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@@ -1,4 +1,27 @@
-\JFC{Dire que c'est une synthÃ¨se du chapitre 22 de la thÃ¨se de Tof}
+La propriÃ©tÃ© de rÃ©gularitÃ© des fonctions chaotiques est Ã  l'origine du marquage de documents numÃ©riques: de tout mÃ©dia, mÃªme tronquÃ©, on peut rÃ©extraire la 
+marque. 
+Dans ce chapitre, le processus d'embarquement d'un message dans 
+un mÃ©dia est formalisÃ© en section~\ref{sec:watermarking:formulation}.
+La sÃ©curitÃ© des approches de watermarking est Ã©tudiÃ©e selon deux approches:
+l'approche probabiliste~\ref{sec:watermarking:security:probas} 
+et l'approche chaotique~\ref{sec:watermarking:security:chaos}.
+Une proposition d'embarquement dans le domaine frÃ©quentiel est abordÃ©e
+en section~\ref{sec:watermarking:frequentiel}.
+
+On remarque cependant que l'algorithme formalisÃ© dans ces sections ne permet
+d'embarquer \textit{in fine} qu'un bit qui est vrai si l'image est marquÃ©e 
+et faux dans le cas contraire. 
+Il ne permet pas d'extraire le contenu du message initial Ã  partir de
+l'image marquÃ©e. La section~\ref{sec:watermarking:extension}
+propose une solution Ã  ce problÃ¨me.
+
+Les trois premiÃ¨res sections de ce chapitre sont une reformulation 
+du chapitre 22 de~\cite{guyeux10}. Elles ont Ã©tÃ© publiÃ©es Ã ~\cite{bcg11:ij}.
+L'extension a quant Ã  elle Ã©tÃ© publiÃ©e dans~\cite{bcfg+13:ip}.
+
+
+
+\section{Processus de marquage binaire}\label{sec:watermarking:formulation}
 
 Par la suite, le message numÃ©rique qu'on cherche Ã  embarquer est 
 notÃ© $y$ et le support dans lequel se fait l'insertion est notÃ© $x$. 
@@ -9,16 +32,19 @@ sont paramÃ©trÃ©es par un entier naturel permettant Ã  la mÃ©thode d'Ãªtre
 appliquable Ã  un mÃ©dia de n'importe quelle taille.
 On parle alors respectivement de \emph{mode} et d'\emph{adapteur de stratÃ©gies} 
 
-\begin{definition}[Mode]
+\subsection{Embarquement}
+
+
+\begin{Def}[Mode]
 \label{def:mode}
 Soit $\mathsf{N}$ un entier naturel. 
 Un mode est une application de $\mathds{B}^{\mathsf{N}}$
 dans lui mÃªme.
-\end{definition}
+\end{Def}
 
 
 
-\begin{definition}[Adapteur de StratÃ©gie]
+\begin{Def}[Adapteur de StratÃ©gie]
   \label{def:strategy-adapter}
   
   Un  \emph{adapteur de stratÃ©gie} est une fonction $\mathcal{S}$ 
@@ -26,7 +52,7 @@ dans lui mÃªme.
   qui associe Ã  chaque entier naturel
   $\mathsf{N}$ la suite 
   $S \in  \llbracket 1, n\rrbracket^{\mathds{N}}$.
-\end{definition}
+\end{Def}
 
 
 On dÃ©finit par exemple  l'adapteur CIIS (\emph{Chaotic Iterations with Independent Strategy})
@@ -45,42 +71,7 @@ $(S^t)^{t \in \mathds{N}}$ dÃ©finie par:
 oÃ¹  est la fonction chaotique linÃ©aire par morceau~\cite{Shujun1}.
 Les paramÃ¨tres $K$ et $\alpha$ de cet adapteur de stratÃ©gie peuvent Ãªtre vus
 comme des clefs. 
-
-% Les paramÃ¨re Parameters of CIIS strategy-adapter will be instantiate as follows: 
-% $K$ is the secret embedding key, $y$ is the secret message, 
-% $\alpha$ is the threshold of the piecewise linear chaotic map,
-% which can be set as $K$ or can act as a second secret key.
-% Lastly, $l$ is for the iteration number bound:
-% enlarging its value improve the chaotic behavior of the scheme,
-% but the time required to achieve the embedding grows too.
-
-% Another strategy-adapter is the 
-% \emph{Chaotic Iterations with Dependent Strategy} (CIDS) 
-% with parameters $(l,X) \in \mathds{N}\times \mathds{B}^\mathds{N}$, 
-% which is the function that maps any $ n \in \mathds{N}$ to
-% the sequence $\left(S^t\right)^{t \in \mathds{N}}$ defined by:
-% \begin{itemize}
-% \item $\forall t \leqslant l$, if $t \leqslant l$ and $X^t = 1$, 
-%   then $S^t=t$, else $S^t=1$.
-% \item $\forall t > l, S^t = 0$.
-% \end{itemize}
-
-
-
-
-% Let us notice that the terms of $x$ that may be replaced by terms issued
-% from $y$ are less important than other: they could be changed 
-% without be perceived as such. More generally, a 
-% \emph{signification function} 
-% attaches a weight to each term defining a digital media,
-% w.r.t. its position $t$:
-
-% \begin{definition}[Signification function]
-% A \emph{signification function} 
-% $(u^k)^{k \in \Nats}$. % with a limit equal to 0.
-% \end{definition}
-
-
+On remarque que cette stratÃ©gie est unaire.
 
 
 
@@ -89,27 +80,21 @@ On peut attribuer Ã  chaque bit du mÃ©dia hÃ´te $x$ sa valeur d'importance
 sous la forme d'un rÃ©el.
 Ceci se fait Ã  l'aide d'une fonction de signification. 
 
-%We first notice that terms of $x$ that may be replaced by terms issued
-%from $y$ are less important than other: they could be changed 
-%without being perceived as such. More generally, a 
-%\emph{signification function} 
-%attaches a weight to each terms defining a digital media,
-%depending on its position $t$, as follows.
 
