From: couchot <couchot@couchot>
Date: Mon, 9 Jan 2017 13:39:14 +0000 (+0100)
Subject: une version de plus
X-Git-Url: https://bilbo.iut-bm.univ-fcomte.fr/and/gitweb/hdrcouchot.git/commitdiff_plain/44a56c5eb4a1dfdf7dc67735c5c00f478cef2ede?hp=d31be79de69d9af9371a3b1fcb3df81246c5928a

une version de plus
---

diff --git a/14Secrypt.tex b/14Secrypt.tex
index 84b5302..b499f1b 100644
--- a/14Secrypt.tex
+++ b/14Secrypt.tex
@@ -566,7 +566,10 @@ p(e) \left\{
 La chaîne de Markov associée converge vers la distribution uniforme et 
 
 \[
-\forall \varepsilon >0,\, t_{\rm mix}(\varepsilon) \le 32 {\mathsf{N}}^2+ 16{\mathsf{N}}\ln ({\mathsf{N}}+1) = O(N^2).
+\forall \varepsilon >0,\, t_{\rm mix}(\varepsilon) \le 
+x
+\leq \lceil\log_2(\varepsilon^{-1})
+(32 {\mathsf{N}}^2+ 16{\mathsf{N}}\ln ({\mathsf{N}}+1)) 
 \] 
 \end{restatable}
 
@@ -853,8 +856,8 @@ l'on marche.
 Cela s'explique assez simplement. Depuis une configuration initiale, le nombre 
 de configurations qu'on ne peut pas atteindre en une itération est de: 
 \begin{itemize}
-\item $2^n-n$ en unaire. Ceci représente un rapport de 
-  $\dfrac{2^n-n}{2^n} = 1-\dfrac{n}{2^n}$ 
+\item $2^n-n-1$ en unaire. Ceci représente un rapport de 
+  $\dfrac{2^n-n-1}{2^n} = 1-\dfrac{n-1}{2^n}$ 
   de toutes les configurations; plus $n$ est grand, 
   plus ce nombre est proche de $1$, et plus grand devient le nombre 
   d'itérations nécessaires pour atteinte une déviation faible;
diff --git a/15RairoGen.tex b/15RairoGen.tex
index c1cf7d3..6832d33 100644
--- a/15RairoGen.tex
+++ b/15RairoGen.tex
@@ -31,8 +31,9 @@ Réduire ces critiques est l'objectif de nombreux travaux de recherche reportés
 
 
 Parmi les suites simples classiquement embarquées dans les CPRNGs, on trouve principalement
-la suite logistique et 
-la suite de Hénon. La suite logistique~\cite{may1976simple} est définie de $[0;1]$ dans lui même par $x_{t+1} = r \times x_t(1-x_t)$ 
+la suite logistique,  
+la suite de Hénon. 
+La suite logistique~\cite{may1976simple} est définie de $[0;1]$ dans lui même par $x_{t+1} = r \times x_t(1-x_t)$ 
 avec $x_0 \in [0;1]$ et $3,57<r<4,0$.
 La suite de Hénon~\cite{henon1976two} de $A \times B$ dans lui même, avec $A$ et $B$ deux sous-ensembles de $\R$, 
 est définie par  
@@ -65,13 +66,24 @@ $i \in \dfrac{\Z}{L\Z}$,
 $f$ est une adaptation de la suite logistique au cas discret,
 la graine $(X_0(0),\dots, X_0(L-1))$ et la pondération $\varepsilon$ sont fournies par l'utilisateur.
  
+
+René Lozi a aussi étudié la construction de PRNGs en couplant 
+des suites de Lozi~\cite{espinelrojas:hal-00622989} (qui sont une variation des suites de Hénon: $x^2_t$ est remplacé par $| x_t|$),
+la suite tente~\cite{DBLP:journals/ijbc/Lozi12} et en extrayant des 
+sous-suites pour construire la sortie du PRNG~\cite{lozi:hal-00813087}. 
+ 
+ 
+
+
 Certaines équations différentielles ont été à la base de PRNGs chaotiques. 
 On pense aux équations de Lorenz~\cite{Lorenz1963}, à celles de Rössler~\cite{Rossler1976397}\ldots
 Celles-ci ont par exemple embarquées dans les PRNG dans les articles~\cite{Silva:2009:LLP:1592409.1592411}
 et~\cite{mansingka2013fibonacci} respectivement.
 
