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-  
-Introduire mathématiques discrètes
+% Modèles discrets pour la sécurité inforamtique: des méthodes itératives à l'analyse vectorielle
 
-Systèmes dynamiques discrets
+Les informations traitées par un ordinateur ne sont, \textit{in fine},
+que discrètes: les flottants (sur un nombre fini de bits) sont une
+interprétation des réels, les \textit{longs} une interpréation finie
+des entiers\ldots.
+Les phénomènes physiques ou naturels peuvent aussi être modélisés par des
+approches discrètes:
+il n'est parfois pas nécessaire de suivre exactement tous les états par
+lesquels peut passer l'élément d'étude. Pour peu que l'on sache 
+identifier les seuils de son domaine (c'est-à-dire les valeurs
+critiques permettant au système global de changer),
+il est parfois suffisant de réduire le domaine de l'état de l'élément
+à un ensemble fini d'intervalles définis par ces seuils.
+Un élément passe d'un état $i$ à un état $j$ si dans la version continue il
+passe d'un état de l'intervalle numéro $i$ à un état de l'intervalle numéro $j$.
+En abstrayant à l'extrême,
+on peut considérer pour chaque élément  seulement deux états:
+1 pour le fait d'être présent et 0 pour le fait d'être absent, ou bien
+1 pour le fait d'avoir une valeur supérieure à un seuil et 0 pour le fait qu'elle y soit inférieure.
+Ces réseaux particuliers sont qualifiés de \emph{réseaux booléens}.
 
-convergence vs divergence
 
-chaos <=> aléa
+Soit ${\mathsf{N}}$ un entier naturel représentant le nombre 
+d'éléments étudiés (le nombre bits qu'un générateur veut engendrer,
+le nombre de pixel que l'on veut modifier\ldots) un réseau booléen  est 
+défini à partir d'une fonction booléenne $f:\Bool^{\mathsf{N}}\to\Bool^{\mathsf{N}}$
+et un mode de  mise à jour.
+A chaque étape, on peut intuitivement ne modifier qu'une partie des
+$\mathsf{N}$ éléments.
+En fonction des élements qui sont susceptibles d'être modifiés à chaque étape,
+on peut se poser les questions de savoir si le réseau atteint un point fixe (ét qu'il peut donc converger) ou 
+s'il possède des attracteurs cycliques (et qu'il diverge donc).
 
-PRNG 
+Détecter la convergence ou son contraire  peut se faire \textit{ a priori} dans
+certain cas. En effet, de nombreux travaux ont énoncé des conditions 
+suffisantes sur les réseaux bouléens garantissant leur convergence
+ou leur divergence . Lorsqu'aucune d'entre elle ne s'applique, on peut penser
+à étendre ces résultats théoriques et compléter ceci par des simulations.
+Lorsque la convergence est pratiquement observée, il reste à vérifier que
+celle-ci est indépendante  du choix des parties à modifier, par exemple.
+Une vérification \textit{a posteriori} s'impose, sauf si la méthode de
+simulation a été prouvée comme exhaustive.
 
-codes de Gray
+Une fonction qui admet un attracteur cyclique égal à l'ensemble
+des sommets diverge. Admet-il cependant un comportement chaotique?
+Les théories mathématiques du chaos ont énoncé des critères permettant
+de décider si une fonction est chaotique ou non, et plus récemment
+si certains réseaux bouléens étaient l'étaient. Se pose légitimement
+la question de savoir si cette caractérisation s'étend quelque soient
+les parties modifiées à chaque étape. Naturellement, ceci n'a un sens
+pratique que si le nombre de réseaux bouléens qui possèdent cette
+caractéristique est suffisament grand et que l'on sache engendrer
+algorithmiquement de tels réseaux.
 
-générateur  c Sécurité informatique: régularité -> marquage
+Les liens entre chaos et aléas sont certes intuitifs, mais sont-ils suffisants
+pour espérer construire un générateur de nombres pseudo-aléatoires (PRNG)
+à partir de fonctions au comportement chaotique? La réponse est certes
+positive, mais pas triviale. Il est nécessaire de définir les propriétés 
+attendues de la sortie d'un PRNG et
+l'uniformité de sa distribution est sans doute la première
+des propriétés à assurer.  
+Comment alors générer des fonctions chaotiques dont les itérations 
+peuvent converger vers une distribution uniforme?
+Combien d'itérations suffit-il alors
+d'effectuer pour s'approcher suffisament de celle-ci?
 
-Dérivées partielles discrete pour la sétagno
+Les liens entre chaos et marquage d'information sont aussi faciles à établir:
+de tout média marqué même attaqué, la marque doit pouvoir être extraite.
+Cette propriété du marquage est proche en effet de celle de régularité des opérateurs chaotique. Il est alors naturel d'envisager exploiter les
+fonctions chaotiques extraites dans ce contexte et donc de modifier
+certains bits d'un média pour y insérer de l'information: la marque.
+On
+
+Les compétences acquise dans l'étude des algorithme d'insertion d'une marque
+dans une image nous permettent aussi d'adresser le problème d'insérer un message dans une image, mais en priviligeant cette fois l'imperceptibilité et
+non plus la robustesse.
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