X-Git-Url: https://bilbo.iut-bm.univ-fcomte.fr/and/gitweb/hdrcouchot.git/blobdiff_plain/8defa47ac283c6ce000d76eba1c1ad62b4a8bd38..ab1271f8b9509a86f3434c2389be47fe3a1c4d04:/15RairoGen.tex

diff --git a/15RairoGen.tex b/15RairoGen.tex
index f2b9243..38920d8 100644
--- a/15RairoGen.tex
+++ b/15RairoGen.tex
@@ -5,106 +5,106 @@ a de \og bonnes\fg{} propriétés chaotiques,
 le mot $x^b$ devrait  \og sembler ne plus dépendre\fg{} de $x^0$.
 On peut penser à exploiter une de ces fonctions $G_f$ 
 comme un générateur aléatoire. 
-Enfin, un bon générateur aléatoire se doit de 
-fournir  des nombres selon une {distributionuniforme} 
-La suite de ce document donnera, 
-dans le cas où le graphe d'itérations est fortement connexe, 
-une condition nécessaire est suffisante pour que
-cette propriété soit satisfaite.
-
-
-Cette section présente une application directe de la théorie développée ci-avant
-à la génération de nombres pseudo aléatoires. 
-On présente tout d'abord le générateur
-basé sur des fonctions chaotiques (section~\ref{sub:prng:algo}), 
-puis comment intégrer la contrainte de distributionuniforme
-de la sortie 
-dans le choix de la fonction à itérer (section~\ref{sub:prng:unif}). 
-L'approche est évaluée dans la dernière section.
-\JFC{plan à revoir}
- 
 
-\subsection{ Générateur de nombres pseudo aléatoires basé sur le chaos}\label{sub:prng:algo}
+Ce chapitre  présente donc une application directe
+de la théorie développée ci-avant
+à la génération de nombres pseudo-aléatoires. 
+La section~\ref{sub:prng:algo} 
+présente tout d'abord l'algorithme de PRNG. La contrainte de  
+distribution uniforme de la sortie est discutée dans cette section.
+La chaoticité du générateur est ensuite étudiée en 
+section~\ref{prng:unaire:chaos}.
+La section~\ref{sub:prng:algo}  a été publiée à ~\cite{bcgw11:ip,bcgr11:ip}.
+
+
+\section{ Nombres pseudo-aléatoires construits par itérations unaires}\label{sub:prng:algo}
 
 
 
 
 
-On peut penser à construire un générateur de nombres pseudo 
-aléatoires comme dans l'algorithme~\ref{CI Algorithm} donné ci-dessous.
 
 \begin{algorithm}[h]
 %\begin{scriptsize}
 \KwIn{une fonction $f$, un nombre d'itérations $b$, 
-une configuration initiale $x^0$ ($n$ bits)}
-\KwOut{une configuration $x$ ($n$ bits)}
+une configuration initiale $x^0$ (${\mathsf{N}}$ bits)}
+\KwOut{une configuration $x$ (${\mathsf{N}}$ bits)}
 $x\leftarrow x^0$\;
-$k\leftarrow b + \textit{Random}(b+1)$\;
 %$k\leftarrow b + \textit{XORshift}(b+1)$\;
-\For{$i=0,\dots,k-1$}
+\For{$i=1,\dots,b$}
 {
-$s\leftarrow{\textit{Random}(n)}$\;
+$s\leftarrow{\textit{Random}({\mathsf{N}})}$\;
 %$s\leftarrow{\textit{XORshift}(n)}$\;
-$x\leftarrow{F_f(s,x)}$\;
+$x\leftarrow{F_{f_u}(x,s)}$\;
 }
 return $x$\;
 %\end{scriptsize}
-\caption{Algorithme de génération de nombres pseudo aléatoires 
-à l'aide de la fonction chaotique $G_f$}
+\caption{PRNG basé sur les itérations unaires.}
 \label{CI Algorithm}
 \end{algorithm}
 
+\subsection{Algorithme d'un générateur}
+On peut penser à construire un générateur de nombres 
+pseudo-aléatoires comme dans l'algorithme~\ref{CI Algorithm} donné ci-dessous.
+
 
