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index 1754b80..4ea34b9 100644
--- a/chaosANN.tex
+++ b/chaosANN.tex
@@ -1,22 +1,20 @@
-% \section{Introduction}
-% \label{S1}
 
 Les réseaux de neurones chaotiques ont été étudiés à de maintes reprises 
 par le passé en raison notamment de leurs applications potentielles:
 %les mémoires associatives~\cite{Crook2007267}  
-les  composants utils à la  sécurité comme les fonctions de 
+les  composants utiles à la  sécurité comme les fonctions de 
 hachage~\cite{Xiao10},
 le tatouage numérique~\cite{1309431,Zhang2005759}
 ou les schémas de chiffrement~\cite{Lian20091296}.  
 Dans tous ces cas, l'emploi de fonctions chaotiques est motivé par 
-leur comportement imprévisibile et proche de l'aléa. 
+leur comportement imprévisible et proche de l'aléa. 
 
 
 Les réseaux de neurones chaotiques peuvent être conçus selon plusieurs 
 principes. Des neurones modifiant leur état en suivant une fonction non 
 linéaire son par exemple appelés neurones chaotiques~\cite{Crook2007267}.
 L'architecture de réseaux de neurones de type Perceptron multi-couches
-(MLP) n'iterent quant à eux, pas nécesssairement de fonctions chaotiques.
+(MLP) n'itèrent quant à eux, pas nécessairement de fonctions chaotiques.
 Il a cependant été démontré  que ce sont des approximateurs 
 universels~\cite{Cybenko89,DBLP:journals/nn/HornikSW89}.   
 Ils permettent, dans certains cas, de simuler des comportements 
@@ -28,8 +26,6 @@ fonctions chaotiques.
 
 
 
-
-
 Ces réseaux de neurones partagent le fait qu'ils sont qualifiés de 
 ``chaotiques'' sous prétexte qu'ils embarquent une fonction de ce type 
 et ce sans aucune preuve rigoureuse. Ce chapitre caractérise la 
@@ -37,23 +33,13 @@ classe des réseaux de neurones MLP chaotiques. Il
 s'intéresse ensuite à l'étude de prévisibilité de systèmes dynamiques
 discrets chaotiques par cette famille de MLP.
 
-\JFC{revoir plan}
-
-The remainder of this research  work is organized as follows. The next
-section is devoted to the basics of Devaney's chaos.  Section~\ref{S2}
-formally  describes  how  to  build  a neural  network  that  operates
-chaotically.  Section~\ref{S3} is devoted to the dual case of checking
-whether  an existing neural  network is  chaotic or  not.  Topological
-properties of chaotic neural networks are discussed in Sect.~\ref{S4}.
-The  Section~\ref{section:translation}  shows  how to  translate  such
-iterations  into  an Artificial  Neural  Network  (ANN),  in order  to
-evaluate the  capability for this  latter to learn  chaotic behaviors.
-This  ability  is  studied in  Sect.~\ref{section:experiments},  where
-various ANNs try to learn two  sets of data: the first one is obtained
-by chaotic iterations while the  second one results from a non-chaotic
-system.  Prediction success rates are  given and discussed for the two
-sets.  The paper ends with a conclusion section where our contribution
-is summed up and intended future work is exposed.
+La section~\ref{S2} définit la construction d'un réseau de neurones 
+chaotique selon Devanay. La section~\ref{S3} présente l'approche duale 
+de vérification si un réseau de neurones est chaotique ou non.
+La section~\ref{sec:ann:approx} s'intéresse à étudier pratiquement
+si un réseau de 
+neurones peut approximer des itération unaires chaotiques. Ces itérations
+étant obtenues à partir de fonction générées à l'aide du chapitre précédent.
 
 
 \section{Un réseau de neurones chaotique au sens de Devaney}
@@ -64,7 +50,7 @@ $f:\Bool^n\to\Bool^n$ telle que  $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe.
 Ainsi $G_{f_u}$ est chaotique d'après le théorème~\ref{Th:CaracIC}.
 
 On considère ici le schéma unaire défini par l'équation (\ref{eq:asyn}).
-On construit un perceptron multi-couche associé à la fonction  
+On construit un Perceptron multi-couches associé à la fonction  
 $F_{f_u}$. 
 Plus précisément, pour chaque entrée 
  $(x,s)   \in  \mathds{B}^n \times [n]$,
@@ -83,7 +69,7 @@ On obtient une réseau de neurones dont le comportement est le suivant
   à travers les liens de retours.
 \item Lorsque le réseau est  activé à la $t^{th}$  itération, l'état du 
   système $x^t  \in \mathds{B}^n$ reçu depuis la couche de sortie ainsi que le 
-  premier terme de la  sequence $(S^t)^{t  \in \Nats}$
+  premier terme de la  séquence $(S^t)^{t  \in \Nats}$
   (\textit{i.e.},  $S^0  \in [n]$)  servent à construire le nouveau vecteur de sortie.
   Ce nouveau vecteur, qui représente le nouvel état du système dynamique, satisfait:
   \begin{equation}
@@ -94,7 +80,7 @@ On obtient une réseau de neurones dont le comportement est le suivant
 \begin{figure}
   \centering
   \includegraphics[scale=0.625]{images/perceptron}
-  \caption{Un perceptron équivalent  aux itérations unitaires}
+  \caption{Un Perceptron équivalent  aux itérations unitaires}
   \label{Fig:perceptron}
 \end{figure}
 
