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-  
-Introduire mathématiques discrètes
 
-Systèmes dynamiques discrets
+\section*{Motivations}
 
-convergence vs divergence
+Les informations traitées par un ordinateur ne sont, \textit{in fine},
+que discrètes: les flottants (sur un nombre fini de bits) sont une
+interprétation des réels, les \textit{longs} une interprétation finie
+des entiers\ldots.
+Les phénomènes physiques ou naturels peuvent aussi être modélisés par des
+approches discrètes:
+il n'est parfois pas nécessaire de suivre exactement tous les états par
+lesquels peut passer l'élément d'étude. Pour peu que l'on sache 
+identifier les seuils de son domaine (c'est-à-dire les valeurs
+critiques permettant au système global de changer),
+il est parfois suffisant de réduire le domaine de l'état de l'élément
+à un ensemble fini d'intervalles définis par ces seuils.
+Un élément passe d'un état $i$ à un état $j$ si dans la version continue il
+passe d'un état de l'intervalle numéro $i$ à un état de l'intervalle numéro $j$.
+En abstrayant à l'extrême,
+on peut considérer pour chaque élément  seulement deux états:
+1 pour le fait d'être présent et 0 pour le fait d'être absent, ou bien
+1 pour le fait d'avoir une valeur supérieure à un seuil et 0 pour le fait qu'elle y soit inférieure.
+Ces réseaux particuliers sont qualifiés de \emph{réseaux booléens}.
 
-chaos <=> aléa
 
-PRNG 
+Soit ${\mathsf{N}}$ un entier naturel représentant le nombre 
+d'éléments étudiés (le nombre bits qu'un générateur veut engendrer,
+le nombre de pixel que l'on veut modifier\ldots) un réseau booléen  est 
+défini à partir d'une fonction booléenne $f:\Bool^{\mathsf{N}}\to\Bool^{\mathsf{N}}$
+et un mode de  mise à jour.
+A chaque étape, on peut intuitivement ne modifier qu'une partie des
+$\mathsf{N}$ éléments.
+En fonction des éléments qui sont susceptibles d'être modifiés à chaque étape,
+on peut se poser les questions de savoir si le réseau atteint un point fixe (et qu'il peut donc converger) ou 
+s'il possède des attracteurs cycliques (et qu'il diverge donc).
 
-codes de Gray
+Détecter la convergence ou son contraire  peut se faire \textit{ a priori} dans
+certain cas. En effet, de nombreux travaux ont énoncé des conditions 
+suffisantes sur les réseaux booléens garantissant leur convergence
+ou leur divergence . Lorsqu'aucune d'entre elle ne s'applique, on peut penser
+à étendre ces résultats théoriques et compléter ceci par des simulations.
+Lorsque la convergence est pratiquement observée, il reste à vérifier que
+celle-ci est indépendante  du choix des parties à modifier, par exemple.
+Une vérification \textit{a posteriori} s'impose, sauf si la méthode de
+simulation a été prouvée comme exhaustive.
 
