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diff --git a/15RairoGen.tex b/15RairoGen.tex
index e4f8858..38920d8 100644
--- a/15RairoGen.tex
+++ b/15RairoGen.tex
@@ -5,25 +5,19 @@ a de \og bonnes\fg{} propriétés chaotiques,
 le mot $x^b$ devrait  \og sembler ne plus dépendre\fg{} de $x^0$.
 On peut penser à exploiter une de ces fonctions $G_f$ 
 comme un générateur aléatoire. 
-Enfin, un bon générateur aléatoire se doit de 
-fournir  des nombres selon une distribution uniforme 
-La suite de ce document donnera
-une condition nécessaire est suffisante pour que
-cette propriété soit satisfaite.
-
-
-Cette section présente une application directe de la théorie développée ci-avant
-à la génération de nombres pseudo aléatoires. 
-On présente tout d'abord le générateur
-basé sur des fonctions chaotiques (section~\ref{sub:prng:algo}), 
-puis comment intégrer la contrainte de distributionuniforme
-de la sortie 
-dans le choix de la fonction à itérer (section~\ref{sub:prng:unif}). 
-L'approche est évaluée dans la dernière section.
-\JFC{plan à revoir}
- 
 
-\section{ Nombres pseudo aléatoires construits par itérations unaires}\label{sub:prng:algo}
+Ce chapitre  présente donc une application directe
+de la théorie développée ci-avant
+à la génération de nombres pseudo-aléatoires. 
+La section~\ref{sub:prng:algo} 
+présente tout d'abord l'algorithme de PRNG. La contrainte de  
+distribution uniforme de la sortie est discutée dans cette section.
+La chaoticité du générateur est ensuite étudiée en 
+section~\ref{prng:unaire:chaos}.
+La section~\ref{sub:prng:algo}  a été publiée à ~\cite{bcgw11:ip,bcgr11:ip}.
+
+
+\section{ Nombres pseudo-aléatoires construits par itérations unaires}\label{sub:prng:algo}
 
 
 
@@ -33,78 +27,84 @@ L'approche est évaluée dans la dernière section.
 \begin{algorithm}[h]
 %\begin{scriptsize}
 \KwIn{une fonction $f$, un nombre d'itérations $b$, 
-une configuration initiale $x^0$ ($n$ bits)}
-\KwOut{une configuration $x$ ($n$ bits)}
+une configuration initiale $x^0$ (${\mathsf{N}}$ bits)}
+\KwOut{une configuration $x$ (${\mathsf{N}}$ bits)}
 $x\leftarrow x^0$\;
-$k\leftarrow b $\;
 %$k\leftarrow b + \textit{XORshift}(b+1)$\;
-\For{$i=1,\dots,k$}
+\For{$i=1,\dots,b$}
 {
-$s\leftarrow{\textit{Random}(n)}$\;
+$s\leftarrow{\textit{Random}({\mathsf{N}})}$\;
 %$s\leftarrow{\textit{XORshift}(n)}$\;
-$x\leftarrow{F_{f_u}(s,x)}$\;
+$x\leftarrow{F_{f_u}(x,s)}$\;
 }
 return $x$\;
 %\end{scriptsize}
-\caption{Algorithme de génération de nombres pseudo aléatoires 
-à l'aide de la fonction chaotique $G_f$}
+\caption{PRNG basé sur les itérations unaires.}
 \label{CI Algorithm}
 \end{algorithm}
 
 \subsection{Algorithme d'un générateur}
-On peut penser à construire un générateur de nombres pseudo 
-aléatoires comme dans l'algorithme~\ref{CI Algorithm} donné ci-dessous.
+On peut penser à construire un générateur de nombres 
+pseudo-aléatoires comme dans l'algorithme~\ref{CI Algorithm} donné ci-dessous.
 
