X-Git-Url: https://bilbo.iut-bm.univ-fcomte.fr/and/gitweb/hdrcouchot.git/blobdiff_plain/9e9f22c16917d3bf287f5e1f0df739200c392594..HEAD:/mixage.tex?ds=sidebyside

diff --git a/mixage.tex b/mixage.tex
index 4ee1171..356523d 100644
--- a/mixage.tex
+++ b/mixage.tex
@@ -48,20 +48,20 @@ et les quatre derniers Ã©lÃ©ments (15  est  01111).
 % respectively an element of some $E_i$ and a matrix of elements in some $E_i$.
 % The components  may  be updated  (in  a random  order)  according to  a
 % strategy $s$, as in the synchronous mode. 
-Dans le mode asynchrone, a chaque itÃ©ration $t$, chaque composant peut
+Dans le mode asynchrone, Ã  chaque itÃ©ration $t$, chaque composant peut
 mettre Ã  jour son Ã©tat en 
-fonction des derniÃ¨res valeurs qu'il connaÃ®t des autre composants.
+fonction des derniÃ¨res valeurs qu'il connaÃ®t des autres composants.
 Obtenir ou non les valeurs les plus Ã  jour dÃ©pend du temps de calcul et 
 du temps d'acheminement de celles-ci. On parle de latence, de dÃ©lai.
 
-Formalisons le mode les itÃ©rations asynchrone.
+Formalisons le mode des itÃ©rations asynchrone.
 Soit $x^0 =(x_1^0, \ldots, x_n^0)$ une configuration initiale.
-Soit $(D^{t})^{t \in  \Nats}$ la suite de matrice de taille $n  \times n$  
+Soit $(D^{t})^{t \in  \Nats}$ la suite de matrices de taille $n  \times n$  
 dont chaque Ã©lÃ©ment $D_{ij}^{t}$ reprÃ©sente la date (infÃ©rieure ou Ã©gale Ã  $t$) 
 Ã  laquelle la valeur $x_j$ produite par le composant $j$ devient 
 disponible au composant $i$. 
 On considÃ¨re que le dÃ©lai entre l'Ã©mission par $j$ et la rÃ©ception par $i$, 
-dÃ©fini par $\delta_{ij}^t  = t  - D_{ij}^{t}$ est bornÃ© par une constante $\delta_0$ pour tous les $i$, $j$.
+dÃ©fini par $\delta_{ij}^t  = t  - D_{ij}^{t}$, est bornÃ© par une constante $\delta_0$ pour tous les $i$, $j$.
 Le \emph{mode des itÃ©rations gÃ©nÃ©ralisÃ©es asynchrone} 
 est dÃ©fini pour chaque  $i
 \in \{1,\ldots,n\}$ et chaque  $t=0,1,2,...$ par:
@@ -71,8 +71,8 @@ est dÃ©fini pour chaque  $i
   x^{t+1}_i= \left\{
     \begin{array}{l}
       f_i( x_1^{D_{i1}^t},\ldots, x_{n}^{D_{i{n}}^t})
-      \textrm{ si } \textit{bin}(s^t)[i] = 1\\ 
-      x^{t}_i  \textrm{ sinon }
+      \textrm{ si } i \in s^t \\ 
+      x^{t}_i  \textrm{ sinon.}
     \end{array} 
   \right.
 \end{equation}
@@ -90,7 +90,7 @@ t \geq t_0  \Rightarrow  x^{t}=x^{t_0}).
 Sinon les itÃ©rations sont dites \emph{divergentes}.
 De plus, si $ (x^{(t)})^{t \in \mathbb{N}}$ dÃ©fini  selon l'Ã©quation 
 \Equ{eq:async} satisfait \Equ{eq:conv}  pour tous les  $x^{(0)}
-\in  E$,  pour toutes les stratÃ©gies pseudo pÃ©riodiques 
+\in  E$,  pour toutes les stratÃ©gies pseudo-pÃ©riodiques 
 $s$  et pour toutes les matrices de dates,
 $(D^{(t)})^{t  \in \Nats}$, alors les itÃ©rations de  $f$ sont 
 \emph{universellement convergentes}.
@@ -150,12 +150,12 @@ qu'il converge vers le point fixe correspondant Ã  l'entier 19.
 Un extrait du graphe des itÃ©rations unaires est donnÃ© Ã  
 la~\Fig{fig:mix:xplchaoFig}. Les libellÃ©s des arcs correspondent aux Ã©lÃ©ments 
 activÃ©s. Les itÃ©rations unaires ne convergent pas pour la stratÃ©gie 
-pseudo pÃ©riodique donnÃ©e Ã  l'Ã©quation~\Equ{eq:pseudo}:
+pseudo-pÃ©riodique donnÃ©e Ã  l'Ã©quation~\Equ{eq:pseudo}:
 le systÃ¨me peut infiniment boucler entre 11 et 3, entre 15 et 7.   
 
