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diff --git a/chaosANN.tex b/chaosANN.tex
index 239251e..89ac939 100644
--- a/chaosANN.tex
+++ b/chaosANN.tex
@@ -1,73 +1,61 @@
-% \section{Introduction}
-% \label{S1}
 
 Les rÃ©seaux de neurones chaotiques ont Ã©tÃ© Ã©tudiÃ©s Ã  de maintes reprises 
-par le passÃ© en raison notamment de leurs applications potentielles:
+en raison de leurs applications potentielles:
 %les mÃ©moires associatives~\cite{Crook2007267}  
-les  composants utils Ã  la  sÃ©curitÃ© comme les fonctions de 
+les  composants utiles Ã  la  sÃ©curitÃ© comme les fonctions de 
 hachage~\cite{Xiao10},
 le tatouage numÃ©rique~\cite{1309431,Zhang2005759}
 ou les schÃ©mas de chiffrement~\cite{Lian20091296}.  
 Dans tous ces cas, l'emploi de fonctions chaotiques est motivÃ© par 
-leur comportement imprÃ©visibile et proche de l'alÃ©a. 
+leur comportement imprÃ©visible et proche de l'alÃ©a. 
 
 
 Les rÃ©seaux de neurones chaotiques peuvent Ãªtre conÃ§us selon plusieurs 
 principes. Des neurones modifiant leur Ã©tat en suivant une fonction non 
 linÃ©aire son par exemple appelÃ©s neurones chaotiques~\cite{Crook2007267}.
 L'architecture de rÃ©seaux de neurones de type Perceptron multi-couches
-(MLP) n'iterent quant Ã  eux, pas nÃ©cesssairement de fonctions chaotiques.
+(MLP) n'itÃ¨rent quant Ã  eux, pas nÃ©cessairement de fonctions chaotiques.
 Il a cependant Ã©tÃ© dÃ©montrÃ©  que ce sont des approximateurs 
 universels~\cite{Cybenko89,DBLP:journals/nn/HornikSW89}.   
 Ils permettent, dans certains cas, de simuler des comportements 
 physiques chaotiques comme le  circuit de Chua~\cite{dalkiran10}.  
 Parfois~\cite{springerlink:10.1007/s00521-010-0432-2},
-la fonction de transfert de cette famille de rÃ©seau celle 
+la fonction de transfert de cette famille de rÃ©seau et celle 
 d'initialisation sont toutes les deux dÃ©finies Ã  l'aide de 
 fonctions chaotiques. 
 
 
 
-
-
 Ces rÃ©seaux de neurones partagent le fait qu'ils sont qualifiÃ©s de 
 ``chaotiques'' sous prÃ©texte qu'ils embarquent une fonction de ce type 
-et ce sans aucune preuve rigoureuse. Ce chapitre caractÃ©rise la 
+et ce sans aucune preuve rigoureuse ne soit fournie.
+Ce chapitre caractÃ©rise la 
 classe des rÃ©seaux de neurones MLP chaotiques. Il  
 s'intÃ©resse ensuite Ã  l'Ã©tude de prÃ©visibilitÃ© de systÃ¨mes dynamiques
 discrets chaotiques par cette famille de MLP.
 
-\JFC{revoir plan}
-
-The remainder of this research  work is organized as follows. The next
-section is devoted to the basics of Devaney's chaos.  Section~\ref{S2}
-formally  describes  how  to  build  a neural  network  that  operates
-chaotically.  Section~\ref{S3} is devoted to the dual case of checking
-whether  an existing neural  network is  chaotic or  not.  Topological
-properties of chaotic neural networks are discussed in Sect.~\ref{S4}.
-The  Section~\ref{section:translation}  shows  how to  translate  such
-iterations  into  an Artificial  Neural  Network  (ANN),  in order  to
-evaluate the  capability for this  latter to learn  chaotic behaviors.
-This  ability  is  studied in  Sect.~\ref{section:experiments},  where
-various ANNs try to learn two  sets of data: the first one is obtained
-by chaotic iterations while the  second one results from a non-chaotic
-system.  Prediction success rates are  given and discussed for the two
-sets.  The paper ends with a conclusion section where our contribution
-is summed up and intended future work is exposed.
-
+La section~\ref{S2} dÃ©finit la construction d'un rÃ©seau de neurones 
+chaotique selon Devanay. La section~\ref{S3} prÃ©sente l'approche duale 
+de vÃ©rification si un rÃ©seau de neurones est chaotique ou non.
+La section~\ref{sec:ann:approx} s'intÃ©resse Ã  Ã©tudier pratiquement
+si un rÃ©seau de 
+neurones peut approximer des itÃ©ration unaires chaotiques. Ces itÃ©rations
+Ã©tant obtenues Ã  partir de fonctions issues de la dÃ©marche dÃ©taillÃ©e dans 
+le chapitre prÃ©cÃ©dent.
+Ce travail a Ã©tÃ© publiÃ© dans~\cite{bcgs12:ij}.
 