 
 Celui-ci prend en entrée: une fonction $f$;
-un entier $b$, qui assure que le nombre d'itérations
-est compris entre $b+1 $ et  $2b+1$ (et donc supérieur à $b$) 
+un entier $b$, qui est le nombre d'itérations à effectuer entre deux sorties 
 et une configuration initiale $x^0$.
 Il retourne une nouvelle configuration $x$ en appliquant 
-la fonction $F_{f_u}$ vue au chapitre~\ref{chap:carachaos} et correspondant 
+la fonction $F_{f_u}$ (équation~\ref{eq:iterations:unaires}
+vue au chapitre~\ref{chap:carachaos}) et correspondant 
 à des itérations unaires.
 En interne, il exploite un algorithme de génération
-de nombres pseudo aléatoires
-\textit{Random}$(l)$. 
-Cet algorithme est utilisée dans notre générateur pour construire la longueur 
-de la stratégie ainsi que les éléments qui la composent.
-Pratiquement, il retourne des entiers dans $\llbracket 1 ; l \rrbracket$ 
-selon une distributionuniforme et utilise 
-\textit{XORshift} qui est une classe de générateurs de
-nombres pseudo aléatoires conçus par George Marsaglia. 
-
-
-L'algorithme \textit{XORshift} 
-exploite itérativement l'opérateur $\oplus$  
-sur des nombres obtenus grâce à des decalages de bits.
-Cet opérateur, défini dans $\Bool^{n}$, 
-applique la fonction \og  xor \fg{} 
-aux bits de même rang de ses deux opérandes (\og opération bit à bit \fg{}).
-Une instance de cette classe est donnée dans l'algorithme~\ref{XORshift} donné 
-ci-dessous.
-
-\begin{algorithm}[h]
-%\SetLine
-\KwIn{la configuration interne $z$ (un mot de 32-bit)}
-\KwOut{$y$ (un mot de 32-bits)}
-$z\leftarrow{z\oplus{(z\ll13)}}$\;
-$z\leftarrow{z\oplus{(z\gg17)}}$\;
-$z\leftarrow{z\oplus{(z\ll5)}}$\;
-$y\leftarrow{z}$\;
-return $y$\;
-\medskip
-\caption{Une boucle de l'algorithme de \textit{XORshift}}
-\label{XORshift}
-\end{algorithm}
+de nombres pseudo-aléatoires donné en paramètre.
+Cela peut être n'importe quel PRNG (XORshift, Mersenne-Twister) dont la 
+sortie est uniformément distribuée.
+Notre approche vise a donner des propriétés de chaos à ce générateur embarqué.
+
+
+% \textit{Random}$(l)$. 
+% Cet algorithme est utilisée dans notre générateur pour construire la longueur 
+% de la stratégie ainsi que les éléments qui la composent.
+% Pratiquement, il retourne des entiers dans $\llbracket 1 ; l \rrbracket$ 
+% selon une distribution uniforme et utilise 
+% \textit{XORshift} qui est une classe de générateurs de
+% nombres pseudo aléatoires conçus par George Marsaglia. 
+
+
+% L'algorithme \textit{XORshift} 
+% exploite itérativement l'opérateur $\oplus$  
+% sur des nombres obtenus grâce à des décalages de bits.
+% Cet opérateur, défini dans $\Bool^{n}$, 
+% applique la fonction \og  xor \fg{} 
+% aux bits de même rang de ses deux opérandes (\og opération bit à bit \fg{}).
+% Une instance de cette classe est donnée dans l'algorithme~\ref{XORshift} donné 
+% ci-dessous.
+
+% \begin{algorithm}[h]
+% %\SetLine
+% \KwIn{la configuration interne $z$ (un mot de 32-bit)}
+% \KwOut{$y$ (un mot de 32-bits)}
+% $z\leftarrow{z\oplus{(z\ll13)}}$\;
+% $z\leftarrow{z\oplus{(z\gg17)}}$\;
+% $z\leftarrow{z\oplus{(z\ll5)}}$\;
+% $y\leftarrow{z}$\;
+% return $y$\;
+% \medskip
+% \caption{Une boucle de l'algorithme de \textit{XORshift}}
+% \label{XORshift}
+% \end{algorithm}
 
 
 Nous avons vu au chapitre~\ref{chap:carachaos} que 
 $G_{f_u}$ est chaotique dans l'espace $\mathcal{X}_u$ 
-si et seulement le graphe d'itérations $\textsc{giu}(f)$ 
-doit être fortement connexe.
+si et seulement si le graphe d'itérations $\textsc{giu}(f)$ 
+est fortement connexe.
 Pour $b=1$, l'algorithme itère la fonction $F_{f_u}$.
-Regardons comment l'uniformité de la distribution a
-contraint la fonction.
+
+Pour simuler au mieux l'aléa, un bon générateur de nombres pseudo-aléatoires
+se doit de fournir  des nombres selon une distribution uniforme.
+Regardons comment l'uniformité de la distribution 
+contraint la fonction $f$ à itérer.
 
 \subsection{Un générateur à sortie uniformément distribuée}\label{sub:prng:unif}
 
@@ -117,9 +117,9 @@ Enfin, une matrice stochastique de taille $n \times n$ est régulière
 si  la propriété suivante est établie:
 $$\exists k \in \mathds{N}^\ast, \forall i,j \in \llbracket 1; n \rrbracket, M_{ij}^k>0.$$
 
-On énonce enfin le théorème suivant liant les 
-vecteur de probabilite 
-et les chaines de Markov.
+On énonce le théorème classique suivant liant les 
+vecteurs de probabilités 
+et les chaînes de Markov.
 
 
  
@@ -128,28 +128,28 @@ et les chaines de Markov.
   Si $M$ est une matrice stochastique régulière, alors $M$ 
   possède un unique vecteur stationnaire de probabilités  $\pi$
   ($\pi.M = \pi$).
-  De plus, si $\pi^0$ est un {vecteurDeProbabilite} 
+  De plus, si $\pi^0$ est un {vecteur de probabilités} 
  et si on définit 
   la suite $(\pi^{k})^{k \in  \Nats}$ par 
   $\pi^{k+1} = \pi^k.M $ pour $k = 0, 1,\dots$ 
-  alors la {chaineDeMarkov} $\pi^k$
+  alors la {chaîne de Markov} $\pi^k$
   converge vers $\pi$ lorsque $k$ tend vers l'infini.
 \end{theorem}
 
 
 Montrons sur un exemple jouet à deux éléments 
 que ce théorème permet de vérifier si la sortie d'un générateur de 
-nombres pseudo aléatoires est uniformément distribuée ou non.
-Soit alors $g$ et $h$ deux fonctions  de $\Bool^2$
+nombres pseudo-aléatoires est uniformément distribuée ou non.
+Soient alors $g$ et $h$ deux fonctions  de $\Bool^2$
 définies par $g(x_1,x_2)=(\overline{x_1},x_1.\overline{x_2}) $
 et $h(x_1,x_2)=(\overline{x_1},x_1\overline{x_2}+\overline{x_1}x_2)$.
 Leurs graphes d'interactions donnés en figure \ref{fig:g:inter} et \ref{fig:h:inter}
 vérifient les hypothèses du théorème~\ref{th:Adrien}. 
 Leurs graphes d'itérations
-sont donc fortement connexes, ce que l'on peut vérifier aux figures
-\ref{fig:g:iter} et \ref{fig:h:iter}.
+sont donc fortement connexes, ce que l'on peut vérifier aux figures~\ref{fig:g:iter} 
+et~\ref{fig:h:iter}.
 \textit{A priori}, ces deux fonctions pourraient être intégrées
-dans un générateur de nombres pseudo aléatoires. Montrons que ce n'est pas le cas pour $g$ et 
+dans un générateur de nombres pseudo-aléatoires. Montrons que ce n'est pas le cas pour $g$ et 
 que cela l'est pour $h$.
 