-\begin{definition}[Fonction de signification ]
+\begin{Def}[Fonction de signification ]
 Une  \emph{fonction de signification } 
 est une fonction $u$ qui a toute 
 sÃ©quence finie de bit $x$ associe la sÃ©quence 
 $(u^k(x))$ de taille $\mid x \mid$ Ã  valeur dans les rÃ©els.
 Cette fonction peut dÃ©pendre du message $y$ Ã  embarquer, ou non.
-\end{definition}
+\end{Def}
 
 Pour allÃ©ger le discours, par la suite, on nottera $(u^k(x))$ pour $(u^k)$ 
 lorsque cela n'est pas ambigÃ¼e.
 Il reste Ã  partionner les bits  de $x$ selon qu'ils sont 
 peu, moyennement ou trÃ¨s significatifs. 
 
-\begin{definition}[Signification des bits]\label{def:msc,lsc}
+\begin{Def}[Signification des bits]\label{def:msc,lsc}
 Soit $u$ une fonction de signification, 
 $m$ et  $M$ deux rÃ©els  t.q. $m < M$.  Alors:
 $u_M$, $u_m$ et $u_p$ sont les vecteurs finis respectivements des 
@@ -124,13 +109,13 @@ $u_M$, $u_m$ et $u_p$ sont les vecteurs finis respectivements des
    u_p &=& \left( k ~ \big|~ k \in \mathds{N} \textrm{ et } 
 u^k \in ]m;M[ \textrm{ et }  k \le \mid x \mid \right)
 \end{eqnarray*}
- \end{definition}
+ \end{Def}
 
 On peut alors dÃ©finir une fonction de dÃ©compostion  
 puis de recomposition pour un hÃ´te $x$:
 
 
-\begin{definition}[Fonction de dÃ©composition ]
+\begin{Def}[Fonction de dÃ©composition ]
 Soit $u$ une fonction de signification, 
 $m$ et $M$ deux rÃ©els t.q  $m < M$.  
 Tout hÃ´te $x$ peut se dÃ©composer en
@@ -144,12 +129,12 @@ avec
 \end{itemize}
 La fonction qui associe $(u_M,u_m,u_p,\phi_{M},\phi_{m},\phi_{p})$
 pour chaque hÃ´te $x$ est la  \emph{fonction de dÃ©composition}, plus tard notÃ©e 
-$\textit{dec}(u,m,M)$ puisuq'elle est paramÃ©trÃ©e par 
+$\textit{dec}(u,m,M)$ puisqu'elle est paramÃ©trÃ©e par 
 $u$, $m$ and $M$. 
-\end{definition} 
+\end{Def} 
 
 
-\begin{definition}[Recomposition]
+\begin{Def}[Recomposition]
 Soit un sextuplet 
 $(u_M,u_m,u_p,\phi_{M},\phi_{m},\phi_{p}) \in 
 \mathfrak{N} \times 
@@ -175,241 +160,482 @@ x =
 La fonction qui associe $x$ Ã  chaque sextuplet 
 $(u_M,u_m,u_p,\phi_{M},\phi_{m},\phi_{p})$ dÃ©fini comme ci-dessus est appelÃ©e 
 \emph{fonction de recomposition}.
-\end{definition}
+\end{Def}
 
 Un embarquement consiste Ã  modifier les valeurs de  
 $\phi_{m}$ (de $x$) en tenant compte de $y$. 
 Cela se formalise comme suit:
 
-\begin{definition}[Embedding media]
-Soit une fonction de dÃ©composition  $\textit{dec}(u,m,M)$ be a decomposition function,
-$x$ be a host content,
-$(u_M,u_m,u_p,\phi_{M},\phi_{m},\phi_{p})$ be its image by $\textit{dec}(u,m,M)$, 
-and $y$ be a digital media of size $|u_m|$.
-The digital media $z$ resulting on the embedding of $y$ into $x$ is 
-% the
-% result of the \emph{embedding} of $y$ in $x$ if 
-%  $$
-%  \forall n \in \llbracket1, |x|\rrbracket , z^n = \left\{
-%  \begin{array}{ll}
-%  x^n & \textrm{if } \phi^n_m > m,\\
-%  y^n & \textrm{else.}
-%  \end{array}
-%  \right.
-%  $$
-%  
-% In other words, $z$ is
-the image of $(u_M,u_m,u_p,\phi_{M},y,\phi_{p})$
-by  the recomposition function $\textit{rec}$.
-\end{definition}
-
-Let us then define the dhCI information hiding scheme
-presented in~\cite{gfb10:ip}:
-
-\begin{definition}[Data hiding dhCI]
- \label{def:dhCI}
-Let $\textit{dec}(u,m,M)$ be a decomposition function,
-$f$ be a mode, 
-$\mathcal{S}$ be a strategy adapter,
-$x$ be an host content,\linebreak
+\begin{Def}[Embarquement de message]
+Soit une fonction de dÃ©composition  $\textit{dec}(u,m,M)$,  
+$x$ un support, 
+$(u_M,u_m,u_p,\phi_{M},\phi_{m},\phi_{p})$ son image par $\textit{dec}(u,m,M)$, 
+et $y$ un mÃ©dia numÃ©rique de taille $|u_m|$.
+Le mÃ©dia $z$ rÃ©sultant de l'embarquement d'$y$ dans $x$ est l'image de 
+$(u_M,u_m,u_p,\phi_{M},y,\phi_{p})$
+par la fonction de recomposition $\textit{rec}$.
+%  avec 
+% $g : \Bool^{|u_m|} \times \Bool^{|u_m|} \to \Bool^{|u_m|} $
+% est la fonction de modification des bits de $u_m$ selon $y$.
+\end{Def}
+
+ 
+On peut Ã©tendre l'algorithme dhCI~\cite{gfb10:ip} d'embarquement de message comme suit:  
+
+\begin{Def}[Embarquement dhCI Ã©tendu]
+ \label{def:dhCI:ext}
+Soit $\textit{dec}(u,m,M)$ une function de dÃ©composition,
+$f$ un mode, 
+$\mathcal{S}$ un adapteur de stratÃ©gie,
+$x$ un hÃ´te, 
 $(u_M,u_m,u_p,\phi_{M},\phi_{m},\phi_{p})$ 
-be its image by $\textit{dec}(u,m,M)$,
-$q$ be a positive natural number,  
-and $y$ be a digital media of size $l=|u_m|$.
+sont image par  $\textit{dec}(u,m,M)$,
+$q$ un entier naturel positif
+et $y$ un mÃ©dia numÃ©rique de taille $l=|u_m|$.
 
