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@@ -3,8 +3,8 @@ marque.
 Dans ce chapitre, le processus d'embarquement d'un message dans 
 un mÃ©dia est formalisÃ© en section~\ref{sec:watermarking:formulation}.
 La sÃ©curitÃ© des approches de watermarking est Ã©tudiÃ©e selon deux approches:
-l'approche probabiliste~\ref{sec:watermarking:security:probas} 
-et l'approche chaotique~\ref{sec:watermarking:security:chaos}.
+l'approche probabiliste (section~\ref{sec:watermarking:security:probas}) 
+et l'approche chaotique (section~\ref{sec:watermarking:security:chaos}).
 Une proposition d'embarquement dans le domaine frÃ©quentiel est abordÃ©e
 en section~\ref{sec:watermarking:frequentiel}.
 
@@ -29,7 +29,7 @@ notÃ© $y$ et le support dans lequel se fait l'insertion est notÃ© $x$.
 Le processus de marquage est fondÃ© sur les itÃ©rations unaires d'une fonction 
 selon une stratÃ©gie donnÃ©e.  Cette fonction et cette stratÃ©gie 
 sont paramÃ©trÃ©es par un entier naturel permettant Ã  la mÃ©thode d'Ãªtre
-appliquable Ã  un mÃ©dia de n'importe quelle taille.
+applicable Ã  un mÃ©dia de n'importe quelle taille.
 On parle alors respectivement de \emph{mode} et d'\emph{adapteur de stratÃ©gies} 
 
 \subsection{Embarquement}
@@ -51,13 +51,13 @@ dans lui mÃªme.
   de  $\Nats$ dans l'ensemble des sÃ©quences d'entiers 
   qui associe Ã  chaque entier naturel
   $\mathsf{N}$ la suite 
-  $S \in  \llbracket 1, n\rrbracket^{\mathds{N}}$.
+  $S \in  [\mathsf{N}]^{\mathds{N}}$.
 \end{Def}
 
 
 On dÃ©finit par exemple  l'adapteur CIIS (\emph{Chaotic Iterations with Independent Strategy})
 paramÃ©trÃ© par $(K,y,\alpha,l) \in [0,1]\times [0,1] \times ]0, 0.5[ \times \mathds{N}$
-qui associe Ã  chque entier  $n \in \Nats$  la suite
+qui associe Ã  chaque entier  $\mathsf{N} \in \Nats$  la suite
 $(S^t)^{t \in \mathds{N}}$ dÃ©finie par:
  \begin{itemize}
  \item $K^0 = \textit{bin}(y) \oplus \textit{bin}(K)$: $K^0$ est le nombre binaire (sur 32 bits)
@@ -65,10 +65,10 @@ $(S^t)^{t \in \mathds{N}}$ dÃ©finie par:
    entre les dÃ©compositions binaires sur 32 bits des rÃ©els $y$ et  $K$
    (il est aussi compris entre 0 et 1),
  \item $\forall t \leqslant l, K^{t+1} = F(K^t,\alpha)$,
- \item $\forall t \leqslant l, S^t = \left \lfloor n \times K^t \right \rfloor + 1$,
+ \item $\forall t \leqslant l, S^t = \left \lfloor \mathsf{N} \times K^t \right \rfloor + 1$,
  \item $\forall t > l, S^t = 0$,
  \end{itemize}
-oÃ¹  est la fonction chaotique linÃ©aire par morceau~\cite{Shujun1}.
+oÃ¹ $F$  est la fonction chaotique linÃ©aire par morceau~\cite{Shujun1}.
 Les paramÃ¨tres $K$ et $\alpha$ de cet adapteur de stratÃ©gie peuvent Ãªtre vus
 comme des clefs. 
 On remarque que cette stratÃ©gie est unaire.
@@ -83,24 +83,24 @@ Ceci se fait Ã  l'aide d'une fonction de signification.
 
 \begin{Def}[Fonction de signification ]
 Une  \emph{fonction de signification } 
-est une fonction $u$ qui a toute 
+est une fonction $u$ qui Ã  toute 
 sÃ©quence finie de bit $x$ associe la sÃ©quence 
 $(u^k(x))$ de taille $\mid x \mid$ Ã  valeur dans les rÃ©els.
 Cette fonction peut dÃ©pendre du message $y$ Ã  embarquer, ou non.
 \end{Def}
 
-Pour allÃ©ger le discours, par la suite, on nottera $(u^k(x))$ pour $(u^k)$ 
+Pour allÃ©ger le discours, par la suite, on notera $(u^k(x))$ pour $(u^k)$ 
 lorsque cela n'est pas ambigÃ¼e.
-Il reste Ã  partionner les bits  de $x$ selon qu'ils sont 
+Il reste Ã  partitionner les bits  de $x$ selon qu'ils sont 
 peu, moyennement ou trÃ¨s significatifs. 
 
