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diff --git a/ahmad.tex b/ahmad.tex
index b94f1b9..1b92dbc 100644
--- a/ahmad.tex
+++ b/ahmad.tex
@@ -9,9 +9,9 @@ ajoutent des caractères invisibles dans le document.
 En supprimant ces espaces ou caractères invisibles, la marque s'enlève
 facilement.
 Dans~\cite{PD2008}, les auteurs modifient de manière imperceptible
-le positionnements des caractères. D'autres éléments de postionnement
+le positionnements des caractères. D'autres éléments de positionnement
 sont intégrés dans~\cite{WT08}.
-Une attaque qui remodifierait  aléatoirement de manière faible ces positions
+Une attaque qui modifierait  aléatoirement de manière faible ces positions
  détruirait la marque dans les deux cas.
 La quantification (au sens du traitement du signal) est une réponse
 à ces attaques: des positions modifiées de manière mal intentionnée  
@@ -27,7 +27,7 @@ Ce chapitre présente une application de STDM au marquage de documents PDFs.
 Les paramètres de ce schéma sont
 \begin{itemize}
 \item le facteur de quantification $\Delta$ qui est un réel positif; plus $\Delta$
-est grand, plus la distortion peut être importante;
+est grand, plus la distorsion peut être importante;
 \item le niveau d'indécision  $d_0$ qui est un réel dans
 $[-\dfrac{\Delta}{2},\dfrac{\Delta}{2}]$; plus ce nombre a une valeur absolue
 élevée, plus les erreurs peuvent être corrigées;
@@ -54,13 +54,14 @@ x' = f(x,m) = x+ ((\lfloor(\frac{(x^T p) -d_m}{\Delta})\rfloor\Delta +d_m )~ - x
 Avec les mêmes paramètres $\Delta$, $d_0$ , $L$ et $p$ le message 
 $\hat{m}$ extrait de 
 $x'$ de taille $L$ est défini par:
-\begin{equation}\label{eq:stdm:ext}
+\begin{equation}
 \hat{m} = arg \min_{ m \in \{0, 1\}} \mid x'^T p - f(x,m) \mid
+\label{eq:stdm:ext}
 \end{equation}
 
 Les auteurs de~\cite{CW01} ont montré que la variance de l'erreur 
-est égale à $\Delta^2/12L$ 
-lorsque chacun des $L$ éléments de $x$ suit une ditribution uniforme 
+est égale à $D_s = \Delta^2/12L$ 
+lorsque chacun des $L$ éléments de $x$ suit une distribution uniforme 
 $U(\Delta)$. 
 Tous les éléments sont en place pour embarquer une marque 
 dans un fichier PDF selon le schéma STDM.
@@ -78,13 +79,13 @@ L'insertion de celle-ci dans le document s'effectue
 en quatre étapes.
 
 On considère comme fixés les paramètres  
-$\Delta$,  $d_0$  et la manière de construire le vecteur $p$ pour une taille 
-$L$. 
+$\Delta$,  $d_0$ , $L$ et la manière de construire le vecteur $p$ 
+pour ce $L$ donné. 
 
 
 \begin{enumerate}
 \item Le vecteur hôte $x$ de taille $N$ 
-  est constitué de l'abscice (flottante) 
+  est constitué de l'abscisse (flottante) 
   de chaque caractère rencontré dans le document PDF. 
   La dimension $L$ est calculée comme la partie entière de $N/k$.
 
@@ -108,7 +109,7 @@ $\bigcup_{1\le i \le k} M_i \subseteq [N]$.
 
 Voyons comment extraire une marque d'une document PDF.
 
-\subsection{Exctraction de la marque}
+\subsection{Extraction de la marque}
 
 On considère comme connue la taille de la marque: c'est $k$ bits.
 Les paramètres $\Delta$,  $d_0$ et la manière de construire 
@@ -116,9 +117,9 @@ $p$ en fonction de $L$ sont les mêmes qu'à l'étape précédente d'insertion d
 marque.
 
 \begin{enumerate}
-\item on récupère le vecteur $x'$ (de taille $N$ lui aussi) des abscices des
+\item on récupère le vecteur $x'$ (de taille $N$ lui aussi) des abscisse des
   caractères du document PDF comme dans la phase d'insertion. 
-  la valeur de $L$ est définie comme précédement.
+  la valeur de $L$ est définie comme précédemment.
 
 \item le même générateur pseudo aléatoire (initialisé avec la même clef) 
 construit les $k$ mêmes ensembles $M_1$, \ldots, $M_k$ 
@@ -131,8 +132,90 @@ de taille $L$ mutuellement disjoints dans $[1,N]$.
   en remplaçant $x'$ par $\dot{x'}$ .
 \end{enumerate}
 
