+
+Commençons par caractériser l'ensemble $\mathcal{T}$ des fonctions transitives:
+
+\begin{theorem} $G_f$ est transitive si et seulement si
+ $\Gamma(f)$ est fortement connexe.
+\end{theorem}
+
+\begin{Proof}
+
+$\Longleftarrow$ Supposons que $\Gamma(f)$ soit fortement connexe.
+Soient $(x,S)$ et $(x',S')$ deux points de $\mathcal{X}$ et $\varepsilon >0$.
+On construit la stratégie $\tilde S$ telle que la distance
+entre $(x,\tilde S)$ et $(x,S)$ est inférieure à
+$\varepsilon$ et telle que les itérations parallèles de $G_f$ depuis
+$(x,\tilde S)$ mènent au point $(x',S')$.
+
+Pour cela, on pose $t_1 =-\lfloor\log_{10}(\varepsilon)\rfloor$ et $x''$ la
+configuration de $\Bool^{\mathsf{N}}$ obtenue depuis $(x,S)$
+après $t_1$ itérations
+parallèles de $G_f$.
+Comme $\Gamma(f)$ est fortement connexe, il existe une
+stratégie $S''$ et un entier $t_2$ tels que $x'$ est atteint depuis
+$(x'',S'')$ après $t_2$ itérations de $G_f$.
+
+Considérons à présent la stratégie
+$\tilde S=(s_0,\dots,s_{t_1-1},s''_0,\dots,s''_{t_2-1},s'_0,s'_1,s'_2,s'_3\dots)$.
+Il est évident que $(x',s')$ est atteint depuis $(x,\tilde S)$ après
+$t_1+t_2$ itérations parallèles de $G_f$. Puisque
+$\tilde s_t=s_t$ pour $t<t_1$, grâce au choix de $t_1$,
+on a $d((x,S),(x,\tilde S))<\epsilon$.
+Par conséquent, $G_f$ est transitive.
+
+$\Longrightarrow$ Démontrons la contraposée.
+Si $\Gamma(f)$ n'est pas fortement connexe, alors
+il existe deux configurations $x$ et $x'$ telles qu'aucun chemin de
+$\Gamma(f)$ ne mène de $x$ à $x'$.
+Soient $S$ et $S'$ deux stratégies et $\varepsilon \in ]0;1[$.
+Alors, pour tout $(x'',S'')$ tel que
+$d((x'',S''),(x,S))<\varepsilon$ on a $x''$ qui est égal à $x$.
+Comme il n'existe aucun chemin de $\Gamma(f)$
+qui mène de $x$ à $x'$,
+les itérations de $G_f$ à partir de
+$(x'',S'') = (x,S'')$ ne peuvent atteindre que des points
+$(x''',S''')$ de $\mathcal{X}$ tels que $x''' \neq x'$,
+et donc ne peuvent pas atteindre $(x',S')$.
+On peut remarquer que, du fait que $x''' \neq x'$,
+elles n'atteignent que des points de $\mathcal{X}$
+dont la distance à $(x',S')$ est supérieure à 1.
+Pour tout entier naturel $t$, on a
+$G_f^t(x'',S'') \neq (x',S')$.
+Ainsi $G_f$ n'est pas transitive et
+par contraposée, on a la démonstration souhaitée.
+\end{Proof}
+
+
+Prouvons à présent le théorème suivant:
+
+\begin{theorem}
+\label{Prop: T est dans R} $\mathcal{T} \subset \mathcal{R}$.
+\end{theorem}
+
+
+\begin{Proof}
+Soit $f:\Bool^{\mathsf{N}}\to\Bool^{\mathsf{N}}$ telle que $G_f$ est transitive (\textit{i.e.}
+$f$ appartient à $\mathcal{T}$).
+Soit $(x,S) \in\mathcal{X}$ et $\varepsilon >0$. Pour
+prouver que $f$ appartient à $\mathcal{R}$, il suffit de prouver
+qu'il existe une stratégie $\tilde S$ telle que la distance entre
+$(x,\tilde S)$ et $(x,S)$ est inférieure à $\varepsilon$ et telle que
+$(x,\tilde S)$ est un point périodique.
+
+Soit $t_1=-\lfloor \log_{10}(\varepsilon)\rfloor$ et soit $x'$ la
+configuration obtenue après $t_1$ itérations de $G_f$ depuis $(x,S)$.
+D'après la proposition précédente, $\Gamma(f)$ est fortement connexe.
+Ainsi, il existe une stratégie $S'$ et un nombre $t_2\in\Nats$ tels
+que $x$ est atteint depuis $(x',S')$ après $t_2$ itérations de $G_f$.
+
+Soit alors la stratégie $\tilde S$ qui alterne les $t_1$ premiers termes
+de $S$ avec les $t_2$ premiers termes de $S'$.
+Ainsi $\tilde S$ est définie par
+\begin{equation*}
+(s_0,\dots,s_{t_1-1},s'_0,\dots,s'_{t_2-1},s_0,\dots,s_{t_1-1},s'_0,\dots,s'_{t_2-1},s_0,\dots).
+\end{equation*}
+Il est évident que $(x,\tilde S)$ s'obtient à partir de $(x,\tilde S)$ après
+$t_1+t_2$ itérations parallèles de $G_f$. Ainsi $(x,\tilde S)$ est un point
+périodique. Puisque $\tilde s_t$ est égal à $s_t$ pour $t<t_1$, d'après le
+choix de $t_1$, on a $d((x,S),(x,\tilde S))<\epsilon$.
+\end{Proof}
+
+On peut conclure que $\mathcal{C} = \mathcal{R} \cap \mathcal{T}
+= \mathcal{T}$. On a alors la caractérisation suivante:
+
+\begin{theorem}%[Characterization of $\mathcal{C}$]
+\label{Th:CaracIC}
+Soit $f:\Bool^{\mathsf{N}}\to\Bool^{\mathsf{N}}$. La fonction $G_f$ est chaotique
+si et seulement si $\Gamma(f)$ est fortement connexe.
+\end{theorem}