 \section{Un rÃ©seau de neurones chaotique au sens de Devaney}
 \label{S2}
 
 On considÃ¨re une fonction 
-$f:\Bool^n\to\Bool^n$ telle que  $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe.
+$f:\Bool^{\mathsf{N}}\to\Bool^{\mathsf{N}}$ telle que  $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe.
 Ainsi $G_{f_u}$ est chaotique d'aprÃ¨s le thÃ©orÃ¨me~\ref{Th:CaracIC}.
 
 On considÃ¨re ici le schÃ©ma unaire dÃ©fini par l'Ã©quation (\ref{eq:asyn}).
-On construit un perceptron multi-couche associÃ© Ã  la fonction  
+On construit un Perceptron multi-couches associÃ© Ã  la fonction  
 $F_{f_u}$. 
 Plus prÃ©cisÃ©ment, pour chaque entrÃ©e 
- $(x,s)   \in  \mathds{B}^n \times [n]$,
+ $(x,s)   \in  \mathds{B}^{\mathsf{N}} \times [{\mathsf{N}}]$,
 la couche de sortie doit gÃ©nÃ©rer $F_{f_u}(x,s)$.   
 On peut ainsi lier la couche de sortie avec celle d'entrÃ©e pour reprÃ©senter 
 les dÃ©pendance entre deux itÃ©rations successives.
@@ -76,30 +64,30 @@ On obtient une rÃ©seau de neurones dont le comportement est le suivant
 
 \begin{itemize}
 \item   Le rÃ©seau est initialisÃ© avec le vecteur d'entrÃ©e
-  $\left(x^0,S^0\right)  \mathds{B}^n \times [n]$      
+  $\left(x^0,S^0\right)  \mathds{B}^{\mathsf{N}} \times [{\mathsf{N}}]$      
   et calcule le  vecteur de sortie 
   $x^1=F_{f_u}\left(x^0,S^0\right)$. 
-  Ce vecteur est publiÃ© comme une sortie et est aussi retournÃ©e sur la couche d'entrÃ©e 
+  Ce vecteur est publiÃ© comme une sortie et est aussi retournÃ© sur la couche d'entrÃ©e 
   Ã  travers les liens de retours.
 \item Lorsque le rÃ©seau est  activÃ© Ã  la $t^{th}$  itÃ©ration, l'Ã©tat du 
-  systÃ¨me $x^t  \in \mathds{B}^n$ reÃ§u depuis la couche de sortie ainsi que le 
-  premier terme de la  sequence $(S^t)^{t  \in \Nats}$
-  (\textit{i.e.},  $S^0  \in [n]$)  servent Ã  construire le nouveau vecteur de sortie.
+  systÃ¨me $x^t  \in \mathds{B}^{\mathsf{N}}$ reÃ§u depuis la couche de sortie ainsi que le 
+  premier terme de la  sÃ©quence $(S^t)^{t  \in \Nats}$
+  (\textit{i.e.},  $S^0  \in [{\mathsf{N}}]$)  servent Ã  construire le nouveau vecteur de sortie.
   Ce nouveau vecteur, qui reprÃ©sente le nouvel Ã©tat du systÃ¨me dynamique, satisfait:
   \begin{equation}
-    x^{t+1}=F_{f_u}(x^t,S^0) \in \mathds{B}^n \enspace .
+    x^{t+1}=F_{f_u}(x^t,S^0) \in \mathds{B}^{\mathsf{N}} \enspace .
   \end{equation}
 \end{itemize}
 
 \begin{figure}
   \centering
   \includegraphics[scale=0.625]{images/perceptron}
-  \caption{Un perceptron Ã©quivalent  aux itÃ©rations unitaires}
+  \caption{Un Perceptron Ã©quivalent  aux itÃ©rations unitaires}
   \label{Fig:perceptron}
 \end{figure}
 