 Comme les itÃ©rations unaires ne convergent pas pour certaines stratÃ©gies,
 les itÃ©rations asynchrones basÃ©es sur les mÃªme stratÃ©gies peuvent ne pas 
-converger aussi. Cependant, mÃªme si l'on considÃ¨re que tous les composants 
+converger non plus. Cependant, mÃªme si l'on considÃ¨re que tous les composants 
 sont activÃ©s Ã  chaque itÃ©ration, c'est Ã  dire si $s^t$ est 
 constamment Ã©gal Ã  $2^n-1$, le dÃ©lai peut introduire de la divergence.
 On considÃ¨re par exemple la matrice $D^t$ dont chaque Ã©lÃ©ment vaut  $t$
@@ -169,13 +169,13 @@ f_5(x^{t})
 $$
 \noindent sinon. 
 En dÃ©marrant de $x^0=00011$, le systÃ¨me atteint $x^1 = 01011$ et boucle entre 
-ces deux configurations. Pour une mÃªme stratÃ©gies, les itÃ©rations 
+ces deux configurations. Pour une mÃªme stratÃ©gie, les itÃ©rations 
 asynchrones divergent alors que les synchrones convergent.
 Les sections suivantes de ce chapitre montrent comment rÃ©soudre ce problÃ¨me.
 
-\subsection{ItÃ©rations Mixes}
+\subsection{ItÃ©rations mixtes}
 Introduit dans~\cite{abcvs05}  
-le mode d'\emph{itÃ©rations mixes} combine synchronisme et asynchronisme.
+le mode d'\emph{itÃ©rations mixtes} combine synchronisme et asynchronisme.
 Intuitivement, les n{\oe}uds qui pourraient introduire des cycles dans 
 les itÃ©rations asynchrones sont regroupÃ©s. 
 Les noeuds Ã  l'intÃ©rieur de chaque groupe seront itÃ©rÃ©s de maniÃ¨re 
@@ -194,11 +194,11 @@ On peut facilement dÃ©montrer que la relation de synchronisation est une
 relation d'Ã©quivalence sur l'ensemble des Ã©lÃ©ments. 
 On introduit quelques notations: par la suite \class{i} reprÃ©sente la classe 
 d'Ã©quivalence de $i$ et $\mathcal{K}$ reprÃ©sente l'ensemble de toutes 
-les classe, \textit{i.e.},
-$\mathcal{K}=\{1,\ldots,n\}/\eqNode$. On peut dÃ©finir les itÃ©rations mixes.
+les classes, \textit{i.e.},
+$\mathcal{K}=\{1,\ldots,n\}/\eqNode$. On peut dÃ©finir les itÃ©rations mixtes.
 
-\begin{Def}[ItÃ©rations mixes]
-Les itÃ©rations mixes d'un systÃ¨me discret suit l'Ã©quation \Equ{eq:async} oÃ¹
+\begin{Def}[ItÃ©rations mixtes]
+Les itÃ©rations mixtes d'un systÃ¨me discret suivent l'Ã©quation \Equ{eq:async} oÃ¹
 de plus   $bin(s^t)[i]=bin(s^t)[j]$ et $D_{ij}^t=D_{ji}^t=t$ si $i \eqNode j$.
 \end{Def}
 
@@ -210,8 +210,8 @@ des dÃ©lais diffÃ©rents entre $p_0$ et $q$  et entre  $p_1$ et $q$.
 Ainsi $p_1$ et $p_2$ sont distinguables mÃªme s'ils appartiennent Ã  la mÃªme 
 classe.
 Pour gommer cette distinction, on dÃ©finit le mode suivant:
-\begin{Def}[ItÃ©rations mixes avec delais uniformes]
-  Le mode mixe a des \emph{dÃ©lais uniformes} si pour chaque 
+\begin{Def}[ItÃ©rations mixtes avec delais uniformes]
+  Le mode mixte a des \emph{dÃ©lais uniformes} si pour chaque 
   $t=0,1,\ldots$ et pour chaque paire de  classes  $(\class{p}, \class{q})$,
   il existe une constante $d^t_{pq}$  telle que la propriÃ©tÃ© suivante est 
   Ã©tablie:
@@ -227,9 +227,9 @@ On a alors le thÃ©orÃ¨me suivant.
 
 \begin{theorem}\label{th:cvg}
   Soit une fonction $f$ possÃ©dant un unique point fixe $x^*$ et une stratÃ©gie 
-  pseudo pÃ©riodique $s$.
+  pseudo-pÃ©riodique $s$.
   Si les itÃ©rations synchrones convergent vers $x^*$ pour cette stratÃ©gie, 
-  alors les itÃ©rations mixes Ã  dÃ©lai uniforme convergent aussi vers $x^*$
+  alors les itÃ©rations mixtes Ã  dÃ©lai uniforme convergent aussi vers $x^*$
   pour cette stratÃ©gie.
 \end{theorem}
 
@@ -240,7 +240,7 @@ La preuve de ce thÃ©orÃ¨me est donnÃ©e en section~\ref{anx:mix}.
 