 
-\section{ Nombres pseudo-aléatoires construits par itérations unaires}\label{sub:prng:algo}
+
+
+\section{Nombres pseudo-aléatoires construits par itérations unaires}\label{sub:prng:algo}
 
 
 
@@ -351,11 +363,11 @@ ait une distribution suffisamment proche de la distribution uniforme.
 On énonce directement le théorème suivant dont la preuve est donnée en annexe~\ref{anx:generateur}.
 
 \begin{restatable}[Uniformité de la sortie de l'algorithme~\ref{CI Algorithm}]{theorem}{PrngCIUniforme}\label{thm:prng:u}
-  Soit $f: \Bool^{n} \rightarrow \Bool^{n}$, $\textsc{giu}(f)$ son 
+  Soit $f: \Bool^{\mathsf{N}} \rightarrow \Bool^{\mathsf{N}}$, $\textsc{giu}(f)$ son 
   graphe d'itérations , $\check{M}$ sa matrice d'adjacence
   et $M$ une matrice  $2^n\times 2^n$  
   définie par 
-  $M = \dfrac{1}{n} \check{M}$.
+  $M = \dfrac{1}{\mathsf{N}} \check{M}$.
   Si $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe, alors 
   la sortie du générateur de nombres pseudo-aléatoires détaillé par 
   l'algorithme~\ref{CI Algorithm} suit une loi qui 
@@ -379,22 +391,22 @@ Expliquons enfin comment a été calculé le nombre de la troisième
 colonne utilisé comme le paramètre $b$ 
 dans l'algorithme~\ref{CI Algorithm}.
 
-Soit $e_i$ le $i^{\textrm{ème}}$ vecteur de la base canonique de $\R^{2^{n}}$. 
-Chacun des éléments $v_j$, $1 \le j \le 2^n$, 
+Soit $e_i$ le $i^{\textrm{ème}}$ vecteur de la base canonique de $\R^{2^{\mathsf{N}}}$. 
+Chacun des éléments $v_j$, $1 \le j \le 2^{\mathsf{N}}$, 
 du vecteur $e_i M_f^t$ représente la probabilité 
 d'être dans la configuration $j$ après $t$ étapes du processus de Markov 
 associé à $\textsc{giu}(f)$ en partant de la configuration $i$.   
 Le nombre $\min \{
  t \mid t \in \Nats, \vectornorm{e_i M_f^t - \pi} < 10^{-4}
 \}$ représente le plus petit nombre d'itérations où la distance de 
-ce vecteur au vecteur $\pi=(\frac{1}{2^n},\ldots,\frac{1}{2^n})$
+ce vecteur au vecteur $\pi=(\frac{1}{2^{\mathsf{N}}},\ldots,\frac{1}{2^{\mathsf{N}}})$
 -- autrement dit, où la déviation par rapport à la distribution uniforme --
  est inférieure 
 à $10^{-4}$. En prenant le max pour tous les $e_i$, on obtient une valeur pour
  $b$. 
 Ainsi, on a 
 \begin{equation}
-b = \max\limits_{i \in \llbracket 1, 2^n \rrbracket} 
+b = \max\limits_{i \in \llbracket 1, 2^{\mathsf{N}} \rrbracket} 
 \left\{
 \min \left\{
  t \mid t \in \Nats, \vectornorm{e_i M_f^t - \pi} < 10^{-4}
@@ -527,7 +539,7 @@ $F_{{f_u},p_i} :  \mathds{B}^\mathsf{N} \times [\mathsf{N}]^{p_i}
 \rightarrow \mathds{B}^\mathsf{N}$ définie par
 
 $$
-F_{f_u,p_i} (x,(u^0, u^1, \hdots, u^{p_i-1}))  \mapsto 
+F_{f_u,p_i} (x,(u^0, u^1, \hdots, u^{p_i-1}))  = 
 F_{f_u}(\hdots (F_{f_u}(F_{f_u}(x,u^0), u^1), \hdots), u^{p_i-1}).
 $$
 