 \begin{Def}[Signification des bits]\label{def:msc,lsc}
 Soit $u$ une fonction de signification, 
 $m$ et  $M$ deux rÃ©els  t.q. $m < M$.  Alors:
-$u_M$, $u_m$ et $u_p$ sont les vecteurs finis respectivements des 
+$u_M$, $u_m$ et $u_p$ sont les vecteurs finis respectivement des 
 \emph{bits les plus significatifs  (MSBs)} de $x$,
 \emph{bits les moins significatifs (LSBs)} de $x$ 
-\emph{bits passifs} of $x$ dÃ©finis par:
+\emph{bits passifs} de $x$ dÃ©finis par:
 \begin{eqnarray*}
   u_M &=& \left( k ~ \big|~ k \in \mathds{N} \textrm{ et } u^k 
     \geqslant M \textrm{ et }  k \le \mid x \mid \right) \\
@@ -111,7 +111,7 @@ u^k \in ]m;M[ \textrm{ et }  k \le \mid x \mid \right)
 \end{eqnarray*}
  \end{Def}
 
-On peut alors dÃ©finir une fonction de dÃ©compostion  
+On peut alors dÃ©finir une fonction de dÃ©composition  
 puis de recomposition pour un hÃ´te $x$:
 
 
@@ -130,7 +130,7 @@ avec
 La fonction qui associe $(u_M,u_m,u_p,\phi_{M},\phi_{m},\phi_{p})$
 pour chaque hÃ´te $x$ est la  \emph{fonction de dÃ©composition}, plus tard notÃ©e 
 $\textit{dec}(u,m,M)$ puisqu'elle est paramÃ©trÃ©e par 
-$u$, $m$ and $M$. 
+$u$, $m$ et $M$. 
 \end{Def} 
 
 
@@ -145,7 +145,7 @@ $(u_M,u_m,u_p,\phi_{M},\phi_{m},\phi_{p}) \in
 \mathfrak{B} 
 $ tel que
 \begin{itemize}
-\item les ensembles $u_M$, $u_m$ et  $u_p$ forment une partition de  $[n]$;
+\item les ensembles $u_M$, $u_m$ et  $u_p$ forment une partition de  $[\mathsf{N}]$;
 \item $|u_M| = |\varphi_M|$, $|u_m| = |\varphi_m|$ et $|u_p| = |\varphi_p|$.  
 \end{itemize}
 Soit la base canonique sur l'espace vectoriel $\mathds{R}^{\mid x \mid}$ composÃ©e des vecteurs 
@@ -184,12 +184,12 @@ On peut Ã©tendre l'algorithme dhCI~\cite{gfb10:ip} d'embarquement de message com
 
 \begin{Def}[Embarquement dhCI Ã©tendu]
  \label{def:dhCI:ext}
-Soit $\textit{dec}(u,m,M)$ une function de dÃ©composition,
+Soit $\textit{dec}(u,m,M)$ une fonction de dÃ©composition,
 $f$ un mode, 
 $\mathcal{S}$ un adapteur de stratÃ©gie,
 $x$ un hÃ´te, 
 $(u_M,u_m,u_p,\phi_{M},\phi_{m},\phi_{p})$ 
-sont image par  $\textit{dec}(u,m,M)$,
+son image par  $\textit{dec}(u,m,M)$,
 $q$ un entier naturel positif
 et $y$ un mÃ©dia numÃ©rique de taille $l=|u_m|$.
 
@@ -200,7 +200,7 @@ $\hat{y}$ dans $x$, t. q.:
 \begin{itemize}
 \item le mode $f$ est instanciÃ© avec le paramÃ¨tre $l=|u_m|$, engendrant la 
   fonction $f_{l}:\Bool^{l} \rightarrow \Bool^{l}$;
-\item l'adapteur de stratÃ©gie $\mathcal{S}$ est intanciÃ© avec le paramÃ¨tre
+\item l'adapteur de stratÃ©gie $\mathcal{S}$ est instanciÃ© avec le paramÃ¨tre
 $y$, engendrant une stratÃ©gie $S_y \in [l]$;
 \item on itÃ¨re la fonction $G_{f_l}$ en prenant la configuration
   initiale $(S_y,\phi_{m})$ selon le schÃ©ma dÃ©fini 
@@ -216,34 +216,34 @@ La figure~\ref{fig:organigramme} synthÃ©tise la dÃ©marche.
 \centering
 %\includegraphics[width=8.5cm]{organigramme2.pdf}
 \includegraphics[width=8.5cm]{organigramme22}
-\caption{The dhCI dissimulation scheme}
+\caption{Le schÃ©ma de marquage dhCI}
 \label{fig:organigramme}
 \end{figure}
 