@@ -112,7 +98,7 @@ On peut donc le  qualifier de chaotique au sens de Devaney.
 \section{Vérifier si un réseau de neurones est chaotique}
 \label{S3}
 On s'intéresse maintenant au cas où l'on dispose d'un
-réseau de neurones de type perceptron multi-couches
+réseau de neurones de type Perceptron multi-couches
 dont on cherche à savoir s'il est chaotique (parce qu'il a par exemple été 
 déclaré comme tel) au sens de Devaney. 
 On considère de plus que sa topologie est la suivante:
@@ -136,7 +122,7 @@ $\left(\left(x_1,\dots,x_n\right),s\right)    \in   \mathds{B}^n \times[n]$
 le vecteur 
 $\left(y_1,\dots,y_n\right)       \in       \mathds{B}^n$, où
 $\left(y_1,\dots,y_n\right)$  sont les sorties du réseau neuronal
-àaprès l'initialisation de la couche d'entrée avec 
+après l'initialisation de la couche d'entrée avec 
 $\left(s,\left(x_1,\dots, x_n\right)\right)$.  Ensuite, on définie $f:
 \mathds{B}^n       \rightarrow      \mathds{B}^n$  telle que 
 $f\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right)$ est égal à 
@@ -152,422 +138,282 @@ $\left(x_1^0,\dots,x_n^0\right)$   et $S   \in    [n]^{\mathds{N}}$,
 il produit exactement les même sorties que les itérations de  $F_{f_u}$ avec une 
 condition initiale $\left((x_1^0,\dots,  x_n^0),S\right)  \in  \mathds{B}^n \times [n]^{\mathds{N}}$.
 Les itérations de $F_{f_u}$ 
-sont donc un modèle formel de ce genre de réseau de neurones.
-Pour vérifier s'il est chaotique, il suffit ainsi 
+sont donc un modèle formel de cette classe de réseau de neurones.
+Pour vérifier si un de ces représentants est chaotique, il suffit ainsi 
 de vérifier si le graphe d'itérations
 $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe.
 
 
-\section{Suitability of Feedforward Neural Networks 
-for Predicting Chaotic and Non-chaotic Behaviors}
-
-In  the context  of computer  science  different topic  areas have  an
-interest       in       chaos,       as       for       steganographic
-techniques~\cite{1309431,Zhang2005759}.    Steganography  consists  in
-embedding a  secret message within  an ordinary one, while  the secret
-extraction takes place once  at destination.  The reverse ({\it i.e.},
-automatically detecting the presence  of hidden messages inside media)
-is  called   steganalysis.   Among  the   deployed  strategies  inside
-detectors,          there         are          support         vectors
-machines~\cite{Qiao:2009:SM:1704555.1704664},                   neural
-networks~\cite{10.1109/ICME.2003.1221665,10.1109/CIMSiM.2010.36},  and
-Markov   chains~\cite{Sullivan06steganalysisfor}.    Most   of   these
-detectors  give quite  good results  and are  rather  competitive when
-facing steganographic  tools.  However, to  the best of  our knowledge
-none of the considered information hiding schemes fulfills the Devaney
-definition  of chaos~\cite{Devaney}.  Indeed,  one can  wonder whether
-detectors  continue to  give good  results when  facing  truly chaotic
-schemes.  More  generally, there remains the open  problem of deciding
-whether artificial intelligence is suitable for predicting topological
-chaotic behaviors.
-
-\subsection{Representing Chaotic Iterations for Neural Networks} 
+\section{Un réseau de neurones peut-il approximer
+des itération unaires chaotiques?}\label{sec:ann:approx}
+
+Cette section s'intéresse à étudier le comportement d'un réseau de neurones 
+face à des itérations unaires chaotiques, comme définies à 
+la section~\ref{sec:TIPE12}.
+Plus précisément, on considère dans cette partie une fonction  dont le graphe 
+des itérations unaires est fortement connexe et une séquence dans 
+$[n]^{\mathds{N}}$. On cherche à construire un réseau de neurones
+qui approximerait les itérations de la fonction $G_{f_u}$ comme définie 
+à l'équation~(\ref{eq:sch:unaire}).
+
+Sans perte de généralité, on considère dans ce qui suit une instance
+de de fonction à quatre éléments.
+
+\subsection{Construction du réseau} 
 \label{section:translation}
 