 Celui-ci prend en entrée: une fonction $f$;
-un entier $b$, qui assure que le nombre d'itérations
-est compris entre $b+1 $ et  $2b+1$ et une configuration initiale $x^0$.
-Il retourne une nouvelle configuration $x$.
+un entier $b$, qui est le nombre d'itérations à effectuer entre deux sorties 
+et une configuration initiale $x^0$.
+Il retourne une nouvelle configuration $x$ en appliquant 
+la fonction $F_{f_u}$ (équation~\ref{eq:iterations:unaires}
+vue au chapitre~\ref{chap:carachaos}) et correspondant 
+à des itérations unaires.
 En interne, il exploite un algorithme de génération
-de nombres pseudo aléatoires
-\textit{Random}$(l)$. 
-Cet algorithme est utilisée dans notre générateur pour construire la longueur 
-de la stratégie ainsi que les éléments qui la composent.
-Pratiquement, il retourne des entiers dans $\llbracket 1 ; l \rrbracket$ 
-selon une distributionuniforme et utilise 
-\textit{XORshift} qui est une classe de générateurs de
-nombres pseudo aléatoires
-très rapides conçus par George Marsaglia. 
-
-% L'algorithme \textit{XORshift} exploite itérativement
-% la fonction \og {xor}\fg{} $\oplus$ (cf. glossaire) 
-% sur des nombres obtenus grâce à des pl{decalageDeBits} (cf. glossaire).
-
-L'algorithme \textit{XORshift} 
-exploite itérativement l'opérateur $\oplus$  
-sur des nombres obtenus grâce à des decalages de bits.
-Cet opérateur, défini dans $\Bool^{n}$, 
-applique la fonction \og  xor \fg{} 
-aux bits de même rang de ses deux opérandes (\og opération bit à bit \fg{}).
-Une instance de cette classe est donnée dans l'algorithme~\ref{XORshift} donné 
-ci-dessous.
-
-\begin{algorithm}[h]
-%\SetLine
-\KwIn{la configuration interne $z$ (un mot de 32-bit)}
-\KwOut{$y$ (un mot de 32-bits)}
-$z\leftarrow{z\oplus{(z\ll13)}}$\;
-$z\leftarrow{z\oplus{(z\gg17)}}$\;
-$z\leftarrow{z\oplus{(z\ll5)}}$\;
-$y\leftarrow{z}$\;
-return $y$\;
-\medskip
-\caption{Une boucle de l'algorithme de \textit{XORshift}}
-\label{XORshift}
-\end{algorithm}
-
-
-
-Il reste à instancier une fonction $f$ dans 
-l'algorithme~\ref{CI Algorithm} 
-en adéquation avec  l'approche développée 
-en section~\ref{sec:sccg}.
-La section suivante montre comment l'uniformité de la distribution a
-contraint cette instanciation.
+de nombres pseudo-aléatoires donné en paramètre.
+Cela peut être n'importe quel PRNG (XORshift, Mersenne-Twister) dont la 
+sortie est uniformément distribuée.
+Notre approche vise a donner des propriétés de chaos à ce générateur embarqué.
+
+
+% \textit{Random}$(l)$. 
+% Cet algorithme est utilisée dans notre générateur pour construire la longueur 
+% de la stratégie ainsi que les éléments qui la composent.
+% Pratiquement, il retourne des entiers dans $\llbracket 1 ; l \rrbracket$ 
+% selon une distribution uniforme et utilise 
+% \textit{XORshift} qui est une classe de générateurs de
+% nombres pseudo aléatoires conçus par George Marsaglia. 
+
+
+% L'algorithme \textit{XORshift} 
+% exploite itérativement l'opérateur $\oplus$  
+% sur des nombres obtenus grâce à des décalages de bits.
+% Cet opérateur, défini dans $\Bool^{n}$, 
+% applique la fonction \og  xor \fg{} 
+% aux bits de même rang de ses deux opérandes (\og opération bit à bit \fg{}).
+% Une instance de cette classe est donnée dans l'algorithme~\ref{XORshift} donné 
+% ci-dessous.
+
+% \begin{algorithm}[h]
+% %\SetLine
+% \KwIn{la configuration interne $z$ (un mot de 32-bit)}
+% \KwOut{$y$ (un mot de 32-bits)}
+% $z\leftarrow{z\oplus{(z\ll13)}}$\;
+% $z\leftarrow{z\oplus{(z\gg17)}}$\;
+% $z\leftarrow{z\oplus{(z\ll5)}}$\;
+% $y\leftarrow{z}$\;
+% return $y$\;
+% \medskip
+% \caption{Une boucle de l'algorithme de \textit{XORshift}}
+% \label{XORshift}
+% \end{algorithm}
+
+
+Nous avons vu au chapitre~\ref{chap:carachaos} que 
+$G_{f_u}$ est chaotique dans l'espace $\mathcal{X}_u$ 
+si et seulement si le graphe d'itérations $\textsc{giu}(f)$ 
+est fortement connexe.
+Pour $b=1$, l'algorithme itère la fonction $F_{f_u}$.
+
+Pour simuler au mieux l'aléa, un bon générateur de nombres pseudo-aléatoires
+se doit de fournir  des nombres selon une distribution uniforme.
+Regardons comment l'uniformité de la distribution 
+contraint la fonction $f$ à itérer.
 
 \subsection{Un générateur à sortie uniformément distribuée}\label{sub:prng:unif}
 
@@ -117,57 +117,123 @@ Enfin, une matrice stochastique de taille $n \times n$ est régulière
 si  la propriété suivante est établie:
 $$\exists k \in \mathds{N}^\ast, \forall i,j \in \llbracket 1; n \rrbracket, M_{ij}^k>0.$$
 
-On énonce enfin le théorème suivant liant les 
-vecteurDeProbabilite 
-et les chaineDeMarkov:
+On énonce le théorème classique suivant liant les 
+vecteurs de probabilités 
+et les chaînes de Markov.
 
 
  
-\begin{Theo}\label{th}
+
+\begin{theorem}\label{th}
   Si $M$ est une matrice stochastique régulière, alors $M$ 
   possède un unique vecteur stationnaire de probabilités  $\pi$
   ($\pi.M = \pi$).
-  De plus, si $\pi^0$ est un {vecteurDeProbabilite} 
+  De plus, si $\pi^0$ est un {vecteur de probabilités} 
  et si on définit 
   la suite $(\pi^{k})^{k \in  \Nats}$ par 
   $\pi^{k+1} = \pi^k.M $ pour $k = 0, 1,\dots$ 
-  alors la {chaineDeMarkov} $\pi^k$
+  alors la {chaîne de Markov} $\pi^k$
   converge vers $\pi$ lorsque $k$ tend vers l'infini.
-\end{Theo}
+\end{theorem}
 
 
 Montrons sur un exemple jouet à deux éléments 
 que ce théorème permet de vérifier si la sortie d'un générateur de 
-nombres pseudo aléatoires est uniformément distribuée ou non.
-Soit alors $g$ et $h$ deux fonctions  de $\Bool^2$
+nombres pseudo-aléatoires est uniformément distribuée ou non.
+Soient alors $g$ et $h$ deux fonctions  de $\Bool^2$
 définies par $g(x_1,x_2)=(\overline{x_1},x_1.\overline{x_2}) $
 et $h(x_1,x_2)=(\overline{x_1},x_1\overline{x_2}+\overline{x_1}x_2)$.
 Leurs graphes d'interactions donnés en figure \ref{fig:g:inter} et \ref{fig:h:inter}
 vérifient les hypothèses du théorème~\ref{th:Adrien}. 
 Leurs graphes d'itérations
-sont donc fortement connexes, ce que l'on a pu déjà vérifier aux figures
-\ref{fig:g:iter} et \ref{fig:h:iter}.
+sont donc fortement connexes, ce que l'on peut vérifier aux figures~\ref{fig:g:iter} 
+et~\ref{fig:h:iter}.
 \textit{A priori}, ces deux fonctions pourraient être intégrées
-dans un générateur de nombres pseudo aléatoires. Montrons que ce n'est pas le cas pour $g$ et 
+dans un générateur de nombres pseudo-aléatoires. Montrons que ce n'est pas le cas pour $g$ et 
 que cela l'est pour $h$.
 