 
 
 
-\subsection{DÃ©tection d'un media marquÃ©}\label{sub:wmdecoding}
+\subsection{DÃ©tection d'un mÃ©dia marquÃ©}\label{sub:wmdecoding}
 
 On caractÃ©rise d'abord ce qu'est un mÃ©dia marquÃ© selon la mÃ©thode Ã©noncÃ©e 
 Ã  la section prÃ©cÃ©dente. On considÃ¨re que l'on connaÃ®t
-la marque Ã  embarquer $y$, le support $x$ et que l'on a face Ã  soit un mÃ©dia 
+la marque Ã  embarquer $y$, le support $x$ et que l'on a face Ã  soi un mÃ©dia 
 $z$.
 
 
-\begin{definition}[MÃ©dia marquÃ©]
-Soit $\textit{dec}(u,m,M)$ une fonction de dÃ©composition
+\begin{Def}[MÃ©dia marquÃ©]
+Soit $\textit{dec}(u,m,M)$ une fonction de dÃ©composition,
 $f$ un  mode, 
-$\mathcal{S}$ un adapteur de stratÃ©gie
+$\mathcal{S}$ un adapteur de stratÃ©gie,
 $q$ un entier naturel strictement positif,
 $y$ un mÃ©dia digital et soit  
 $(u_M,u_m,u_p,\phi_{M},\phi_{m},\phi_{p})$ l'image par 
 $\textit{dec}(u,m,M)$  du mÃ©dia  $x$. 
 Alors, $z$ est \emph{marquÃ©} avec $y$ si l'image 
-par $\textit{dec}(u,m,M)$ of $z$ is 
+par $\textit{dec}(u,m,M)$ de $z$ est 
 $(u_M,u_m,u_p,\phi_{M},\hat{y},\phi_{p})$, oÃ¹
 $\hat{y}$ est le second membre de  $G_{f_l}^q(S_y,\phi_{m})$.
-\end{definition}
+\end{Def}
 
 % Plusieurs stratÃ©gies peuvent Ãªtre utilisÃ©es pour dÃ©terminer si une image $z$ 
 % est marquÃ©e, en particulier si l'image a Ã©tÃ© attaquÃ©e entre temps.
@@ -253,40 +253,43 @@ $\hat{y}$ est le second membre de  $G_{f_l}^q(S_y,\phi_{m})$.
 
 
 RÃ©cemment~\cite{Cayre2005,Perez06} ont proposÃ© des classes de sÃ©curitÃ© pour le
-marquage d'information. Parmis celles-ci, la stego-sÃ©curitÃ© a Ã©tÃ© au centre 
+marquage d'information. Parmi celles-ci, la stego-sÃ©curitÃ© a Ã©tÃ© au centre 
 des travaux puisqu'elle reprÃ©sente la classe la plus Ã©levÃ©e dans le contexte oÃ¹
 l'attaquant n'a accÃ¨s qu'Ã  l'hÃ´te marquÃ© $z$.
 
 Cette dÃ©finition probabiliste est rappelÃ©e ci-aprÃ¨s.
-Soit $\mathds{K}$ un ensemble de clefs, $p(X)$ un modÃ¨le porbabiliste 
+Soit $\mathds{K}$ un ensemble de clefs, $p(X)$ un modÃ¨le probabiliste 
 de $N_0$ hÃ´tes,  et $p(Y|K)$ le modÃ¨le probabiliste de $N_0$ contenus marquÃ©s avec la 
 mÃªme clÃ© $K$ et le mÃªme algorithme d'embarquement.
 
-\begin{definition}[StÃ©go-SÃ©curitÃ©~\cite{Cayre2008}]
+\begin{Def}[StÃ©go-SÃ©curitÃ©~\cite{Cayre2008}]
 \label{Def:Stego-security} 
-La fonction d'embarquement is \emph{stÃ©go-sÃ©cure}
+La fonction d'embarquement est \emph{stÃ©go-sÃ©cure}
 si la propriÃ©tÃ© $\forall K \in \mathds{K}, p(Y|K)=p(X)$ est Ã©tablie.
-\end{definition}
+\end{Def}
 
 Il a dÃ©jÃ  Ã©tÃ© dÃ©montrÃ©~\cite{guyeuxphd,gfb10:ip}
 que l'algorithme de marquage dont le mode est la fonction 
 nÃ©gation est stÃ©go-sÃ©cure. 
 Un des intÃ©rÃªts de l'algorithme prÃ©sentÃ© ici est qu'il est paramÃ©trÃ© par un mode.
 Lorsque celui-ci a les mÃªme propriÃ©tÃ©s que celles vues pour la crÃ©ation de PRNG (\textit{i.e.} graphe des itÃ©rations fortement connexes et matrice de Markov doublement 
-stochastique), on a un marquage qui peut Ãªtre rendu stego-secure Ã  $\epsilon$ pret,
-ce que prÃ©cise le thÃ©orÃ¨me suivant:
+stochastique), on a un marquage qui peut Ãªtre rendu stÃ©go-sÃ©cure Ã  $\varepsilon$ prÃ¨s,
+ce que prÃ©cise le thÃ©orÃ¨me suivant. La preuve de ce thÃ©orÃ¨me est donnÃ©e 
+en annexes~\ref{anx:marquage}.
 