-The  problem  of  deciding  whether  classical  feedforward  ANNs  are
-suitable  to approximate  topological chaotic  iterations may  then be
-reduced to  evaluate such neural  networks on iterations  of functions
-with  Strongly  Connected  Component  (SCC)~graph of  iterations.   To
-compare with  non-chaotic iterations, the experiments  detailed in the
-following  sections  are carried  out  using  both  kinds of  function
-(chaotic and non-chaotic). Let  us emphasize on the difference between
-this  kind  of  neural  networks  and  the  Chaotic  Iterations  based
-multilayer peceptron.
-
-We are  then left to compute  two disjoint function  sets that contain
-either functions  with topological chaos properties  or not, depending
-on  the strong  connectivity of  their iterations graph.  This  can be
-achieved for  instance by removing a  set of edges  from the iteration
-graph $\Gamma(f_0)$ of the vectorial negation function~$f_0$.  One can
-deduce whether  a function verifies the topological  chaos property or
-not  by checking  the strong  connectivity of  the resulting  graph of
-iterations.
-
-For instance let us consider  the functions $f$ and $g$ from $\Bool^4$
-to $\Bool^4$ respectively defined by the following lists:
-$$[0,  0,  2,   3,  13,  13,  6,   3,  8,  9,  10,  11,   8,  13,  14,
-  15]$$ $$\mbox{and } [11, 14, 13, 14, 11, 10, 1, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2,
-  1, 0]  \enspace.$$ In  other words,  the image of  $0011$ by  $g$ is
-$1110$: it  is obtained as the  binary value of the  fourth element in
-the  second  list  (namely~14).   It   is  not  hard  to  verify  that
-$\Gamma(f)$ is  not SCC  (\textit{e.g.}, $f(1111)$ is  $1111$) whereas
-$\Gamma(g)$ is. The  remaining of this section shows  how to translate
-iterations of such functions into a model amenable to be learned by an
-ANN.   Formally, input  and  output vectors  are pairs~$((S^t)^{t  \in
-  \Nats},x)$          and          $\left(\sigma((S^t)^{t          \in
-  \Nats}),F_{f}(S^0,x)\right)$ as defined in~Eq.~(\ref{eq:Gf}).
-
-Firstly, let us focus on how to memorize configurations.  Two distinct
-translations are  proposed.  In the first  case, we take  one input in
-$\Bool$  per  component;  in   the  second  case,  configurations  are
-memorized  as   natural  numbers.    A  coarse  attempt   to  memorize
-configuration  as  natural  number  could  consist  in  labeling  each
-configuration  with  its  translation  into  decimal  numeral  system.
-However,  such a  representation induces  too many  changes  between a
-configuration  labeled by  a  power  of two  and  its direct  previous
-configuration: for instance, 16~(10000)  and 15~(01111) are close in a
-decimal ordering, but  their Hamming distance is 5.   This is why Gray
-codes~\cite{Gray47} have been preferred.
-
-Secondly, let us detail how to deal with strategies.  Obviously, it is
-not possible to  translate in a finite way  an infinite strategy, even
-if both $(S^t)^{t \in \Nats}$ and $\sigma((S^t)^{t \in \Nats})$ belong
-to  $\{1,\ldots,n\}^{\Nats}$.  Input  strategies are  then  reduced to
-have a length of size $l \in \llbracket 2,k\rrbracket$, where $k$ is a
-parameter of the evaluation. Notice  that $l$ is greater than or equal
-to $2$ since  we do not want the shift  $\sigma$~function to return an
-empty strategy.  Strategies are memorized as natural numbers expressed
-in base  $n+1$.  At  each iteration, either  none or one  component is
-modified  (among the  $n$ components)  leading to  a radix  with $n+1$
-entries.  Finally,  we give an  other input, namely $m  \in \llbracket
-1,l-1\rrbracket$, which  is the  number of successive  iterations that
-are applied starting  from $x$.  Outputs are translated  with the same
-rules.
-
-To address  the complexity  issue of the  problem, let us  compute the
-size of the data set an ANN has to deal with.  Each input vector of an
-input-output pair  is composed of a configuration~$x$,  an excerpt $S$
-of the strategy to iterate  of size $l \in \llbracket 2, k\rrbracket$,
-and a  number $m \in  \llbracket 1, l-1\rrbracket$ of  iterations that
-are executed.
-
-Firstly, there are $2^n$  configurations $x$, with $n^l$ strategies of
-size $l$ for  each of them. Secondly, for  a given configuration there
-are $\omega = 1 \times n^2 +  2 \times n^3 + \ldots+ (k-1) \times n^k$
-ways  of writing  the pair  $(m,S)$. Furthermore,  it is  not  hard to
-establish that
+On considère par exemple les deux fonctions $f$ and $g$ de $\Bool^4$
+dans $\Bool^4$ définies par:
+
+\begin{eqnarray*}
+f(x_1,x_2,x_3,x_4) &= &
+(x_1(x_2+x_4)+ \overline{x_2}x_3\overline{x_4},
+x_2,
+x_3(\overline{x_1}.\overline{x_4}+x_2x_4+x_1\overline{x_2}),
+x_4+\overline{x_2}x_3) \\
+g(x_1,x_2,x_3,x_4) &= &
+(\overline{x_1},
+\overline{x_2}+ x_1.\overline{x_3}.\overline{x_4},
+\overline{x_3}(x_1 + x_2+x_4),
+\overline{x_4}(x_1 + \overline{x_2}+\overline{x_3}))
+\end{eqnarray*}
+On peut vérifier facilement que le graphe $\textsc{giu}(f)$ 
+n'est pas fortement connexe car $(1,1,1,1)$ est un point fixe de $f$
+tandis que le graphe $\textsc{giu}(g)$ l'est.   
+
+L'entrée du réseau est une paire de la forme 
+$(x,(S^t)^{t  \in  \Nats})$ et sa sortie correspondante est
+de la forme  $\left(F_{h_u}(S^0,x), \sigma((S^t)^{t          \in
+  \Nats})\right)$ comme définie à l'équation~(\ref{eq:sch:unaire}).
+
+On s'intéresse d'abord aux différentes manières de  
+mémoriser des configurations. On en considère deux principalement.
+Dans le premier cas, on considère une entrée booléenne par élément
+tandis que dans le second cas, les configurations  sont mémorisées comme 
+des entiers naturels. Dans ce dernier cas, une approche naïve pourrait 
+consister à attribuer à chaque configuration de $\Bool^n$ 
+l'entier naturel naturel correspondant.
+Cependant, une telle représentation rapproche 
+arbitrairement des configurations diamétralement
+opposées dans le $n$-cube comme  une puissance de
+deux et la configuration immédiatement précédente: 10000 serait modélisée 
+par 16 et  et 01111 par 15 alors que leur distance de Hamming est 15.
+De manière similaire, ce codage éloigne des configurations qui sont 
+très proches: par exemple 10000 et 00000 ont une distance de Hamming 
+de 1 et sont respectivement représentées par 16 et 0.
+Pour ces raisons, le codage retenu est celui des codes de Gray~\cite{Gray47}.
+
+Concentrons nous sur la traduction de la stratégie.
+Il n'est naturellement pas possible de traduire une stratégie 
+infinie quelconque à l'aide d'un nombre fini d'éléments.
+On se restreint donc à des stratégies de taille 
+$l \in \llbracket 2,k\rrbracket$, où $k$ est un paramètre défini
+initialement. 
+Chaque stratégie est mémorisée comme un entier naturel exprimé en base 
+$n+1$: à chaque itération, soit aucun élément n'est modifié, soit un 
+élément l'est. 
+Enfin, on donne une dernière entrée: $m  \in \llbracket
+1,l-1\rrbracket$, qui est le nombre d'itérations successives que l'on applique 
+en commençant à $x$. 
+Les sorties (stratégies et configurations) sont mémorisées 
+selon les mêmes règles.
+
+Concentrons nous sur la complexité du problème.
+Chaque entrée, de l'entrée-sortie de l'outil est un triplet 
+composé d'une configuration $x$, d'un extrait  $S$ de la stratégie à 
+itérer de taille $l \in \llbracket 2, k\rrbracket$ et d'un nombre $m \in  \llbracket 1, l-1\rrbracket$ d'itérations à exécuter.
+Il y a  $2^n$  configurations $x$ et  $n^l$ stratégies de
+taille $l$. 
+De plus, pour une  configuration donnée, il y a 
+$\omega = 1 \times n^2 +  2 \times n^3 + \ldots+ (k-1) \times n^k$
+manières d'écrire le couple $(m,S)$. Il n'est pas difficile d'établir que 
 \begin{equation}
 \displaystyle{(n-1) \times \omega = (k-1)\times n^{k+1} - \sum_{i=2}^k n^i} \nonumber
 \end{equation}
-then
+donc
 \begin{equation}
 \omega =
 \dfrac{(k-1)\times n^{k+1}}{n-1} - \dfrac{n^{k+1}-n^2}{(n-1)^2} \enspace . \nonumber
 \end{equation}
-\noindent And then, finally, the number of  input-output pairs for our 
-ANNs is 
+\noindent
+Ainsi le nombre de paire d'entrée-sortie pour les réseaux de neurones considérés
+est 
 $$
 2^n \times \left(\dfrac{(k-1)\times n^{k+1}}{n-1} - \dfrac{n^{k+1}-n^2}{(n-1)^2}\right) \enspace .
 $$
-For  instance, for $4$  binary components  and a  strategy of  at most
-$3$~terms we obtain 2304~input-output pairs.
+Par exemple, pour $4$   éléments binaires et une stratégie d'au plus 
+$3$~termes on obtient 2304 couples d'entrée-sortie.
 