 Le comportement de ce rÃ©seau de neurones est tel que lorsque l'Ã©tat 
-initial est composÃ© de $x^0~\in~\mathds{B}^n$ et d'une sÃ©quence
+initial est composÃ© de $x^0~\in~\mathds{B}^{\mathsf{N}}$ et d'une sÃ©quence
  $(S^t)^{t  \in \Nats}$, alors la sÃ©quence  contenant les vecteurs successifs 
 publiÃ©s $\left(x^t\right)^{t \in \mathds{N}^{\ast}}$ est exactement celle produite 
 par les itÃ©rations unaires dÃ©crites Ã  la section~\ref{sec:TIPE12}.
@@ -112,45 +100,48 @@ On peut donc le  qualifier de chaotique au sens de Devaney.
 \section{VÃ©rifier si un rÃ©seau de neurones est chaotique}
 \label{S3}
 On s'intÃ©resse maintenant au cas oÃ¹ l'on dispose d'un
-rÃ©seau de neurones de type perceptron multi-couches
+rÃ©seau de neurones de type Perceptron multi-couches
 dont on cherche Ã  savoir s'il est chaotique (parce qu'il a par exemple Ã©tÃ© 
 dÃ©clarÃ© comme tel) au sens de Devaney. 
 On considÃ¨re de plus que sa topologie est la suivante:
-l'entrÃ©e est constituÃ©e de  $n$ bits et un entier, la sortie est constituÃ©e de $n$ bits
+l'entrÃ©e est constituÃ©e de  ${\mathsf{N}}$ bits et un entier, 
+la sortie est constituÃ©e de ${\mathsf{N}}$ bits
 et chaque sortie est liÃ©e Ã  une entrÃ©e par une boucle.
 
 \begin{itemize}
-\item Le rÃ©seau est initialisÃ© avec  $n$~bits
-   $\left(x^0_1,\dots,x^0_n\right)$ et une valeur entiÃ¨re $S^0 \in [n]$.
+\item Le rÃ©seau est initialisÃ© avec  ${\mathsf{N}}$~bits
+   $\left(x^0_1,\dots,x^0_{\mathsf{N}}\right)$ et une valeur entiÃ¨re $S^0 \in [{\mathsf{N}}]$.
 \item  A l'itÃ©ration~$t$,     le vecteur 
-  $\left(x^t_1,\dots,x^t_n\right)$  permet de construire les $n$~bits 
-  servant de sortie $\left(x^{t+1}_1,\dots,x^{t+1}_n\right)$.
+  $\left(x^t_1,\dots,x^t_{\mathsf{N}}\right)$  permet de construire les ${\mathsf{N}}$~bits 
+  servant de sortie $\left(x^{t+1}_1,\dots,x^{t+1}_{\mathsf{N}}\right)$.
 \end{itemize}
 
