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diff --git a/15RairoGen.tex b/15RairoGen.tex
index 38920d8..6832d33 100644
--- a/15RairoGen.tex
+++ b/15RairoGen.tex
@@ -9,15 +9,81 @@ comme un gÃ©nÃ©rateur alÃ©atoire.
 Ce chapitre  prÃ©sente donc une application directe
 de la thÃ©orie dÃ©veloppÃ©e ci-avant
 Ã  la gÃ©nÃ©ration de nombres pseudo-alÃ©atoires. 
+La section~\ref{sec:PRNG:chaos:autres} prÃ©sente un Ã©tat de l'art (incomplet) de l'exploitation de 
+fonctions au comportement chaotique pour obtenir des PRNGs.
 La section~\ref{sub:prng:algo} 
-prÃ©sente tout d'abord l'algorithme de PRNG. La contrainte de  
+prÃ©sente ensuite l'algorithme de PRNG. La contrainte de  
 distribution uniforme de la sortie est discutÃ©e dans cette section.
-La chaoticitÃ© du gÃ©nÃ©rateur est ensuite Ã©tudiÃ©e en 
+La chaoticitÃ© du gÃ©nÃ©rateur est  Ã©tudiÃ©e en 
 section~\ref{prng:unaire:chaos}.
 La section~\ref{sub:prng:algo}  a Ã©tÃ© publiÃ©e Ã  ~\cite{bcgw11:ip,bcgr11:ip}.
 
+\section{Quelques PRNGs basÃ©s sur des fonctions aux itÃ©rations chaotiques}\label{sec:PRNG:chaos:autres}
+
+Les PRNGs chaotiques (CPRNGs) sont des gÃ©nÃ©rateurs non linÃ©aires dÃ©finis par 
+$x_0 \in \mathbb{R}$ et $x_{t+1} = f(x_t)$, oÃ¹  $f$ est une fonction au comportement chaotique.
+Les raisons qui expliquent l'intÃ©rÃªt de telles fonctions sont naturellement la sensibilitÃ© aux conditions initiales, 
+leur imprÃ©visibilitÃ©\ldots Cependant, comme l'ordinateur sur lequel elles s'exÃ©cutent a une prÃ©cision finie, 
+les gÃ©nÃ©rateurs qui les embarquent peuvent avoir des pÃ©riodes arbitrairement courtes, 
+ne pas fournir de sortie selon une distribution uniforme\ldots
+D'un point de vue cryptographique, ces CPRNGs sont critiquables~\cite{wiggins2003introduction}.
+RÃ©duire ces critiques est l'objectif de nombreux travaux de recherche reportÃ©s ci dessous.
+
+
+Parmi les suites simples classiquement embarquÃ©es dans les CPRNGs, on trouve principalement
+la suite logistique,  
+la suite de HÃ©non. 
+La suite logistique~\cite{may1976simple} est dÃ©finie de $[0;1]$ dans lui mÃªme par $x_{t+1} = r \times x_t(1-x_t)$ 
+avec $x_0 \in [0;1]$ et $3,57<r<4,0$.
+La suite de HÃ©non~\cite{henon1976two} de $A \times B$ dans lui mÃªme, avec $A$ et $B$ deux sous-ensembles de $\R$, 
+est dÃ©finie par  
+$x_{t+1} = (1-a x_t^2)+y_t$  et $y_{t+1}= bx_{t+1}$, oÃ¹ $a$ et $b$ sont les paramÃ¨tres canoniques. 
+Pour $a=1,4$, $b=0,3$, $A=[-1,5;1,5]$ et $B=-[0,4;0,4]$ le comportement de cette suite est chaotique.
+
+La suite logistique est utilisÃ©e dans l'article~\cite{dabal2011chaos} dans lequel 
+les auteurs utilisent une reprÃ©sentation des rÃ©els Ã  virgule fixe.
+Les auteurs de~\cite{dabal2012fpga} comparent leur implantation de la suite logistique avec celle 
+de la suite de HÃ©non. 
+Les auteurs de~\cite{6868789} ont exploitÃ© la rÃ©Ã©criture de la suite logistique sous la forme
+$x_{t+1} = (r \times x_t)-(r \times x_t^2)$ et la possibilitÃ© de parallÃ©liser ceci 
+pour accroÃ®tre la frÃ©quence du PRNG.   
+Les auteurs de~\cite{liu2008improved} proposent de coupler deux suites logistiques,
+chacune Ã©tant paramÃ©trÃ©e diffÃ©remment ($x_0$, $r_1$ et  $y_0$, $r_2$ respectivement). L'idÃ©e principale 
+est de modifier iterrativement le paramÃ¨tre $r_2$ Ã  l'aide des itÃ©rÃ©s de $x_t$.
+Quant aux auteurs de~\cite{merahcoupling13}, ils couplent la suite logistique et celle de HÃ©non. 
+La premiÃ¨re suite sert Ã  sÃ©lectionner les Ã©lÃ©ments parmi ceux gÃ©nÃ©rÃ©s par la seconde.
+Les auteurs de~\cite{mao2006design}, combinent spatialement $L$ suites logistiques 
+et construisent ainsi $x_t(0)$, \dots, $x_t(L-1)$ selon l'Ã©quation suivante:
+\begin{equation}
+x_{t+1}(i) = 
+(1- \varepsilon) f(x_t(i)) + 
+\frac{\varepsilon}{2} 
+(f(x_t(i-1)) + f(x_t(i+1))),
+\label{eq:cml}
+\end{equation}
+\noindent oÃ¹ 
+$i \in \dfrac{\Z}{L\Z}$,
+$f$ est une adaptation de la suite logistique au cas discret,
+la graine $(X_0(0),\dots, X_0(L-1))$ et la pondÃ©ration $\varepsilon$ sont fournies par l'utilisateur.
+ 
+
+RenÃ© Lozi a aussi Ã©tudiÃ© la construction de PRNGs en couplant 
+des suites de Lozi~\cite{espinelrojas:hal-00622989} (qui sont une variation des suites de HÃ©non: $x^2_t$ est remplacÃ© par $| x_t|$),
+la suite tente~\cite{DBLP:journals/ijbc/Lozi12} et en extrayant des 
+sous-suites pour construire la sortie du PRNG~\cite{lozi:hal-00813087}. 
+ 
+ 
+
 
