une distribution uniforme, l'idéal serait +de supprimer un cycle hamiltonien qui nierait autant de fois chaque bit. +Cette forme de cycle est dit équilibré. La section~\ref{sub:gray} établit le +lien avec les codes de Gray équilibrés, étudiés dans la littérature. +La section suivante présente une démarche de génération automatique de code de Gray équilibré (section~\ref{sec:induction}). +La vitesse avec laquelle l'algorithme de PRNG converge en interne vers +une distribution uniforme est étudiée théoriquement et pratiquement à la +section~\ref{sec:mixing}. +L'extension du travail aux itérations généralisées est présentée à la +section~\ref{sec:prng:gray:general}. +Finalement, des instances de PRNGS engendrés selon les méthodes détaillées dans +ce chapitre sont présentés en section~\ref{sec:prng;gray:tests}. +Les sections~\ref{sec:plc} à~\ref{sub:gray} ont été publiées +à~\cite{chgw+14:oip}. % This aim of this section is to show @@ -45,7 +58,7 @@ la matrice est stochastique à droite; \item Toutes les éléments de la somme $\sum_{1\le k\le 2^{\mathsf{N}}}M^k$ sont strictement positif, \textit{i.e.}, le graphe $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe; \end{enumerate} Ce problème s'exprime sur des domaines finis entiers avec des opérateurs -arithmétiques simples (sommes et produits). il pourrait théoriquement être +arithmétiques simples (sommes et produits). Il pourrait théoriquement être traité par des démarches de programmation logique par contrainte sur des domaines finis (comme en PROLOG). L'algorithme donné en Figure~\ref{fig:prolog} @@ -57,7 +70,7 @@ ici pour $\mathsf{N} = 2$. Dans ce code, valent True si et seulement si $R$ est le produit matriciel (ou la somme matricielle) entre $X$ and $Y$ respectivement. -il n'est pas difficile d'adapter ce code à n'importe quelle valeur +Il n'est pas difficile d'adapter ce code à n'importe quelle valeur entière naturelle $\mathsf{N}$. \begin{figure}[ht] @@ -87,15 +100,15 @@ bistoc(X):- \end{figure} Enfin, on définit la relation $\mathcal{R}$, qui est établie pour les deux -fonctions $f$ et $g$ si leur graphes -respectifs $\textsf{giu}(f)$ et $\textsf{giu}(g)$ +fonctions $f$ et $g$ si leurs graphes +respectifs $\textsc{giu}(f)$ et $\textsc{giu}(g)$ sont isomorphes. C'est évidemment une relation d'équivalence. %\subsection{Analyse de l'approche}\label{sub:prng:ana} -Exécutée sur un ordinateur personnelle, PROLOG trouve +Exécutée sur un ordinateur personnel, PROLOG trouve en moins d'une seconde les 49 solutions pour $n=2$, dont 2 seulement ne sont pas équivalentes, @@ -109,7 +122,7 @@ en s'appuyant sur l'efficience de l'algorithme de backtrack natif de PROLOG. Cependant, pour des valeurs de $n$ petites, nous avons comparé les fonctions non équivalentes selon leur proportion -à engendrer des temps de mélange petits (cf. équation~\ref{eq:mt:ex}). +à engendrer des temps de mélange petits (cf. équation~(\ref{eq:mt:ex})). @@ -156,7 +169,7 @@ Cependant, le graphe $\textsc{giu}(f^*)$ (donné à la Figure~\ref{fig:iteration:f*}) est le $3$-cube dans lequel le cycle $000,100,101,001,011,111,110,010,000$ -a été enlevé. Dans cette figure, le le graphe $\textsc{giu}(f)$ est +a été