-\section{Choix des paramètres}
+\section{Expérimentations }
 Le schéma de marquage est paramétré par $\Delta$,  $d_0$ et la manière de construire le vecteur $p$ pour une taille $L$. 
 Les travaux réalisés se sont focalisés sur l'influence du paramètre 
-$\Delta$ dans l'algorithme.
+$D_S = \frac{\Delta^2}{12L}$ dans l'algorithme en satisfaisant 
+les deux contraintes antagonistes
+de fournir une marque suffisamment robuste
+et suffisamment transparente.
+On cherche deux réels $a$ et $b$   tels que
+$a$ et $b$ correspondent respectivement 
+au seuil maximum pour être transparent et 
+au seuil minimum pour être robuste. 
+Les études de perceptibilité doivent permettre de déterminer $a$ tandis 
+que celles sur la robustesse devront fixer le seuil $b$.
+Finalement, les contraintes précédentes seront  satisfaites si et seulement si  
+$a > b$ et $D_s \in [b,a]$.
+
+Concernant la transparence, 
+les expériences présentées dans l'article~\cite{BDCC16} ont consisté en 
+choisir un texte d'un nombre fixe de caractères $n$
+dans lequel doit être embarqué une marque de taille fixe $k$.
+En faisant varier la valeur de $\Delta$, nous avons remarqué que la 
+valeur $a= 0,01335$ est le seuil au delà duquel il est visuellement 
+possible de remarquer une différence entre le document original 
+et le document marqué.
+
+Il nous reste à détailler les expériences d'étude de robustesse de la démarche.
+Comme dans l'évaluation de la transparence, il s'est agit de faire 
+varier le paramètre  $\Delta$.
+Pour chacune de ces valeurs, le document a été altéré selon 
+un flou gaussien (de paramètre 0,1 et 0,25)  
+et une attaque de type poivre et sel (de paramètre 0,1 et 0,25 aussi).
+Le rapport entre le nombre de bits erronés par rapport au nombre total 
+de bits (nommé BER ci-après) après l'extraction du message est alors calculé. 
+Le facteur de quantification a été choisi entre 0.1 et 10. 
+L'expérience a été répétée 500 fois et les moyennes sont représentées 
+à la figure~\ref{fig:pdf:atq:ber}.
+Sur cette figure, on constate que pour peu que la quantification $\Delta$
+soit supérieure à 1,  le taux d'erreur est inférieur à 12,5\%. Ce taux peut 
+être corrigé par un code correcteur usuel.
+Avec les paramètres de l'expérimentation, cela revient à considérer un seuil 
+$b=0,00214$. 
+Ces expériences ont ainsi pu valider l'existence de seuils de distorsion
+permettant d'avoir une méthode à la fois robuste et transparente.
+
+
+
+\begin{figure}[ht]
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}
+
+        \begin{axis}[%
+            axis x line=bottom,
+            axis y line=left,
+            xlabel=$\Delta$,
+            ylabel=$BER~(\%)$,
+width=0.66\textwidth,
+            legend pos=north east]
+            \addplot[mark=none, dashed, red,thick] coordinates {(0.1, 13.8742) (0.5, 12.8721) (1, 8.4680) (1.1, 7.3940) (1.2, 6.5020) (1.3, 5.7960) (1.4, 4.9580) (1.5, 4.1180) (1.6, 3.8080) (1.7, 3.2580) (1.8, 2.8320) (1.9, 2.5000) (2, 2.2100) (2.1, 2.0420) (2.2, 1.8120) (2.3, 1.6080) (2.4, 1.4040) (2.5, 1.3860) (3, 1.1100) (5, 1) (10, 1)};
+
+ \addplot[mark=none, dotted, green,thick] coordinates {(0.1, 10.3501) (0.5, 7.1) (1, 4.7420) (1.1, 4.0580) (1.2, 3.3620) (1.3, 2.8260) (1.4, 2.3900) (1.5, 2.1220) (1.6, 1.9260) (1.7, 1.6540) (1.8, 1.4460) (1.9, 1.3680) (2, 1.3400) (2.1, 1.2460) (2.2, 1.1420) (2.3, 1.0920) (2.4, 1.0600) (2.5, 1.0460) (3, 1.0100) (5, 1) (10, 1)};
+
+ \addplot[mark=none, dashdotted, blue,thick] coordinates {(0.1, 15.3222) (0.5, 13) (1, 11.1560) (1.1, 10.2920) (1.2, 9.8520) (1.3, 8.7860) (1.4, 8.3960) (1.5, 7.3480) (1.6, 7.0880) (1.7, 6.0940) (1.8, 5.2100) (1.9, 4.8860) (2, 4.5940) (2.1, 4.0140) (2.2, 3.6060) (2.3, 3.3520) (2.4, 2.9300) (2.5, 2.6140) (3, 1.7000) (5, 1.0140) (10, 1)};
+
+ \addplot[mark=none, dash pattern=on 10pt off 2pt on 5pt off 6pt, black,thick] coordinates {(0.1, 13) (0.5, 10.7) (1, 9.3340) (1.1, 8.7580) (1.2, 7.7080) (1.3, 6.7580) (1.4, 5.9260) (1.5, 5.4320) (1.6, 4.7260) (1.7, 4.3020) (1.8, 3.6200) (1.9, 3.1380) (2, 2.9920) (2.1, 2.5780) (2.2, 2.4340) (2.3, 2.1240) (2.4, 1.8760) (2.5, 1.7386) (3, 1.2880) (5, 1) (10, 1)};
+
+            \legend{$Gaussian (0.1)$,$Salt\&pepper (0.1)$,$Gaussian (0.25)$,$Salt\&pepper (0.25)$};
+        \end{axis}
+    \end{tikzpicture}
+\\
+\end{center}
+\caption{Représentation du BER pour des attaques de type flou gaussien et
+poivre et sel}\label{fig:pdf:atq:ber}
+\end{figure}
+
+
+\section{Conclusion}\label{pdf:s:conclusion}
+Ce travail a présenté une démarche outillée
+basée sur la Spread Transform Dither Modulation 
+permettant d'embarquer une marque dans un document PDF.
+Les éléments modifiés sont les abscisses des caractères présents 
+dans le document.
+
+Deux des propriétés essentielles des algorithmes de marquage ont été étudiées:
+la transparence et la robustesse. La notion d'intervalle de distorsion 
+acceptable a été définie et calculée sur un exemple jouet. 
+