-\subsection{Experiments}
+\subsection{Expérimentations}
 \label{section:experiments}
+On se focalise dans cette section sur l'entraînement d'un Perceptron 
+multi-couches pour apprendre des itérations chaotiques. Ce type de réseau
+ayant déjà été évalué avec succès dans la prédiction de 
+séries chaotiques temporelles. En effet, les auteurs de~\cite{dalkiran10} 
+ont montré qu'un MLP pouvait apprendre la dynamique du circuit de Chua.
+Ce réseau avec rétropropagation est composé de  deux couches 
+et entraîné à l'aide d'une  propagation arrière Bayesienne.
+
+Le choix de l'architecture du réseau ainsi que de la méthode d'apprentissage 
+ont été détaillé dans~\cite{bcgs12:ij}.
+En pratique, nous avons considéré des configurations de
+quatre éléments booléens 
+et une stratégie fixe de longueur 3.
+Pour le premier codage, nous avons ainsi 6~entrées et 5~sorties
+tandis que pour le second, uniquement  3 entrées et 2 sorties.
+Cela engendre ainsi 2304~combinaisons possibles comme détaillé à la 
+section précédente.
+
 
-To study  if chaotic iterations can  be predicted, we  choose to train
-the multilayer perceptron.  As stated  before, this kind of network is
-in  particular  well-known for  its  universal approximation  property
-\cite{Cybenko89,DBLP:journals/nn/HornikSW89}.  Furthermore,  MLPs have
-been  already  considered for  chaotic  time  series prediction.   For
-example,   in~\cite{dalkiran10}  the   authors  have   shown   that  a
-feedforward  MLP with  two hidden  layers, and  trained  with Bayesian
-Regulation  back-propagation, can learn  successfully the  dynamics of
-Chua's circuit.
-
-In  these experiments  we consider  MLPs  having one  hidden layer  of
-sigmoidal  neurons  and  output   neurons  with  a  linear  activation
-function.     They    are    trained    using    the    Limited-memory
-Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno quasi-newton algorithm in combination
-with the Wolfe linear search.  The training process is performed until
-a maximum number of epochs  is reached.  To prevent overfitting and to
-estimate the  generalization performance we use  holdout validation by
-splitting the  data set into  learning, validation, and  test subsets.
-These subsets  are obtained through  random selection such  that their
-respective size represents 65\%, 10\%, and 25\% of the whole data set.
-
-Several  neural  networks  are  trained  for  both  iterations  coding
-schemes.   In  both  cases   iterations  have  the  following  layout:
-configurations of  four components and  strategies with at  most three
-terms. Thus, for  the first coding scheme a data  set pair is composed
-of 6~inputs and 5~outputs, while for the second one it is respectively
-3~inputs and 2~outputs. As noticed at the end of the previous section,
-this  leads to  data sets  that  consist of  2304~pairs. The  networks
-differ  in the  size of  the hidden  layer and  the maximum  number of
-training epochs.  We remember that  to evaluate the ability  of neural
-networks to  predict a  chaotic behavior for  each coding  scheme, the
-trainings of two data sets, one of them describing chaotic iterations,
-are compared.
-
-Thereafter we give,  for the different learning setups  and data sets,
-the mean prediction success rate obtained for each output. Such a rate
-represents the percentage of  input-output pairs belonging to the test
-subset  for  which  the   corresponding  output  value  was  correctly
-predicted.   These values are  computed considering  10~trainings with
-random  subsets  construction,   weights  and  biases  initialization.
-Firstly, neural networks having  10 and 25~hidden neurons are trained,
-with   a  maximum   number  of   epochs  that   takes  its   value  in
-$\{125,250,500\}$  (see Tables~\ref{tab1} and  \ref{tab2}).  Secondly,
-we refine the second coding scheme by splitting the output vector such
-that   each  output   is  learned   by  a   specific   neural  network
-(Table~\ref{tab3}). In  this last  case, we increase  the size  of the
-hidden layer up to 40~neurons and we consider larger number of epochs.
 