-\begin{theorem}\label{th:stego}
-Soit  $\epsilon$ un nombre positif, 
+
+\begin{restatable}[$\varepsilon$-stego sÃ©curitÃ©]{theorem}{theoremstegoscureepsilon}
+\label{th:stego}
+Soit  $\varepsilon$ un nombre positif, 
 $l$ un nombre de LSBs, 
 $X   \sim \mathbf{U}\left(\mathbb{B}^l\right)$,
-un adapteur de stratÃ©gie uniformÃ©mement distribuÃ© indÃ©pendant de $X$
+un adapteur de stratÃ©gie uniformÃ©ment distribuÃ© indÃ©pendant de $X$
 $f_l$ un mode tel que  
 $\textsc{giu}(f_l)$ est fortement connexe et la 
 matrice de Markov associÃ©e Ã   $f_l$ est doublement stochastique.
 Il existe un nombre $q$ d'itÃ©rations tel que 
-$|p(Y|K)- p(X)| < \epsilon$. 
-\end{theorem}
+$|p(Y|K)- p(X)| < \varepsilon$. 
+\end{restatable}
 
 
 
@@ -295,13 +298,13 @@ On rappelle uniquement la dÃ©finition de chaos-sÃ©curitÃ©
 introduite dans~\cite{guyeuxphd}.
 
 
-\begin{definition}[Chaos-sÃ©curitÃ©]
+\begin{Def}[Chaos-sÃ©curitÃ©]
 \label{DefinitionChaosSecure}
 Un schÃ©ma de marquage $S$ est chaos-sÃ©cure sur un espace topologique
 $(\mathcal{X},\tau)$
 si sa version itÃ©rative 
-a un comprtement chaotique sur celui-ci.
-\end{definition}
+a un comportement chaotique sur celui-ci.
+\end{Def}
 
 Tout repose ainsi sur la capacitÃ© que l'on a Ã  produire des fonctions 
 dont le graphe des itÃ©rations unaires sera fortement connexe.
@@ -321,11 +324,11 @@ x_i \oplus x_{i-1} \textrm{ si $i$ est pair}
 \right.
 \end{equation}\label{eq:fqq}
 
-on peut dÃ©duire imÃ©diatement du thÃ©orÃ¨me~\ref{th:Adrien} (chap.~\ref{chap:carachaos})
+on peut dÃ©duire immÃ©diatement du thÃ©orÃ¨me~\ref{th:Adrien} (chap.~\ref{chap:carachaos})
 que le graphe $\textsc{giu}(f_l)$ est fortement connexe.
-La preuve de double-stochasiticitÃ© de la matrice associÃ©e 
-Ã  $f_l$ est donnÃ©e en annexes~\ref{anx:marquage:dblesto}.
-On dispose ainsi d'un nouvel algorithme de marquage $\epsilon$-stego-secure et 
+La preuve de double-stochasticitÃ© de la matrice associÃ©e 
+Ã  $f_l$ est donnÃ©e en annexe~\ref{anx:marquage:dblesto}.
+On dispose ainsi d'un nouvel algorithme de marquage $\varepsilon$-stÃ©go-sÃ©cure et 
 chaos-sÃ©cure.
 
 \section{Applications aux domaines frÃ©quentiels}\label{sec:watermarking:frequentiel}
@@ -334,30 +337,30 @@ dans les coefficients DCT et les DWT.
 
 \subsection{Fonction de signification pour l'embarquement dans les DCT} 
  
-On considÃ¨re un hÃ´te $x$ de taille $H \times L$ dans le domaine frÃ©qentiel DCT.
+On considÃ¨re un hÃ´te $x$ de taille $H \times L$ dans le domaine frÃ©quentiel DCT.
 Dans chaque bloc de taille $8\times 8$, Ã  chaque bit
 la fonction de signification $u$ associe
 