 
@@ -178,7 +178,8 @@ que cela l'est pour $h$.
       \end{minipage}
       \label{fig:h:iter}
     }    \end{center}
-    \caption{Graphes d'itérations de fonctions booléennes dans $\Bool^2$}
+    \caption{Graphes des itérations unaires 
+      de fonctions booléennes dans $\Bool^2$}
     \label{fig:xplgraphIter}
   \end{figure}
 
@@ -228,7 +229,7 @@ Il est facile de vérifier que la matrice de transitions
 d'un tel processus 
 est $M_g   = \frac{1}{2} \check{M}_g$, 
 où $\check{M}_g$ est la matrice d' adjacence  donnée en 
-figure~\ref{fig:g:incidence} (voir ci-après), et similairement pour $M_h$. 
+figure~\ref{fig:g:incidence} (voir ci-après), et  de manière similaire pour $M_h$. 
 
 \begin{figure}[h]
   \begin{center}
@@ -282,10 +283,10 @@ Alors d'après le théorème~\ref{th},
 pour n'importe quel vecteur initial de probabilités $\pi^0$, on a 
 $\lim_{k \to \infty} \pi^0 M^k_g = \pi_g$ et 
 $\lim_{k \to \infty} \pi^0 M^k_h = \pi_h$. 
-Ainsi la chaîne de Markov associé à $h$ tend vers une 
+Ainsi la chaîne de Markov associée à $h$ tend vers une 
 distribution uniforme, contrairement à celle associée à $g$.
 On en déduit que $g$ ne devrait pas être itérée dans 
-un générateur de nombres pseudo aléatoires.
+un générateur de nombres pseudo-aléatoires.
 Au contraire, 
 $h$ devrait pouvoir être embarquée dans l'algorithme~\ref{CI Algorithm}, 
 pour peu que le nombre $b$ d'itérations entre deux mesures successives 
@@ -293,26 +294,30 @@ de valeurs  soit suffisamment grand de sorte que
 le vecteur d’état de la chaîne de Markov
 ait une distribution suffisamment proche de la distribution uniforme.
 
-On énnonce directement le théorème suivant dont la preuve est donnée en annexes~\ref{anx:generateur}.
+On énonce directement le théorème suivant dont la preuve est donnée en annexe~\ref{anx:generateur}.
 
-\begin{theorem}
+\begin{restatable}[Uniformité de la sortie de l'algorithme~\ref{CI Algorithm}]{theorem}{PrngCIUniforme}\label{thm:prng:u}
   Soit $f: \Bool^{n} \rightarrow \Bool^{n}$, $\textsc{giu}(f)$ son 
   graphe d'itérations , $\check{M}$ sa matrice d'adjacence
-  et $M$ une matrice  $2^n\times 2^n$  définie comme dans le lemme précédent.
+  et $M$ une matrice  $2^n\times 2^n$  
+  définie par 
+  $M = \dfrac{1}{n} \check{M}$.
   Si $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe, alors 
-  la sortie du générateur de nombres pseudo aléatoires détaillé par 
+  la sortie du générateur de nombres pseudo-aléatoires détaillé par 
   l'algorithme~\ref{CI Algorithm} suit une loi qui 
   tend vers la distribution uniforme si 
   et seulement si  $M$ est une matrice doublement stochastique.
-\end{theorem}
+\end{restatable}
 
 
 \subsection{Quelques exemples}
 
-On reprend le graphe d'interactions $\Gamma(f)$ donné en figure~\ref{fig:G} à la section~\ref{sec:11FCT}.
-On a vu qu'il y avait  520 fonctions $f$ non isomorphes de graphe d'interactions  $\Gamma(f)$, 
-dont seulement 16 d'entre elles possédent une matrice doublement stochastique.
+On considère le graphe d'interactions $\Gamma(f)$ donné
+en figure~\ref{fig:G}. C'est le même qui a été présenté
+à la section~\ref{sec:11FCT}.
+On a vu qu'il y avait  520 fonctions $f$ non isomorphes de graphe d'interactions  $\Gamma(f)$. 
 
+Seulement 16 d'entre elles possèdent une matrice doublement stochastique.
 La figure~\ref{fig:listfonction} explicite ces 16 fonctions en 
 définissant les images des éléments de la liste
 0, 1, 2,\ldots, 14, 15 en respectant  l'ordre.
@@ -320,7 +325,7 @@ Expliquons enfin comment a été calculé le nombre de la troisième
 colonne utilisé comme le paramètre $b$ 
 dans l'algorithme~\ref{CI Algorithm}.
 