-
-The dhCI dissimulation  maps any
-$(x,y)$  to the digital media $z$ resulting on the embedding of
-$\hat{y}$ into $x$, s.t.
+L'algorithme d'embarquement de message associe Ã  chaque 
+couple $(x,y)$  le mÃ©dia  $z$ rÃ©sultat de l'embarquement de 
+$\hat{y}$ dans $x$, t. q.:
 
 \begin{itemize}
-\item We instantiate the mode $f$ with parameter $l=|u_m|$, leading to 
-  the function $f_{l}:\Bool^{l} \rightarrow \Bool^{l}$.
-\item We instantiate the strategy adapter $\mathcal{S}$ 
-with parameter $y$ (and some other ones eventually). 
-This instantiation leads to the strategy $S_y \in \llbracket 1;l\rrbracket ^{\Nats}$.
-
-\item We iterate $G_{f_l}$ with initial configuration $(S_y,\phi_{m})$.
-\item $\hat{y}$ is finally the $q$-th term of these iterations.
+\item le mode $f$ est instanciÃ© avec le paramÃ¨tre $l=|u_m|$, engendrant la 
+  fonction $f_{l}:\Bool^{l} \rightarrow \Bool^{l}$;
+\item l'adapteur de stratÃ©gie $\mathcal{S}$ est intanciÃ© avec le paramÃ¨tre
+$y$, engendrant une stratÃ©gie $S_y \in [l]$;
+\item on itÃ¨re la fonction $G_{f_l}$ en prenant la configuration
+  initiale $(S_y,\phi_{m})$ selon le schÃ©ma dÃ©fini 
+  Ã  l'Ã©quation~(\ref{eq:sch:unaire}). 
+\item $\hat{y}$ est le second membre du $q^{\textrm{Ã¨me}}$ terme obtenu.
 \end{itemize}
+\end{Def}
+
+
+La figure~\ref{fig:organigramme} synthÃ©tise la dÃ©marche.
+
+\begin{figure}[ht]
+\centering
+%\includegraphics[width=8.5cm]{organigramme2.pdf}
+\includegraphics[width=8.5cm]{organigramme22}
+\caption{The dhCI dissimulation scheme}
+\label{fig:organigramme}
+\end{figure}
+
+
+
+
+\subsection{DÃ©tection d'un media marquÃ©}\label{sub:wmdecoding}
+
+On caractÃ©rise d'abord ce qu'est un mÃ©dia marquÃ© selon la mÃ©thode Ã©noncÃ©e 
+Ã  la section prÃ©cÃ©dente. On considÃ¨re que l'on connaÃ®t
+la marque Ã  embarquer $y$, le support $x$ et que l'on a face Ã  soit un mÃ©dia 
+$z$.
+
+
+\begin{definition}[MÃ©dia marquÃ©]
+Soit $\textit{dec}(u,m,M)$ une fonction de dÃ©composition
+$f$ un  mode, 
+$\mathcal{S}$ un adapteur de stratÃ©gie
+$q$ un entier naturel strictement positif,
+$y$ un mÃ©dia digital et soit  
+$(u_M,u_m,u_p,\phi_{M},\phi_{m},\phi_{p})$ l'image par 
+$\textit{dec}(u,m,M)$  du mÃ©dia  $x$. 
+Alors, $z$ est \emph{marquÃ©} avec $y$ si l'image 
+par $\textit{dec}(u,m,M)$ of $z$ is 
+$(u_M,u_m,u_p,\phi_{M},\hat{y},\phi_{p})$, oÃ¹
+$\hat{y}$ est le second membre de  $G_{f_l}^q(S_y,\phi_{m})$.
 \end{definition}
 
+% Plusieurs stratÃ©gies peuvent Ãªtre utilisÃ©es pour dÃ©terminer si une image $z$ 
+% est marquÃ©e, en particulier si l'image a Ã©tÃ© attaquÃ©e entre temps.
+% On s'intÃ©ressera aux mesures de similaritÃ© entre $x$ et $z$.
 