-générateur  c Sécurité informatique: régularité -> marquage
+Une fonction qui admet un attracteur cyclique égal à l'ensemble
+des sommets diverge. Admet-il cependant un comportement chaotique?
+Les théories mathématiques du chaos ont énoncé des critères permettant
+de décider si une fonction est chaotique ou non, et plus récemment
+si certains réseaux booléens étaient l'étaient. Se pose légitimement
+la question de savoir si cette caractérisation s'étend quelque soient
+les parties modifiées à chaque étape. Naturellement, ceci n'a un sens
+pratique que si le nombre de réseaux booléens qui possèdent cette
+caractéristique est suffisamment grand et que l'on sache engendrer
+algorithmiquement de tels réseaux.
+
+Les liens entre chaos et aléas sont certes intuitifs, mais sont-ils suffisants
+pour espérer construire un générateur de nombres pseudo-aléatoires (PRNG)
+à partir de fonctions au comportement chaotique? La réponse est certes
+positive, mais pas triviale. Il est nécessaire de définir les propriétés 
+attendues de la sortie d'un PRNG et
+l'uniformité de sa distribution est sans doute la première
+des propriétés à assurer.  
+Comment alors générer des fonctions chaotiques dont les itérations 
+peuvent converger vers une distribution uniforme?
+Combien d'itérations suffit-il alors
+d'effectuer pour s'approcher suffisamment de celle-ci?
+
+Les liens entre chaos et marquage d'information sont aussi faciles à établir:
+de tout média marqué même attaqué, la marque doit pouvoir être extraite.
+Cette propriété du marquage est proche en effet de celle de régularité des opérateurs chaotique. Il est alors naturel d'envisager exploiter les
+fonctions chaotiques extraites dans ce contexte et donc de modifier
+certains bits d'un média pour y insérer de l'information: la marque.
+
+
+Les compétences acquise dans l'étude des algorithme d'insertion d'une marque
+dans une image nous permettent aussi d'adresser le problème d'insérer un message dans une image. Cependant, il s'agit de privilégier
+cette fois l'imperceptibilité et non plus la robustesse. Ainsi, tandis que
+l'idée principale était d'étaler le message sur un ensemble conséquent
+de pixels pour adresser la robustesse, il s'agit ici de sélectionner finement
+ceux dont les modifications seraient le moins perceptibles possible.
+On pense immédiatement à insérer ces messages dans les pixels
+contenant les zones les plus perturbées.
+Les outils mathématiques d'analyse permettant d'identifier les lignes niveaux
+pour ensuite voir lesquelles sont les moins régulières, les plus perturbées
+sont le gradient et la matrice Hessienne.
+Cependant, ces modèles d'analyse  ne sont définis que pour des fonctions de $\R^n$ dans $\R$.
+Se pose alors la question sur la possibilité de les adapter au cadre discret 
+puisque les images à traiter sont construites à partir de pixels dont les
+valeurs sont discrètes.
+
+
+\section*{Organisation de ce mémoire}
+Ce mémoire est organisé en quatre parties.
+
+La première partie sur les réseaux discrets.
+Dans celle-ci, le chapitre~\ref{chap:sdd} formalise la notion de réseaux booléens
+et leurs modes opératoires. On y définit notamment un nouveau mode opératoire
+combinant convergence et rapidité de convergence. Les résultats de convergence suffisants à la compréhension de ce mémoire y sont rappelés et ceux relatifs à ce nouveau mode y sont prouvés.
+
+Le chapitre~\ref{chap:promela} montre comment nous avons développé une démarche
+de preuve automatique de convergence de réseaux discrets. La démarche  est
+prouvée correcte et complète: le verdict donné par l'outil est celui qui serait
+donné par une preuve mathématique.
+
+La seconde partie établit globalement le lien entre les réseaux discrets et
+le chaos. Le chapitre~\ref{chap:carachaos} rappelle tout d'abord les notions
+suffisantes concernant la théorie du chaos. Une caractérisation des fonctions engendrant des itérations
+chaotiques y est donnée, selon le mode unaire et le mode généralisé,
+les deux modes au c{\oe}ur de ce mémoire. Un théorème,
+démontré, propose un algorithme permettant de générer des fonctions possédant
+cette caractéristique.
+
+Les itérations unaires de telles fonctions étant chaotiques, nous avons étudié
+au chapitre~\ref{chp:ANN} la possibilité de les faire apprendre par un réseau de neurones, particulièrement un perceptron multi-couches.
+
+Le titre de la troisième partie donne une idée de la conclusion de
+cette étude puisqu'on y étudie une famille PRNG construite à partir de fonctions 
+dont les itérations sont chaotiques.
+Plus précisément, le chapitre~\ref{chap:PRNG:chao} caractérise les PRNG
+construits à partir de réseaux booléens qui sont chaotiques en donnant
+des conditions suffisantes sur la fonction à itérer.
+Le chapitre~\ref{chap:PRNG:gray} s'intéresse donc à générer
+ce type de fonction de manière autrement plus efficaces qu'à partir de
+la méthode décrite au chapitre~\ref{chap:carachaos}. On y présente aussi un
+majorant du nombre d'itérations à effectuer pour obtenir une distribution
+uniforme.
+
+Comme annoncé dans les motivations à ce travail, les itérations chaotiques
+peuvent s'appliquer à marquage de média et plus généralement
+au masquage d'information. C'est l'objectif de la quatrième partie.
+
+Dans le premier chapitre de celle-ci (chapitre~\ref{chap:watermarking}), nous
+formalisons le processus de marquage d'information. Grâce à cette formalisation,
+nous pouvons étudier des propriétés de stego securité et chaos sécurité.
+
+Les deux chapitres suivants (chapitre~\ref{chap:watermarking:pdf} et
+chapitre~\ref{chap:stabylo}) sont une parenthèse
+au domaine discret puisqu'on s'intéresse au marquage de document PDF par une
+méthode classique et au masquage d'information par une technique de détection
+de bords.
+
+Le dernier chapitre  des contributions (chapitre~\ref{chap:th:yousra})
+retourne dans le monde discret. Il montre qu'on peut approximer efficacement
+à l'aide de matrices discrètes des calculs de gradients pour, \textit{in fine},
+construire des lignes de niveau et embarquer de l'information dans les lignes
+de niveau les moins régulières.
+
+Une conclusion et des perspectives sont données en dernière partie.
+
+\section*{Publications issues des travaux de recherche post doctorale}
+Le tableau de la figure~\ref{fig:bilan} donné 
+ci dessous synthétise les références auxquelles j'ai participées 
+depusi que je suis au DISC.
+
+\begin{figure}[h]
+\begin{center}
+\begin{tabular}{|c|c|}
+\hline
+%& \multicolumn{2}{|c|}{Internationaux} &  {Nationaux} &  \\
+%\hline
+ Journaux & Conférences  \\
+ internationaux & internationales  
+\\ \hline  
+%journaux
+\cite{bcg12:ij,bcg11:ij,bcgs12:ij}
+&
+% conf inter
+\cite{aagc+15:ip,bcfg12a:ip,bcfg12b:ip,bcfg+13:ip,bcg11:ip}
+
+
+
+\\ 
+%journaux
+\cite{cds13:ij,ccg15:ij,BDCC16}
+&
+% conf inter
+
+
+\cite{bcg11b:ip,acgs13:onp,BCVC10:ir,chgw+14:onp,Cou10:ir}
+
+
+\\ %\hline  
+
+%journaux
+
+&
+% conf inter
+\cite{bcgr11:ip,bcgw11:ip,cds12:ip,chgw+14:oip,fccg15:ip}
+
+
+\\ %\hline  
+
+%journaux
+
+&
+% conf inter
+\cite{accfg15:ip,ccfg16:ip,kcm16:ip}
+
+
+
+%%%%%%%%%%%%%
+
+
+\\ \hline  
+\end{tabular}
+\end{center}
+\caption{Bilan synthétique des publications}\label{fig:bilan}
+\end{figure}
 
-Dérivées partielles discrete pour la sétagno