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index 881383c..3675094 100644
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@@ -239,15 +239,17 @@ Grace Ã ~\Equ{eq:correct_retrieve} dÃ©jÃ  prouvÃ©e, on peut conclure la preuve.
 
 
 \begin{lemma}
-  Bounding the size of channels  to $\textit{max} = \delta_0$ is sufficient when
-  simulating a DDN where delays are bounded by $\delta_0$.
+  Borner la taille du cannal Ã  $\textit{max} = \delta_0$ est suffisant 
+  lorsqu'on simule un systÃ¨me dynamique dont les dÃ©lais sont bornÃ©s par  
+  $\delta_0$.
 \end{lemma}
 
 \begin{Proof}
-  For  any $i$,  $j$, at  each  iteration $t+1$,  thanks to  bounded delays  (by
-  $\delta_0$),  element $i$  has to  know at  worst $\delta_0$  values  that are
-  $X_j^{t}$, \ldots, $X_j^{t-\delta_0+1}$.  They  can be stored into any channel
-  of size $\delta_0$.
+  Pour chaque $i$ et $j$, Ã  chaque itÃ©ration $t+1$, comme les dÃ©lais sont bornÃ©s par 
+  $\delta_0$,  l'Ã©lÃ©ment $i$  doit connaÃ®tre au plus $\delta_0$ 
+  valeurs qui sont
+  $X_j^{t}$, \ldots, $X_j^{t-\delta_0+1}$. Elles peuvent Ãªtre mÃ©morisÃ©es dans n'importe quel cannal
+  de taille $\delta_0$.
 \end{Proof}
 
 
@@ -259,12 +261,12 @@ Grace Ã ~\Equ{eq:correct_retrieve} dÃ©jÃ  prouvÃ©e, on peut conclure la preuve.
 %   to  convenient  available  dates  $D_{ji}$.   It is  then  easy  to  construct
 %   corresponding iterations of the DDN that are convergent.
 % \ANNOT{quel sens donnes-tu a \emph{convenient} ici ?}
-
-  Let us show the contraposition of the theorem.  The previous lemmas have shown
-  that for any  sequence of iterations of the DDN, there  exists an execution of
-  the PROMELA  model that  simulates them.   If some iterations  of the  DDN are
-  divergent, then  they prevent  the PROMELA model  from stabilizing,  \textit{i.e.},  not
-  verifying the LTL property (\ref{eq:ltl:conv}).
+  Montrons la conraposÃ©e du thÃ©orÃ¨me.
+  Le lemme  prÃ©cÃ©dent a montrÃ© que pour chaque sÃ©quence d'itÃ©rations du systÃ¨me dynamique discret,
+  Il existe une exÃ©cution du modÃ¨le PROMELA qui la simule.
+  Si des itÃ©rations du systÃ¨me dynamique discret sont divergentes, leur exÃ©cution vont empÃªcher 
+  le modÃ¨le PROMELA de se stabiliser,  \textit{i.e.} 
+  ce dernier ne verifiera pas la propriÃ©tÃ© LTL (\ref{eq:ltl:conv}).
 \end{Proof}
 
 
@@ -281,9 +283,11 @@ Grace Ã ~\Equ{eq:correct_retrieve} dÃ©jÃ  prouvÃ©e, on peut conclure la preuve.
 \promelacomplete*
 
 \begin{Proof}
-  For models $\psi$  that do not verify the  LTL property (\ref{eq:ltl:conv}) it
-  is easy  to construct corresponding iterations  of the DDN,  whose strategy is
-  pseudo-periodic since weak fairness property is taken into account.
+  Pour chaque  modele  $\psi$ 
+  qui ne vÃ©rifie pas la propriÃ©tÃ©  LTL  (\ref{eq:ltl:conv}), 
+  il est immÃ©diat de construire les itÃ©rations correpondantes du
+  systÃ¨me dynamique, dont la stratÃ©gie est pseudo pÃ©riodique en raison 
+  de la propriÃ©tÃ© d'Ã©quitÃ© faible..
 
 %   i.e. iterations that  are divergent.   Executions are
 %   performed under weak  fairness property; we then detail  what are continuously