-To summarize, iterations are realized on the LSCs of the
-host content
-(the mode gives the iterate function,  
-the strategy-adapter gives its strategy), 
-and the last computed configuration is re-injected into the host content, 
-in place of the former LSCs.
-
-
-
-%\begin{definition}[Significance of coefficients]\label{def:msc,lsc}
-%Let $(u^k)^{k \in \Nats}$ be a signification function, 
-%$m$ and $M$ be two reals s.t. $m < M$. Then 
-%the \emph{most significant coefficients (MSCs)} of $x$ is the finite 
-%  vector $u_M$, 
-%the \emph{least significant coefficients (LSCs)} of $x$ is the 
-%finite vector $u_m$, and 
-%the \emph{passive coefficients} of $x$ is the finite vector $u_p$ such that:
-%\begin{eqnarray*}
-%  u_M &=& \left( k ~ \big|~ k \in \mathds{N} \textrm{ and } u^k 
-%    \geqslant M \textrm{ and }  k \le \mid x \mid \right) \\
-%  u_m &=& \left( k ~ \big|~ k \in \mathds{N} \textrm{ and } u^k 
-%  \le m \textrm{ and }  k \le \mid x \mid \right) \\
-%   u_p &=& \left( k ~ \big|~ k \in \mathds{N} \textrm{ and } 
-%u^k \in ]m;M[ \textrm{ and }  k \le \mid x \mid \right)
-%\end{eqnarray*}
-% \end{definition}
-
-%For a given host content $x$,
-%MSCs are then ranks of $x$  that describe the relevant part
-%of the image, whereas LSCs translate its less significant parts.
-%We are then ready to decompose an host $x$ into its coefficients and 
-%then to recompose it. Next definitions formalize these two steps. 
-
-%\begin{definition}[Decomposition function]
-%Let $(u^k)^{k \in \Nats}$ be a signification function, 
-%$\mathfrak{B}$ the set of finite binary sequences,
-%$\mathfrak{N}$ the set of finite integer sequences, 
-%$m$ and $M$ be two reals s.t. $m < M$.  
-%Any host $x$ may be decomposed into 
-%$$
-%(u_M,u_m,u_p,\phi_{M},\phi_{m},\phi_{p})
-%\in
-%\mathfrak{N} \times 
-%\mathfrak{N} \times 
-%\mathfrak{N} \times 
-%\mathfrak{B} \times 
-%\mathfrak{B} \times 
-%\mathfrak{B} 
-%$$
-%where
-%\begin{itemize}
-%\item $u_M$, $u_m$, and $u_p$ are coefficients defined in Definition  
-%\ref{def:msc,lsc};
-%\item $\phi_{M} = \left( x^{u^1_M}, x^{u^2_M}, \ldots,x^{u^{|u_M|}_M}\right)$;
-% \item $\phi_{m} = \left( x^{u^1_m}, x^{u^2_m}, \ldots,x^{u^{|u_m|}_m} \right)$;
-% \item $\phi_{p} =\left( x^{u^1_p}, x^{u^2_p}, \ldots,x^{u^{|u_p|}_p}\right) $.
-% \end{itemize}
-%The function that associates the decomposed host to any digital host is 
-%the \emph{decomposition function}. It is 
-%further referred as $\textit{dec}(u,m,M)$ since it is parametrized by 
-%$u$, $m$, and $M$. Notice that $u$ is a shortcut for $(u^k)^{k \in \Nats}$.
-%\end{definition} 
-
-
-%\begin{definition}[Recomposition]
-%Let 
-%$(u_M,u_m,u_p,\phi_{M},\phi_{m},\phi_{p}) \in 
-%\mathfrak{N} \times 
-%\mathfrak{N} \times 
-%\mathfrak{N} \times 
-%\mathfrak{B} \times 
-%\mathfrak{B} \times 
-%\mathfrak{B} 
-%$ s.t.
-%\begin{itemize}
-%\item the sets of elements in $u_M$, elements in $u_m$, and 
-%elements in $u_p$ are a partition of $\llbracket 1, n\rrbracket$;
-%\item $|u_M| = |\varphi_M|$, $|u_m| = |\varphi_m|$, and $|u_p| = |\varphi_p|$.  
-%\end{itemize}
-%One may associate the vector 
-%$$x = 
-%\sum_{i=1}^{|u_M|} \varphi^i_M . e_{{u^i_M}} +  
-%\sum_{i=1}^{|u_m|} \varphi^i_m .e_{{u^i_m}} +  
-%\sum_{i=1}^{|u_p|} \varphi^i_p. e_{{u^i_p}} 
-%$$
-%\noindent where $e_i$ is the sequence whose $j-$th term is equal to $\overline{\Delta(i,j)}$, \emph{i.e.}, $(e_i)_{i \in \mathds{N}}$ is the usual basis of the $\mathds{R}-$vectorial space $\left(\mathds{R}^\mathds{N}, +, .\right)$.
-%The function that associates $x$ to any 
-%$(u_M,u_m,u_p,\phi_{M},\phi_{m},\phi_{p})$ following the above constraints 
-%is called the \emph{recomposition function}.
-%\end{definition}
+\section{Analyse de sÃ©curitÃ© (probabilistes)}\label{sec:watermarking:security:probas}
 
-%The embedding consists to the replacement of the values of 
-%$\phi_{m}$ of $x$'s LSCs  by $y$. 
-%It then composes the two decomposition and
-%recomposition functions seen previously. More formally:
-
-
-%\begin{definition}[Embedding digital media]
-%Let $\textit{dec}(u,m,M)$ be a decomposition function,
-%$x$ be a host content,
-%$(u_M,u_m,u_p,\phi_{M},\phi_{m},\phi_{p})$ be its image by $\textit{dec}(u,m,M)$,
-%and $y$ be a digital media of size $|u_m|$.
-%The digital media $z$ resulting on the embedding of $y$ into $x$ is 
-%% the
-%% result of the \emph{embedding} of $y$ in $x$ if 
-%%  $$
-%%  \forall n \in \llbracket1, |x|\rrbracket , z^n = \left\{
-%%  \begin{array}{ll}
-%%  x^n & \textrm{if } \phi^n_m > m,\\
-%%  y^n & \textrm{else.}
-%%  \end{array}
-%%  \right.
-%%  $$
-%%  
-%% In other words, $z$ is
-%the image of $(u_M,u_m,u_p,\phi_{M},y,\phi_{p})$
-%by  the recomposition function $\textit{rec}$.
-%\end{definition}
 
-%We can now define the information hiding scheme called \emph{dhCI}:
+RÃ©cemment~\cite{Cayre2005,Perez06} ont proposÃ© des classes de sÃ©curitÃ© pour le
+marquage d'information. Parmis celles-ci, la stego-sÃ©curitÃ© a Ã©tÃ© au centre 
+des travaux puisqu'elle reprÃ©sente la classe la plus Ã©levÃ©e dans le contexte oÃ¹
+l'attaquant n'a accÃ¨s qu'Ã  l'hÃ´te marquÃ© $z$.
 
-%\begin{definition}[Data hiding dhCI]
-% \label{def:dhCI}
-%Let $\textit{dec}(u,m,M)$ be a decomposition function,
-%$f$ be a mode, 
-%$\mathcal{S}$ be a strategy adapter,
-%$x$ be an host content,\linebreak
-%$(u_M,u_m,u_p,\phi_{M},\phi_{m},\phi_{p})$ be its image by $\textit{dec}(u,m,M)$,  
-%and $y$ be a digital media of size $l=|u_m|$.
+Cette dÃ©finition probabiliste est rappelÃ©e ci-aprÃ¨s.
+Soit $\mathds{K}$ un ensemble de clefs, $p(X)$ un modÃ¨le porbabiliste 
+de $N_0$ hÃ´tes,  et $p(Y|K)$ le modÃ¨le probabiliste de $N_0$ contenus marquÃ©s avec la 
+mÃªme clÃ© $K$ et le mÃªme algorithme d'embarquement.
 