-\section{ Nombres pseudo-alÃ©atoires construits par itÃ©rations unaires}\label{sub:prng:algo}
+Certaines Ã©quations diffÃ©rentielles ont Ã©tÃ© Ã  la base de PRNGs chaotiques. 
+On pense aux Ã©quations de Lorenz~\cite{Lorenz1963}, Ã  celles de RÃ¶ssler~\cite{Rossler1976397}\ldots
+Celles-ci ont par exemple embarquÃ©es dans les PRNG dans les articles~\cite{Silva:2009:LLP:1592409.1592411}
+et~\cite{mansingka2013fibonacci} respectivement.
+
+
+
+
+\section{Nombres pseudo-alÃ©atoires construits par itÃ©rations unaires}\label{sub:prng:algo}
 
 
 
@@ -297,11 +363,11 @@ ait une distribution suffisamment proche de la distribution uniforme.
 On Ã©nonce directement le thÃ©orÃ¨me suivant dont la preuve est donnÃ©e en annexe~\ref{anx:generateur}.
 
 \begin{restatable}[UniformitÃ© de la sortie de l'algorithme~\ref{CI Algorithm}]{theorem}{PrngCIUniforme}\label{thm:prng:u}
-  Soit $f: \Bool^{n} \rightarrow \Bool^{n}$, $\textsc{giu}(f)$ son 
+  Soit $f: \Bool^{\mathsf{N}} \rightarrow \Bool^{\mathsf{N}}$, $\textsc{giu}(f)$ son 
   graphe d'itÃ©rations , $\check{M}$ sa matrice d'adjacence
   et $M$ une matrice  $2^n\times 2^n$  
   dÃ©finie par 
-  $M = \dfrac{1}{n} \check{M}$.
+  $M = \dfrac{1}{\mathsf{N}} \check{M}$.
   Si $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe, alors 
   la sortie du gÃ©nÃ©rateur de nombres pseudo-alÃ©atoires dÃ©taillÃ© par 
   l'algorithme~\ref{CI Algorithm} suit une loi qui 
@@ -325,22 +391,22 @@ Expliquons enfin comment a Ã©tÃ© calculÃ© le nombre de la troisiÃ¨me
 colonne utilisÃ© comme le paramÃ¨tre $b$ 
 dans l'algorithme~\ref{CI Algorithm}.
 