-Soit $e_i$ le $i^{\textrm{ème}}$ vecteur la base canonique de $\R^{2^{n}}$. 
+Soit $e_i$ le $i^{\textrm{ème}}$ vecteur de la base canonique de $\R^{2^{n}}$. 
 Chacun des éléments $v_j$, $1 \le j \le 2^n$, 
 du vecteur $e_i M_f^t$ représente la probabilité 
 d'être dans la configuration $j$ après $t$ étapes du processus de Markov 
@@ -332,15 +337,21 @@ ce vecteur au vecteur $\pi=(\frac{1}{2^n},\ldots,\frac{1}{2^n})$
 -- autrement dit, où la déviation par rapport à la distribution uniforme --
  est inférieure 
 à $10^{-4}$. En prenant le max pour tous les $e_i$, on obtient une valeur pour
- $b$. Ainsi, on a 
-$$
+ $b$. 
+Ainsi, on a 
+\begin{equation}
 b = \max\limits_{i \in \llbracket 1, 2^n \rrbracket} 
-\{
-\min \{
+\left\{
+\min \left\{
  t \mid t \in \Nats, \vectornorm{e_i M_f^t - \pi} < 10^{-4}
-\}
-\}. 
-$$
+\right\}
+\right\}. 
+\label{eq:mt:ex}
+\end{equation}
+
+\noindent Par la suite, ce nombre sera appelé \emph{temps de mélange}.
+
+
 
 \begin{figure}%[h]
   \begin{center}
@@ -420,25 +431,25 @@ $\mathcal{F}_{16}$ &14, 15, 13, 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0
 
 La qualité des séquences aléatoires a été évaluée à travers la suite 
 de tests statistiques développée pour les générateurs de nombres 
-pseudo aléatoires par le 
+pseudo-aléatoires par le 
 \emph{National Institute of Standards and Technology} (NIST).
 L'expérience a montré notamment que toutes ces fonctions
 passent avec succès cette batterie de tests.
 
 Pour conclure cette section, on remarque que le générateur de nombres pseudo-aléatoires 
-a été prouvé chaotique pour $b=1$, \textit{i.e.}, lorqu'il y a une sortie pour chaque itération.
-Ceci est difficilement compatible avec la volonté d'avoir une sortie uniformémement distribuée: 
+a été prouvé chaotique pour $b=1$, \textit{i.e.}, lorsqu'il y a une sortie pour chaque itération.
+Ceci est difficilement compatible avec la volonté d'avoir une sortie uniformément distribuée: 
 se rapprocher de cette distribution nécessite en effet un nombre plus élevé
 d'itérations $b$ entre chaque sortie. Par exemple, dans l'exemple précédent, il est nécessaire 
 d'itérer au moins 42 fois entre chaque sortie pour suivre une loi uniforme à $10^{-4}$ près.
-Montrer les sous-séquences de suites chaotiques ainsi générées  demeurent chaotiques
+Montrer que les sous-séquences de suites chaotiques ainsi générées  demeurent chaotiques
 est l'objectif de la section suivante.
 
 
-\section{Un PRNG basé sur des itérations unaires qui est chaotique }
+\section{Un PRNG basé sur des itérations unaires qui est chaotique }\label{prng:unaire:chaos}
 
 Cette section présente un espace métrique adapté au générateur de nombres pseudo-aléatoires 
-pésenté à l'algorithme~\ref{CI Algorithm} et prouve ensuite que la fonction qu'il représente 
+présenté à l'algorithme~\ref{CI Algorithm} et prouve ensuite que la fonction qu'il représente 
 est chaotique sur cet espace.
 
 \subsection{Un espace  $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$    pour le PRNG de l'algorithme~\ref{CI Algorithm}}
@@ -451,15 +462,14 @@ Intuitivement, c'est le nombre d'itérations qu'il est autorisé de faire.
 On ordonne les $\mathsf{p}$ éléments de $\mathcal{P}$ comme suit: 
 $\mathcal{P} = \{ p_1, p_2, \hdots, p_\mathsf{p}\}$
 et $p_1< p_2< \hdots < p_\mathsf{p}$.
+
 Dans l'algorithme~\ref{CI Algorithm}, 
 $\mathsf{p}$ vaut 1 et  $p_1=b$. 
-
-
-Cet  algorithme peut être vu comme $b$ compostions de la function $F_{f_u}$.
+Cet  algorithme peut être vu comme $b$ compostions de la fonction $F_{f_u}$.
 Ceci peut cependant se généraliser à $p_i$, $p_i \in \mathcal{P}$,
 compositions fonctionnelles de $F_{f_u}$.
 Ainsi, pour chaque $p_i \in \mathcal{P}$, on construit la fonction
-$F_{{f_u},p_i} :  \mathds{B}^\mathsf{N} \times \llbracket 1, \mathsf{N} \rrbracket^{p_i}
+$F_{{f_u},p_i} :  \mathds{B}^\mathsf{N} \times [\mathsf{N}]^{p_i}
 \rightarrow \mathds{B}^\mathsf{N}$ définie par
 
 $$
@@ -468,18 +478,18 @@ F_{f_u}(\hdots (F_{f_u}(F_{f_u}(x,u^0), u^1), \hdots), u^{p_i-1}).
 $$
 
 
-on construit l'espace 
+On construit l'espace 
  $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}=  \mathds{B}^\mathsf{N} \times \mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$, où
 $\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}=
-\llbracket 1, \mathsf{N} \rrbracket^{\Nats}\times 
+[\mathsf{N}]^{\Nats}\times 
 \mathcal{P}^{\Nats}$. 
 Chaque élément de l'espace est une paire où le premier élément est 
 un $\mathsf{N}$-uplet de  $\Bool^{\mathsf{N}}$ (comme dans $\mathcal{X}_u$).
-Le second élément est aussi une paire $((u^k)_{k \in \Nats},(v^k)_{k \in \Nats})$ de suites infinies.
+Le second élément est une paire $((u^k)_{k \in \Nats},(v^k)_{k \in \Nats})$ de suites infinies.
 La suite $(v^k)_{k \in \Nats}$ définit combien d'itérations sont exécutées au temps $k$ entre deux sorties.
 La séquence $(u^k)_{k \in \Nats}$ définit quel élément est modifié (toujours au temps $k$).
 