 Le comportement de ce type de rÃ©seau de neurones peut Ãªtre prouvÃ© comme 
-Ã©tant chaotique en suivant la dÃ©marche Ã©noncÃ©e maintenant.
-On nomme tout d'abord $F:    \mathds{B}^n  \times [n] \rightarrow
-\mathds{B}^n$     la      fonction qui associe  
+Ã©tant chaotique en suivant la dÃ©marche suivante.
+On nomme tout d'abord $F:    \mathds{B}^{\mathsf{N}}  \times [{\mathsf{N}}] \rightarrow
+\mathds{B}^{\mathsf{N}}$     la      fonction qui associe  
 au vecteur 
-$\left(\left(x_1,\dots,x_n\right),s\right)    \in   \mathds{B}^n \times[n]$ 
+$\left(\left(x_1,\dots,x_{\mathsf{N}}\right),s\right)    \in   \mathds{B}^{\mathsf{N}} \times[{\mathsf{N}}]$ 
 le vecteur 
-$\left(y_1,\dots,y_n\right)       \in       \mathds{B}^n$, oÃ¹
-$\left(y_1,\dots,y_n\right)$  sont les sorties du rÃ©seau neuronal
-Ã aprÃ¨s l'initialisation de la couche d'entrÃ©e avec 
-$\left(s,\left(x_1,\dots, x_n\right)\right)$.  Ensuite, on dÃ©finie $f:
-\mathds{B}^n       \rightarrow      \mathds{B}^n$  telle que 
-$f\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right)$ est Ã©gal Ã  
+$\left(y_1,\dots,y_{\mathsf{N}}\right)       \in       \mathds{B}^{\mathsf{N}}$, oÃ¹
+$\left(y_1,\dots,y_{\mathsf{N}}\right)$  sont les sorties du rÃ©seau neuronal
+aprÃ¨s l'initialisation de la couche d'entrÃ©e avec 
+$\left(s,\left(x_1,\dots, x_{\mathsf{N}}\right)\right)$.  Ensuite, on dÃ©finie $f:
+\mathds{B}^{\mathsf{N}}       \rightarrow      \mathds{B}^{\mathsf{N}}$  telle que 
+$f\left(x_1,x_2,\dots,x_{\mathsf{N}}\right)$ est Ã©gal Ã  
 \begin{equation}
-\left(F\left(\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right),1\right),\dots,
-  F\left(\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right)\right),n\right) \enspace .
+\left(
+  F\left(\left(x_1,x_2,\dots,x_{\mathsf{N}}\right),1\right),\dots,
+  F\left(\left(x_1,x_2,\dots,x_{\mathsf{N}}\right),{\mathsf{N}}\right) 
+\right).
 \end{equation}
-Ainsi pour chaque $j$, $1 \le j \le n$, on a 
-$f_j\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right) = 
-F\left(\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right),j\right)$.
+Ainsi pour chaque $j$, $j \in [{\mathsf{N}}]$, on a 
+$f_j\left(x_1,x_2,\dots,x_{\mathsf{N}}\right) = 
+F\left(\left(x_1,x_2,\dots,x_{\mathsf{N}}\right),j\right)$.
 Si ce rÃ©seau de neurones est initialisÃ© avec 
-$\left(x_1^0,\dots,x_n^0\right)$   et $S   \in    [n]^{\mathds{N}}$, 
+$\left(x_1^0,\dots,x_{\mathsf{N}}^0\right)$   et $S   \in    [{\mathsf{N}}]^{\mathds{N}}$, 
 il produit exactement les mÃªme sorties que les itÃ©rations de  $F_{f_u}$ avec une 
-condition initiale $\left((x_1^0,\dots,  x_n^0),S\right)  \in  \mathds{B}^n \times [n]^{\mathds{N}}$.
+condition initiale $\left((x_1^0,\dots,  x_{\mathsf{N}}^0),S\right)  \in  \mathds{B}^{\mathsf{N}} \times [{\mathsf{N}}]^{\mathds{N}}$.
 Les itÃ©rations de $F_{f_u}$ 
 sont donc un modÃ¨le formel de cette classe de rÃ©seau de neurones.
 Pour vÃ©rifier si un de ces reprÃ©sentants est chaotique, il suffit ainsi 
@@ -158,15 +149,15 @@ de vÃ©rifier si le graphe d'itÃ©rations
 $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe.
 
 
-\section{Un rÃ©seau de neurones peut-il approximer
-des itÃ©ration unaires chaotiques?}
+\section[Approximation des itÃ©rations unaires chaotiques par RN]{Un rÃ©seau de neurones peut-il approximer
+des itÃ©ration unaires chaotiques?}\label{sec:ann:approx}
 
 Cette section s'intÃ©resse Ã  Ã©tudier le comportement d'un rÃ©seau de neurones 
 face Ã  des itÃ©rations unaires chaotiques, comme dÃ©finies Ã  
 la section~\ref{sec:TIPE12}.
-Plus prÃ©cÃ©sment, on considÃ¨re dans cette partie une fonction  dont le graphe 
+Plus prÃ©cisÃ©ment, on considÃ¨re dans cette partie une fonction  dont le graphe 
 des itÃ©rations unaires est fortement connexe et une sÃ©quence dans 
-$[n]^{\mathds{N}}$. On cherche Ã  construire un rÃ©seau de neurones
+$[{\mathsf{N}}]^{\mathds{N}}$. On cherche Ã  construire un rÃ©seau de neurones
 qui approximerait les itÃ©rations de la fonction $G_{f_u}$ comme dÃ©finie 
 Ã  l'Ã©quation~(\ref{eq:sch:unaire}).
 