 \begin{itemize}
-\item 1 si c'est un bit appraissant dans la reprÃ©sentation binaire de la valeur d'un coefficient dont les coordonnÃ©es appartiennent Ã  $\{(1,1),(2,1),(1,2)\}$,
-\item 1 si c'est un bit appraissant dans la reprÃ©sentation binaire de la valeur 
+\item 1 si c'est un bit apparaissant dans la reprÃ©sentation binaire de la valeur d'un coefficient dont les coordonnÃ©es appartiennent Ã  $\{(1,1),(2,1),(1,2)\}$,
+\item 1 si c'est un bit apparaissant dans la reprÃ©sentation binaire de la valeur 
   d'un coefficient dont les 
   coordonnÃ©es appartiennent Ã  $\{(3,1),(2,2),(1,3)\}$ et qui n'est pas un des trois 
   bits de poids faible de cette reprÃ©sentation,
-\item -1 si c'est un bit appraissant dans la reprÃ©sentation binaire
+\item -1 si c'est un bit apparaissant dans la reprÃ©sentation binaire
 de la valeur d'un coefficient dont les 
   coordonnÃ©es appartiennent Ã  $\{(3,1),(2,2),(1,3)\}$ et qui est un des 
- des trois bits de poids faible  de cette valeur,
+ trois bits de poids faible  de cette valeur,
 \item 0 sinon.
 \end{itemize}
 Le choix de l'importance de chaque coefficient est dÃ©fini grÃ¢ce aux seuils  
 $(m,M)=(-0.5,0.5)$ 
-permetant d'engendrer les MSBs, LSBs, et bits passifs.
+permettant d'engendrer les MSBs, LSBs, et bits passifs.
 
 
 \subsection{Fonction de signification pour l'embarquement dans les DWT} 
 
-On considÃ¨re un hÃ´te dnas le domaine des DWT. La fonction de signification 
+On considÃ¨re un hÃ´te dans le domaine des DWT. La fonction de signification 
 se concentre sur les seconds niveaux de dÃ©tail (\textit{i.e.}, LH2, HL2 et HH2).
 Pour chaque bit, on dit qu'il est peu significatif si c'est un des trois bits de 
 poids faible d'un coefficient de  LH2, HL2 ou de  HH2.
@@ -365,38 +368,38 @@ Formellement  Ã  chaque bit
 la fonction de signification $u$ associe
 
 \begin{itemize}
-\item 1 si c'est un bit appraissant dans la reprÃ©sentation binaire de la valeur d'un coefficient de type LL2, 
-\item 1 si c'est un bit appraissant dans la reprÃ©sentation binaire de la valeur d'un coefficient de type LH2, HL2, HH2 et qui n'est pas un des trois 
+\item 1 si c'est un bit apparaissant dans la reprÃ©sentation binaire de la valeur d'un coefficient de type LL2, 
+\item 1 si c'est un bit apparaissant dans la reprÃ©sentation binaire de la valeur d'un coefficient de type LH2, HL2, HH2 et qui n'est pas un des trois 
   bits de poids faible de cette reprÃ©sentation,
-\item 1 si c'est un bit appraissant dans la reprÃ©sentation binaire de la valeur d'un coefficient de type LH2, HL2, HH2 et qui est un des trois 
+\item 0 si c'est un bit apparaissant dans la reprÃ©sentation binaire de la valeur d'un coefficient de type LH2, HL2, HH2 et qui est un des trois 
   bits de poids faible de cette reprÃ©sentation,
-\item 0 sinon.
+\item -1 sinon.
 \end{itemize}
 Le choix de l'importance de chaque coefficient est encore dÃ©fini grÃ¢ce aux seuils  
 $(m,M)=(-0.5,0.5)$ 
-permetant d'engendrer les MSBs, LSBs, et bits passifs.
+permettant d'engendrer les MSBs, LSBs, et bits passifs.
 
 
 \subsection{Etude de robustesse}
 Cette partie synthÃ©tise une Ã©tude de robustesse de la dÃ©marche prÃ©sentÃ©e ci-avant.
 Dans ce qui suit, {dwt}(neg), 
 {dwt}(fl), {dct}(neg), {dct}(fl) 
-correpondent respectivement aux embarquements en frÃ©quenciel 
+correspondant respectivement aux embarquements en frÃ©quentiels 
 dans les domaines  DWT et  DCT 
 avec le mode de nÃ©gation et celui issu de la fonction $f_l$
-dÃ©taillÃ© Ã  l'Ã©quation~\ref{eq:fqq}.
+dÃ©taillÃ©e Ã  l'Ã©quation~\ref{eq:fqq}.
 