-Définissons la fonction de décallage  $\Sigma$ pour chaque  élément de $\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$.
+Définissons la fonction de décalage  $\Sigma$ pour chaque  élément de $\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$.
 $$\begin{array}{cccc}
 \Sigma:&\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}} &\longrightarrow
 &\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}} \\
@@ -487,7 +497,7 @@ $$\begin{array}{cccc}
 \end{array}
 $$
 En d'autres termes, $\Sigma$ reçoit deux suites $u$ et $v$ et 
-effectue $v^0$ décallage vers la droite sur la première et un décallage vers la droite 
+effectue $v^0$ décalage vers la droite sur la première et un décalage vers la droite 
 sur la seconde.
 
 
@@ -516,115 +526,244 @@ Soit  $x=(e,s)$ et $\check{x}=(\check{e},\check{s})$ dans
 $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}} = \mathds{B}^\mathsf{N} \times \mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}} $,
 où $s=(u,v)$ et $\check{s}=(\check{u},\check{v})$ sont dans $ \mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}} = 
 \mathcal{S}_{\llbracket 1, \mathsf{N} \rrbracket} \times \mathcal{S}_\mathcal{P}$. 
+\begin{enumerate}
+\item $e$ et $\check{e}$ sont des entiers appartenant à $\llbracket 0, 2^{\mathsf{N}-1} \rrbracket$. 
+La distance de Hamming $d_{\mathds{B}^\mathsf{N}}$ entre les 
+décompositions binaires de $e$ et de $\check{e}$ (\textit{i.e.}, le 
+le nombre de bits qu'elles ont de différent) constitue 
+la partie entière de $d(X,\check{X})$.
+\item la partie décimale est construite à partir des différences entre 
+$v^0$ et $\check{v}^0$, suivie des différences entre les séquences finies
+$u^0, u^1, \hdots, u^{v^0-1}$ et  $\check{u}^0, \check{u}^1, \hdots, \check{u}^{\check{v}^0-1}$, suivie par les différences entre  $v^1$ et $\check{v}^1$, 
+suivie par les différences entre $u^{v^0}, u^{v^0+1}, \hdots, u^{v^1-1}$ et
+$\check{u}^{\check{v}^0}, \check{u}^{\check{v}^0+1}, \hdots, \check{u}^{\check{v}^1-1}$, etc.
+
+Plus précisément, soit 
+$p = \lfloor \log_{10}{(\max{\mathcal{P}})}\rfloor +1$ et 
+$n = \lfloor \log_{10}{(\mathsf{N})}\rfloor +1$.
+\begin{enumerate}
+\item Les $p$ premiers éléments de $d(x,\check{x})$ sont $|v^0-\check{v}^0|$ 
+  écrits en base 10 et sur $p$ indices;
+\item les $n\times \max{(\mathcal{P})}$ éléments suivants servent 
+  à évaluer de combien $u^0, u^1, \hdots, u^{v^0-1}$ diffère de 
+  $\check{u}^0, \check{u}^1, \hdots, \check{u}^{\check{v}^0-1}$. 
+  Les $n$ premiers éléments sont $|u^0-\check{u}^0|$. Il sont suivis de 
+$|u^1-\check{u}^1|$ écrits à l'aide de $n$ éléments, etc.
+\begin{enumerate}
+\item Si
+$v^0=\check{v}^0$,
+alors le processus se continue jusqu'à $|u^{v^0-1}-\check{u}^{\check{v}^0-1}|$ et la 
+partie décimale de $d(X,\check{X})$ est complétée par des 0
+jusqu'à atteindre 
+$p+n\times \max{(\mathcal{P})}$ éléments.
+\item Si $v^0<\check{v}^0$, alors les $ \max{(\mathcal{P})}$  blocs de $n$
+éléments sont $|u^0-\check{u}^0|$, ..., $|u^{v^0-1}-\check{u}^{v^0-1}|$,
+$\check{u}^{v^0}$ (sur $n$ éléments), ..., $\check{u}^{\check{v}^0-1}$ (sur $n$ éléments), suivis par des 0, si besoin.
+\item Le cas $v^0>\check{v}^0$ est similaire, et donc omis
+\end{enumerate}
+\item Les $p$ suivants sont $|v^1-\check{v}^1|$, etc.
+\end{enumerate}
+\end{enumerate}
+
+
+La fonction $d$ peut se formaliser comme suit:
+$$d(x,\check{x})=d_{\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}}(s,\check{s})+d_{\mathds{B}^\mathsf{N}}(e,\check{e}),$$
+où: % $p=\max \mathcal{P}$ and:
 \begin{itemize}
-\item $e$ et $\check{e}$ sont des entiers appartenant à $\llbracket 0, 2^{\mathsf{N}-1} \rrbracket$. The Hamming distance
-on their binary decomposition, that is, the number of dissimilar binary digits, constitutes the integral
-part of $d(X,\check{X})$.
-\item The fractional part is constituted by the differences between $v^0$ and $\check{v}^0$, followed by the differences
-between finite sequences $u^0, u^1, \hdots, u^{v^0-1}$ and  $\check{u}^0, \check{u}^1, \hdots, \check{u}^{\check{v}^0-1}$, followed by 
- differences between $v^1$ and $\check{v}^1$, followed by the differences
-between $u^{v^0}, u^{v^0+1}, \hdots, u^{v^1-1}$ and  $\check{u}^{\check{v}^0}, \check{u}^{\check{v}^0+1}, \hdots, \check{u}^{\check{v}^1-1}$, etc.
-More precisely, let $p = \lfloor \log_{10}{(\max{\mathcal{P}})}\rfloor +1$ and $n = \lfloor \log_{10}{(\mathsf{N})}\rfloor +1$.
-\begin{itemize}
-\item The $p$ first digits of $d(x,\check{x})$ is $|v^0-\check{v}^0|$ written in decimal numeration (and with $p$ digits).
-\item The next $n\times \max{(\mathcal{P})}$ digits aim at measuring how much $u^0, u^1, \hdots, u^{v^0-1}$ differs from $\check{u}^0, \check{u}^1, \hdots, \check{u}^{\check{v}^0-1}$. The $n$ first
-digits are $|u^0-\check{u}^0|$. They are followed by 
-$|u^1-\check{u}^1|$ written with $n$ digits, etc.
-\begin{itemize}
-\item If
-$v^0=\check{v}^0$, then the process is continued until $|u^{v^0-1}-\check{u}^{\check{v}^0-1}|$ and the fractional
-part of $d(X,\check{X})$ is completed by 0's until reaching
-$p+n\times \max{(\mathcal{P})}$ digits.
-\item If $v^0<\check{v}^0$, then the $ \max{(\mathcal{P})}$  blocs of $n$
-digits are $|u^0-\check{u}^0|$, ..., $|u^{v^0-1}-\check{u}^{v^0-1}|$,
-$\check{u}^{v^0}$ (on $n$ digits), ..., $\check{u}^{\check{v}^0-1}$ (on $n$ digits), followed by 0's if required.
-\item The case $v^0>\check{v}^0$ is dealt similarly.
-\end{itemize}
-\item The next $p$ digits are $|v^1-\check{v}^1|$, etc.
-\end{itemize}
+\item $d_{\mathds{B}^\mathsf{N}}$ est la distance de Hamming,
+\item $\forall s=(u,v), \check{s}=(\check{u},\check{v}) \in \mathcal{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$,\newline 
+$$\begin{array}{rcl}
+ d_{\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}}(s,\check{s}) &= &
+   \sum_{k=0}^\infty \dfrac{1}{10^{(k+1)p+kn\max{(\mathcal{P})}}} 
+   \bigg(|v^k - \check{v}^k|  \\
+   & & + \left| \sum_{l=0}^{v^k-1} 
+       \dfrac{u^{\sum_{m=0}^{k-1} v^m +l}}{ 10^{(l+1)n}} -
+       \sum_{l=0}^{\check{v}^k-1} 
+       \dfrac{\check{u}^{\sum_{m=0}^{k-1} \check{v}^m +l}}{ 10^{(l+1)n}} \right| \bigg)
+\end{array}
+$$ %\left| \sum_{l=0}^{v^k-1} \dfrac{u^{\sum_{m=0}^{k-1} v^m +l}}{ 10^{l}} - \sum_{l=0}^{\check{v}^k-1} \dfrac{\check{u}^{\sum_{m=0}^{k-1} \check{v}^m +l}}{ 10^{l}}\right|\right)}.$$
 \end{itemize}
 