@@ -205,70 +196,70 @@ mÃ©moriser des configurations. On en considÃ¨re deux principalement.
 Dans le premier cas, on considÃ¨re une entrÃ©e boolÃ©enne par Ã©lÃ©ment
 tandis que dans le second cas, les configurations  sont mÃ©morisÃ©es comme 
 des entiers naturels. Dans ce dernier cas, une approche naÃ¯ve pourrait 
-consister Ã  attribuer Ã  chaque configuration de $\Bool^n$ 
+consister Ã  attribuer Ã  chaque configuration de $\Bool^{\mathsf{N}}$ 
 l'entier naturel naturel correspondant.
 Cependant, une telle reprÃ©sentation rapproche 
 arbitrairement des configurations diamÃ©tralement
-opposÃ©es dans le $n$-cube comme  une puissance de
+opposÃ©es dans le ${\mathsf{N}}$-cube comme  une puissance de
 deux et la configuration immÃ©diatement prÃ©cÃ©dente: 10000 serait modÃ©lisÃ©e 
-par 16 et  et 01111 par 15 alros que leur distance de Hamming est 15.
+par 16 et  et 01111 par 15 alors que leur distance de Hamming est 15.
 De maniÃ¨re similaire, ce codage Ã©loigne des configurations qui sont 
 trÃ¨s proches: par exemple 10000 et 00000 ont une distance de Hamming 
 de 1 et sont respectivement reprÃ©sentÃ©es par 16 et 0.
 Pour ces raisons, le codage retenu est celui des codes de Gray~\cite{Gray47}.
 
 Concentrons nous sur la traduction de la stratÃ©gie.
-Il n'est naturellement pas possible de traduire une stragtÃ©gie 
+Il n'est naturellement pas possible de traduire une stratÃ©gie 
 infinie quelconque Ã  l'aide d'un nombre fini d'Ã©lÃ©ments.
 On se restreint donc Ã  des stratÃ©gies de taille 
-$l \in \llbracket 2,k\rrbracket$, oÃ¹ $k$ est un parametre dÃ©fini
+$l$, $2 \le l \le k$, oÃ¹ $k$ est un paramÃ¨tre dÃ©fini
 initialement. 
 Chaque stratÃ©gie est mÃ©morisÃ©e comme un entier naturel exprimÃ© en base 
-$n+1$: Ã  chaque itÃ©ration, soit aucun Ã©lÃ©ment n'est modifiÃ©, soit un 
+${\mathsf{N}}+1$: Ã  chaque itÃ©ration, soit aucun Ã©lÃ©ment n'est modifiÃ©, soit un 
 Ã©lÃ©ment l'est. 
-Enfin, on donne une derniÃ¨re entrÃ©e: $m  \in \llbracket
-1,l-1\rrbracket$, qui est le nombre d'itÃ©rations successives que l'on applique 
+Enfin, on donne une derniÃ¨re entrÃ©e: $m  \in [l-1]
+$, qui est le nombre d'itÃ©rations successives que l'on applique 
 en commenÃ§ant Ã  $x$. 
 Les sorties (stratÃ©gies et configurations) sont mÃ©morisÃ©es 
 selon les mÃªmes rÃ¨gles.
 