enlevé. Dans cette figure, le graphe $\textsc{giu}(f)$ est en continu tandis que le cycle est en pointillés. Ce cycle qui visite chaque n{\oe}ud exactement une fois est un \emph{cycle hamiltonien}. @@ -265,12 +278,12 @@ connexité du graphe d'itérations. La suppression d'un cycle hamiltonien dans une matrice de Markov $M$, issue du $n$-cube, produit une matrice doublement stochastique. \end{theorem} -\begin{Proof} +\begin{proof} Un cycle hamiltonien passe par chaque n{\oe}ud une et une seule fois. Pour chaque n{\oe}ud $v$ dans le $n$-cube $C_1$, une arête entrante $(o,v)$ et une arête sortante $(v,e)$ -est ainsi enlevée. +sont ainsi enlevées. Considérons un autre $n$-cube $C_2$ auquel on ajoute les arêtes pour le rendre complet. La matrice de Markov $M$ correspondante est remplie de $\frac{1}{2^n}$ et est doublement stochastique. @@ -289,7 +302,7 @@ $2^{n-1}$ arêtes menant à $v$ qui sont enlevées. Dans $M$ les $2^{n-1}$ coefficients correspondants sont mis à 0 et $M_{vv}$ vaut alors $\frac{2^{n-1} +1}{2}$. $M$ est donc doublement stochastique. -\end{Proof} +\end{proof} @@ -299,7 +312,7 @@ $M$ est donc doublement stochastique. \end{theorem} -\begin{Proof} +\begin{proof} On considère les deux $n$-cubes $C_1$ et $C_2$ définis dans la preuve du théorème~\ref{th:supprCH}. Dans $C_1$ on considère le cycle inverse $r$ du cycle @@ -312,56 +325,54 @@ Tous les n{\oe}uds de $C_1$ dans lequel $c$ a été enlevé sont accessibles depuis n'importe quel n{\oe}ud. Le graphe des itérations $\textsf{giu}$ qui étend le précédent graphe est ainsi fortement connexe. -\end{Proof} +\end{proof} %Les preuves, relativement directes, sont laissées en exercices au lecteur. -La génération de cycles hamiltoniens dans le -$n$-cube, ce qui revient à trouver des \emph{codes de Gray cycliques}. On -rappelle que les codes de Gray sont des séquences de mots binaires de taille -fixe ($n$), dont les éléments successifs ne différent que par un seul bit. Un +Générer un cycle hamiltonien dans le +$n$-cube revient à trouver un \emph{code de Gray cyclique}. On +rappelle qu'un code de Gray est une séquence de mots binaires de taille +fixe ($\mathsf{N}$), dont les éléments successifs ne différent que par un seul bit. Un code de Gray est \emph{cyclique} si le premier élément et le dernier ne différent que par un seul bit. \section{Lien avec les codes de Gray cycliques (totalement) équilibrés} \label{sub:gray} -La borne inférieure du nombre de codes de Gray ($\left(\frac{n*\log2}{e \log +Un minorant du nombre de codes de Gray ($\left(\frac{n*\log2}{e \log \log n}\times(1 - o(1))\right)^{2^n}$), donnée dans~\cite{Feder2009NTB}, indique une explosion combinatoire pour notre recherche. Afin de contourner cette difficulté, nous nous restreignons aux codes induisant un graphe -d'itérations $\textsf{giu}(f)$ \emph{uniforme}. Cette uniformité se traduit par des +d'itérations $\textsc{giu}(f)$ \emph{uniforme}. Cette uniformité se traduit par des nombres d'arcs équilibrés entre les \emph{dimensions} du graphe, la dimension $i$ correspondant aux seules variations du bit $i$ (parmi les $n$ bits au total). Cette approche revient à chercher des codes de Gray cycliques \emph{équilibrés}. -Un code