 
 
-
 \begin{xpl}
-Consider for instance that $\mathsf{N}=13$, $\mathcal{P}=\{1,2,11\}$ (so $\mathsf{p}=3$), and that
+On considère par exemple 
+$\mathsf{N}=13$, $\mathcal{P}=\{1,2,11\}$ ($\mathsf{p}$ vaut ainsi $3$), 
+et 
 $s=\left\{
 \begin{array}{l}
 u=\underline{6,} ~ \underline{11,5}, ...\\
 v=1,2,...
 \end{array}
 \right.$
-while
+avec 
 $\check{s}=\left\{
 \begin{array}{l}
 \check{u}=\underline{6,4} ~ \underline{1}, ...\\
 \check{v}=2,1,...
 \end{array}
 \right.$.
-
-So $d_{\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}}(s,\check{s}) = 0.010004000000000000000000011005 ...$
-Indeed, the $p=2$ first digits are 01, as $|v^0-\check{v}^0|=1$, 
-and we use $p$ digits to code this difference ($\mathcal{P}$ being $\{1,2,11\}$, this difference can be equal to 10). We then take the $v^0=1$ first terms of $u$, each term being coded in $n=2$ digits, that is, 06. As we can iterate
-at most $\max{(\mathcal{P})}$ times, we must complete this
-value by some 0's in such a way that the obtained result
-has $n\times \max{(\mathcal{P})}=22$ digits, that is: 
-0600000000000000000000. Similarly, the $\check{v}^0=2$ first
-terms in $\check{u}$ are represented by 0604000000000000000000, and the absolute value of their
-difference is equal to 0004000000000000000000. These digits are concatenated to 01, and
-we start again with the remainder of the sequences.
+Ainsi 
+\[
+d_{\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}}(s,\check{s}) = 
+0.01~0004000000000000000000~01~1005 \dots\]
+En effet, les $p=2$ premiers éléments sont  01, c'est-à-dire 
+$|v^0-\check{v}^0|=1$, 
+et on utilise $p$ éléments pour représenter cette différence
+(Comme $\mathcal{P}=\{1,2,11\}$, cette différence peut valoir 10).
+On prend alors le $v^0=1$ premier terme de $u$, 
+chaque terme étant codé sur $n=2$ éléments, soit 06.
+Comme on itère au plus $\max{(\mathcal{P})}$ fois, 
+on complète cette valeur par des 0 de sorte que 
+la chaîne obtenue ait $n\times \max{(\mathcal{P})}=22$ éléments, soit:
+0600000000000000000000. 
+De manière similaire, les $\check{v}^0=2$ premiers
+termes de $\check{u}$ sont représentés par 
+0604000000000000000000.
+La valeur absolue de leur différence est égale à 
+0004000000000000000000.
+Ces éléments sont concaténés avec 01. On peut construire alors le reste de 
+la séquence.
 \end{xpl}
 