-Concentrons nous sur la complexitÃ© du problÃ¨mew.
+Concentrons nous sur la complexitÃ© du problÃ¨me.
 Chaque entrÃ©e, de l'entrÃ©e-sortie de l'outil est un triplet 
 composÃ© d'une configuration $x$, d'un extrait  $S$ de la stratÃ©gie Ã  
-itÃ©rer de taille $l \in \llbracket 2, k\rrbracket$ et d'un nombre $m \in  \llbracket 1, l-1\rrbracket$ d'itÃ©rations Ã  exÃ©cuter.
-Il y a  $2^n$  configurations $x$ et  $n^l$ stratÃ©gies de
+itÃ©rer de taille $l$, $2 \le l \le  k$ et d'un nombre $m \in [l-1]$ d'itÃ©rations Ã  exÃ©cuter.
+Il y a  $2^{\mathsf{N}}$  configurations $x$ et  ${\mathsf{N}}^l$ stratÃ©gies de
 taille $l$. 
 De plus, pour une  configuration donnÃ©e, il y a 
-$\omega = 1 \times n^2 +  2 \times n^3 + \ldots+ (k-1) \times n^k$
+$\omega = 1 \times {\mathsf{N}}^2 +  2 \times {\mathsf{N}}^3 + \ldots+ (k-1) \times {\mathsf{N}}^k$
 maniÃ¨res d'Ã©crire le couple $(m,S)$. Il n'est pas difficile d'Ã©tablir que 
 \begin{equation}
-\displaystyle{(n-1) \times \omega = (k-1)\times n^{k+1} - \sum_{i=2}^k n^i} \nonumber
+\displaystyle{({\mathsf{N}}-1) \times \omega = (k-1)\times {\mathsf{N}}^{k+1} - \sum_{i=2}^k {\mathsf{N}}^i} \nonumber
 \end{equation}
 donc
 \begin{equation}
 \omega =
-\dfrac{(k-1)\times n^{k+1}}{n-1} - \dfrac{n^{k+1}-n^2}{(n-1)^2} \enspace . \nonumber
+\dfrac{(k-1)\times {\mathsf{N}}^{k+1}}{{\mathsf{N}}-1} - \dfrac{{\mathsf{N}}^{k+1}-{\mathsf{N}}^2}{({\mathsf{N}}-1)^2} \enspace . \nonumber
 \end{equation}
 \noindent
 Ainsi le nombre de paire d'entrÃ©e-sortie pour les rÃ©seaux de neurones considÃ©rÃ©s
 est 
 $$
-2^n \times \left(\dfrac{(k-1)\times n^{k+1}}{n-1} - \dfrac{n^{k+1}-n^2}{(n-1)^2}\right) \enspace .
+2^{\mathsf{N}} \times \left(\dfrac{(k-1)\times {\mathsf{N}}^{k+1}}{{\mathsf{N}}-1} - \dfrac{{\mathsf{N}}^{k+1}-{\mathsf{N}}^2}{({\mathsf{N}}-1)^2}\right) \enspace .
 $$
 Par exemple, pour $4$   Ã©lÃ©ments binaires et une stratÃ©gie d'au plus 
-$3$~termes on obtient 2304 couples d'entrÃ©e-sorties.
+$3$~termes on obtient 2304 couples d'entrÃ©e-sortie.
 
 \subsection{ExpÃ©rimentations}
-\label{section:experiments}
-On se focalise dans cette section sur l'entraÃ®nement d'un perceptron 
-multi-couche pour apprendre des itÃ©rations chaotiques. Ce type de rÃ©seau
+\label{section:ann:experiments}
+On se focalise dans cette section sur l'entraÃ®nement d'un MLP
+pour apprendre des itÃ©rations chaotiques. Ce type de rÃ©seau
 ayant dÃ©jÃ  Ã©tÃ© Ã©valuÃ© avec succÃ¨s dans la prÃ©diction de 
 sÃ©ries chaotiques temporelles. En effet, les auteurs de~\cite{dalkiran10} 
 ont montrÃ© qu'un MLP pouvait apprendre la dynamique du circuit de Chua.
 Ce rÃ©seau avec rÃ©tropropagation est composÃ© de  deux couches 
-et entrainÃ© Ã  l'aide d'une  propagation arriÃ¨re Bayesienne.
+et entraÃ®nÃ© Ã  l'aide d'une  propagation arriÃ¨re Bayesienne.
 