@@ -558,7 +570,7 @@ sur la seconde.
 Ainsi, les  sorties  $(y^0, y^1, \hdots )$ produites par le générateur détaillé dans 
 l'algorithme~\ref{CI Algorithm}
 sont les premiers  composants des itérations $X^0 = (x^0, (u,v))$ et $\forall n \in \mathds{N}, 
-X^{n+1} = G_{f_u,\mathcal{P}}(X^n)$ dans $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$ où
+X^{n+1} = G_{f_u,\mathcal{P}}(X^{\mathsf{N}})$ dans $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$ où
 $G_{f_u,\mathcal{P}}$  est définie par:
 
 
diff --git a/15TSI.tex b/15TSI.tex
index 7f33772..d9886c8 100644
--- a/15TSI.tex
+++ b/15TSI.tex
@@ -32,7 +32,7 @@ configurations $x^t$ sont définies par la récurrence
   Soit alors $G_{f_g}$ une fonction de $\Bool^{\mathsf{N}}  \times  \mathcal{P}(\{1, \ldots, {\mathsf{N}}\})^{\Nats}$ 
   dans lui-même définie par 
   \[
-  G_{f_g}(S,x)=(\sigma(S),F_{f_g}(s_0,x)),
+  G_{f_g}(x,S)=(F_{f_g}(x,s_0),\sigma(S)),
   \] 
   où la fonction $\sigma$ est définie comme à la section précédente.
   A nouveau, les itérations généralisées 
diff --git a/conclusion.tex b/conclusion.tex
index c544c43..716f6ed 100644
--- a/conclusion.tex
+++ b/conclusion.tex
@@ -1,5 +1,14 @@
+Ce travail a été guidé par la volonté de 
+comprendre une partie des avancées théoriques et pratiques autour des systèmes discrets,
+de formuler de nouvelles propositions dans ce champ thématique et
+de les démontrer lorsque nos connaissances le permettaient.
+Ce travail est le fruit d'une équipe et nombreux sont ceux qui y ont pris part.
 
-\subsection{Synthèses des contributions}
+Ce chapitre en présente tout d'abord une synthèse (section~\ref{sec:concl:synth}).
+Quelques perspectives qui s'en dégagent sont ensuite esquissées (section~\ref{sec:concl:persp}).
+
+
+\section{Synthèses des contributions}\label{sec:concl:synth}
 
 Les principales contributions gravitent autour des mathématiques discrètes et plus particulièrement 
 les itérations de systèmes dynamiques discrets.
@@ -88,9 +97,9 @@ comme des méthodes de calcul de gradient
 ou de matrice Hessienne. Grâce à l'étude de ces matrices, nous avons proposé un nouveau schéma de 
 stéganographie sécurisé (chapitre~\ref{chap:th:yousra}).
 
-\subsection{Quelques perspectives}
-
-\subsubsection{Étendons les PRNGs}
+\section{Quelques perspectives}\label{sec:concl:persp}
+Les expériences, résultats et connaissances acquises lors de ce travail conduisent vers de nouvelles perspectives présentées ci-après.
+\subsection{Autour des PRNGs}
 La démarche actuelle de génération de nombres pseudo-aléatoires
 consiste à marcher dans une partie d'un $\mathsf{N}$-cube en choisissant son chemin
 à l'aide d'un générateur fourni en entrée. Or ces générateurs sont tous des 
@@ -108,11 +117,23 @@ nous avons établi pour notre classe de générateurs. On a vu, via les itérati
 qu'on pouvait modifier plusieurs bits 
 en une seule itération. Les premiers travaux pratiques réalisés ont montré 
 que le nombre d'itérations suffisant pour converger vers une distribution uniforme
-est plus petit que celui obtenu en marchant et qu'il diminue à mesure que $\mathsf{N}$ 
+est plus petit que celui obtenu en marchant et, plus intéressant encore,
+qu'il diminue à mesure que $\mathsf{N}$ 
 augmente. Pour l'instant, nous n'avons pas réussi à obtenir une majoration du nombre d'itérations 
-pour le temps d'arrêt, ce qui pourrait être une perspective.
+pour le temps d'arrêt ce que nous pourrons faire dans un avenir proche.
+
+Il nous paraît aussi important de déployer tout le travail fait autour des PRNG sur des plates-formes physiques.
+On pense aux circuits logiques programmables (FPGA) ou aux circuits intégrés dédiés à une application (ASIC).
+Un premier travail~\cite{DBLP:conf/secrypt/MohammedCG16} a été réalisé en ce sens et a consisté à comparer, sur FPGA uniquement, 
+les implantations existantes de PRNGs de la littérature ainsi que celles à base d'itérations unaires. 
+Poursuivre le déploiement sur ces deux familles d'architecture, intégrer les itérations généralisées et les combiner nous 
+est une piste de recherche que nous allons poursuivre. 
+
 