 \subsection{DurÃ©es de convergence} 
 Cette section donne des bornes supÃ©rieures et infÃ©rieures des durÃ©es 
-globales de convergence pour les modes synchrones, mixes et asynchrones.
+globales de convergence pour les modes synchrones, mixtes et asynchrones.
 Pour simplifier le discours, on considÃ¨re que les itÃ©rations 
 convergent en $I$ Ã©tapes dans le mode synchrone et que le graphe 
 d'interaction ne contient qu'une seule composante connexe.
@@ -259,7 +259,7 @@ Les notations utilisÃ©es sont les suivantes:
   de bits
   nÃ©cessaires 
   pour reprÃ©senter  l'Ã©tat courant du composant $i$ et est notÃ©e $\textit{cs}_i$;
-\item [Temps de calcul] le composant $i$ a besoins de  $\textit{cp}_i$ unitÃ©s de temps 
+\item [Temps de calcul] le composant $i$ a besoin de  $\textit{cp}_i$ unitÃ©s de temps 
   pour faire une mise Ã  jour locale de son Ã©tat;
 \item   [Temps de communication] on utilise le modÃ¨le classique de communication 
   $\beta+L\tau$  oÃ¹ $L$ est le nombre de bits  transfÃ©rÃ©s. 
@@ -289,7 +289,7 @@ graphe d'interaction, le temps global de convergence est
 
 \begin{xpl}
   Intuitivement la convergence se propage selon les dÃ©pendances internes au systÃ¨me:
-  un n{\oe}uds se stabilise lorsque ceux dont il dÃ©pend sont eux aussi stables.
+  un n{\oe}ud se stabilise lorsque ceux dont il dÃ©pend sont eux aussi stables.
   Cette stabilisation progressive est illustrÃ©e Ã  la \Fig{fig:evalsync} qui
   reprÃ©sente des exÃ©cutions synchrones dans le cas d'une initialisation avec la 
   valeur (00100).
@@ -307,7 +307,7 @@ graphe d'interaction, le temps global de convergence est
   
   \begin{minipage}{1\textwidth}
     \includegraphics[scale=0.4]{eval_mixte}
-    \caption{ItÃ©rations mixes avec
+    \caption{ItÃ©rations mixtes avec
       \class{1} $=\{1,2\}$, \class{3} $=\{3\}$,
       \class{4} $=\{4,5\}$.}
     \label{fig:evalmixte}
@@ -379,15 +379,15 @@ graphe d'interaction, le temps global de convergence est
 %   \end{figure}
 % \end{xpl}
 
-\subsection{le mode mixe}
+\subsection{le mode mixte}
 \label{sec:evalmixed}
 
 
 On considÃ¨re $|\mathcal{K}|$  classes de composants synchronisÃ©s.
 (comme donnÃ©  en Ã©quation~(\ref{eq:I})).
-Soit $I_k$ le nombre d'itÃ©rations suffisants pour que la classe 
+Soit $I_k$ le nombre d'itÃ©rations suffisant pour que la classe 
 $\class{k}  \in \mathcal{K}$ se stabilise 
-sachant  toutes ses dÃ©pendances ont dÃ©jÃ  convergÃ©. 
+sachant que toutes ses dÃ©pendances ont dÃ©jÃ  convergÃ©. 
 Ainsi $I$ vaut $\sum_{\class{k} \in \mathcal{K}} I_k$.
 La borne infÃ©rieure pour la durÃ©e de convergence des itÃ©rations asynchrones est 
 \begin{equation}
@@ -411,7 +411,7 @@ ascendants pour converger. On a dans ce cas:
 \end{equation}
 
 \begin{xpl}
-  Une exÃ©cution du mode mixe est donnÃ©e Ã  la~\Fig{fig:evalmixte}.
+  Une exÃ©cution du mode mixte est donnÃ©e Ã  la~\Fig{fig:evalmixte}.
   On peut constater que le temps d'exÃ©cution peut Ãªtre  
   plus petit que pour le 
   mode synchrone.
@@ -419,8 +419,8 @@ ascendants pour converger. On a dans ce cas:
 
 \subsection{Le mode unaire asynchrone}
 \label{sec:evalasync}
-En terme de durÃ©e de convergence, ce mode peut Ãªtre vu comme un 
-cas particulier du mode mixe oÃ¹ toutes les classes sont des singletons.
+En termes de durÃ©e de convergence, ce mode peut Ãªtre vu comme un 
+cas particulier du mode mixte oÃ¹ toutes les classes sont des singletons.
 La borne minimale peut donc s'exprimer comme:
 \begin{equation}
   \label{eq:asynclow}