 \begin{table}[htbp!]
-\caption{Prediction success rates for configurations expressed as boolean vectors.}
-\label{tab1}
 \centering {\small
 \begin{tabular}{|c|c||c|c|c|}
 \hline 
-\multicolumn{5}{|c|}{Networks topology: 6~inputs, 5~outputs, and one hidden layer} \\
+\multicolumn{5}{|c|}{Topologie du réseau: 6~entrées, 5~sorties, 1~couche cachée} \\
 \hline
 \hline
-\multicolumn{2}{|c||}{Hidden neurons} & \multicolumn{3}{c|}{10 neurons} \\
+\multicolumn{2}{|c||}{Neurones cachés} & \multicolumn{3}{c|}{10 neurones} \\
 \cline{3-5} 
 \multicolumn{2}{|c||}{Epochs} & 125 & 250 & 500 \\ 
 \hline
-\multirow{6}{*}{\rotatebox{90}{Chaotic}}&Output~(1) & 90.92\% & 91.75\% & 91.82\% \\ 
-& Output~(2) & 69.32\% & 78.46\% & 82.15\% \\
-& Output~(3) & 68.47\% & 78.49\% & 82.22\% \\
-& Output~(4) & 91.53\% & 92.37\% & 93.4\% \\
+\multirow{6}{*}{\rotatebox{90}{Chaotique $g$ }}&Entrée~(1) & 90.92\% & 91.75\% & 91.82\% \\ 
+& Entrée~(2) & 69.32\% & 78.46\% & 82.15\% \\
+& Entrée~(3) & 68.47\% & 78.49\% & 82.22\% \\
+& Entrée~(4) & 91.53\% & 92.37\% & 93.4\% \\
 & Config. & 36.10\% & 51.35\% & 56.85\% \\
-& Strategy~(5) & 1.91\% & 3.38\% & 2.43\% \\
+& Stratégie~(5) & 1.91\% & 3.38\% & 2.43\% \\
 \hline
-\multirow{6}{*}{\rotatebox{90}{Non-chaotic}}&Output~(1) & 97.64\% & 98.10\% & 98.20\% \\
-& Output~(2) & 95.15\% & 95.39\% & 95.46\% \\
-& Output~(3) & 100\% & 100\% & 100\% \\
-& Output~(4) & 97.47\% & 97.90\% & 97.99\% \\
+\multirow{6}{*}{\rotatebox{90}{Non-chaotic $f$}}&Entrée~(1) & 97.64\% & 98.10\% & 98.20\% \\
+& Entrée~(2) & 95.15\% & 95.39\% & 95.46\% \\
+& Entrée~(3) & 100\% & 100\% & 100\% \\
+& Entrée~(4) & 97.47\% & 97.90\% & 97.99\% \\
 & Config. & 90.52\% & 91.59\% & 91.73\% \\
-& Strategy~(5) & 3.41\% & 3.40\% & 3.47\% \\
+& Stratégie~(5) & 3.41\% & 3.40\% & 3.47\% \\
 \hline
 \hline
-\multicolumn{2}{|c||}{Hidden neurons} & \multicolumn{3}{c|}{25 neurons} \\ %& \multicolumn{3}{|c|}{40 neurons} \\
-\cline{3-5} 
+\multicolumn{2}{|c||}{Neurones cachés} & \multicolumn{3}{c|}{25 neurones} \\
+\cline{3-5} \\%& \multicolumn{3}{|c|}{40 neurons} \\
 \multicolumn{2}{|c||}{Epochs} & 125 & 250 & 500 \\ %& 125 & 250 & 500 \\ 
 \hline
-\multirow{6}{*}{\rotatebox{90}{Chaotic}}&Output~(1) & 91.65\% & 92.69\% & 93.93\% \\ %& 91.94\% & 92.89\% & 94.00\% \\
-& Output~(2) & 72.06\% & 88.46\% & 90.5\% \\ %& 74.97\% & 89.83\% & 91.14\% \\
-& Output~(3) & 79.19\% & 89.83\% & 91.59\% \\ %& 76.69\% & 89.58\% & 91.84\% \\
-& Output~(4) & 91.61\% & 92.34\% & 93.47\% \\% & 82.77\% & 92.93\% & 93.48\% \\
+\multirow{6}{*}{\rotatebox{90}{Chaotique $g$}}&Entrée~(1) & 91.65\% & 92.69\% & 93.93\% \\ %& 91.94\% & 92.89\% & 94.00\% \\
+& Entrée~(2) & 72.06\% & 88.46\% & 90.5\% \\ %& 74.97\% & 89.83\% & 91.14\% \\
+& Entrée~(3) & 79.19\% & 89.83\% & 91.59\% \\ %& 76.69\% & 89.58\% & 91.84\% \\
+& Entrée~(4) & 91.61\% & 92.34\% & 93.47\% \\% & 82.77\% & 92.93\% & 93.48\% \\
 & Config. & 48.82\% & 67.80\% & 70.97\% \\%& 49.46\% & 68.94\% & 71.11\% \\
-& Strategy~(5) & 2.62\% & 3.43\% & 3.78\% \\% & 3.10\% & 3.10\% & 3.03\% \\
+& Stratégie~(5) & 2.62\% & 3.43\% & 3.78\% \\% & 3.10\% & 3.10\% & 3.03\% \\
 \hline
-\multirow{6}{*}{\rotatebox{90}{Non-chaotic}}&Output~(1) & 97.87\% & 97.99\% & 98.03\% \\ %& 98.16\% \\
-& Output~(2) & 95.46\% & 95.84\% & 96.75\% \\ % & 97.4\% \\
-& Output~(3) & 100\% & 100\% & 100\% \\%& 100\% \\
-& Output~(4) & 97.77\% & 97.82\% & 98.06\% \\%& 98.31\% \\
+\multirow{6}{*}{\rotatebox{90}{Non-chaotique $f$}}&Entrée~(1) & 97.87\% & 97.99\% & 98.03\% \\ %& 98.16\% \\
+& Entrée~(2) & 95.46\% & 95.84\% & 96.75\% \\ % & 97.4\% \\
+& Entrée~(3) & 100\% & 100\% & 100\% \\%& 100\% \\
+& Entrée~(4) & 97.77\% & 97.82\% & 98.06\% \\%& 98.31\% \\
 & Config. & 91.36\% & 91.99\% & 93.03\% \\%& 93.98\% \\
-& Strategy~(5) & 3.37\% & 3.44\% & 3.29\% \\%& 3.23\% \\
+& Stratégie~(5) & 3.37\% & 3.44\% & 3.29\% \\%& 3.23\% \\
 \hline
 \end{tabular}
 }
+\caption{Taux de prédiction lorsque les configurations sont exprimées comme un vecteur booléen.}
+\label{tab1}
 \end{table}
+Le tableau~\ref{tab1} synthétise les résultats obtenus avec le premier 
+codage. Sans surprise, la précision de la prédiction croit 
+avec l'Epoch et le nombre de neurones sur la couche cachée.
+Dans tous les cas, les résultats sont plus précis dans le cas non 
+chaotique que dans l'autre. Enfin, le réseau ne parvient jamais à
+apprendre le comportement de la stratégie.
 