-Le choix de l'achitecture du rÃ©seau ainsi que de la mÃ©thode d'apprentissage 
+Le choix de l'architecture du rÃ©seau ainsi que de la mÃ©thode d'apprentissage 
 ont Ã©tÃ© dÃ©taillÃ© dans~\cite{bcgs12:ij}.
 En pratique, nous avons considÃ©rÃ© des configurations de
 quatre Ã©lÃ©ments boolÃ©ens 
@@ -288,39 +279,40 @@ section prÃ©cÃ©dente.
 \hline
 \hline
 \multicolumn{2}{|c||}{Neurones cachÃ©s} & \multicolumn{3}{c|}{10 neurones} \\
-\cline{3-5} 
+\hline
 \multicolumn{2}{|c||}{Epochs} & 125 & 250 & 500 \\ 
 \hline
-\multirow{6}{*}{\rotatebox{90}{Chaotique $g$ }}&EntrÃ©e~(1) & 90.92\% & 91.75\% & 91.82\% \\ 
-& EntrÃ©e~(2) & 69.32\% & 78.46\% & 82.15\% \\
-& EntrÃ©e~(3) & 68.47\% & 78.49\% & 82.22\% \\
-& EntrÃ©e~(4) & 91.53\% & 92.37\% & 93.4\% \\
+\multirow{6}{*}{\rotatebox{90}{Chaotique $g$ }}&Sortie~(1) & 90.92\% & 91.75\% & 91.82\% \\ 
+& Sortie~(2) & 69.32\% & 78.46\% & 82.15\% \\
+& Sortie~(3) & 68.47\% & 78.49\% & 82.22\% \\
+& Sortie~(4) & 91.53\% & 92.37\% & 93.4\% \\
 & Config. & 36.10\% & 51.35\% & 56.85\% \\
 & StratÃ©gie~(5) & 1.91\% & 3.38\% & 2.43\% \\
 \hline
-\multirow{6}{*}{\rotatebox{90}{Non-chaotic $f$}}&EntrÃ©e~(1) & 97.64\% & 98.10\% & 98.20\% \\
-& EntrÃ©e~(2) & 95.15\% & 95.39\% & 95.46\% \\
-& EntrÃ©e~(3) & 100\% & 100\% & 100\% \\
-& EntrÃ©e~(4) & 97.47\% & 97.90\% & 97.99\% \\
+\multirow{6}{*}{\rotatebox{90}{Non-chaotic $f$}}&Sortie~(1) & 97.64\% & 98.10\% & 98.20\% \\
+& Sortie~(2) & 95.15\% & 95.39\% & 95.46\% \\
+& Sortie~(3) & 100\% & 100\% & 100\% \\
+& Sortie~(4) & 97.47\% & 97.90\% & 97.99\% \\
 & Config. & 90.52\% & 91.59\% & 91.73\% \\
 & StratÃ©gie~(5) & 3.41\% & 3.40\% & 3.47\% \\
 \hline
 \hline
 \multicolumn{2}{|c||}{Neurones cachÃ©s} & \multicolumn{3}{c|}{25 neurones} \\
-\cline{3-5} \\%& \multicolumn{3}{|c|}{40 neurons} \\
+%\cline{3-5} \\%& \multicolumn{3}{|c|}{40 neurons} \\
+\hline
 \multicolumn{2}{|c||}{Epochs} & 125 & 250 & 500 \\ %& 125 & 250 & 500 \\ 
 \hline
-\multirow{6}{*}{\rotatebox{90}{Chaotique $g$}}&EntrÃ©e~(1) & 91.65\% & 92.69\% & 93.93\% \\ %& 91.94\% & 92.89\% & 94.00\% \\
-& EntrÃ©e~(2) & 72.06\% & 88.46\% & 90.5\% \\ %& 74.97\% & 89.83\% & 91.14\% \\
-& EntrÃ©e~(3) & 79.19\% & 89.83\% & 91.59\% \\ %& 76.69\% & 89.58\% & 91.84\% \\
-& EntrÃ©e~(4) & 91.61\% & 92.34\% & 93.47\% \\% & 82.77\% & 92.93\% & 93.48\% \\
+\multirow{6}{*}{\rotatebox{90}{Chaotique $g$}}&Sortie~(1) & 91.65\% & 92.69\% & 93.93\% \\ %& 91.94\% & 92.89\% & 94.00\% \\
+& Sortie~(2) & 72.06\% & 88.46\% & 90.5\% \\ %& 74.97\% & 89.83\% & 91.14\% \\
+& Sortie~(3) & 79.19\% & 89.83\% & 91.59\% \\ %& 76.69\% & 89.58\% & 91.84\% \\
+& Sortie~(4) & 91.61\% & 92.34\% & 93.47\% \\% & 82.77\% & 92.93\% & 93.48\% \\
 & Config. & 48.82\% & 67.80\% & 70.97\% \\%& 49.46\% & 68.94\% & 71.11\% \\
 & StratÃ©gie~(5) & 2.62\% & 3.43\% & 3.78\% \\% & 3.10\% & 3.10\% & 3.03\% \\
 \hline
-\multirow{6}{*}{\rotatebox{90}{Non-chaotique $f$}}&EntrÃ©e~(1) & 97.87\% & 97.99\% & 98.03\% \\ %& 98.16\% \\
-& EntrÃ©e~(2) & 95.46\% & 95.84\% & 96.75\% \\ % & 97.4\% \\
-& EntrÃ©e~(3) & 100\% & 100\% & 100\% \\%& 100\% \\
-& EntrÃ©e~(4) & 97.77\% & 97.82\% & 98.06\% \\%& 98.31\% \\
+\multirow{6}{*}{\rotatebox{90}{Non-chaotique $f$}}&Sortie~(1) & 97.87\% & 97.99\% & 98.03\% \\ %& 98.16\% \\
+& Sortie~(2) & 95.46\% & 95.84\% & 96.75\% \\ % & 97.4\% \\
+& Sortie~(3) & 100\% & 100\% & 100\% \\%& 100\% \\
+& Sortie~(4) & 97.77\% & 97.82\% & 98.06\% \\%& 98.31\% \\
 & Config. & 91.36\% & 91.99\% & 93.03\% \\%& 93.98\% \\
 & StratÃ©gie~(5) & 3.37\% & 3.44\% & 3.29\% \\%& 3.23\% \\
 \hline
@@ -379,15 +371,15 @@ que ceux qui le sont. Ceci est est illustrÃ© au travers des
 figures~\ref{Fig:chaotic_predictions} et~\ref{Fig:non-chaotic_predictions}.
 De plus, comme dans le codage prÃ©cÃ©dent, les stratÃ©gies ne peuvent pas Ãªtre 
 prÃ©dites.  
-On constate que ce second codage rÃ©duit certe le nombre de sorties, mais est 
+On constate que ce second codage rÃ©duit certes le nombre de sorties, mais est 
 largement moins performant que le premier.
 On peut expliquer ceci par le fait
 que ce second codage garantit que deux entiers successifs correspondent 
-Ã  deux configurations voisines, \textit{ie.e}, qui ne diffÃ¨rent que d'un 
+Ã  deux configurations voisines, \textit{i.e.}, qui ne diffÃ¨rent que d'un 
 Ã©lÃ©ment.
 La rÃ©ciproque n'est cependant pas Ã©tablie et deux configurations voisines
-peuvent Ãªtre traduitent par des entiers trÃ¨s Ã©loignÃ©s et ainsi difficils 
-Ã apprendre. 
+peuvent Ãªtre traduites par des entiers trÃ¨s Ã©loignÃ©s et ainsi difficiles 
+ Ã  apprendre. 
 
