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index f53e3b9..ea5f4f1 100644
--- a/annexePreuveDistribution.tex
+++ b/annexePreuveDistribution.tex
@@ -1,4 +1,5 @@
- 
+
+\section{Chaînes de Markov associées à $\textsc{giu}(f)$}  
 Considérons le lemme technique suivant:
 \begin{lemma}\label{lem:stoc}
 Soit $f: \Bool^{n} \rightarrow \Bool^{n}$, $\textsc{giu}(f)$ son graphe d'itérations, $\check{M}$ la matrice d'adjacence de $\textsc{giu}(f)$, et  $M$  la matrice 
@@ -8,7 +9,7 @@ Alors $M$ est une matrice stochastique régulière si et seulement si
 $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe.
 \end{lemma}
 
-\begin{Proof}  
+\begin{proof}  
 On remarque tout d'abord que $M$ 
 est une matrice stochastique par construction.
 Supposons $M$ régulière. 
@@ -28,22 +29,11 @@ on peut conclure que, si
 $k$ est le plus petit multiple commun de $\{k_{ij}  \big/ i,j  \in \llbracket 1,  2^n \rrbracket  \}$ alors
 $\forall i,j  \in \llbracket  1, 2^n \rrbracket,  \check{M}_{ij}^{k}>0$. 
 Ainsi, $\check{M}$ et donc $M$ sont régulières.
-\end{Proof}
-
-Ces résultats permettent formuler et de prouver le théorème suivant:
-
-\begin{theorem}
-  Soit $f: \Bool^{n} \rightarrow \Bool^{n}$, $\textsc{giu}(f)$ son 
-  graphe d'itérations , $\check{M}$ sa matrice d'adjacence
-  et $M$ une matrice  $2^n\times 2^n$  définie comme dans le lemme précédent.
-  Si $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe, alors 
-  la sortie du générateur de nombres pseudo aléatoires détaillé par 
-  l'algorithme~\ref{CI Algorithm} suit une loi qui 
-  tend vers la distribution uniforme si 
-  et seulement si  $M$ est une matrice doublement stochastique.
-\end{theorem}
-
-\begin{Proof}
+\end{proof}
+
+Ces résultats permettent formuler et de prouver le théorème annoncé.
+\PrngCIUniforme*
+\begin{proof}
   $M$ est une matrice stochastique régulière (Lemme~\ref{lem:stoc}) 
   qui a un unique vecteur de probabilités stationnaire
   (Théorème \ref{th}).
@@ -53,14 +43,13 @@ Ces résultats permettent formuler et de prouver le théorème suivant:
   la somme des valeurs de chaque colonne de $M$  est 1, 
   \textit{i.e.} si et seulement si 
   $M$ est  doublement  stochastique.
-\end{Proof}
-
+\end{proof}
 
+\section{Chaoticité de la fonction $G_{f_u,\mathcal{P}}$ dans
+$(\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}},d)$}
 
-Montrons que
-\begin{lemma}
-$d$ est une distance sur $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$.
-\end{lemma}
+Montrons le théorème
+\distancedsxnp*
 
 
 \begin{proof}
@@ -172,15 +161,8 @@ $$a_0^0, ...,a_{k_2}^{|a_{k_2}|}...),(v^0, ..., v^{k_1}, |a_0|, ..., |a_{k_2}|,v
 est un point périodique dans le voisinage $\mathcal{B}(x,\varepsilon)$ de $x$.
 \end{proof}
 
-$G_{f_u,\mathcal{P}}$ étant topologiquement transitive and regulière, 
-on peut conclure le théorème:
-
-
-\begin{theorem}
-La fonction $G_{f_u,\mathcal{P}}$ est chaotique sur 
- $(\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}},d)$ si et seulement si 
-graphe d'itération $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(f)$ 
-est fortement connexe.
-\end{theorem}
+$G_{f_u,\mathcal{P}}$ étant topologiquement transitive and régulière, 
+on peut démontrer le théorème:
+\thmchoticitgfp*