de Gray équilibré peut être défini de la façon suivante : - -\begin{Def}[Code de Gray cyclique équilibré]\label{def:grayequ} - Soit $L = w_1, w_2, \dots, w_{2^n}$ la séquence d'un code de Gray cyclique à - $n$ bits. Soit $S = s_1, s_2, \dots, s_{2^n}$ la séquence des transitions où - $s_i$, $1 \le i \le 2^n$ est l'indice du seul bit qui varie entre les mots - $w_i$ et $w_{i+1}$. Enfin, soit $\textit{NT}_n : \{1,\dots, n\} \rightarrow - \{0, \ldots, 2^n\}$ la fonction qui au paramètre $i$ associe le \emph{nombre - de transitions} présentes dans la séquence $L$ pour le bit $i$, c'est-à-dire - le nombre d'occurrences de $i$ dans $S$. +On formalise un code de Gray équilibré comme suit. +Soit $L = w_1, w_2, \dots, w_{2^n}$ la séquence d'un code de Gray cyclique à +$n$ bits. Soit $S = s_1, s_2, \dots, s_{2^n}$ la séquence des transitions où +$s_i$, $1 \le i \le 2^n$ est l'indice du seul bit qui varie entre les mots +$w_i$ et $w_{i+1}$. Enfin, soit $\textit{TC}_n : \{1,\dots, n\} \rightarrow +\{0, \ldots, 2^n\}$ la fonction qui au paramètre $i$ associe le \emph{nombre + de transitions} présentes dans la séquence $L$ pour le bit $i$, c'est-à-dire +le nombre d'occurrences de $i$ dans $S$. - Le code $L$ est \textbf{équilibré} si $\forall - i,j\in\{1,...,n\},~|\textit{NT}_n(i) - \textit{NT}_n(j)| \le 2$. Il est - \textbf{totalement équilibré} si $\forall - i\in\{1,...,n\},~\textit{NT}_n(i)=\frac{2^n}{n}$. -\end{Def} +Le code $L$ est \textbf{équilibré} si $\forall +i,j\in\{1,...,n\},~|\textit{TC}_n(i) - \textit{TC}_n(j)| \le 2$. Il est +\textbf{totalement équilibré} si $\forall +i\in\{1,...,n\},~\textit{TC}_n(i)=\frac{2^n}{n}$. + On peut donc déjà déduire qu'il ne peut exister des codes de Gray totalement équilibrés que pour les systèmes ayant un nombre d'éléments $n=2^k, k>0$. De -plus, comme dans tout code de Gray cyclique, $\textit{NT}_n(i)$ est pair +plus, comme dans tout code de Gray cyclique, $\textit{TC}_n(i)$ est pair $\forall i\in\{1,...,n\}$, alors les systèmes ayant un nombre d'éléments différent de $2^k$, ne peuvent avoir que des codes de Gray équilibrés avec -$\textit{NT}_n(i)=\lfloor\frac{2^n}{n}\rfloor$ ou +$\textit{TC}_n(i)=\lfloor\frac{2^n}{n}\rfloor$ ou $\textit{NT}_n(i)=\lceil\frac{2^n}{n}\rceil, \forall i\in\{1,...,n\}$ et -vérifiant $\sum_{i=1}^nNT_n(i) = 2^n$. +vérifiant $\sum_{i=1}^n\textit{TC}_n(i) = 2^n$. \begin{xpl} Soit $L^*=000,100,101,001,011,111,110,010$ le code de Gray correspondant au @@ -380,7 +391,7 @@ vérifiant $\sum_{i=1}^nNT_n(i) = 2^n$. \section{Génération de codes de Gray équilibrés par induction} \label{sec:induction} -De nombreuses approches ont été developpées pour résoudre le problème de construire +De nombreuses approches ont été développées pour résoudre le problème de construire un code de Gray dans un $\mathsf{N}$-cube~\cite{Robinson:1981:CS,DBLP:journals/combinatorics/BhatS96,ZanSup04}, selon les propriétés que doit vérifier ce code. @@ -391,7 +402,7 @@ pour peu que l'utilisateur fournisse une sous-séquence possédant certaines propriétés à chaque pas inductif. Ce travail a été renforcé dans ~\cite{DBLP:journals/combinatorics/BhatS96} où les auteurs donnent une manière explicite de construire