 
+
+
+
+
+
+
+
+\begin{figure}%[t]
+  \begin{center}
+    \subfigure[$g(x_1,x_2)=(\overline{x_1},x_1\overline{x_2}) $]{
+      \begin{minipage}{0.40\textwidth}
+        \begin{center}
+          \includegraphics[height=4cm]{images/g.pdf}
+        \end{center}
+      \end{minipage}
+      \label{fig:g:iter}
+    }
+    \subfigure[$h(x_1,x_2)=(\overline{x_1},x_1\overline{x_2}+\overline{x_1}x_2)$]{
+      \begin{minipage}{0.40\textwidth}
+        \begin{center}
+          \includegraphics[height=4cm]{images/h.pdf}
+        \end{center}
+      \end{minipage}
+      \label{fig:h:iter}
+    }    \end{center}
+    \caption{Graphes des itérations unaires 
+      de fonctions booléennes dans $\Bool^2$}
+    \label{fig:xplgraphIter}
+  \end{figure}
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+\begin{figure}%[t]
+  \begin{center}
+    \subfigure[$g(x_1,x_2)=(\overline{x_1},x_1\overline{x_2}) $]{
+      \begin{minipage}{0.40\textwidth}
+        \begin{center}
+          \includegraphics[height=3cm]{images/gp.pdf}
+        \end{center}
+      \end{minipage}
+      \label{fig:g:inter}
+    }
+    \subfigure[$h(x_1,x_2)=(\overline{x_1},x_1\overline{x_2}+\overline{x_1}x_2)$]{
+      \begin{minipage}{0.40\textwidth}
+        \begin{center}
+          \includegraphics[height=3cm]{images/hp.pdf}
+        \end{center}
+      \end{minipage}
+      \label{fig:h:inter}
+    }    \end{center}
+    \caption{Graphes d'interactions de fonctions booléennes dans $\Bool^2$}
+    \label{fig:xplgraphInter}
+  \end{figure}
+
+
+
+
+
+
 Comme le générateur \textit{Random} possède une sortie uniformément 
 distribuée,  la  stratégie est uniforme sur $\llbracket 1, 2 \rrbracket$,
 et donc, 
-pour tout sommet de $\Gamma(g)$ et de  $\Gamma(h)$,
+pour tout sommet de $\textsc{giu}(g)$ et de  $\textsc{giu}(h)$,
 chaque arc sortant de ce sommet a, parmi l'ensemble des arcs sortant 
 de ce sommet, une probabilité $1/2$ d’être celui qui sera traversé.
-En d'autres mots, $\Gamma(g)$ est le graphe orienté d'une chaîne de Markov.
-Il est facile de vérifier que la {matriceDeTransitions}
+En d'autres mots, $\textsc{giu}(g)$ est le graphe orienté d'une chaîne de Markov.
+Il est facile de vérifier que la matrice de transitions
 d'un tel processus 
 est $M_g   = \frac{1}{2} \check{M}_g$, 
-où $\check{M}_g$ est la {matriceDAdjacence}  donnée en 
-figure~\ref{fig:g:incidence} (voir ci-après), et similairement pour $M_h$. 
+où $\check{M}_g$ est la matrice d' adjacence  donnée en 
+figure~\ref{fig:g:incidence} (voir ci-après), et  de manière similaire pour $M_h$. 
 
 \begin{figure}[h]
   \begin{center}
-    \subfloat[$\check{M}_g $.]{
+    \subfigure[$\check{M}_g $.]{
       \begin{minipage}{0.25\textwidth}
         \begin{center}
           % \vspace{-3cm}
@@ -184,7 +250,7 @@ figure~\ref{fig:g:incidence} (voir ci-après), et similairement pour $M_h$.
       \end{minipage}
       \label{fig:g:incidence}
     }
-    \subfloat[$\check{M}_h $.]{
+    \subfigure[$\check{M}_h $.]{
         \begin{minipage}{0.25\textwidth}
           \begin{center}
             $\left( 
@@ -217,10 +283,10 @@ Alors d'après le théorème~\ref{th},
 pour n'importe quel vecteur initial de probabilités $\pi^0$, on a 
 $\lim_{k \to \infty} \pi^0 M^k_g = \pi_g$ et 
 $\lim_{k \to \infty} \pi^0 M^k_h = \pi_h$. 
-Ainsi la chaîne de Markov associé à $h$ tend vers une 
+Ainsi la chaîne de Markov associée à $h$ tend vers une 
 distribution uniforme, contrairement à celle associée à $g$.
 On en déduit que $g$ ne devrait pas être itérée dans 
-un générateur de nombres pseudo aléatoires.
+un générateur de nombres pseudo-aléatoires.
 Au contraire, 
 $h$ devrait pouvoir être embarquée dans l'algorithme~\ref{CI Algorithm}, 
 pour peu que le nombre $b$ d'itérations entre deux mesures successives 
@@ -228,73 +294,30 @@ de valeurs  soit suffisamment grand de sorte que
 le vecteur d’état de la chaîne de Markov
 ait une distribution suffisamment proche de la distribution uniforme.
 
+On énonce directement le théorème suivant dont la preuve est donnée en annexe~\ref{anx:generateur}.
 