-Table~\ref{tab1}  presents the  rates  obtained for  the first  coding
-scheme.   For  the chaotic  data,  it can  be  seen  that as  expected
-configuration  prediction becomes  better  when the  number of  hidden
-neurons and maximum  epochs increases: an improvement by  a factor two
-is observed (from 36.10\% for 10~neurons and 125~epochs to 70.97\% for
-25~neurons  and  500~epochs). We  also  notice  that  the learning  of
-outputs~(2)   and~(3)  is   more  difficult.    Conversely,   for  the
-non-chaotic  case the  simplest training  setup is  enough  to predict
-configurations.  For all these  feedforward network topologies and all
-outputs the  obtained results for the non-chaotic  case outperform the
-chaotic  ones. Finally,  the rates  for the  strategies show  that the
-different feedforward networks are unable to learn them.
-
-For  the  second  coding   scheme  (\textit{i.e.},  with  Gray  Codes)
-Table~\ref{tab2} shows  that any network learns about  five times more
-non-chaotic  configurations than  chaotic  ones.  As  in the  previous
-scheme,       the      strategies      cannot       be      predicted.
-Figures~\ref{Fig:chaotic_predictions}                              and
-\ref{Fig:non-chaotic_predictions} present the predictions given by two
-feedforward multilayer  perceptrons that were  respectively trained to
-learn chaotic  and non-chaotic data,  using the second  coding scheme.
-Each figure  shows for  each sample of  the test  subset (577~samples,
-representing 25\%  of the 2304~samples) the  configuration that should
-have been predicted and the one given by the multilayer perceptron. It
-can be  seen that for  the chaotic data  the predictions are  far away
-from the  expected configurations.  Obviously,  the better predictions
-for the non-chaotic data reflect their regularity.
-
-Let us now compare the  two coding schemes. Firstly, the second scheme
-disturbs  the   learning  process.   In   fact  in  this   scheme  the
-configuration is always expressed as  a natural number, whereas in the
-first one  the number  of inputs follows  the increase of  the Boolean
-vectors coding configurations. In this latter case, the coding gives a
-finer information on configuration evolution.
 \begin{table}[b]
-\caption{Prediction success rates for configurations expressed with Gray code}
-\label{tab2}
 \centering
 \begin{tabular}{|c|c||c|c|c|}
 \hline 
-\multicolumn{5}{|c|}{Networks topology: 3~inputs, 2~outputs, and one hidden layer} \\
+\multicolumn{5}{|c|}{Topologie du réseau: 3~entrées, 2~sorties, 1~couche cachée} \\
 \hline
 \hline
-& Hidden neurons & \multicolumn{3}{c|}{10 neurons} \\
+& Neurones cachés & \multicolumn{3}{c|}{10 neurones} \\
 \cline{2-5}
 & Epochs & 125 & 250 & 500 \\ %& 1000 
 \hline
-\multirow{2}{*}{Chaotic}& Config.~(1) & 13.29\% & 13.55\% & 13.08\% \\ %& 12.5\%
-& Strategy~(2) & 0.50\% & 0.52\% & 1.32\% \\ %& 1.42\%
+\multirow{2}{*}{Chaotique $g$}& Config.~(1) & 13.29\% & 13.55\% & 13.08\% \\ %& 12.5\%
+& Stratégie~(2) & 0.50\% & 0.52\% & 1.32\% \\ %& 1.42\%
 \hline
-\multirow{2}{*}{Non-Chaotic}&Config.~(1) & 77.12\% & 74.00\% & 72.60\% \\ %& 75.81\% 
-& Strategy~(2) & 0.42\% & 0.80\% & 1.16\% \\ %& 1.42\% 
+\multirow{2}{*}{Non-Chaotique $f$}&Config.~(1) & 77.12\% & 74.00\% & 72.60\% \\ %& 75.81\% 
+& Stratégie~(2) & 0.42\% & 0.80\% & 1.16\% \\ %& 1.42\% 
 \hline
 \hline
-& Hidden neurons & \multicolumn{3}{c|}{25 neurons} \\
+& Neurones cachés& \multicolumn{3}{c|}{25 neurones} \\
 \cline{2-5}
 & Epochs & 125 & 250 & 500 \\ %& 1000 
 \hline
-\multirow{2}{*}{Chaotic}& Config.~(1) & 12.27\% & 13.15\% & 13.05\% \\ %& 15.44\%
-& Strategy~(2) & 0.71\% & 0.66\% & 0.88\% \\ %& 1.73\%
+\multirow{2}{*}{Chaotique $g$ }& Config.~(1) & 12.27\% & 13.15\% & 13.05\% \\ %& 15.44\%
+& Stratégie~(2) & 0.71\% & 0.66\% & 0.88\% \\ %& 1.73\%
 \hline
-\multirow{2}{*}{Non-Chaotic}&Config.~(1) & 73.60\% & 74.70\% & 75.89\% \\ %& 68.32\%
-& Strategy~(2) & 0.64\% & 0.97\% & 1.23\% \\ %& 1.80\%
+\multirow{2}{*}{Non-Chaotique $f$}&Config.~(1) & 73.60\% & 74.70\% & 75.89\% \\ %& 68.32\%
+& Stratégie~(2) & 0.64\% & 0.97\% & 1.23\% \\ %& 1.80\%
 \hline
 \end{tabular}
+\caption{Taux de prédiction lorsque les configurations sont exprimées 
+à l'aide de codes de Gray.}
+\label{tab2}
 \end{table}
 