+\begin{definition}[StÃ©go-SÃ©curitÃ©~\cite{Cayre2008}]
+\label{Def:Stego-security} 
+La fonction d'embarquement is \emph{stÃ©go-sÃ©cure}
+si la propriÃ©tÃ© $\forall K \in \mathds{K}, p(Y|K)=p(X)$ est Ã©tablie.
+\end{definition}
 
-%The \emph{dhCI dissimulation} is the application that maps any
-%$(x,y)$  to the digital media $z$ resulting on the embedding of
-%$\hat{y}$ into $x$, s.t.
+Il a dÃ©jÃ  Ã©tÃ© dÃ©montrÃ©~\cite{guyeuxphd,gfb10:ip}
+que l'algorithme de marquage dont le mode est la fonction 
+nÃ©gation est stÃ©go-sÃ©cure. 
+Un des intÃ©rÃªts de l'algorithme prÃ©sentÃ© ici est qu'il est paramÃ©trÃ© par un mode.
+Lorsque celui-ci a les mÃªme propriÃ©tÃ©s que celles vues pour la crÃ©ation de PRNG (\textit{i.e.} graphe des itÃ©rations fortement connexes et matrice de Markov doublement 
+stochastique), on a un marquage qui peut Ãªtre rendu stego-secure Ã  $\epsilon$ pret,
+ce que prÃ©cise le thÃ©orÃ¨me suivant:
+
+\begin{theorem}\label{th:stego}
+Soit  $\epsilon$ un nombre positif, 
+$l$ un nombre de LSBs, 
+$X   \sim \mathbf{U}\left(\mathbb{B}^l\right)$,
+un adapteur de stratÃ©gie uniformÃ©mement distribuÃ© indÃ©pendant de $X$
+$f_l$ un mode tel que  
+$\textsc{giu}(f_l)$ est fortement connexe et la 
+matrice de Markov associÃ©e Ã   $f_l$ est doublement stochastique.
+Il existe un nombre $q$ d'itÃ©rations tel que 
+$|p(Y|K)- p(X)| < \epsilon$. 
+\end{theorem}
+
+
+
+\section{Analyse de sÃ©curitÃ© (chaos)}\label{sec:watermarking:security:chaos}
+On rappelle uniquement la dÃ©finition de chaos-sÃ©curitÃ©
+introduite dans~\cite{guyeuxphd}.
+
+
+\begin{definition}[Chaos-sÃ©curitÃ©]
+\label{DefinitionChaosSecure}
+Un schÃ©ma de marquage $S$ est chaos-sÃ©cure sur un espace topologique
+$(\mathcal{X},\tau)$
+si sa version itÃ©rative 
+a un comprtement chaotique sur celui-ci.
+\end{definition}
 
-%\begin{itemize}
-%\item We instantiate the mode $f$ with parameter $l=|u_m|$, leading to 
-%  the function $f_{l}:\Bool^{l} \rightarrow \Bool^{l}$.
-%\item We instantiate the strategy adapter $\mathcal{S}$ 
-%with parameter $y$ (and some other ones eventually). 
-%This instantiation leads to the strategy $S_y \in \llbracket 1;l\rrbracket ^{\Nats}$.
+Tout repose ainsi sur la capacitÃ© que l'on a Ã  produire des fonctions 
+dont le graphe des itÃ©rations unaires sera fortement connexe.
+Ceci a dÃ©jÃ  Ã©tÃ© traitÃ© au chapitre~\ref{chap:carachaos}.
+La seule complexitÃ© est l'adaptabilitÃ© de la fonction au  nombre $l$ de LSBs.
+
+On considÃ¨re par exemple le  mode
+$f_l: \Bool^l \rightarrow \Bool^l$ t.q. le $i^{\textrm{Ã¨me}}$ composant 
+est dÃ©fini par 
+\begin{equation}
+{f_l}(x)_i =
+\left\{
+\begin{array}{l}
+\overline{x_i} \textrm{ si $i$ est impair} \\
+x_i \oplus x_{i-1} \textrm{ si $i$ est pair}
+\end{array}
+\right.
+\end{equation}\label{eq:fqq}
+
+on peut dÃ©duire imÃ©diatement du thÃ©orÃ¨me~\ref{th:Adrien} (chap.~\ref{chap:carachaos})
+que le graphe $\textsc{giu}(f_l)$ est fortement connexe.
+La preuve de double-stochasiticitÃ© de la matrice associÃ©e 
+Ã  $f_l$ est donnÃ©e en annexes~\ref{anx:marquage:dblesto}.
+On dispose ainsi d'un nouvel algorithme de marquage $\epsilon$-stego-secure et 
+chaos-sÃ©cure.
+
+\section{Applications aux domaines frÃ©quentiels}\label{sec:watermarking:frequentiel}
+Le schÃ©ma d'algorithme prÃ©sentÃ© dans ce chapitre a Ã©tÃ© appliquÃ© au marquage d'images 
+dans les coefficients DCT et les DWT.
+
+\subsection{Fonction de signification pour l'embarquement dans les DCT} 
+ 
+On considÃ¨re un hÃ´te $x$ de taille $H \times L$ dans le domaine frÃ©qentiel DCT.
+Dans chaque bloc de taille $8\times 8$, Ã  chaque bit
+la fonction de signification $u$ associe
 
-%\item We iterate $G_{f_l}$ with initial configuration $(S_y,\phi_{m})$.
-%\item $\hat{y}$ is finally the $l$-th term of these iterations.
-%\end{itemize}
-%\end{definition}
+\begin{itemize}
+\item 1 si c'est un bit appraissant dans la reprÃ©sentation binaire de la valeur d'un coefficient dont les coordonnÃ©es appartiennent Ã  $\{(1,1),(2,1),(1,2)\}$,
+\item 1 si c'est un bit appraissant dans la reprÃ©sentation binaire de la valeur 
+  d'un coefficient dont les 
+  coordonnÃ©es appartiennent Ã  $\{(3,1),(2,2),(1,3)\}$ et qui n'est pas un des trois 
+  bits de poids faible de cette reprÃ©sentation,
+\item -1 si c'est un bit appraissant dans la reprÃ©sentation binaire
+de la valeur d'un coefficient dont les 
+  coordonnÃ©es appartiennent Ã  $\{(3,1),(2,2),(1,3)\}$ et qui est un des 
+ des trois bits de poids faible  de cette valeur,
+\item 0 sinon.
+\end{itemize}
+Le choix de l'importance de chaque coefficient est dÃ©fini grÃ¢ce aux seuils  
+$(m,M)=(-0.5,0.5)$ 
+permetant d'engendrer les MSBs, LSBs, et bits passifs.
 