une telle sous-séquence. -Enfin, les autheurs de~\cite{ZanSup04} présentent une extension de l'algorithme de +Enfin, les auteurs de~\cite{ZanSup04} présentent une extension de l'algorithme de \emph{Robinson-Cohn}. La présentation rigoureuse de cette extension leur permet principalement de prouver que si $\mathsf{N}$ est une puissance de 2, le code de Gray équilibré engendré par l'extension est toujours totalement équilibré et @@ -401,32 +412,34 @@ Cependant les auteurs ne prouvent pas que leur approche fournit systématiquemen un code de Gray (totalement) équilibré. Cette section montre que ceci est vrai en rappelant tout d'abord l'extension de l'algorithme de \emph{Robinson-Cohn} pour un -code de Gray avec $\mathsf{N}-2$ bits. +code de Gray avec $\mathsf{N}-2$ bits +défini à partir de la séquence $S_{\mathsf{N}-2}$. \begin{enumerate} -\item \label{item:nondet}Soit $l$ un entier positif pair. Trouver des sous-sequences +\item \label{item:nondet}Soit $l$ un entier positif pair. Trouver des sous-séquences $u_1, u_2, \dots , u_{l-2}, v$ (possiblement vides) de $S_{\mathsf{N}-2}$ telles que $S_{\mathsf{N}-2}$ est la concaténation de $$ s_{i_1}, u_0, s_{i_2}, u_1, s_{i_3}, u_2, \dots , s_{i_l-1}, u_{l-2}, s_{i_l}, v $$ où $i_1 = 1$, $i_2 = 2$, et $u_0 = \emptyset$ (la séquence vide). -\item\label{item:u'} Remplacer dans $S_{\mathsf{N}-2}$ les sequences $u_0, u_1, u_2, \ldots, u_{l-2}$ +\item\label{item:u'} Remplacer dans $S_{\mathsf{N}-2}$ les séquences $u_0, u_1, u_2, \ldots, u_{l-2}$ par $\mathsf{N} - 1, u'(u_1,\mathsf{N} - 1, \mathsf{N}) , u'(u_2,\mathsf{N}, \mathsf{N} - 1), u'(u_3,\mathsf{N} - 1,\mathsf{N}), \dots, u'(u_{l-2},\mathsf{N}, \mathsf{N} - 1)$ respectivement, où $u'(u,x,y)$ est la séquence $u,x,u^R,y,u$ telle que $u^R$ est $u$, mais dans l'ordre inverse. La séquence obtenue est ensuite notée $U$. -\item\label{item:VW} Contruire les séquences $V=v^R,\mathsf{N},v$, $W=\mathsf{N}-1,S_{\mathsf{N}-2},\mathsf{N}$. Soit alors $W'$ définie commé étant égale à $W$ sauf pour les +\item\label{item:VW} Construire les séquences $V=v^R,\mathsf{N},v$, $W=\mathsf{N}-1,S_{\mathsf{N}-2},\mathsf{N}$. Soit alors $W'$ définie comme étant égale à $W$ sauf pour les deux premiers éléments qui ont été intervertis. -\item La séquence de transition $S_{\mathsf{N}}$ est la concatenation $U^R, V, W'$. +\item La séquence de transition $S_{\mathsf{N}}$ est la concaténation $U^R, V, W'$. \end{enumerate} L'étape~(\ref{item:nondet}) n'est pas constructive: il n'est pas précisé comment sélectionner des sous-séquences qui assurent que le code obtenu est équilibré. -La théoreme suivante montre que c'est possible et sa preuve explique comment le faire. +La théorème suivante montre que c'est possible et sa preuve, +donnée en annexes~\ref{anx:generateur}, explique comment le faire. - -\begin{theorem}\label{prop:balanced} +\begin{restatable}[Existence d'un code de Gray équilibré]{theorem}{theograyequilibre} +\label{prop:balanced} Soit $\mathsf{N}$ dans $\Nats^*$, et $a_{\mathsf{N}}$ défini par $a_{\mathsf{N}}= 2 \left\lfloor \dfrac{2^{\mathsf{N}}}{2\mathsf{N}} \right\rfloor$. il existe une séquence $l$ dans l'étape~(\ref{item:nondet}) de l'extension @@ -434,15 +447,13 @@ de l'algorithme de \emph{Robinson-Cohn} extension telle que le nombres de transitions $\textit{TC}_{\mathsf{N}}(i)$ sont tous $a_{\mathsf{N}}$ ou $a_{\mathsf{N}}+2$ pour chaque $i$, $1 \le i \le \mathsf{N}$. -\end{theorem} - -La preuve de ce théorème est donnée en annexes~\ref{anx:generateur}. +\end{restatable} Ces fonctions étant générées, on s'intéresse à étudier à quelle vitesse un générateur les embarquant converge vers la distribution uniforme. C'est l'objectif de la section suivante. -\section{Quantifier l'écart par rapport à la distribution uniforme} +\section{Quantifier l'écart par rapport à la distribution uniforme}\label{sec:mixing} On considère ici une fonction construite comme à la section précédente. On s'intéresse ici à étudier de manière théorique les itérations définies à l'équation~(\ref{eq:asyn}) pour une @@ -466,6 +477,8 @@ particulièrement au chapitre sur les temps d'arrêt. + + \begin{xpl} On considère par exemple le graphe $\textsc{giu}(f)$ donné à la \textsc{Figure~\ref{fig:iteration:f*}.} et la fonction de @@ -473,7 +486,7 @@ probabilités $p$ définie sur l'ensemble des arcs comme suit: $$ p(e) \left\{ \begin{array}{ll} -= \frac{2}{3} \textrm{ si $e=(v,v)$ avec $v \in \Bool^3$,}\\ += \frac{1}{2} + \frac{1}{6} \textrm{ si $e=(v,v)$ avec $v \in \Bool^3$,}\\ = \frac{1}{6} \textrm{ sinon.} \end{array} \right. @@ -496,6 +509,9 @@ P=\dfrac{1}{6} \left( \] \end{xpl} +On remarque que dans cette marche on reste sur place avec une probabilité + + @@ -530,7 +546,7 @@ $$t_{\rm mix}(\varepsilon)\leq \lceil\log_2(\varepsilon^{-1})\rceil t_{\rm mix}( Soit $(X_t)_{t\in \mathbb{N}}$ une suite de variables aléatoires de $\Bool^{\mathsf{N}}$. -une variable aléatoire $\tau$ dans $\mathbb{N}$ est un +Une variable aléatoire $\tau$ dans $\mathbb{N}$ est un \emph{temps d'arrêt} pour la suite $(X_i)$ si pour chaque $t$ il existe $B_t\subseteq (\Bool^{\mathsf{N}})^{t+1}$ tel que @@ -571,30 +587,31 @@ La fonction $\ov{h}$ est dite {\it anti-involutive} si pour tout $X\in \Bool^{\ $\ov{h}(\ov{h}(X))\neq X$. -\begin{theorem} \label{prop:stop} -Si $\ov{h}$ is bijective et anti involutive +\begin{restatable}[Majoration du temps d'arrêt]{theorem}{theostopmajorant} +\label{prop:stop} +Si $\ov{h}$ est bijective et anti involutive $\ov{h}(\ov{h}(X))\neq X$, alors $E[\ts]\leq 8{\mathsf{N}}^2+ 4{\mathsf{N}}\ln ({\mathsf{N}}+1)$. -\end{theorem} +\end{restatable} Les détails de la preuve sont donnés en annexes~\ref{anx:generateur}. On remarque tout d'abord que la chaîne de Markov proposée ne suit pas exactement l'algorithme~\ref{CI Algorithm}. En effet dans la section présente, la probabilité de rester dans une configuration donnée -est fixée à $frac{1}{2}+\frac{1}{2n}$. -Dans l'algorithme initial, celle-ci est de ${1}{n}$. +est fixée à $\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}$. +Dans l'algorithme initial, celle-ci est de $\frac{1}{n}$. Cette version, qui reste davantage sur place que l'algorithme original, -a été introduite pour simplifier le calcul de la borne sup +a été introduite pour simplifier le calcul d'un majorant du temps d'arrêt. Sans entrer dans les détails de la preuve, on remarque aussi -que