-Considérons le lemme technique suivant:
-\begin{Lemma}\label{lem:stoc}
-Soit $f: \Bool^{n} \rightarrow \Bool^{n}$, $\Gamma(f)$ son graphe d'itérations, $\check{M}$ la matrice d'adjacence de $\Gamma(f)$, et  $M$  la matrice 
-$2^n\times 2^n$  définie par
-$M = \frac{1}{n}\check{M}$.
-Alors $M$ est une matrice stochastique régulière si et seulement si
-$\Gamma(f)$ est fortement connexe.
-\end{Lemma}
-
-\begin{Proof}  
-On remarque tout d'abord que $M$ 
-est une matrice stochastique par construction.
-Supposons $M$ régulière. 
-Il existe donc  $k$ tel que $M_{ij}^k>0$ pour chaque $i,j\in \llbracket
-1;  2^n  \rrbracket$. L'inégalité  $\check{M}_{ij}^k>0$  est alors établie.
-Puisque $\check{M}_{ij}^k$ est le nombre de chemins de  $i$ à $j$ de longueur $k$
-dans $\Gamma(f)$ et puisque ce nombre est positif, alors 
-$\Gamma(f)$ est fortement connexe.
-
-Réciproquement si $\Gamma(f)$ 
-est fortement connexe, alors pour tous les sommets $i$ et $j$, un chemin peut être construit pour atteindre  $j$  depuis $i$ en au plus $2^n$ étapes.
-Il existe donc 
-$k_{ij} \in \llbracket 1,  2^n \rrbracket$ tels que $\check{M}_{ij}^{k_{ij}}>0$.  
-Comme tous les  multiples $l \times k_{ij}$ de $k_{ij}$ sont tels que 
-$\check{M}_{ij}^{l\times  k_{ij}}>0$, 
-on peut conclure que, si 
-$k$ est le plus petit multiple commun de $\{k_{ij}  \big/ i,j  \in \llbracket 1,  2^n \rrbracket  \}$ alors
-$\forall i,j  \in \llbracket  1, 2^n \rrbracket,  \check{M}_{ij}^{k}>0$. 
-Ainsi, $\check{M}$ et donc $M$ sont régulières.
-\end{Proof}
-
-Ces résultats permettent formuler et de prouver le théorème suivant:
-
-\begin{Theo}
-  Soit $f: \Bool^{n} \rightarrow \Bool^{n}$, $\Gamma(f)$ son 
+\begin{restatable}[Uniformité de la sortie de l'algorithme~\ref{CI Algorithm}]{theorem}{PrngCIUniforme}\label{thm:prng:u}
+  Soit $f: \Bool^{n} \rightarrow \Bool^{n}$, $\textsc{giu}(f)$ son 
   graphe d'itérations , $\check{M}$ sa matrice d'adjacence
-  et $M$ une matrice  $2^n\times 2^n$  définie comme dans le lemme précédent.
-  Si $\Gamma(f)$ est fortement connexe, alors 
-  la sortie du générateur de nombres pseudo aléatoires détaillé par 
+  et $M$ une matrice  $2^n\times 2^n$  
+  définie par 
+  $M = \dfrac{1}{n} \check{M}$.
+  Si $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe, alors 
+  la sortie du générateur de nombres pseudo-aléatoires détaillé par 
   l'algorithme~\ref{CI Algorithm} suit une loi qui 
   tend vers la distribution uniforme si 
   et seulement si  $M$ est une matrice doublement stochastique.
-\end{Theo}
-\begin{Proof}
-  $M$ est une matrice stochastique régulière (Lemme~\ref{lem:stoc}) 
-  qui a un unique vecteur de probabilités stationnaire
-  (Théorème \ref{th}).
-  Soit $\pi$  défini par 
-  $\pi = \left(\frac{1}{2^n}, \hdots, \frac{1}{2^n} \right)$.
-  On a  $\pi M = \pi$ si et seulement si
-  la somme des valeurs de chaque colonne de $M$  est 1, 
-  \textit{i.e.} si et seulement si 
-  $M$ est  doublement  stochastique.
-\end{Proof}
-
-
-\subsection{Expérimentations}
-
-On considère le graphe d'interactions $G(f)$ donné en figure~\ref{fig:G}. 
-Il vérifie le théorème~\ref{th:Adrien}: 
-toutes les fonctions $f$ possédant un tel graphe d'interactions
-ont un graphe d'itérations  $\Gamma(f)$ fortement connexe.
-Pratiquement, un algorithme simple de satisfaction de contraintes
-a trouvé  520 fonctions $f$ non isomorphes de graphe d'interactions  $G(f)$, 
-dont seulement 16 d'entre elles possédent une matrice doublement stochastique.
+\end{restatable}
+
+
+\subsection{Quelques exemples}
+
+On considère le graphe d'interactions $\Gamma(f)$ donné
+en figure~\ref{fig:G}. C'est le même qui a été présenté
+à la section~\ref{sec:11FCT}.
+On a vu qu'il y avait  520 fonctions $f$ non isomorphes de graphe d'interactions  $\Gamma(f)$. 
 
+Seulement 16 d'entre elles possèdent une matrice doublement stochastique.
 La figure~\ref{fig:listfonction} explicite ces 16 fonctions en 
 définissant les images des éléments de la liste
 0, 1, 2,\ldots, 14, 15 en respectant  l'ordre.
@@ -302,11 +325,11 @@ Expliquons enfin comment a été calculé le nombre de la troisième
 colonne utilisé comme le paramètre $b$ 
 dans l'algorithme~\ref{CI Algorithm}.
 
-Soit $e_i$ le $i^{\textrm{ème}}$ vecteur la base canonique de $\R^{2^{n}}$. 
+Soit $e_i$ le $i^{\textrm{ème}}$ vecteur de la base canonique de $\R^{2^{n}}$. 
 Chacun des éléments $v_j$, $1 \le j \le 2^n$, 
 du vecteur $e_i M_f^t$ représente la probabilité 
 d'être dans la configuration $j$ après $t$ étapes du processus de Markov 
-associé à $\Gamma(f)$ en partant de la configuration $i$.   
+associé à $\textsc{giu}(f)$ en partant de la configuration $i$.   
 Le nombre $\min \{
  t \mid t \in \Nats, \vectornorm{e_i M_f^t - \pi} < 10^{-4}
 \}$ représente le plus petit nombre d'itérations où la distance de 
@@ -314,19 +337,25 @@ ce vecteur au vecteur $\pi=(\frac{1}{2^n},\ldots,\frac{1}{2^n})$
 -- autrement dit, où la déviation par rapport à la distribution uniforme --
  est inférieure 
 à $10^{-4}$. En prenant le max pour tous les $e_i$, on obtient une valeur pour
- $b$. Ainsi, on a 
-$$
+ $b$. 
+Ainsi, on a 
+\begin{equation}
 b = \max\limits_{i \in \llbracket 1, 2^n \rrbracket} 
-\{
-\min \{
+\left\{
+\min \left\{
  t \mid t \in \Nats, \vectornorm{e_i M_f^t - \pi} < 10^{-4}
-\}
-\}. 
-$$
+\right\}
+\right\}. 
+\label{eq:mt:ex}
+\end{equation}
+
+\noindent Par la suite, ce nombre sera appelé \emph{temps de mélange}.
+
+
 
 \begin{figure}%[h]
   \begin{center}
-  \subfloat[Graphe d'interactions]{
+  \subfigure[Graphe d'interactions]{
     \begin{minipage}{0.20\textwidth}
       \begin{center}
         \includegraphics[width=3.5cm]{images/Gi.pdf}
@@ -334,7 +363,7 @@ $$
     \end{minipage}
     \label{fig:G}
   }\hfill
-  \subfloat[Fonctions doublement stochastiques]{
+  \subfigure[Fonctions doublement stochastiques]{
     \begin{minipage}{0.75\textwidth}
       \begin{scriptsize}
         \begin{center}
@@ -402,60 +431,339 @@ $\mathcal{F}_{16}$ &14, 15, 13, 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0
 