-\begin{figure}
-  \centering
-  \includegraphics[scale=0.5]{images/chaotic_trace2}
-  \caption {Second coding scheme - Predictions obtained for a chaotic test subset.}
-  \label{Fig:chaotic_predictions}
-\end{figure}
 
-\begin{figure}
-  \centering
-  \includegraphics[scale=0.5]{images/non-chaotic_trace2} 
-  \caption{Second coding scheme - Predictions obtained for a non-chaotic test subset.}
-  \label{Fig:non-chaotic_predictions}
+
+Les résultats concernant le second codage  (\textit{i.e.},  avec les codes
+de   Gray) sont synthétisés dans le tableau~\ref{tab2}. On constate 
+que le réseau apprend cinq fois mieux les comportement non chaotiques
+que ceux qui le sont. Ceci est est illustré au travers des 
+figures~\ref{Fig:chaotic_predictions} et~\ref{Fig:non-chaotic_predictions}.
+De plus, comme dans le codage précédent, les stratégies ne peuvent pas être 
+prédites.  
+On constate que ce second codage réduit certes le nombre de sorties, mais est 
+largement moins performant que le premier.
+On peut expliquer ceci par le fait
+que ce second codage garantit que deux entiers successifs correspondent 
+à deux configurations voisines, \textit{i.e.}, qui ne diffèrent que d'un 
+élément.
+La réciproque n'est cependant pas établie et deux configurations voisines
+peuvent être traduites par des entiers très éloignés et ainsi difficiles 
+ à apprendre. 
+
+
+\begin{figure}[ht]
+  \begin{center}
+    \subfigure[Fonction chaotique $g$]{
+      \begin{minipage}{0.48\textwidth}
+        \begin{center}
+          \includegraphics[scale=0.37]{images/chaotic_trace2}
+        \end{center}
+      \end{minipage}
+      \label{Fig:chaotic_predictions}
+    }
+    \subfigure[Fonction non-chaotique $f$]{
+      \begin{minipage}{0.48\textwidth}
+        \begin{center}
+          \includegraphics[scale=0.37]{images/non-chaotic_trace2} 
+        \end{center}
+      \end{minipage}
+      \label{Fig:non-chaotic_predictions}
+    }
+  \end{center}
+  \caption {Prédiction lorsque les configurations sont exprimées 
+à l'aide de codes de Gray.}
 \end{figure}
 