 A chaque sÃ©rie d'expÃ©riences, un ensemble de 50 images est choisi alÃ©atoirement 
 de la base du concours BOSS~\cite{Boss10}. Chaque hÃ´te est une image 
 en $512\times 512$ en niveau de gris et la marque $y$ est une suite de
 4096 bits.
-La resistance Ã  la robustesse est Ã©valuÃ©e en appliquant successivement
+La rÃ©sistance Ã  la robustesse est Ã©valuÃ©e en appliquant successivement
 sur l'image marquÃ©e des attaques de dÃ©coupage, de compression, de 
 transformations gÃ©omÃ©triques. 
 Si les diffÃ©rences entre  $\hat{y}$ and $\varphi_m(z)$.
-sont en desous d'un seuil(que l'on dÃ©finit), 
+sont en dessous d'un seuil (que l'on dÃ©finit), 
 l'image est dite marquÃ©e (et non marquÃ©e dans le cas contraire).
-Cette diffÃ©rence exprimÃ©e en pourcentage est rappellÃ©e pour chacune des ataques
+Cette diffÃ©rence exprimÃ©e en pourcentage est rappelÃ©e pour chacune des attaques
 Ã  la figure~\ref{fig:atq:dhc}.
 
 
@@ -411,7 +414,7 @@ Cette diffÃ©rence exprimÃ©e en pourcentage est rappellÃ©e pour chacune des ataqu
   \subfigure[Compression JPEG 2000]{
     \includegraphics[width=0.45\textwidth]{atq-jp2}\label{Fig:atq:jp2:curves}
   }
-  \subfigure[Modification du contrast]{
+  \subfigure[Modification du contraste]{
     % \includegraphics[width=0.45\textwidth]{atq-contrast.pdf}\label{Fig:atq:cont:curve}}
     \includegraphics[width=0.45\textwidth]{atq-contrast}\label{Fig:atq:cont:curve}
   }
@@ -427,13 +430,13 @@ Cette diffÃ©rence exprimÃ©e en pourcentage est rappellÃ©e pour chacune des ataqu
 \end{figure}
 
 
-\subsection{Evaluation de l'embarquement}\label{sub:roc}
+\subsection{Ãvaluation de l'embarquement}\label{sub:roc}
 Pour Ã©valuer le seuil qui permet de dire avec la plus grande prÃ©cision 
 si une image est marquÃ©e ou non, nous avons appliquÃ© la dÃ©marche suivante.
 A partir d'un ensemble de 100 images du challenge BOSS, les trois 
 ensembles suivants sont construits: celui des images marquÃ©es $W$,
-celui contenant des imges marquÃ©es puis attaquÃ©e $\textit{WA}$,
-et celui des images uniquement attaquÃ©es $A$. Les attaques sont choisiÃ©s parmi 
+celui contenant des images marquÃ©es puis attaquÃ©e $\textit{WA}$,
+et celui des images uniquement attaquÃ©es $A$. Les attaques sont choisies parmi 
 celles donnÃ©es ci dessus.
 
 Pour chaque entier $t$ entre 5 et 55 
@@ -469,27 +472,27 @@ dans le domaine DWT.
 Pour les deux modes dans le domaine DCT, 
 la dÃ©tection est optimale pour le seuil de 44\% 
 (correspondant aux points (0.05, 0.18) et (0.05, 0.28)).
-On peut alors donner des intervales de confiance pour les attaques Ã©valuÃ©es.
-L'approche est rÃ©sistante Ã :
+On peut alors donner des intervalles de confiance pour les attaques Ã©valuÃ©es.
+L'approche est rÃ©sistante:
 \begin{itemize}
-\item tous les dÃ©coupages oÃ¹ le pourcentage est infÃ©rieur Ã  85\%;
-\item les compression dont le ratio est supÃ©rieur Ã  82\% dans le domaine 
+\item Ã  tous les dÃ©coupages oÃ¹ le pourcentage est infÃ©rieur Ã  85\%;
+\item aux compression dont le ratio est supÃ©rieur Ã  82\% dans le domaine 
   DWT et  67\% dans celui des DCT;
-\item les modifications du contraste lorsque le renforcement est dans 
+\item aux modifications du contraste lorsque le renforcement est dans 
   $[0.76,1.2]$ dans le domaine DWT et  $[0.96,1.05]$ dans le domaine DCT;
-\item toutes les rotations dont l'angle est infÃ©rieur Ã  20 degrÃ©s dans le domaine DCT et 
+\item Ã  toutes les rotations dont l'angle est infÃ©rieur Ã  20 degrÃ©s dans le domaine DCT et 
   celles dont l'angle est infÃ©rieur Ã  13 degrÃ©s dans le domaine DWT.
 \end{itemize}
 