 La qualité des séquences aléatoires a été évaluée à travers la suite 
 de tests statistiques développée pour les générateurs de nombres 
-pseudo aléatoires par le 
+pseudo-aléatoires par le 
 \emph{National Institute of Standards and Technology} (NIST).
-% Pour les 15 tests, le seuil $\alpha$ est fixé à $1\%$:
-% une  valeur  
-% qui est plus grande que $1\%$  signifie 
-% que la chaîne est considérée comme aléatoire avec une confiance de $99\%$.
-% Le tableau~\ref{fig:TEST} donne une vision synthétique de toutes 
-% les expérimentations. 
 L'expérience a montré notamment que toutes ces fonctions
 passent avec succès cette batterie de tests.
 
+Pour conclure cette section, on remarque que le générateur de nombres pseudo-aléatoires 
+a été prouvé chaotique pour $b=1$, \textit{i.e.}, lorsqu'il y a une sortie pour chaque itération.
+Ceci est difficilement compatible avec la volonté d'avoir une sortie uniformément distribuée: 
+se rapprocher de cette distribution nécessite en effet un nombre plus élevé
+d'itérations $b$ entre chaque sortie. Par exemple, dans l'exemple précédent, il est nécessaire 
+d'itérer au moins 42 fois entre chaque sortie pour suivre une loi uniforme à $10^{-4}$ près.
+Montrer que les sous-séquences de suites chaotiques ainsi générées  demeurent chaotiques
+est l'objectif de la section suivante.
+
 
+\section{Un PRNG basé sur des itérations unaires qui est chaotique }\label{prng:unaire:chaos}
 
+Cette section présente un espace métrique adapté au générateur de nombres pseudo-aléatoires 
+présenté à l'algorithme~\ref{CI Algorithm} et prouve ensuite que la fonction qu'il représente 
+est chaotique sur cet espace.
 
-% \begin{table}[th]
-% \begin{scriptsize}
-% \begin{tabular}{|*{17}{c|}}
-% \hline
-% {Propriété}& $\mathcal{F}_{1}$ &$\mathcal{F}_{2}$ &$\mathcal{F}_{3}$ &$\mathcal{F}_{4}$ &$\mathcal{F}_{5}$ &$\mathcal{F}_{6}$ &$\mathcal{F}_{7}$ &$\mathcal{F}_{8}$ &$\mathcal{F}_{9}$ &$\mathcal{F}_{10}$ &$\mathcal{F}_{11}$ &$\mathcal{F}_{12}$ &$\mathcal{F}_{13}$ &$\mathcal{F}_{14}$ &$\mathcal{F}_{15}$ &$\mathcal{F}_{16}$ \\
-% \hline
-% Fréquence &77.9 &15.4 &83.4 &59.6 &16.3 &38.4 &20.2 &29.0 &77.9 &21.3 &65.8 &85.1 &51.4 &35.0 &77.9 &92.4 \\ 
-%  \hline 
-% Fréquence / bloc &88.3 &36.7 &43.7 &81.7 &79.8 &5.9 &19.2 &2.7 &98.8 &1.0 &21.3 &63.7 &1.4 &7.6 &99.1 &33.5 \\ 
-%  \hline 
-% Somme cummulée &76.4 &86.6 &8.7 &66.7 &2.2 &52.6 &20.8 &80.4 &9.8 &54.0 &73.6 &80.1 &60.7 &79.7 &76.0 &44.7 \\ 
-%  \hline 
-% Exécution &5.2 &41.9 &59.6 &89.8 &23.7 &76.0 &77.9 &79.8 &45.6 &59.6 &89.8 &2.4 &96.4 &10.9 &72.0 &11.5 \\ 
-%  \hline 
-% Longue exécution &21.3 &93.6 &69.9 &23.7 &33.5 &30.4 &41.9 &43.7 &30.4 &17.2 &41.9 &51.4 &59.6 &65.8 &11.5 &61.6 \\ 
-%  \hline 
-% Rang &1.0 &41.9 &35.0 &45.6 &51.4 &20.2 &31.9 &83.4 &89.8 &38.4 &61.6 &4.0 &21.3 &69.9 &47.5 &95.6 \\ 
-%  \hline 
-% Fourrier Rapide &40.1 &92.4 &97.8 &86.8 &43.7 &38.4 &76.0 &57.5 &36.7 &35.0 &55.4 &57.5 &86.8 &76.0 &31.9 &7.6 \\ 
-%  \hline 
-% Sans superposition &49.0 &45.7 &50.5 &51.0 &48.8 &51.2 &51.6 &50.9 &50.9 &48.8 &45.5 &47.3 &47.0 &49.2 &48.6 &46.4 \\ 
-%  \hline 
-% Avec Superposition &27.6 &10.9 &53.4 &61.6 &16.3 &2.7 &59.6 &94.6 &88.3 &55.4 &76.0 &23.7 &47.5 &91.1 &65.8 &81.7 \\ 
-%  \hline 
-% Universelle &24.9 &35.0 &72.0 &51.4 &20.2 &74.0 &40.1 &23.7 &9.1 &72.0 &4.9 &13.7 &14.5 &1.8 &93.6 &65.8 \\ 
-%  \hline 
-% Entropie approchée &33.5 &57.5 &65.8 &53.4 &26.2 &98.3 &53.4 &63.7 &38.4 &6.7 &53.4 &19.2 &20.2 &27.6 &67.9 &88.3 \\ 
-%  \hline 
-% Suite aléatoire &29.8 &35.7 &40.9 &36.3 &54.8 &50.8 &43.5 &46.0 &39.1 &40.8 &29.6 &42.0 &34.8 &33.8 &63.0 &46.3 \\ 
-%  \hline 
-% Suite aléatoire variante &32.2 &40.2 &23.0 &39.6 &47.5 &37.2 &56.9 &54.6 &53.3 &31.5 &23.0 &38.1 &52.3 &57.1 &47.7 &40.8 \\ 
-%  \hline 
-% Série &56.9 &58.5 &70.4 &73.2 &31.3 &45.9 &60.8 &39.9 &57.7 &21.2 &6.4 &15.6 &44.7 &31.4 &71.7 &49.1 \\ 
-%  \hline 
-% Complexité linéaire &24.9 &23.7 &96.4 &61.6 &83.4 &49.4 &49.4 &18.2 &3.5 &76.0 &24.9 &97.2 &38.4 &38.4 &1.1 &8.6 \\ 
-%  \hline
-% \end{tabular}
-% \end{scriptsize}
-% \caption{Test de NIST réalisé sur des instances de générateurs}\label{fig:TEST}  
-% \end{table}
+\subsection{Un espace  $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$    pour le PRNG de l'algorithme~\ref{CI Algorithm}}
 