 
-\begin{xpl}
-Consider now that $\mathsf{N}=9$, and $\mathcal{P}=\{2,7\}$, and that
+% \begin{xpl}
+% On considère à présent que  $\mathsf{N}=9$, que $\mathcal{P}=\{2,7\}$ et que
+% $$s=\left\{
+% \begin{array}{l}
+% u=\underline{6,7,} ~ \underline{4,2,} ...\\
+% v=2,2,...
+% \end{array}
+% \right.$$
+% avec
+% $$\check{s}=\left\{
+% \begin{array}{l}
+% \check{u}=\underline{4, 9, 6, 3, 6, 6, 7,} ~ \underline{9, 8}, ...\\
+% \check{v}=7,2,...
+% \end{array}
+% \right.
+% $$
 
-$s=\left\{
-\begin{array}{l}
-u=\underline{6,7,} ~ \underline{4,2,} ...\\
-v=2,2,...
-\end{array}
-\right.$
-while
-$\check{s}=\left\{
-\begin{array}{l}
-\check{u}=\underline{4, 9, 6, 3, 6, 6, 7,} ~ \underline{9, 8}, ...\\
-\check{v}=7,2,...
-\end{array}
-\right.$
+% Ainsi $d_{\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}}(s,\check{s}) = 0.5173633305600000...$, 
+% puisque 
+% $|v^0-\check{v}^0|=5$, $|4963667-6700000| = 1736333$, $|v^1-\check{v}^1|=0$,
+% et $|9800000-4200000| = 5600000$.
+% \end{xpl}
 
-So $d_{\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}}(s,\check{s}) = 0.5173633305600000...$, as $|v^0-\check{v}^0|=5$, $|4963667-6700000| = 1736333$, $|v^1-\check{v}^1|=0$,
-and $|9800000-4200000| = 5600000$.
-\end{xpl}
 
 
+On a la proposition suivante, qui est démontrée en annexe~\ref{anx:generateur}.
 
-$d$ can be more rigorously written as follows:
-$$d(x,\check{x})=d_{\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}}(s,\check{s})+d_{\mathds{B}^\mathsf{N}}(e,\check{e}),$$
-where: % $p=\max \mathcal{P}$ and:
+
+\begin{restatable}[Une distance dans $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$]{theorem}{distancedsxnp}
+$d$ est une distance sur $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$.
+\end{restatable}
+
+
+\subsection{Le graphe $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(f)$ étendant  $\textsc{giu}(f)$}
+
+A partir de  $\mathcal{P}=\{p_1, p_2, \hdots, p_\mathsf{p}\}$, on 
+définit le graphe orienté $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(f)$ de la manière suivante:
 \begin{itemize}
-\item $d_{\mathds{B}^\mathsf{N}}$ is the Hamming distance,
-\item $\forall s=(u,v), \check{s}=(\check{u},\check{v}) \in \mathcal{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$,\newline 
-$$\begin{array}{rcl}
- d_{\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}}(s,\check{s}) &= &
-   \sum_{k=0}^\infty \dfrac{1}{10^{(k+1)p+kn\max{(\mathcal{P})}}} 
-   \bigg(|v^k - \check{v}^k|  \\
-   & & + \left| \sum_{l=0}^{v^k-1} 
-       \dfrac{u^{\sum_{m=0}^{k-1} v^m +l}}{ 10^{(l+1)n}} -
-       \sum_{l=0}^{\check{v}^k-1} 
-       \dfrac{\check{u}^{\sum_{m=0}^{k-1} \check{v}^m +l}}{ 10^{(l+1)n}} \right| \bigg)
-\end{array}
-$$ %\left| \sum_{l=0}^{v^k-1} \dfrac{u^{\sum_{m=0}^{k-1} v^m +l}}{ 10^{l}} - \sum_{l=0}^{\check{v}^k-1} \dfrac{\check{u}^{\sum_{m=0}^{k-1} \check{v}^m +l}}{ 10^{l}}\right|\right)}.$$
+\item les n{\oe}uds sont les  $2^\mathsf{N}$ configurations de $\mathds{B}^\mathsf{N}$,
+%\item Each vertex has $\displaystyle{\sum_{i=1}^\mathsf{p} \mathsf{N}^{p_i}}$ arrows, namely all the $p_1, p_2, \hdots, p_\mathsf{p}$ tuples 
+%  having their elements in $\llbracket 1, \mathsf{N} \rrbracket $.
+\item il y a un arc libellé $u_0, \hdots, u_{p_i-1}$, $i \in \llbracket 1, \mathsf{p} \rrbracket$ entre les n{\oe}uds $x$ et $y$ si et seulement si $p_i$ est un élément de 
+$\mathcal{P}$ (\textit{i.e.}, on peut itérer $p_i$ fois), et pour chaque 
+$k$, $0 \le k \le p_i-1$, on a 
+ $u_k$ qui appartient à  $[\mathsf{N}]$ et 
+$y=F_{f_u,p_i} (x, (u_0, \hdots, u_{p_i-1})) $.
 \end{itemize}
+Il n'est pas difficile de constater que $\textsc{giu}_{\{1\}}(f)$ est $\textsc{giu}(f)$.
 