 
-\section{Embarquons d'avantage qu'1 bit}\label{sec:watermarking:extension}
+\section{Embarquons davantage qu'1 bit}\label{sec:watermarking:extension}
 L'algorithme prÃ©sentÃ© dans les sections prÃ©cÃ©dentes
 ne  permet de savoir, \textit{in fine}, 
 que si l'image est marquÃ©e ou pas. Cet algorithme ne permet pas
 de retrouver le contenu de la marque Ã  partir de l'image marquÃ©e.
-C'est l'bjectif de l'algorithme prÃ©sentÃ© dans cette section et introduit 
+C'est l'objectif de l'algorithme prÃ©sentÃ© dans cette section et introduit 
 dans~\cite{fgb11:ip}.
-On des raisons de lisibilitÃ©, il n'est pas 
+Pour des raisons de lisibilitÃ©, il n'est pas 
 prÃ©sentÃ© pas dans le formalisme de la premiÃ¨re section et
 est grandement synthÃ©tisÃ©.
 Il a cependant Ã©tÃ© prouvÃ© comme Ã©tant chaos-sÃ©cure~\cite{fgb11:ip}.
@@ -501,7 +504,7 @@ CommenÃ§ons par quelques conventions de notations:
 \item $\mathbb{S}_\mathsf{k}$ est l'ensemble des stratÃ©gies unaire sur $[k]$;
 \item $m^0 \in \mathbb{B}^{\mathsf{P}}$ est un vecteur de $\mathsf{P}$ bits
   reprÃ©sentant la marque;
-\item comme prÃ©cÃ©dement, 
+\item comme prÃ©cÃ©demment, 
   $x^0 \in \mathbb{B}^\mathsf{N}$ est le vecteurs des
    $\mathsf{N}$ bits sÃ©lectionnÃ©s oÃ¹ la marque est embarquÃ©e.
  \item $S_p \in \mathbb{S}_\mathsf{N}$ 
@@ -529,23 +532,23 @@ Pour chaque $(n,i,j) \in
 \begin{array}{l}
 x_i^n=\left\{
 \begin{array}{ll}
-x_i^{n-1} & \text{ if }S_p^n\neq i \\
-m_{S_c^n}^{n-1} & \text{ if }S_p^n=i.
+x_i^{n-1} & \text{ si }S_p^n\neq i \\
+m_{S_c^n}^{n-1} & \text{ si }S_p^n=i.
 \end{array}
 \right.
 \\
 \\
 m_j^n=\left\{
 \begin{array}{ll}
-m_j^{n-1} & \text{ if }S_m^n\neq j \\
+m_j^{n-1} & \text{ si }S_m^n\neq j \\
  & \\
-\overline{m_j^{n-1}} & \text{ if }S_m^n=j.
+\overline{m_j^{n-1}} & \text{ si }S_m^n=j.
 \end{array}
 \right.
 \end{array}
 \right.
 \end{equation*}
-%\end{definition}
+%\end{Def}
 \noindent oÃ¹ $\overline{m_j^{n-1}}$ est la nÃ©gation boolÃ©enne de $m_j^{n-1}$.
 On impose de plus la contrainte suivante.
 Soit $\Im(S_p) = \{S^1_p, S^2_p, \ldots,  S^l_p\}$ 
@@ -565,7 +568,7 @@ l'hÃ´te et on obtient un contenu marquÃ©.
 Sans attaque, le schÃ©ma doit garantir qu'un utilisateur qui dispose des bonnes 
 clefs de crÃ©ation des stratÃ©gies est capable d'extraire une marque et que 
 celle-ci est la marque insÃ©rÃ©e.
-Ceci correspond respectivement aux propriÃ©tÃ©s de complÃ©tudes et de correction
+Ceci correspond respectivement aux propriÃ©tÃ©s de complÃ©tude et de correction
 de l'approche.
 L'Ã©tude de ces propriÃ©tÃ©s est l'objectif de la section qui suit.
 
@@ -578,48 +581,48 @@ L'Ã©tude de ces propriÃ©tÃ©s est l'objectif de la section qui suit.
 
 On ne donne ici que le thÃ©orÃ¨me. La preuve est placÃ©e en annexes~\ref{anx:preuve:marquage:correctioncompletue}.
 
-\begin{theorem}
-La condition de l'algorithme de marquage est nÃ©cressaire et suffisante
+\begin{restatable}[Correction et complÃ©tude du marquage]{theorem}{marquagecorrectioncompl}
+La condition de l'algorithme de marquage est nÃ©cessaire et suffisante
 pour permettre l'extraction du message du mÃ©dia marquÃ©.
-\end{theorem}
+\end{restatable}
 
-Sous ces hypothÃ¨es, on peut donc extraire un message.
+Sous ces hypothÃ¨se, on peut donc extraire un message.
 De plus,  le cardinal $k$ de  
 $\Im(S_p)$ est supÃ©rieur ou Ã©gal Ã   $\mathsf{P}$.
 Ainsi le bit  $j$ du message original $m^0$ peut Ãªtre 
-embarquÃ© plusieur fois dans $x^l$. 
-Or, en compte le nombrede fois oÃ¹ ce  bit a Ã©tÃ© inversÃ© dans 
+embarquÃ© plusieurs fois dans $x^l$. 
+Or, en comptant le nombre de fois oÃ¹ ce  bit a Ã©tÃ© inversÃ© dans 
 $S_m$, la valeur de $m_j$ peut se dÃ©duire en plusieurs places. 
 Sans attaque, toutes ces valeurs sont identiques 
-et le messageest obtenus immÃ©diatement.
+et le message est obtenu immÃ©diatement.
 Si attaque il y a, la valeur de $m_j$ peut s'obtenir en prenant la valeur 
-moyenne de toutes les valeurs obtenues. On a donc la correction et la complÃ©tude.
+moyenne de toutes les valeurs obtenues. 
 