 
 
+Introduisons tout d'abord $\mathcal{P} \subset \mathds{N}$ un ensemble fini non vide de cardinalité 
+$\mathsf{p} \in \mathds{N}^\ast$.
+Intuitivement, c'est le nombre d'itérations qu'il est autorisé de faire.
+On ordonne les $\mathsf{p}$ éléments de $\mathcal{P}$ comme suit: 
+$\mathcal{P} = \{ p_1, p_2, \hdots, p_\mathsf{p}\}$
+et $p_1< p_2< \hdots < p_\mathsf{p}$.
+
+Dans l'algorithme~\ref{CI Algorithm}, 
+$\mathsf{p}$ vaut 1 et  $p_1=b$. 
+Cet  algorithme peut être vu comme $b$ compostions de la fonction $F_{f_u}$.
+Ceci peut cependant se généraliser à $p_i$, $p_i \in \mathcal{P}$,
+compositions fonctionnelles de $F_{f_u}$.
+Ainsi, pour chaque $p_i \in \mathcal{P}$, on construit la fonction
+$F_{{f_u},p_i} :  \mathds{B}^\mathsf{N} \times [\mathsf{N}]^{p_i}
+\rightarrow \mathds{B}^\mathsf{N}$ définie par
+
+$$
+F_{f_u,p_i} (x,(u^0, u^1, \hdots, u^{p_i-1}))  \mapsto 
+F_{f_u}(\hdots (F_{f_u}(F_{f_u}(x,u^0), u^1), \hdots), u^{p_i-1}).
+$$
+
+
+On construit l'espace 
+ $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}=  \mathds{B}^\mathsf{N} \times \mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$, où
+$\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}=
+[\mathsf{N}]^{\Nats}\times 
+\mathcal{P}^{\Nats}$. 
+Chaque élément de l'espace est une paire où le premier élément est 
+un $\mathsf{N}$-uplet de  $\Bool^{\mathsf{N}}$ (comme dans $\mathcal{X}_u$).
+Le second élément est une paire $((u^k)_{k \in \Nats},(v^k)_{k \in \Nats})$ de suites infinies.
+La suite $(v^k)_{k \in \Nats}$ définit combien d'itérations sont exécutées au temps $k$ entre deux sorties.
+La séquence $(u^k)_{k \in \Nats}$ définit quel élément est modifié (toujours au temps $k$).
+
+Définissons la fonction de décalage  $\Sigma$ pour chaque  élément de $\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$.
+$$\begin{array}{cccc}
+\Sigma:&\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}} &\longrightarrow
+&\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}} \\
+& \left((u^k)_{k \in \mathds{N}},(v^k)_{k \in \mathds{N}}\right) & \longmapsto & \left(\sigma^{v^0}\left((u^k)_{k \in \mathds{N}}\right),\sigma\left((v^k)_{k \in \mathds{N}}\right)\right). 
+\end{array}
+$$
+En d'autres termes, $\Sigma$ reçoit deux suites $u$ et $v$ et 
+effectue $v^0$ décalage vers la droite sur la première et un décalage vers la droite 
+sur la seconde.
+
+
+Ainsi, les  sorties  $(y^0, y^1, \hdots )$ produites par le générateur détaillé dans 
+l'algorithme~\ref{CI Algorithm}
+sont les premiers  composants des itérations $X^0 = (x^0, (u,v))$ et $\forall n \in \mathds{N}, 
+X^{n+1} = G_{f_u,\mathcal{P}}(X^n)$ dans $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$ où
+$G_{f_u,\mathcal{P}}$  est définie par:
+
+
+
+
+\begin{equation}
+\begin{array}{cccc}
+G_{f_u,\mathcal{P}} :&  \mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}} & \longrightarrow & \mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}\\
+   & (e,(u,v)) & \longmapsto & \left( F_{f,v^0}\left( e, (u^0, \hdots, u^{v^0-1}\right), \Sigma (u,v) \right) .
+\end{array}
+\end{equation}
+
+
+
+\subsection{Une distance sur $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$}
+
+On définit la fonction  $d$ sur $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$ comme suit:
+Soit  $x=(e,s)$ et $\check{x}=(\check{e},\check{s})$ dans 
+$\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}} = \mathds{B}^\mathsf{N} \times \mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}} $,
+où $s=(u,v)$ et $\check{s}=(\check{u},\check{v})$ sont dans $ \mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}} = 
+\mathcal{S}_{\llbracket 1, \mathsf{N} \rrbracket} \times \mathcal{S}_\mathcal{P}$. 
+\begin{enumerate}
+\item $e$ et $\check{e}$ sont des entiers appartenant à $\llbracket 0, 2^{\mathsf{N}-1} \rrbracket$. 
+La distance de Hamming $d_{\mathds{B}^\mathsf{N}}$ entre les 
+décompositions binaires de $e$ et de $\check{e}$ (\textit{i.e.}, le 
+le nombre de bits qu'elles ont de différent) constitue 
+la partie entière de $d(X,\check{X})$.
+\item la partie décimale est construite à partir des différences entre 
+$v^0$ et $\check{v}^0$, suivie des différences entre les séquences finies
+$u^0, u^1, \hdots, u^{v^0-1}$ et  $\check{u}^0, \check{u}^1, \hdots, \check{u}^{\check{v}^0-1}$, suivie par les différences entre  $v^1$ et $\check{v}^1$, 
+suivie par les différences entre $u^{v^0}, u^{v^0+1}, \hdots, u^{v^1-1}$ et
+$\check{u}^{\check{v}^0}, \check{u}^{\check{v}^0+1}, \hdots, \check{u}^{\check{v}^1-1}$, etc.
+