 
-%To summarize, some iterations are realized on the LSCs of the
-%host content
-%(the mode gives the iterate function,  
-%the strategy-adapter gives its strategy), 
-%and the last computed state is re-injected into the host content, 
-%in place of the former LSCs.
+\subsection{Fonction de signification pour l'embarquement dans les DWT} 
 
+On considÃ¨re un hÃ´te dnas le domaine des DWT. La fonction de signification 
+se concentre sur les seconds niveaux de dÃ©tail (\textit{i.e.}, LH2, HL2 et HH2).
+Pour chaque bit, on dit qu'il est peu significatif si c'est un des trois bits de 
+poids faible d'un coefficient de  LH2, HL2 ou de  HH2.
+Formellement  Ã  chaque bit
+la fonction de signification $u$ associe
 
+\begin{itemize}
+\item 1 si c'est un bit appraissant dans la reprÃ©sentation binaire de la valeur d'un coefficient de type LL2, 
+\item 1 si c'est un bit appraissant dans la reprÃ©sentation binaire de la valeur d'un coefficient de type LH2, HL2, HH2 et qui n'est pas un des trois 
+  bits de poids faible de cette reprÃ©sentation,
+\item 1 si c'est un bit appraissant dans la reprÃ©sentation binaire de la valeur d'un coefficient de type LH2, HL2, HH2 et qui est un des trois 
+  bits de poids faible de cette reprÃ©sentation,
+\item 0 sinon.
+\end{itemize}
+Le choix de l'importance de chaque coefficient est encore dÃ©fini grÃ¢ce aux seuils  
+$(m,M)=(-0.5,0.5)$ 
+permetant d'engendrer les MSBs, LSBs, et bits passifs.
+
+
+\subsection{Etude de robustesse}
+Cette partie synthÃ©tise une Ã©tude de robustesse de la dÃ©marche prÃ©sentÃ©e ci-avant.
+Dans ce qui suit, {dwt}(neg), 
+{dwt}(fl), {dct}(neg), {dct}(fl) 
+correpondent respectivement aux embarquements en frÃ©quenciel 
+dans les domaines  DWT et  DCT 
+avec le mode de nÃ©gation et celui issu de la fonction $f_l$
+dÃ©taillÃ© Ã  l'Ã©quation~\ref{eq:fqq}.
+
+A chaque sÃ©rie d'expÃ©riences, un ensemble de 50 images est choisi alÃ©atoirement 
+de la base du concours BOSS~\cite{Boss10}. Chaque hÃ´te est une image 
+en $512\times 512$ en niveau de gris et la marque $y$ est une suite de
+4096 bits.
+La resistance Ã  la robustesse est Ã©valuÃ©e en appliquant successivement
+sur l'image marquÃ©e des attaques de dÃ©coupage, de compression, de 
+transformations gÃ©omÃ©triques. 
+Si les diffÃ©rences entre  $\hat{y}$ and $\varphi_m(z)$.
+sont en desous d'un seuil(que l'on dÃ©finit), 
+l'image est dite marquÃ©e (et non marquÃ©e dans le cas contraire).
+Cette diffÃ©rence exprimÃ©e en pourcentage est rappellÃ©e pour chacune des ataques
+Ã  la figure~\ref{fig:atq:dhc}.
 
 
+\begin{figure}[ht]
+  \centering
+  \subfigure[DÃ©coupage]{
+    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{atq-dec}\label{Fig:atq:dec:curves}
+  }
+  \subfigure[Compression JPEG]{
+    \includegraphics[width=0.45\textwidth]{atq-jpg}\label{Fig:atq:jpg:curves}
+  }
+  \subfigure[Compression JPEG 2000]{
+    \includegraphics[width=0.45\textwidth]{atq-jp2}\label{Fig:atq:jp2:curves}
+  }
+  \subfigure[Modification du contrast]{
+    % \includegraphics[width=0.45\textwidth]{atq-contrast.pdf}\label{Fig:atq:cont:curve}}
+    \includegraphics[width=0.45\textwidth]{atq-contrast}\label{Fig:atq:cont:curve}
+  }
+  \subfigure[Accentuation des bords]{
+    % \includegraphics[width=0.45\textwidth]{atq-flou.pdf}\label{Fig:atq:sh:curve}}
+    \includegraphics[width=0.45\textwidth]{atq-flou}\label{Fig:atq:sh:curve}
+  }
+  \subfigure[Rotation]{
+    % \includegraphics[width=0.45\textwidth]{atq-rot.pdf}\label{Fig:atq:rot:curve}}
+    \includegraphics[width=0.45\textwidth]{atq-rot}\label{Fig:atq:rot:curve}
+  }
+\caption{Illustration de la robustesse}\label{fig:atq:dhc}
+\end{figure}
 
 
-Notice that in order to preserve the unpredictable behavior of the system, 
-the size of the digital medias is not fixed.
-This approach is thus self adapted to any media, and more particularly to
-any size of LSCs. 
-However this flexibility enlarges the complexity of the presentation: 
-we had to give Definitions~\ref{def:mode} and~\ref{def:strategy-adapter} 
-respectively of mode and strategy adapter.
+\subsection{Evaluation de l'embarquement}\label{sub:roc}
+Pour Ã©valuer le seuil qui permet de dire avec la plus grande prÃ©cision 
+si une image est marquÃ©e ou non, nous avons appliquÃ© la dÃ©marche suivante.
+A partir d'un ensemble de 100 images du challenge BOSS, les trois 
+ensembles suivants sont construits: celui des images marquÃ©es $W$,
+celui contenant des imges marquÃ©es puis attaquÃ©e $\textit{WA}$,
+et celui des images uniquement attaquÃ©es $A$. Les attaques sont choisiÃ©s parmi 
+celles donnÃ©es ci dessus.
+
+Pour chaque entier $t$ entre 5 et 55 
+et chaque  image $x \in \textit{WA} \cup A$,
+on calcule la diffÃ©rence entre  $\hat{y}$ et $\varphi_m(z)$.
+L'image est dite marquÃ©e si cette diffÃ©rence est en dessous du seuil $t$  considÃ©rÃ©  
+\begin{itemize}
+\item si elle est dite marquÃ©e et si $x$ appartient  Ã  $\textit{WA}$
+  c'est un vrai cas positif (TP);
+\item si elle est dite non marquÃ©e et si $x$ appartient cependant Ã  $\textit{WA}$
+  c'est un faux cas nÃ©gatif (FN);
+\item si elle est dite marquÃ©e et si $x$ appartient cependant Ã  $\textit{A}$
+  c'est un faux cas positif (FP);
+\item enfin si elle est dite non marquÃ©e et si $x$ appartient Ã  $\textit{A}$
+  c'est un vrai cas nÃ©gatif (TN).
+\end{itemize}
+
 
 \begin{figure}[ht]
-\centering
-%\includegraphics[width=8.5cm]{organigramme2.pdf}
-\includegraphics[width=8.5cm]{organigramme2.eps}
-\caption{The dhCI dissimulation scheme}
-\label{fig:organigramme}
+\begin{center}
+\includegraphics[width=7cm]{ROC}
+\end{center}
+\caption{Courbes ROC de seuils de dÃ©tection}\label{fig:roc:dwt}
 \end{figure}
 