 \subsection{DÃ©tecter si le mÃ©dia est marquÃ©}\label{sub:ci2:distances}
 On considÃ¨re un mÃ©dia $y$ marquÃ© par un message $m$. 
 Soit $y'$ une version altÃ©rÃ©e de $y$, c.-Ã -d. une version  
-oÃ¹ certains bits on Ã©tÃ© modifiÃ©s et soit
-$m'$ le message extrait de from $y'$. 
+oÃ¹ certains bits ont Ã©tÃ© modifiÃ©s et soit
+$m'$ le message extrait de   $y'$. 
 
 Pour mesurer la distance entre $m'$ et $m$, on 
-considÃ¨re repsectivement 
-$M$ et $M$ l'ensemble des indices de $m$ et de $m'$ 
+considÃ¨re respectivement 
+$M$ et $M'$ l'ensemble des indices de $m$ et de $m'$ 
 oÃ¹ $m_i$ vaut 1 et ou $m'_1$ vaut 1.
 
 Beaucoup de mesures de similaritÃ©~\cite{yule1950introduction,Anderberg-Cluster-1973,Rifqi:2000:DPM:342947.342970}, dÃ©pendent des ensembles
 $a$, $b$, $c$ et $d$ dÃ©finis par
 $a = |M \cap M' |$, 
 $b = |M \setminus M' |$,
-$c = |M' \setminus M|$, and
+$c = |M' \setminus M|$ et 
 $d = |\overline{M} \cap \overline{M'}|$
 
 Selon ~\cite{rifq/others03} la mesure de Fermi-Dirac $S_{\textit{FD}}$
 est celle dont le pouvoir de discrimination est le plus fort, 
-c.-Ã -d. celui qui permet la sÃ©paration la plus forte entre des vecteurs 
-corrÃ©lÃ©s et des ceux qui ne le sont pas.
+c.-Ã -d. celle qui permet la sÃ©paration la plus forte entre des vecteurs 
+corrÃ©lÃ©s et des des vecteurs qui ne le sont pas.
 La distance entre $m$ et $m'$ est construite selon cette mesure 
 et produit un rÃ©el dans $[0;1]$. Si elle est infÃ©rieure Ã  un certain 
-seuil (Ã  dÃ©finir), le mÃ©dia $y'$ est declarÃ© 
+seuil (Ã  dÃ©finir), le mÃ©dia $y'$ est dÃ©clarÃ© 
 comme marquÃ© et le message doit pouvoir Ãªtre extrait.
 
 \subsection{Etude de robustesse}\label{sec:watermarking:robustesse} 
@@ -627,13 +630,13 @@ La mÃ©thode d'expÃ©rimentation de robustesse appliquÃ©e Ã  la section prÃ©cÃ©den
 pourrait Ãªtre rÃ©appliquÃ©e ici et nous pourrions obtenir, grÃ¢ce aux courbes de 
 ROC une valeur seuil pour dÃ©terminer si une marque est prÃ©sente ou pas.
 Dans~\cite{bcfg+13:ip}, nous n'avons cependant pas poussÃ©
-la dÃ©marche plus loin que de l'embarquement 
+la dÃ©marche plus loin que dans la direction de l'embarquement 
 dans les bits de poids faible en spatial et l'on sait que ceci est 
 particuliÃ¨rement peu robuste. 
 
 
 \section{Conclusion}
-Grace Ã  la formalisation du processus de watermarking par itÃ©rations discrÃ¨tes, nous avons pu dans ce chapitre montrer que le processus possÃ©dait les propriÃ©tÃ©s
+GrÃ¢ce Ã  la formalisation du processus de watermarking par itÃ©rations discrÃ¨tes, nous avons pu dans ce chapitre montrer que le processus possÃ©dait les propriÃ©tÃ©s
 attendues, Ã  savoir stego-sÃ©curitÃ©, chaos sÃ©curitÃ© et une robustesse relative.
 Pour Ã©tendre le champ applicatif, nous avons proposÃ© un second algorithme
 permettant de particulariser la marque Ã  embarquer et donc Ã  extraire.