+Plus précisément, soit 
+$p = \lfloor \log_{10}{(\max{\mathcal{P}})}\rfloor +1$ et 
+$n = \lfloor \log_{10}{(\mathsf{N})}\rfloor +1$.
+\begin{enumerate}
+\item Les $p$ premiers éléments de $d(x,\check{x})$ sont $|v^0-\check{v}^0|$ 
+  écrits en base 10 et sur $p$ indices;
+\item les $n\times \max{(\mathcal{P})}$ éléments suivants servent 
+  à évaluer de combien $u^0, u^1, \hdots, u^{v^0-1}$ diffère de 
+  $\check{u}^0, \check{u}^1, \hdots, \check{u}^{\check{v}^0-1}$. 
+  Les $n$ premiers éléments sont $|u^0-\check{u}^0|$. Il sont suivis de 
+$|u^1-\check{u}^1|$ écrits à l'aide de $n$ éléments, etc.
+\begin{enumerate}
+\item Si
+$v^0=\check{v}^0$,
+alors le processus se continue jusqu'à $|u^{v^0-1}-\check{u}^{\check{v}^0-1}|$ et la 
+partie décimale de $d(X,\check{X})$ est complétée par des 0
+jusqu'à atteindre 
+$p+n\times \max{(\mathcal{P})}$ éléments.
+\item Si $v^0<\check{v}^0$, alors les $ \max{(\mathcal{P})}$  blocs de $n$
+éléments sont $|u^0-\check{u}^0|$, ..., $|u^{v^0-1}-\check{u}^{v^0-1}|$,
+$\check{u}^{v^0}$ (sur $n$ éléments), ..., $\check{u}^{\check{v}^0-1}$ (sur $n$ éléments), suivis par des 0, si besoin.
+\item Le cas $v^0>\check{v}^0$ est similaire, et donc omis
+\end{enumerate}
+\item Les $p$ suivants sont $|v^1-\check{v}^1|$, etc.
+\end{enumerate}
+\end{enumerate}
+
+
+La fonction $d$ peut se formaliser comme suit:
+$$d(x,\check{x})=d_{\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}}(s,\check{s})+d_{\mathds{B}^\mathsf{N}}(e,\check{e}),$$
+où: % $p=\max \mathcal{P}$ and:
+\begin{itemize}
+\item $d_{\mathds{B}^\mathsf{N}}$ est la distance de Hamming,
+\item $\forall s=(u,v), \check{s}=(\check{u},\check{v}) \in \mathcal{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$,\newline 
+$$\begin{array}{rcl}
+ d_{\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}}(s,\check{s}) &= &
+   \sum_{k=0}^\infty \dfrac{1}{10^{(k+1)p+kn\max{(\mathcal{P})}}} 
+   \bigg(|v^k - \check{v}^k|  \\
+   & & + \left| \sum_{l=0}^{v^k-1} 
+       \dfrac{u^{\sum_{m=0}^{k-1} v^m +l}}{ 10^{(l+1)n}} -
+       \sum_{l=0}^{\check{v}^k-1} 
+       \dfrac{\check{u}^{\sum_{m=0}^{k-1} \check{v}^m +l}}{ 10^{(l+1)n}} \right| \bigg)
+\end{array}
+$$ %\left| \sum_{l=0}^{v^k-1} \dfrac{u^{\sum_{m=0}^{k-1} v^m +l}}{ 10^{l}} - \sum_{l=0}^{\check{v}^k-1} \dfrac{\check{u}^{\sum_{m=0}^{k-1} \check{v}^m +l}}{ 10^{l}}\right|\right)}.$$
+\end{itemize}
+
+
+
+\begin{xpl}
+On considère par exemple 
+$\mathsf{N}=13$, $\mathcal{P}=\{1,2,11\}$ ($\mathsf{p}$ vaut ainsi $3$), 
+et 
+$s=\left\{
+\begin{array}{l}
+u=\underline{6,} ~ \underline{11,5}, ...\\
+v=1,2,...
+\end{array}
+\right.$
+avec 
+$\check{s}=\left\{
+\begin{array}{l}
+\check{u}=\underline{6,4} ~ \underline{1}, ...\\
+\check{v}=2,1,...
+\end{array}
+\right.$.
+Ainsi 
+\[
+d_{\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}}(s,\check{s}) = 
+0.01~0004000000000000000000~01~1005 \dots\]
+En effet, les $p=2$ premiers éléments sont  01, c'est-à-dire 
+$|v^0-\check{v}^0|=1$, 
+et on utilise $p$ éléments pour représenter cette différence
+(Comme $\mathcal{P}=\{1,2,11\}$, cette différence peut valoir 10).
+On prend alors le $v^0=1$ premier terme de $u$, 
+chaque terme étant codé sur $n=2$ éléments, soit 06.
+Comme on itère au plus $\max{(\mathcal{P})}$ fois, 
+on complète cette valeur par des 0 de sorte que 
+la chaîne obtenue ait $n\times \max{(\mathcal{P})}=22$ éléments, soit:
+0600000000000000000000. 
+De manière similaire, les $\check{v}^0=2$ premiers
+termes de $\check{u}$ sont représentés par 
+0604000000000000000000.
+La valeur absolue de leur différence est égale à 
+0004000000000000000000.
+Ces éléments sont concaténés avec 01. On peut construire alors le reste de 
+la séquence.
+\end{xpl}
+
+
+% \begin{xpl}
+% On considère à présent que  $\mathsf{N}=9$, que $\mathcal{P}=\{2,7\}$ et que
+% $$s=\left\{
+% \begin{array}{l}
+% u=\underline{6,7,} ~ \underline{4,2,} ...\\
+% v=2,2,...
+% \end{array}
+% \right.$$
+% avec
+% $$\check{s}=\left\{
+% \begin{array}{l}
+% \check{u}=\underline{4, 9, 6, 3, 6, 6, 7,} ~ \underline{9, 8}, ...\\
+% \check{v}=7,2,...
+% \end{array}
+% \right.
+% $$
+
+% Ainsi $d_{\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}}(s,\check{s}) = 0.5173633305600000...$, 
+% puisque 
+% $|v^0-\check{v}^0|=5$, $|4963667-6700000| = 1736333$, $|v^1-\check{v}^1|=0$,
+% et $|9800000-4200000| = 5600000$.
+% \end{xpl}
+
+
+
+On a la proposition suivante, qui est démontrée en annexe~\ref{anx:generateur}.
+
+
+\begin{restatable}[Une distance dans $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$]{theorem}{distancedsxnp}
