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-  
-Introduire mathÃ©matiques discrÃ¨tes
+% ModÃ¨les discrets pour la sÃ©curitÃ© inforamtique: des mÃ©thodes itÃ©ratives Ã  l'analyse vectorielle
 
-SystÃ¨mes dynamiques discrets
+Les informations traitÃ©es par un ordinateur ne sont, \textit{in fine},
+que discrÃ¨tes: les flottants (sur un nombre fini de bits) sont une
+interprÃ©tation des rÃ©els, les \textit{longs} une interprÃ©ation finie
+des entiers\ldots.
+Les phÃ©nomÃ¨nes physiques ou naturels peuvent aussi Ãªtre modÃ©lisÃ©s par des
+approches discrÃ¨tes:
+il n'est parfois pas nÃ©cessaire de suivre exactement tous les Ã©tats par
+lesquels peut passer l'Ã©lÃ©ment d'Ã©tude. Pour peu que l'on sache 
+identifier les seuils de son domaine (c'est-Ã -dire les valeurs
+critiques permettant au systÃ¨me global de changer),
+il est parfois suffisant de rÃ©duire le domaine de l'Ã©tat de l'Ã©lÃ©ment
+Ã  un ensemble fini d'intervalles dÃ©finis par ces seuils.
+Un Ã©lÃ©ment passe d'un Ã©tat $i$ Ã  un Ã©tat $j$ si dans la version continue il
+passe d'un Ã©tat de l'intervalle numÃ©ro $i$ Ã  un Ã©tat de l'intervalle numÃ©ro $j$.
+En abstrayant Ã  l'extrÃªme,
+on peut considÃ©rer pour chaque Ã©lÃ©ment  seulement deux Ã©tats:
+1 pour le fait d'Ãªtre prÃ©sent et 0 pour le fait d'Ãªtre absent, ou bien
+1 pour le fait d'avoir une valeur supÃ©rieure Ã  un seuil et 0 pour le fait qu'elle y soit infÃ©rieure.
+Ces rÃ©seaux particuliers sont qualifiÃ©s de \emph{rÃ©seaux boolÃ©ens}.
 
-convergence vs divergence
 
-chaos <=> alÃ©a
+Soit ${\mathsf{N}}$ un entier naturel reprÃ©sentant le nombre 
+d'Ã©lÃ©ments Ã©tudiÃ©s (le nombre bits qu'un gÃ©nÃ©rateur veut engendrer,
+le nombre de pixel que l'on veut modifier\ldots) un rÃ©seau boolÃ©en  est 
+dÃ©fini Ã  partir d'une fonction boolÃ©enne $f:\Bool^{\mathsf{N}}\to\Bool^{\mathsf{N}}$
+et un mode de  mise Ã  jour.
+A chaque Ã©tape, on peut intuitivement ne modifier qu'une partie des
+$\mathsf{N}$ Ã©lÃ©ments.
+En fonction des Ã©lements qui sont susceptibles d'Ãªtre modifiÃ©s Ã  chaque Ã©tape,
+on peut se poser les questions de savoir si le rÃ©seau atteint un point fixe (Ã©t qu'il peut donc converger) ou 
+s'il possÃ¨de des attracteurs cycliques (et qu'il diverge donc).
 
-PRNG 
+DÃ©tecter la convergence ou son contraire  peut se faire \textit{ a priori} dans
+certain cas. En effet, de nombreux travaux ont Ã©noncÃ© des conditions 
+suffisantes sur les rÃ©seaux boulÃ©ens garantissant leur convergence
+ou leur divergence . Lorsqu'aucune d'entre elle ne s'applique, on peut penser
+Ã  Ã©tendre ces rÃ©sultats thÃ©oriques et complÃ©ter ceci par des simulations.
+Lorsque la convergence est pratiquement observÃ©e, il reste Ã  vÃ©rifier que
+celle-ci est indÃ©pendante  du choix des parties Ã  modifier, par exemple.
+Une vÃ©rification \textit{a posteriori} s'impose, sauf si la mÃ©thode de
+simulation a Ã©tÃ© prouvÃ©e comme exhaustive.
 
-codes de Gray
+Une fonction qui admet un attracteur cyclique Ã©gal Ã  l'ensemble
+des sommets diverge. Admet-il cependant un comportement chaotique?
+Les thÃ©ories mathÃ©matiques du chaos ont Ã©noncÃ© des critÃ¨res permettant
+de dÃ©cider si une fonction est chaotique ou non, et plus rÃ©cemment
+si certains rÃ©seaux boulÃ©ens Ã©taient l'Ã©taient. Se pose lÃ©gitimement
+la question de savoir si cette caractÃ©risation s'Ã©tend quelque soient
+les parties modifiÃ©es Ã  chaque Ã©tape. Naturellement, ceci n'a un sens
+pratique que si le nombre de rÃ©seaux boulÃ©ens qui possÃ¨dent cette
+caractÃ©ristique est suffisament grand et que l'on sache engendrer
+algorithmiquement de tels rÃ©seaux.
 
-gÃ©nÃ©rateur  c SÃ©curitÃ© informatique: rÃ©gularitÃ© -> marquage
+Les liens entre chaos et alÃ©as sont certes intuitifs, mais sont-ils suffisants
+pour espÃ©rer construire un gÃ©nÃ©rateur de nombres pseudo-alÃ©atoires (PRNG)
+Ã  partir de fonctions au comportement chaotique? La rÃ©ponse est certes
+positive, mais pas triviale. Il est nÃ©cessaire de dÃ©finir les propriÃ©tÃ©s 
+attendues de la sortie d'un PRNG et
+l'uniformitÃ© de sa distribution est sans doute la premiÃ¨re
+des propriÃ©tÃ©s Ã  assurer.  
+Comment alors gÃ©nÃ©rer des fonctions chaotiques dont les itÃ©rations 
+peuvent converger vers une distribution uniforme?
+Combien d'itÃ©rations suffit-il alors
+d'effectuer pour s'approcher suffisament de celle-ci?
 
-DÃ©rivÃ©es partielles discrete pour la sÃ©tagno
+Les liens entre chaos et marquage d'information sont aussi faciles Ã  Ã©tablir:
+de tout mÃ©dia marquÃ© mÃªme attaquÃ©, la marque doit pouvoir Ãªtre extraite.
+Cette propriÃ©tÃ© du marquage est proche en effet de celle de rÃ©gularitÃ© des opÃ©rateurs chaotique. Il est alors naturel d'envisager exploiter les
+fonctions chaotiques extraites dans ce contexte et donc de modifier
+certains bits d'un mÃ©dia pour y insÃ©rer de l'information: la marque.
+On
+
+Les compÃ©tences acquise dans l'Ã©tude des algorithme d'insertion d'une marque
+dans une image nous permettent aussi d'adresser le problÃ¨me d'insÃ©rer un message dans une image, mais en priviligeant cette fois l'imperceptibilitÃ© et
+non plus la robustesse.
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