+La courbe ROC construite Ã  partir des points de coordonnÃ©es (TP,FP) issus 
+de ces seuils est 
+donnÃ©e Ã  la figure~\ref{fig:roc:dwt}. 
+Pour la fonction $f_l$ et pour la fonction nÃ©gation respectivement, 
+la dÃ©tection est optimale pour le seuil de 45\% correspondant au point (0.01, 0.88)
+et pour le seuil de  46\%  correspondant au point (0.04, 0.85) 
+dans le domaine DWT.
+Pour les deux modes dans le domaine DCT, 
+la dÃ©tection est optimale pour le seuil de 44\% 
+(correspondant aux points (0.05, 0.18) et (0.05, 0.28)).
+On peut alors donner des intervales de confiance pour les attaques Ã©valuÃ©es.
+L'approche est rÃ©sistante Ã :
+\begin{itemize}
+\item tous les dÃ©coupages oÃ¹ le pourcentage est infÃ©rieur Ã  85\%;
+\item les compression dont le ratio est supÃ©rieur Ã  82\% dans le domaine 
+  DWT et  67\% dans celui des DCT;
+\item les modifications du contraste lorsque le renforcement est dans 
+  $[0.76,1.2]$ dans le domaine DWT et  $[0.96,1.05]$ dans le domaine DCT;
+\item toutes les rotations dont l'angle est infÃ©rieur Ã  20 degrÃ©s dans le domaine DCT et 
+  celles dont l'angle est infÃ©rieur Ã  13 degrÃ©s dans le domaine DWT.
+\end{itemize}
+
+
+\section{Embarquons d'avantage qu'1 bit}\label{sec:watermarking:extension}
+L'algorithme prÃ©sentÃ© dans les sections prÃ©cÃ©dentes
+ne  permet de savoir, \textit{in fine}, 
+que si l'image est marquÃ©e ou pas. Cet algorithme ne permet pas
+de retrouver le contenu de la marque Ã  partir de l'image marquÃ©e.
+C'est l'bjectif de l'algorithme prÃ©sentÃ© dans cette section et introduit 
+dans~\cite{fgb11:ip}.
+On des raisons de lisibilitÃ©, il n'est pas 
+prÃ©sentÃ© pas dans le formalisme de la premiÃ¨re section et
+est grandement synthÃ©tisÃ©.
+Il a cependant Ã©tÃ© prouvÃ© comme Ã©tant chaos-sÃ©cure~\cite{fgb11:ip}.
+
+
+
+CommenÃ§ons par quelques conventions de notations: 
+\begin{itemize}
+\item $\mathbb{S}_\mathsf{k}$ est l'ensemble des stratÃ©gies unaire sur $[k]$;
+\item $m^0 \in \mathbb{B}^{\mathsf{P}}$ est un vecteur de $\mathsf{P}$ bits
+  reprÃ©sentant la marque;
+\item comme prÃ©cÃ©dement, 
+  $x^0 \in \mathbb{B}^\mathsf{N}$ est le vecteurs des
+   $\mathsf{N}$ bits sÃ©lectionnÃ©s oÃ¹ la marque est embarquÃ©e.
+ \item $S_p \in \mathbb{S}_\mathsf{N}$ 
+   est la \emph{stratÃ©gie de place} et dÃ©finit quel 
+   Ã©lÃ©ment de $x$ est modifiÃ© Ã  chaque itÃ©ration;
+  \item $S_c \in \mathbb{S}_\mathsf{P}$ est la \textbf{stratÃ©gie de  choix}
+    qui dÃ©finit quel indice du vecteur de marque est embarquÃ© Ã  chaque 
+    itÃ©ration;
+  \item $S_m \in \mathbb{S}_\mathsf{P}$ est la \textbf{stratÃ©gie de mÃ©lange}
+    qui prÃ©cise quel Ã©lÃ©ment de la marque est inversÃ© Ã  chaque itÃ©ration.
+\end{itemize}
+
+% In what follows, $x^0$ and $m^0$ are sometimes replaced by
+% $x$ and $m$ for the sake of brevity, 
+% when such abridge does not introduce confusion. 
+
+
+% \subsection{The $\CID$ scheme}\label{sub:ci2:scheme}
+Le processus itÃ©ratif modifiant $x$ est dÃ©fini comme suit.
+Pour chaque $(n,i,j) \in  
+\mathds{N}^{\ast} \times \llbracket 0;\mathsf{N}-1\rrbracket \times \llbracket
+0;\mathsf{P}-1\rrbracket$, on a:
+\begin{equation*}
+\left\{
+\begin{array}{l}
+x_i^n=\left\{
+\begin{array}{ll}
+x_i^{n-1} & \text{ if }S_p^n\neq i \\
+m_{S_c^n}^{n-1} & \text{ if }S_p^n=i.
+\end{array}
+\right.
+\\
+\\
+m_j^n=\left\{
+\begin{array}{ll}
+m_j^{n-1} & \text{ if }S_m^n\neq j \\
+ & \\
+\overline{m_j^{n-1}} & \text{ if }S_m^n=j.
+\end{array}
+\right.
+\end{array}
+\right.
+\end{equation*}
+%\end{definition}
+\noindent oÃ¹ $\overline{m_j^{n-1}}$ est la nÃ©gation boolÃ©enne de $m_j^{n-1}$.
+On impose de plus la contrainte suivante.
+Soit $\Im(S_p) = \{S^1_p, S^2_p, \ldots,  S^l_p\}$ 
+l'ensemble de cardinalitÃ© $k \leq l$ (les doublons sont supprimÃ©s).  
+qui contient la liste des indices $i$, $1 \le i \le p$,
+tels que $x_i$ a Ã©tÃ© modifiÃ©.
+On considÃ¨re $\Im(S_c)_{|D}= \{S^{d_1}_c, S^{d_2}_c, \ldots,  S^{d_k}_c\}$
+oÃ¹  
+$d_i$ est la derniÃ¨re date oÃ¹ l'Ã©lÃ©ment $i \in \Im(S_p)$ a Ã©tÃ© modifiÃ©.   