-Soit $e_i$ le $i^{\textrm{Ã¨me}}$ vecteur de la base canonique de $\R^{2^{n}}$. 
-Chacun des Ã©lÃ©ments $v_j$, $1 \le j \le 2^n$, 
+Soit $e_i$ le $i^{\textrm{Ã¨me}}$ vecteur de la base canonique de $\R^{2^{\mathsf{N}}}$. 
+Chacun des Ã©lÃ©ments $v_j$, $1 \le j \le 2^{\mathsf{N}}$, 
 du vecteur $e_i M_f^t$ reprÃ©sente la probabilitÃ© 
 d'Ãªtre dans la configuration $j$ aprÃ¨s $t$ Ã©tapes du processus de Markov 
 associÃ© Ã  $\textsc{giu}(f)$ en partant de la configuration $i$.   
 Le nombre $\min \{
  t \mid t \in \Nats, \vectornorm{e_i M_f^t - \pi} < 10^{-4}
 \}$ reprÃ©sente le plus petit nombre d'itÃ©rations oÃ¹ la distance de 
-ce vecteur au vecteur $\pi=(\frac{1}{2^n},\ldots,\frac{1}{2^n})$
+ce vecteur au vecteur $\pi=(\frac{1}{2^{\mathsf{N}}},\ldots,\frac{1}{2^{\mathsf{N}}})$
 -- autrement dit, oÃ¹ la dÃ©viation par rapport Ã  la distribution uniforme --
  est infÃ©rieure 
 Ã  $10^{-4}$. En prenant le max pour tous les $e_i$, on obtient une valeur pour
  $b$. 
 Ainsi, on a 
 \begin{equation}
-b = \max\limits_{i \in \llbracket 1, 2^n \rrbracket} 
+b = \max\limits_{i \in \llbracket 1, 2^{\mathsf{N}} \rrbracket} 
 \left\{
 \min \left\{
  t \mid t \in \Nats, \vectornorm{e_i M_f^t - \pi} < 10^{-4}
@@ -473,7 +539,7 @@ $F_{{f_u},p_i} :  \mathds{B}^\mathsf{N} \times [\mathsf{N}]^{p_i}
 \rightarrow \mathds{B}^\mathsf{N}$ dÃ©finie par
 
 $$
-F_{f_u,p_i} (x,(u^0, u^1, \hdots, u^{p_i-1}))  \mapsto 
+F_{f_u,p_i} (x,(u^0, u^1, \hdots, u^{p_i-1}))  = 
 F_{f_u}(\hdots (F_{f_u}(F_{f_u}(x,u^0), u^1), \hdots), u^{p_i-1}).
 $$
 
@@ -504,7 +570,7 @@ sur la seconde.
 Ainsi, les  sorties  $(y^0, y^1, \hdots )$ produites par le gÃ©nÃ©rateur dÃ©taillÃ© dans 
 l'algorithme~\ref{CI Algorithm}
 sont les premiers  composants des itÃ©rations $X^0 = (x^0, (u,v))$ et $\forall n \in \mathds{N}, 
-X^{n+1} = G_{f_u,\mathcal{P}}(X^n)$ dans $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$ oÃ¹
+X^{n+1} = G_{f_u,\mathcal{P}}(X^{\mathsf{N}})$ dans $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$ oÃ¹
 $G_{f_u,\mathcal{P}}$  est dÃ©finie par:
 
 
@@ -758,6 +824,8 @@ est fortement connexe.
 % \end{proof}
 
 
+
+
 \section{Conclusion}
 Ce chapitre a proposÃ© un algorithme permettant de construire un 
 PRNG chaotique Ã  partir d'un PRNG existant. Pour ce faire, il est nÃ©cessaire 