 
 \begin{figure}[ht]
@@ -415,8 +407,8 @@ peuvent Ãªtre traduitent par des entiers trÃ¨s Ã©loignÃ©s et ainsi difficils
 
 
 \section{Conclusion}
-Dans ce chapitre, nous avons Ã©tabli une simlilitude entre les itÃ©rations 
-chaotiques et une famille  de perceptrons multicouches.
+Dans ce chapitre, nous avons Ã©tabli une similitude entre les itÃ©rations 
+chaotiques et une famille  de Perceptrons multi-couches.
 Nous avons d'abord montrÃ© comment  construire un rÃ©seau de neurones 
 ayant un comportement chaotique.
 Nous avons prÃ©sentÃ© ensuite comment vÃ©rifier si un rÃ©seau de neurones 
@@ -424,6 +416,12 @@ Nous avons prÃ©sentÃ© ensuite comment vÃ©rifier si un rÃ©seau de neurones
 Nous avons enfin montrÃ© en pratique qu'il est difficile pour un 
 rÃ©seau de neurones d'apprendre le comportement global d'itÃ©rations
 chaotiques.
+Comme il est difficile (voir impossible) d'apprendre le comportement 
+de telles fonction, il paraÃ®t naturelle de savoir si celles ci peuvent Ãªtre 
+utilisÃ©es pour gÃ©nÃ©rer des nombres pseudo alÃ©atoires, ce que propose la partie
+suivante.
+
+
 % \appendix{}
 
 % \begin{Def} \label{def2}