le calcul de cette borne impose uniquement que +que le calcul de ce majorant impose uniquement que pour chaque n{\oe}ud du $\mathsf{N}$-cube un arc entrant et un arc sortant sont supprimés. Le fait qu'on enlève un cycle hamiltonien et que ce dernier soit équilibré n'est pas pris en compte. -En intégrant cette contrainte, la borne supérieure pourrait être réduite. +En intégrant cette contrainte, ce majorant pourrait être réduite. En effet, le temps de mixage est en $\Theta(N\ln N)$ lors d'une marche aléatoire classique paresseuse dans le $\mathsf{N}$-cube. @@ -603,17 +620,17 @@ dans le contexte du $\mathsf{N}$-cube privé d'un chemin hamiltonien. On peut évaluer ceci pratiquement: pour une fonction $f: \Bool^{\mathsf{N}} \rightarrow \Bool^{\mathsf{N}}$ et une graine initiale -$x^0$, le code donné à l'algorithme algorithm~\ref{algo:stop} retourne le +$x^0$, le code donné à l'algorithme ~\ref{algo:stop} retourne le nombre d'itérations suffisant tel que tous les éléments $\ell\in \llbracket 1,{\mathsf{N}} \rrbracket$ sont équitables. Il permet de déduire une approximation de $E[\ts]$ en l'instanciant un grand nombre de fois: pour chaque nombre $\mathsf{N}$, -$ 3 \le \mathsf{N} \le 16$, 10 fonctionss ont été générées comme dans +$ 3 \le \mathsf{N} \le 16$, 10 fonctions ont été générées comme dans ce chapitre. Pour chacune d'elle, le calcul d'une approximation de $E[\ts]$ -est exécuté 10000 fois avec une graine aléatoire.La Figure~\ref{fig:stopping:moy} -résume ces resultats. Dans celle-ci, un cercle représente une approximation de +est exécuté 10000 fois avec une graine aléatoire. La Figure~\ref{fig:stopping:moy} +résume ces résultats. Dans celle-ci, un cercle représente une approximation de $E[\ts]$ pour un $\mathsf{N}$ donné tandis que la courbe est une représentation de la fonction $x \mapsto 2x\ln(2x+8)$. -On cosntate que l'approximation de $E[\ts]$ est largement inférieure -à la borne quadratique donnée au thérème~\ref{prop:stop} et que la conjecture +On constate que l'approximation de $E[\ts]$ est largement inférieure +à le majorant quadratique donné au théorème~\ref{prop:stop} et que la conjecture donnée au paragraphe précédent est sensée. @@ -637,7 +654,7 @@ $\textit{fair}\leftarrow\emptyset$\; } \Return{$\textit{nbit}$}\; %\end{scriptsize} -\caption{Pseudo Code of stoping time calculus } +\caption{Pseudo Code pour évaluer le temps d'arrêt} \label{algo:stop} \end{algorithm} @@ -645,14 +662,14 @@ $\textit{fair}\leftarrow\emptyset$\; \begin{figure} \centering \includegraphics[width=0.49\textwidth]{images/complexityET} -\caption{Average Stopping Time Approximation}\label{fig:stopping:moy} +\caption{Interpolation du temps d'arrêt}\label{fig:stopping:moy} \end{figure} -\section{Et les itérations généralisées?} -Le chaptire précédent a présenté un algorithme de +\section{Et les itérations généralisées?