X-Git-Url: https://bilbo.iut-bm.univ-fcomte.fr/and/gitweb/hdrcouchot.git/blobdiff_plain/c30b91ee116985e1082ece543aaf0f6b4c71247b..02fd942d6a30fe7197b732c94450ca466b7a49f5:/15RairoGen.tex?ds=inline diff --git a/15RairoGen.tex b/15RairoGen.tex index d71c0d3..a950d85 100644 --- a/15RairoGen.tex +++ b/15RairoGen.tex @@ -16,7 +16,7 @@ Cette section présente une application directe de la théorie développée ci-a à la génération de nombres pseudo aléatoires. On présente tout d'abord le générateur basé sur des fonctions chaotiques (section~\ref{sub:prng:algo}), -puis comment intégrer la contrainte de distributionuniforme +puis comment intégrer la contrainte de distribution uniforme de la sortie dans le choix de la fonction à itérer (section~\ref{sub:prng:unif}). L'approche est évaluée dans la dernière section. @@ -46,8 +46,7 @@ $x\leftarrow{F_{f_u}(s,x)}$\; } return $x$\; %\end{scriptsize} -\caption{Algorithme de génération de nombres pseudo aléatoires -à l'aide de la fonction chaotique $G_f$} +\caption{PRNG basé sur les itérations unaires.} \label{CI Algorithm} \end{algorithm} @@ -64,38 +63,43 @@ Il retourne une nouvelle configuration $x$ en appliquant la fonction $F_{f_u}$ vue au chapitre~\ref{chap:carachaos} et correspondant à des itérations unaires. En interne, il exploite un algorithme de génération -de nombres pseudo aléatoires -\textit{Random}$(l)$. -Cet algorithme est utilisée dans notre générateur pour construire la longueur -de la stratégie ainsi que les éléments qui la composent. -Pratiquement, il retourne des entiers dans $\llbracket 1 ; l \rrbracket$ -selon une distributionuniforme et utilise -\textit{XORshift} qui est une classe de générateurs de -nombres pseudo aléatoires conçus par George Marsaglia. - - -L'algorithme \textit{XORshift} -exploite itérativement l'opérateur $\oplus$ -sur des nombres obtenus grâce à des decalages de bits. -Cet opérateur, défini dans $\Bool^{n}$, -applique la fonction \og xor \fg{} -aux bits de même rang de ses deux opérandes (\og opération bit à bit \fg{}). -Une instance de cette classe est donnée dans l'algorithme~\ref{XORshift} donné -ci-dessous. - -\begin{algorithm}[h] -%\SetLine -\KwIn{la configuration interne $z$ (un mot de 32-bit)} -\KwOut{$y$ (un mot de 32-bits)} -$z\leftarrow{z\oplus{(z\ll13)}}$\; -$z\leftarrow{z\oplus{(z\gg17)}}$\; -$z\leftarrow{z\oplus{(z\ll5)}}$\; -$y\leftarrow{z}$\; -return $y$\; -\medskip -\caption{Une boucle de l'algorithme de \textit{XORshift}} -\label{XORshift} -\end{algorithm} +de nombres pseudo aléatoires donné en paramètre. +Cela peut être n'importe quel PRNG (XORshift, Mersenne-Twister) dont la +sortie est uniformément distribuée. +Notre approche vise a donner des propriétés de chaos a ce générateur embarqué. + + +% \textit{Random}$(l)$. +% Cet algorithme est utilisée dans notre générateur pour construire la longueur +% de la stratégie ainsi que les éléments qui la composent. +% Pratiquement, il retourne des entiers dans $\llbracket 1 ; l \rrbracket$ +% selon une distribution uniforme et utilise +% \textit{XORshift} qui est une classe de générateurs de +% nombres pseudo aléatoires conçus par George Marsaglia. + + +% L'algorithme \textit{XORshift} +% exploite itérativement l'opérateur $\oplus$ +% sur des nombres obtenus grâce à des décalages de bits. +% Cet opérateur, défini dans $\Bool^{n}$, +% applique la fonction \og xor \fg{} +% aux bits de même rang de ses deux opérandes (\og opération bit à bit \fg{}). +% Une instance de cette classe est donnée dans l'algorithme~\ref{XORshift} donné +% ci-dessous. + +% \begin{algorithm}[h] +% %\SetLine +% \KwIn{la configuration interne $z$ (un mot de 32-bit)} +% \KwOut{$y$ (un mot de 32-bits)} +% $z\leftarrow{z\oplus{(z\ll13)}}$\; +% $z\leftarrow{z\oplus{(z\gg17)}}$\; +% $z\leftarrow{z\oplus{(z\ll5)}}$\; +% $y\leftarrow{z}$\; +% return $y$\; +% \medskip +% \caption{Une boucle de l'algorithme de \textit{XORshift}} +% \label{XORshift} +% \end{algorithm} Nous avons vu au chapitre~\ref{chap:carachaos} que @@ -118,8 +122,8 @@ si la propriété suivante est établie: $$\exists k \in \mathds{N}^\ast, \forall i,j \in \llbracket 1; n \rrbracket, M_{ij}^k>0.$$ On énonce enfin le théorème suivant liant les -vecteur de probabilite -et les chaines de Markov. +vecteur de probabilités +et les chaînes de Markov. @@ -128,11 +132,11 @@ et les chaines de Markov. Si $M$ est une matrice stochastique régulière, alors $M$ possède un unique vecteur stationnaire de probabilités $\pi$ ($\pi.M = \pi$). - De plus, si $\pi^0$ est un {vecteurDeProbabilite} + De plus, si $\pi^0$ est un {vecteur de probabilités} et si on définit la suite $(\pi^{k})^{k \in \Nats}$ par $\pi^{k+1} = \pi^k.M $ pour $k = 0, 1,\dots$ - alors la {chaineDeMarkov} $\pi^k$ + alors la {chaîne de Markov} $\pi^k$ converge vers $\pi$ lorsque $k$ tend vers l'infini. \end{theorem} @@ -178,7 +182,8 @@ que cela l'est pour $h$. \end{minipage} \label{fig:h:iter} } \end{center} - \caption{Graphes d'itérations de fonctions booléennes dans $\Bool^2$} + \caption{Graphes des itérations unaires + de fonctions booléennes dans $\Bool^2$} \label{fig:xplgraphIter} \end{figure} @@ -228,7 +233,7 @@ Il est facile de vérifier que la matrice de transitions d'un tel processus est $M_g = \frac{1}{2} \check{M}_g$, où $\check{M}_g$ est la matrice d' adjacence donnée en -figure~\ref{fig:g:incidence} (voir ci-après), et similairement pour $M_h$. +figure~\ref{fig:g:incidence} (voir ci-après), et de manière similaire pour $M_h$. \begin{figure}[h] \begin{center} @@ -293,12 +298,14 @@ de valeurs soit suffisamment grand de sorte que le vecteur d’état de la chaîne de Markov ait une distribution suffisamment proche de la distribution uniforme. -On énnonce directement le théorème suivant dont la preuve est donnée en annexes~\ref{anx:generateur}. +On énonce directement le théorème suivant dont la preuve est donnée en annexes~\ref{anx:generateur}. -\begin{theorem} +\begin{theorem}\label{thm:prng:u} Soit $f: \Bool^{n} \rightarrow \Bool^{n}$, $\textsc{giu}(f)$ son graphe d'itérations , $\check{M}$ sa matrice d'adjacence - et $M$ une matrice $2^n\times 2^n$ définie comme dans le lemme précédent. + et $M$ une matrice $2^n\times 2^n$ + définie par + $M = \dfrac{1}{n} \check{M}$. Si $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe, alors la sortie du générateur de nombres pseudo aléatoires détaillé par l'algorithme~\ref{CI Algorithm} suit une loi qui @@ -311,7 +318,7 @@ On énnonce directement le théorème suivant dont la preuve est donnée en anne On reprend le graphe d'interactions $\Gamma(f)$ donné en figure~\ref{fig:G} à la section~\ref{sec:11FCT}. On a vu qu'il y avait 520 fonctions $f$ non isomorphes de graphe d'interactions $\Gamma(f)$, -dont seulement 16 d'entre elles possédent une matrice doublement stochastique. +dont seulement 16 d'entre elles possèdent une matrice doublement stochastique. La figure~\ref{fig:listfonction} explicite ces 16 fonctions en définissant les images des éléments de la liste @@ -332,15 +339,21 @@ ce vecteur au vecteur $\pi=(\frac{1}{2^n},\ldots,\frac{1}{2^n})$ -- autrement dit, où la déviation par rapport à la distribution uniforme -- est inférieure à $10^{-4}$. En prenant le max pour tous les $e_i$, on obtient une valeur pour - $b$. Ainsi, on a -$$ + $b$. +Ainsi, on a +\begin{equation} b = \max\limits_{i \in \llbracket 1, 2^n \rrbracket} \{ \min \{ t \mid t \in \Nats, \vectornorm{e_i M_f^t - \pi} < 10^{-4} \} \}. -$$ +\label{eq:mt:ex} +\end{equation} + +\noindent Par la suite, ce nombre sera appelé \emph{temps de mélange}. + + \begin{figure}%[h] \begin{center} @@ -426,8 +439,8 @@ L'expérience a montré notamment que toutes ces fonctions passent avec succès cette batterie de tests. Pour conclure cette section, on remarque que le générateur de nombres pseudo-aléatoires -a été prouvé chaotique pour $b=1$, \textit{i.e.}, lorqu'il y a une sortie pour chaque itération. -Ceci est difficilement compatible avec la volonté d'avoir une sortie uniformémement distribuée: +a été prouvé chaotique pour $b=1$, \textit{i.e.}, lorsqu'il y a une sortie pour chaque itération. +Ceci est difficilement compatible avec la volonté d'avoir une sortie uniformément distribuée: se rapprocher de cette distribution nécessite en effet un nombre plus élevé d'itérations $b$ entre chaque sortie. Par exemple, dans l'exemple précédent, il est nécessaire d'itérer au moins 42 fois entre chaque sortie pour suivre une loi uniforme à $10^{-4}$ près. @@ -438,7 +451,7 @@ est l'objectif de la section suivante. \section{Un PRNG basé sur des itérations unaires qui est chaotique } Cette section présente un espace métrique adapté au générateur de nombres pseudo-aléatoires -pésenté à l'algorithme~\ref{CI Algorithm} et prouve ensuite que la fonction qu'il représente +présenté à l'algorithme~\ref{CI Algorithm} et prouve ensuite que la fonction qu'il représente est chaotique sur cet espace. \subsection{Un espace $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$ pour le PRNG de l'algorithme~\ref{CI Algorithm}} @@ -455,7 +468,7 @@ Dans l'algorithme~\ref{CI Algorithm}, $\mathsf{p}$ vaut 1 et $p_1=b$. -Cet algorithme peut être vu comme $b$ compostions de la function $F_{f_u}$. +Cet algorithme peut être vu comme $b$ compostions de la fonction $F_{f_u}$. Ceci peut cependant se généraliser à $p_i$, $p_i \in \mathcal{P}$, compositions fonctionnelles de $F_{f_u}$. Ainsi, pour chaque $p_i \in \mathcal{P}$, on construit la fonction @@ -479,7 +492,7 @@ Le second élément est aussi une paire $((u^k)_{k \in \Nats},(v^k)_{k \in \Nats La suite $(v^k)_{k \in \Nats}$ définit combien d'itérations sont exécutées au temps $k$ entre deux sorties. La séquence $(u^k)_{k \in \Nats}$ définit quel élément est modifié (toujours au temps $k$). -Définissons la fonction de décallage $\Sigma$ pour chaque élément de $\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$. +Définissons la fonction de décalage $\Sigma$ pour chaque élément de $\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$. $$\begin{array}{cccc} \Sigma:&\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}} &\longrightarrow &\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}} \\ @@ -487,7 +500,7 @@ $$\begin{array}{cccc} \end{array} $$ En d'autres termes, $\Sigma$ reçoit deux suites $u$ et $v$ et -effectue $v^0$ décallage vers la droite sur la première et un décallage vers la droite +effectue $v^0$ décalage vers la droite sur la première et un décalage vers la droite sur la seconde. @@ -528,7 +541,7 @@ $u^0, u^1, \hdots, u^{v^0-1}$ et $\check{u}^0, \check{u}^1, \hdots, \check{u}^{ suivie par les différences entre $u^{v^0}, u^{v^0+1}, \hdots, u^{v^1-1}$ et $\check{u}^{\check{v}^0}, \check{u}^{\check{v}^0+1}, \hdots, \check{u}^{\check{v}^1-1}$, etc. -Plus précisemment, soit +Plus précisément, soit $p = \lfloor \log_{10}{(\max{\mathcal{P}})}\rfloor +1$ et $n = \lfloor \log_{10}{(\mathsf{N})}\rfloor +1$. \begin{itemize} @@ -603,7 +616,7 @@ On prend alors le $v^0=1$ premier terme de $u$, chaque terme étant codé sur $n=2$ éléments, soit 06. Comme on itère au plus $\max{(\mathcal{P})}$ fois, on complète cette valeur par des 0 de sorte que -la chaine obtenue a $n\times \max{(\mathcal{P})}=22$ éléments, soit: +la chaîne obtenue a $n\times \max{(\mathcal{P})}=22$ éléments, soit: 0600000000000000000000. De manière similaire, les $\check{v}^0=2$ premiers termes de $\check{u}$ sont représentés par @@ -649,7 +662,7 @@ $d$ est une distance sur $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$. \subsection{Le graphe $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(f)$ étendant $\textsc{giu}(f)$} A partir de $\mathcal{P}=\{p_1, p_2, \hdots, p_\mathsf{p}\}$, on -definit le graphe orienté $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(f)$ de la manière suivante: +définit le graphe orienté $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(f)$ de la manière suivante: \begin{itemize} \item les n{\oe}uds sont les $2^\mathsf{N}$ configurations de $\mathds{B}^\mathsf{N}$, %\item Each vertex has $\displaystyle{\sum_{i=1}^\mathsf{p} \mathsf{N}^{p_i}}$ arrows, namely all the $p_1, p_2, \hdots, p_\mathsf{p}$ tuples @@ -693,8 +706,8 @@ Il n'est pas difficile de constater que $\textsc{giu}_{\{1\}}(f)$ est $\textsc{g } \end{center} - \caption{Graphes d'iterations $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(h)$ pour $h(x_1,x_2)=(\overline{x_1},x_1\overline{x_2}+\overline{x_1}x_2)$} - \label{fig:xplgraphIter} + \caption{Graphes d'itérations $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(h)$ pour $h(x_1,x_2)=(\overline{x_1},x_1\overline{x_2}+\overline{x_1}x_2)$} + %\label{fig:xplgraphIter} \end{figure} @@ -708,7 +721,7 @@ $h(x_1,x_2)=(\overline{x_1},x_1\overline{x_2}+\overline{x_1}x_2)$ déjà détail Le graphe $\textsc{giu}_{\{1\}}(h)$ a déjà été donné à la figure~\ref{fig:h:iter}. Les graphes $\textsc{giu}_{\{2\}}(h)$, $\textsc{giu}_{\{3\}}(h)$ et $\textsc{giu}_{\{2,3\}}(h)$ sont respectivement donnés aux figure~\ref{fig:h2prng}, ~\ref{fig:h3prng} et ~\ref{fig:h23prng}. -Le premier (repsectivement le second) +Le premier (respectivement le second) illustre le comportement du générateur lorsque qu'on itère exactement 2 fois (resp. 3 fois) puis qu'on affiche le résultat. Le dernier donnerait le comportement d'un générateur qui s'autoriserait