 
-Let us show that,
-\begin{prpstn}
-$d$ is a distance on $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$.
-\end{prpstn}
 
 
-\subsection{Le graphe $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(f)$ étendant  $\textsc{giu}(f)$}
+
+\begin{figure}%[t]
+  \begin{center}
+    \subfigure[$\textsc{giu}_{\{2\}}(h)$]{
+      \begin{minipage}{0.30\textwidth}
+        \begin{center}
+          \includegraphics[scale=0.5]{images/h2prng}
+        \end{center}
+      \end{minipage}
+      \label{fig:h2prng}
+    }
+    \subfigure[$\textsc{giu}_{\{3\}}(h)$]{
+      \begin{minipage}{0.40\textwidth}
+        \begin{center}
+          \includegraphics[scale=0.5]{images/h3prng}
+        \end{center}
+      \end{minipage}
+      \label{fig:h3prng}
+    }
+    \subfigure[$\textsc{giu}_{\{2,3\}}(h)$]{
+      \begin{minipage}{0.40\textwidth}
+        \begin{center}
+          \includegraphics[scale=0.5]{images/h23prng}
+        \end{center}
+      \end{minipage}
+      \label{fig:h23prng}
+    }
+
+    \end{center}
+    \caption{Graphes d'itérations $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(h)$ pour $h(x_1,x_2)=(\overline{x_1},x_1\overline{x_2}+\overline{x_1}x_2)$}
+    %\label{fig:xplgraphIter}
+  \end{figure}
+
+
+
+
+\begin{xpl}
+On reprend l'exemple où $\mathsf{N}=2$ et 
+$h(x_1,x_2)=(\overline{x_1},x_1\overline{x_2}+\overline{x_1}x_2)$ déjà détaillé 
+à la section~\ref{sub:prng:unif}.
+
+Le graphe $\textsc{giu}_{\{1\}}(h)$ a déjà été donné à la figure~\ref{fig:h:iter}.
+Les graphes $\textsc{giu}_{\{2\}}(h)$, $\textsc{giu}_{\{3\}}(h)$  et
+$\textsc{giu}_{\{2,3\}}(h)$ sont respectivement donnés aux figures~\ref{fig:h2prng}, ~\ref{fig:h3prng} et ~\ref{fig:h23prng}. 
+Le premier (respectivement le second) 
+illustre le comportement du générateur lorsque qu'on itère exactement 
+2 fois (resp. 3 fois) puis qu'on affiche le résultat.
+Le dernier donnerait le comportement d'un générateur qui s'autoriserait 
+à itérer en interne systématiquement 2 ou 3 fois avant de retourner un résultat.
+
+\end{xpl}
+
 
 \subsection{le PRNG de l'algorithme~\ref{CI Algorithm} est chaotique sur $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$}
 
+Le théorème suivant, similaire à ceux dans $\mathcal{X}_u$ et dans $\mathcal{X}_g$
+est prouvé en annexe~\ref{anx:generateur}.
+
+\begin{restatable}[Conditions pour la chaoticité de $G_{f_u,\mathcal{P}}$]{theorem}{thmchoticitgfp}
+La fonction $G_{f_u,\mathcal{P}}$ est chaotique sur 
+ $(\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}},d)$ si et seulement si 
+le graphe d'itérations $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(f)$ 
+est fortement connexe.
+\end{restatable}
+% On alors corollaire suivant 
+
+% \begin{corollary}
+%   Le générateur de nombre pseudo aléatoire détaillé 
+%   à l'algorithme~\ref{CI Algorithm}
+%   n'est pas chaotique 
+%   sur $(\mathcal{X}_{\mathsf{N},\{b\}},d)$ pour la fonction négation.
+% \end{corollary}
+% \begin{proof}
+%   Dans cet algorithme, $\mathcal{P}$ est le singleton $\{b\}$.
+%   Que $b$ soit pair ou impair,  $\textsc{giu}_{\{b\}}(f)$
+%   n'est pas fortement connexe.
+% \end{proof}
+
+
+\section{Conclusion}
+Ce chapitre a proposé un algorithme permettant de construire un 
+PRNG chaotique à partir d'un PRNG existant. Pour ce faire, il est nécessaire 
+et suffisant que la fonction $f$ qui est itérée un nombre $b$ de fois 
+possède un $\textsc{giu}_{\{b\}}(f)$ fortement connexe et que sa matrice de Markov associée soit doublement stochastique.
+Le chapitre suivant montre comment construire une telle fonction.
+
+ 
+