}\label{sec:prng:gray:general} +Le chapitre précédent a présenté un algorithme de PRNG construit à partir d'itérations unaires. On pourrait penser que cet algorithme est peu efficace puisqu'il dispose d'une fonction $f$ de $\Bool^n$ dans lui même mais il ne modifie à @@ -685,7 +702,7 @@ la ligne $s\leftarrow{\textit{Set}(\textit{Random}(2^n))}$ est différente. Dans celle-ci la fonction $\textit{Set} : \{1,\ldots,2^n\} \rightarrow \mathcal{P}(\{1,\ldots n\})$ retourne l'ensemble dont la fonction caractéristique serait représentée par le nombre donné en argument. -Par exemple, pour $n=3$, l'ensemble $\textit{Set}(6)$ vaudraitt $\{3,2\}$. +Par exemple, pour $n=3$, l'ensemble $\textit{Set}(6)$ vaudrait $\{3,2\}$. On remarque aussi que l'argument de la fonction $\textit{Random}$ passe de $n$ à $2^n$. @@ -861,7 +878,7 @@ du mode, une fonction peut être optimale pour un mode et ne pas l'être pour l Un second résultat est que ce nouvel algorithme réduit grandement le nombre d'itérations suffisant pour obtenir une faible déviation par rapport à une -distribution uniforme. On constate de plus que ce nombre décroit avec +distribution uniforme. On constate de plus que ce nombre décroît avec le nombre d'éléments alors qu'il augmente dans l'approche initiale où l'on marche. @@ -899,7 +916,7 @@ donc $b'*\ln(n)/(n*\ln(2))$ appels pour 1 bit généré en moyenne. Le tableau~\ref{table:marchevssaute} donne des instances de ces valeurs pour $n \in\{4,5,6,7,8\}$ et les fonctions données au tableau~\ref{table:functions}. -On constate que le nombre d'appels par bit généré décroit avec $n$ dans le +On constate que le nombre d'appels par bit généré décroît avec $n$ dans le cas des itérations généralisées et est toujours plus faible que celui des itérations unaires. @@ -924,7 +941,7 @@ $$ -\section{Tests statistiques} +\section{Tests statistiques}\label{sec:prng;gray:tests} La qualité des séquences aléatoires produites par le générateur des itérations unaires ainsi que @@ -946,13 +963,13 @@ permet de générer la stratégie aléatoire. Les tableau~\ref{fig:TEST:generalise} donnent une vision synthétique de ces expérimentations. Nous avons évalué les fonctions préfixées par -$f$ (respecitvement $g$) avec les générateurs issus des itérations +$f$ (respectivement $g$) avec les générateurs issus des itérations généralisées (resp. unaires). Quelle que soit la méthode utilisée, on constate que chacun des générateurs passe -avec succes le test de NIST. +avec succès le test de NIST. -Interpréter ces resultats en concluant que ces générateurs sont +Interpréter ces résultats en concluant que ces générateurs sont tous équivalents serait erroné: la meilleur des méthodes basées sur le mode des itérations généralisées (pour $n=8$ par exemple) @@ -1072,4 +1089,16 @@ Complexité linaire& 0.005 (0.98)& 0.534 (0.99)& 0.085 (0.97)& 0.996 (1.0)\\ \hl \end{table} -% +\section{Conclusion} +Ce chaptitre a montré comment construire un PRNG chaotique, notamment à partir +de codes de Gray équilibrés. Une méthode complètement automatique de +construction de ce type de codes a été présentée étendant les méthodes +existantes. +Dans le cas des itérations unaires, +l'algorithme qui en découle a un temps de mélange qui a +un majorant quadratique de convergence vers la distribution uniforme. +Pratiquement, ce temps de mélange se rapproche de $N\ln N$. +Les expérimentations au travers de la batterie de test de NIST ont montré +que toutes les propriétés statistiques sont obtenues pour + $\mathsf{N} = 4, 5, 6, 7, 8$. +