+$d$ est une distance sur $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$.
+\end{restatable}
+
+
+\subsection{Le graphe $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(f)$ étendant  $\textsc{giu}(f)$}
+
+A partir de  $\mathcal{P}=\{p_1, p_2, \hdots, p_\mathsf{p}\}$, on 
+définit le graphe orienté $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(f)$ de la manière suivante:
+\begin{itemize}
+\item les n{\oe}uds sont les  $2^\mathsf{N}$ configurations de $\mathds{B}^\mathsf{N}$,
+%\item Each vertex has $\displaystyle{\sum_{i=1}^\mathsf{p} \mathsf{N}^{p_i}}$ arrows, namely all the $p_1, p_2, \hdots, p_\mathsf{p}$ tuples 
+%  having their elements in $\llbracket 1, \mathsf{N} \rrbracket $.
+\item il y a un arc libellé $u_0, \hdots, u_{p_i-1}$, $i \in \llbracket 1, \mathsf{p} \rrbracket$ entre les n{\oe}uds $x$ et $y$ si et seulement si $p_i$ est un élément de 
+$\mathcal{P}$ (\textit{i.e.}, on peut itérer $p_i$ fois), et pour chaque 
+$k$, $0 \le k \le p_i-1$, on a 
+ $u_k$ qui appartient à  $[\mathsf{N}]$ et 
+$y=F_{f_u,p_i} (x, (u_0, \hdots, u_{p_i-1})) $.
+\end{itemize}
+Il n'est pas difficile de constater que $\textsc{giu}_{\{1\}}(f)$ est $\textsc{giu}(f)$.
+
+
+
+
+
+\begin{figure}%[t]
+  \begin{center}
+    \subfigure[$\textsc{giu}_{\{2\}}(h)$]{
+      \begin{minipage}{0.30\textwidth}
+        \begin{center}
+          \includegraphics[scale=0.5]{images/h2prng}
+        \end{center}
+      \end{minipage}
+      \label{fig:h2prng}
+    }
+    \subfigure[$\textsc{giu}_{\{3\}}(h)$]{
+      \begin{minipage}{0.40\textwidth}
+        \begin{center}
+          \includegraphics[scale=0.5]{images/h3prng}
+        \end{center}
+      \end{minipage}
+      \label{fig:h3prng}
+    }
+    \subfigure[$\textsc{giu}_{\{2,3\}}(h)$]{
+      \begin{minipage}{0.40\textwidth}
+        \begin{center}
+          \includegraphics[scale=0.5]{images/h23prng}
+        \end{center}
+      \end{minipage}
+      \label{fig:h23prng}
+    }
+
+    \end{center}
+    \caption{Graphes d'itérations $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(h)$ pour $h(x_1,x_2)=(\overline{x_1},x_1\overline{x_2}+\overline{x_1}x_2)$}
+    %\label{fig:xplgraphIter}
+  \end{figure}
+
+
+
+
+\begin{xpl}
+On reprend l'exemple où $\mathsf{N}=2$ et 
+$h(x_1,x_2)=(\overline{x_1},x_1\overline{x_2}+\overline{x_1}x_2)$ déjà détaillé 
+à la section~\ref{sub:prng:unif}.
+
+Le graphe $\textsc{giu}_{\{1\}}(h)$ a déjà été donné à la figure~\ref{fig:h:iter}.
+Les graphes $\textsc{giu}_{\{2\}}(h)$, $\textsc{giu}_{\{3\}}(h)$  et
+$\textsc{giu}_{\{2,3\}}(h)$ sont respectivement donnés aux figures~\ref{fig:h2prng}, ~\ref{fig:h3prng} et ~\ref{fig:h23prng}. 
+Le premier (respectivement le second) 
+illustre le comportement du générateur lorsque qu'on itère exactement 
+2 fois (resp. 3 fois) puis qu'on affiche le résultat.
+Le dernier donnerait le comportement d'un générateur qui s'autoriserait 
+à itérer en interne systématiquement 2 ou 3 fois avant de retourner un résultat.
+
+\end{xpl}
+
+
+\subsection{le PRNG de l'algorithme~\ref{CI Algorithm} est chaotique sur $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$}
+
+Le théorème suivant, similaire à ceux dans $\mathcal{X}_u$ et dans $\mathcal{X}_g$
+est prouvé en annexe~\ref{anx:generateur}.
+
+\begin{restatable}[Conditions pour la chaoticité de $G_{f_u,\mathcal{P}}$]{theorem}{thmchoticitgfp}
+La fonction $G_{f_u,\mathcal{P}}$ est chaotique sur 
+ $(\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}},d)$ si et seulement si 
+le graphe d'itérations $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(f)$ 
+est fortement connexe.
+\end{restatable}
+% On alors corollaire suivant 
+
+% \begin{corollary}
+%   Le générateur de nombre pseudo aléatoire détaillé 
+%   à l'algorithme~\ref{CI Algorithm}
+%   n'est pas chaotique 
+%   sur $(\mathcal{X}_{\mathsf{N},\{b\}},d)$ pour la fonction négation.
+% \end{corollary}
+% \begin{proof}
+%   Dans cet algorithme, $\mathcal{P}$ est le singleton $\{b\}$.
+%   Que $b$ soit pair ou impair,  $\textsc{giu}_{\{b\}}(f)$
+%   n'est pas fortement connexe.
+% \end{proof}
+
+
+\section{Conclusion}
+Ce chapitre a proposé un algorithme permettant de construire un 
+PRNG chaotique à partir d'un PRNG existant. Pour ce faire, il est nécessaire 
+et suffisant que la fonction $f$ qui est itérée un nombre $b$ de fois 
+possède un $\textsc{giu}_{\{b\}}(f)$ fortement connexe et que sa matrice de Markov associée soit doublement stochastique.
+Le chapitre suivant montre comment construire une telle fonction.
+
+ 
+