+Cet ensemble doit Ãªtre Ã©gal Ã  $\llbracket 0 ;\mathsf{P} -1 \rrbracket$.
+
+Pour peu que l'on sache satisfaire la contrainte prÃ©cÃ©dente,
+on remplace $x $ par $x^l \in \mathbb{B}^{\mathsf{N}}$ dans
+l'hÃ´te et on obtient un contenu marquÃ©.
+
+
+Sans attaque, le schÃ©ma doit garantir qu'un utilisateur qui dispose des bonnes 
+clefs de crÃ©ation des stratÃ©gies est capable d'extraire une marque et que 
+celle-ci est la marque insÃ©rÃ©e.
+Ceci correspond respectivement aux propriÃ©tÃ©s de complÃ©tudes et de correction
+de l'approche.
+L'Ã©tude de ces propriÃ©tÃ©s est l'objectif de la section qui suit.
+
+
+
+
+
+
+\subsection{Correction et complÃ©tude du schÃ©ma}\label{sub:ci2:discussion}
+
+On ne donne ici que le thÃ©orÃ¨me. La preuve est placÃ©e en annexes~\ref{anx:preuve:marquage:correctioncompletue}.
+
+\begin{theorem}
+La condition de l'algorithme de marquage est nÃ©cressaire et suffisante
+pour permettre l'extraction du message du mÃ©dia marquÃ©.
+\end{theorem}
+
+Sous ces hypothÃ¨es, on peut donc extraire un message.
+De plus,  le cardinal $k$ de  
+$\Im(S_p)$ est supÃ©rieur ou Ã©gal Ã   $\mathsf{P}$.
+Ainsi le bit  $j$ du message original $m^0$ peut Ãªtre 
+embarquÃ© plusieur fois dans $x^l$. 
+Or, en compte le nombrede fois oÃ¹ ce  bit a Ã©tÃ© inversÃ© dans 
+$S_m$, la valeur de $m_j$ peut se dÃ©duire en plusieurs places. 
+Sans attaque, toutes ces valeurs sont identiques 
+et le messageest obtenus immÃ©diatement.
+Si attaque il y a, la valeur de $m_j$ peut s'obtenir en prenant la valeur 
+moyenne de toutes les valeurs obtenues. On a donc la correction et la complÃ©tude.
+
+\subsection{DÃ©tecter si le mÃ©dia est marquÃ©}\label{sub:ci2:distances}
+On considÃ¨re un mÃ©dia $y$ marquÃ© par un message $m$. 
+Soit $y'$ une version altÃ©rÃ©e de $y$, c.-Ã -d. une version  
+oÃ¹ certains bits on Ã©tÃ© modifiÃ©s et soit
+$m'$ le message extrait de from $y'$. 
+
+Pour mesurer la distance entre $m'$ et $m$, on 
+considÃ¨re repsectivement 
+$M$ et $M$ l'ensemble des indices de $m$ et de $m'$ 
+oÃ¹ $m_i$ vaut 1 et ou $m'_1$ vaut 1.
+
+Beaucoup de mesures de similaritÃ©~\cite{yule1950introduction,Anderberg-Cluster-1973,Rifqi:2000:DPM:342947.342970}, dÃ©pendent des ensembles
+$a$, $b$, $c$ et $d$ dÃ©finis par
+$a = |M \cap M' |$, 
+$b = |M \setminus M' |$,
+$c = |M' \setminus M|$, and
+$d = |\overline{M} \cap \overline{M'}|$
+
+Selon ~\cite{rifq/others03} la mesure de Fermi-Dirac $S_{\textit{FD}}$
+est celle dont le pouvoir de discrimination est le plus fort, 
+c.-Ã -d. celui qui permet la sÃ©paration la plus forte entre des vecteurs 
+corrÃ©lÃ©s et des ceux qui ne le sont pas.
+La distance entre $m$ et $m'$ est construite selon cette mesure 
+et produit un rÃ©el dans $[0;1]$. Si elle est infÃ©rieure Ã  un certain 
+seuil (Ã  dÃ©finir), le mÃ©dia $y'$ est declarÃ© 
+comme marquÃ© et le message doit pouvoir Ãªtre extrait.
+
+\subsection{Etude de robustesse}\label{sec:watermarking:robustesse} 
+La mÃ©thode d'expÃ©rimentation de robustesse appliquÃ©e Ã  la section prÃ©cÃ©dente 
+pourrait Ãªtre rÃ©appliquÃ©e ici et nous pourrions obtenir, grÃ¢ce aux courbes de 
+ROC une valeur seuil pour dÃ©terminer si une marque est prÃ©sente ou pas.
+Dans~\cite{bcfg+13:ip}, nous n'avons cependant pas poussÃ©
+la dÃ©marche plus loin que de l'embarquement 
+dans les bits de poids faible en spatial et l'on sait que ceci est 
+particuliÃ¨rement peu robuste. 
+
+
+\section{Conclusion}
+Grace Ã  la formalisation du processus de watermarking par itÃ©rations discrÃ¨tes, nous avons pu dans ce chapitre montrer que le processus possÃ©dait les propriÃ©tÃ©s
+attendues, Ã  savoir stego-sÃ©curitÃ©, chaos sÃ©curitÃ© et une robustesse relative.
+Pour Ã©tendre le champ applicatif, nous avons proposÃ© un second algorithme
+permettant de particulariser la marque Ã  embarquer et donc Ã  extraire.
+Le chapitre suivant s'intÃ©resse au marquage, mais dans un autre domaine que celui des images.
 
-Next section shows how to check whether a media contains a mark.