-Unfortunately, in  practical applications the number  of components is
-usually  unknown.   Hence, the  first  coding  scheme  cannot be  used
-systematically.   Therefore, we  provide  a refinement  of the  second
-scheme: each  output is learned  by a different  ANN. Table~\ref{tab3}
-presents the  results for  this approach.  In  any case,  whatever the
-considered feedforward  network topologies, the  maximum epoch number,
-and the kind of iterations, the configuration success rate is slightly
-improved.   Moreover, the  strategies predictions  rates  reach almost
-12\%, whereas in Table~\ref{tab2} they never exceed 1.5\%.  Despite of
-this improvement,  a long term prediction of  chaotic iterations still
-appear to be an open issue.
-
-\begin{table}
-\caption{Prediction success rates for split outputs.}
-\label{tab3}
-\centering
-\begin{tabular}{|c||c|c|c|}
-\hline 
-\multicolumn{4}{|c|}{Networks topology: 3~inputs, 1~output, and one hidden layer} \\
-\hline
-\hline
-Epochs & 125 & 250 & 500 \\ 
-\hline
-\hline
-Chaotic & \multicolumn{3}{c|}{Output = Configuration} \\
-\hline
-10~neurons & 12.39\% & 14.06\% & 14.32\% \\
-25~neurons & 13.00\% & 14.28\% & 14.58\% \\
-40~neurons & 11.58\% & 13.47\% & 14.23\% \\
-\hline
-\hline
-Non chaotic & \multicolumn{3}{c|}{Output = Configuration} \\
-\cline{2-4}
-%Epochs & 125 & 250 & 500 \\ 
-\hline
-10~neurons & 76.01\% & 74.04\% & 78.16\% \\
-25~neurons & 76.60\% & 72.13\% & 75.96\% \\
-40~neurons & 76.34\% & 75.63\% & 77.50\% \\
-\hline
-\hline
-Chaotic/non chaotic & \multicolumn{3}{c|}{Output = Strategy} \\
-\cline{2-4}
-%Epochs & 125 & 250 & 500 \\ 
-\hline
-10~neurons & 0.76\% & 0.97\% & 1.21\% \\
-25~neurons & 1.09\% & 0.73\% & 1.79\% \\
-40~neurons & 0.90\% & 1.02\% & 2.15\% \\
-\hline
-\multicolumn{4}{c}{} \\
-\hline
-Epochs & 1000 & 2500 & 5000 \\ 
-\hline
-\hline
-Chaotic & \multicolumn{3}{c|}{Output = Configuration} \\
-\hline
-10~neurons & 14.51\% & 15.22\% & 15.22\% \\
-25~neurons & 16.95\% & 17.57\% & 18.46\% \\
-40~neurons & 17.73\% & 20.75\% & 22.62\% \\
-\hline
-\hline
-Non chaotic & \multicolumn{3}{c|}{Output = Configuration} \\
-\cline{2-4}
-%Epochs & 1000 & 2500 & 5000 \\ 
-\hline
-10~neurons & 78.98\% & 80.02\% & 79.97\% \\
-25~neurons & 79.19\% & 81.59\% & 81.53\% \\
-40~neurons & 79.64\% & 81.37\% & 81.37\% \\
-\hline
-\hline
-Chaotic/non chaotic & \multicolumn{3}{c|}{Output = Strategy} \\
-\cline{2-4}
-%Epochs & 1000 & 2500 & 5000 \\ 
-\hline
-10~neurons & 3.47\% & 9.98\% & 11.66\% \\
-25~neurons & 3.92\% & 8.63\% & 10.09\% \\
-40~neurons & 3.29\% & 7.19\% & 7.18\% \\
-\hline
-\end{tabular}
-\end{table}
 
 \section{Conclusion}
+Dans ce chapitre, nous avons établi une similitude entre les itérations 
+chaotiques et une famille  de Perceptrons multi-couches.
+Nous avons d'abord montré comment  construire un réseau de neurones 
+ayant un comportement chaotique.
+Nous avons présenté ensuite comment vérifier si un réseau de neurones 
+établi était chaotique.
+Nous avons enfin montré en pratique qu'il est difficile pour un 
+réseau de neurones d'apprendre le comportement global d'itérations
+chaotiques.
+Comme il est difficile (voir impossible) d'apprendre le comportement 
+de telles fonction, il paraît naturelle de savoir si celles ci peuvent être 
+utilisées pour générer des nombres pseudo aléatoires.
 
-In  this paper,  we have  established an  equivalence  between chaotic
-iterations,  according to  the Devaney's  definition of  chaos,  and a
-class  of multilayer  perceptron  neural networks.   Firstly, we  have
-described how to build a neural network that can be trained to learn a
-given chaotic map function. Secondly,  we found a condition that allow
-to check whether  the iterations induced by a  function are chaotic or
-not, and thus  if a chaotic map is obtained.  Thanks to this condition
-our  approach is not  limited to  a particular  function. In  the dual
-case, we show that checking if a neural network is chaotic consists in
-verifying  a property  on an  associated  graph, called  the graph  of
-iterations.   These results  are valid  for recurrent  neural networks
-with a  particular architecture.  However,  we believe that  a similar
-work can be done for  other neural network architectures.  Finally, we
-have  discovered at  least one  family of  problems with  a reasonable
-size, such  that artificial neural  networks should not be  applied in
-the  presence  of chaos,  due  to  their  inability to  learn  chaotic
-behaviors in this  context.  Such a consideration is  not reduced to a
-theoretical detail:  this family of discrete  iterations is concretely
-implemented  in a  new steganographic  method  \cite{guyeux10ter}.  As
-steganographic   detectors  embed  tools   like  neural   networks  to
-distinguish between  original and stego contents, our  studies tend to
-prove that such  detectors might be unable to  tackle with chaos-based
-information  hiding  schemes.
-
-In  future  work we  intend  to  enlarge  the comparison  between  the
-learning   of  truly   chaotic  and   non-chaotic   behaviors.   Other
-computational intelligence tools such  as support vector machines will
-be investigated  too, to  discover which tools  are the  most relevant
-when facing a truly chaotic phenomenon.  A comparison between learning
-rate  success  and  prediction  quality will  be  realized.   Concrete
-consequences in biology, physics, and computer science security fields
-will then be stated.
 
 % \appendix{}