-\subsubsection{Des codes de Gray localement et globalement équilibrés}
+
+
+
+\subsection{Des codes de Gray localement et globalement équilibrés}
 Enfin, pour générer une fonction dont la matrice de Markov est doublement
 stochastique
 --condition nécessaire pour fournir une sortie uniformément distribuée--, 
@@ -128,7 +149,7 @@ pour nos générateurs.
 Un second verrou consistera à adapter ces algorithmes pour proposer des codes possédant les 
 deux propriétés d'équilibrage.
  
-\subsubsection{Stéganalyse par deep learning}
+\subsection{Stéganalyse par deep learning}
 
 Les démarches de stéganalyse sont souvent composées de 2 étapes: 
 caractérisation puis classification. 
@@ -159,4 +180,5 @@ en deep-learning celles qui sont des convolutions directes. Il restera ensuite
 à adapter l'outil de deep learning aux caractéristiques restantes ce qui est un autre challenge 
 scientifique. 
 
-\subsection{}
\ No newline at end of file
+
+
diff --git a/intro.tex b/intro.tex
index 10072d3..f2cc724 100644
--- a/intro.tex
+++ b/intro.tex
@@ -197,7 +197,7 @@ depuis  mon intégration en tant qu'enseignant chercheur.
 
 &
 % conf inter
-\cite{accfg15:ip,ccfg16:ip,kcm16:ip}
+\cite{accfg15:ip,DBLP:conf/secrypt/MohammedCG16,ccfg16:ip,kcm16:ip}
 
 
 
diff --git a/main.tex b/main.tex
index 094d3d3..49b79eb 100644
--- a/main.tex
+++ b/main.tex
@@ -46,8 +46,14 @@
 %%--------------------
 %% Add a member of the jury
 %% \addjury{Firstname}{Lastname}{Role in the jury}{Position}
-\addjury{First}{Name}{Rapporteur}{Professeur à l'Université de XXX}
-\addjury{First}{Name}{Examinateur}{Professeur à l'Université de XXX}
+\addjury{Olivier}{Bournez}{Rapporteur}{Professeur à l'Ecole Polytechnique}
+\addjury{Jean-Paul}{Comet}{Rapporteur}{Professeur à l'Université de Nice Sophia Antipolis}
+\addjury{Juan-Pablo}{Ortega}{Rapporteur}{Professeur à l'Université de St. Gallen--Suisse}
+\addjury{Sylvain}{Contassot-Vivier}{Examinateur}{Professeur à l'Université de Lorraine}
+\addjury{Raphaël}{Couturier}{Examinateur}{Professeur à l'Université de Bourgogne Franche-Comté}
+\addjury{Christophe}{Guyeux}{Examinateur}{Professeur à l'Université de Bourgogne Franche-Comté}
+
+
  
 %%--------------------
 %% Change the style of the text in the list of the members of the jury.
@@ -56,7 +62,7 @@
 
 %%--------------------
 %% Set the University where HDR was made
-\hdrpreparedin{Université Bourgone Franche-Comté}
+\hdrpreparedin{Université Bourgogne Franche-Comté}
 
  
 %%--------------------
@@ -339,8 +345,9 @@ pseudo-aléatoires}
 
 
 
-\part*{Conclusion et Perspectives}
+\part{Conclusion}
 
+\chapter{Conclusion et Perspectives}
 \input{conclusion}
 
 
diff --git a/mixage.tex b/mixage.tex
index 973305a..356523d 100644
--- a/mixage.tex
+++ b/mixage.tex
@@ -71,8 +71,8 @@ est défini pour chaque  $i
   x^{t+1}_i= \left\{
     \begin{array}{l}
       f_i( x_1^{D_{i1}^t},\ldots, x_{n}^{D_{i{n}}^t})
-      \textrm{ si } \textit{bin}(s^t)[i] = 1\\ 
-      x^{t}_i  \textrm{ sinon }
+      \textrm{ si } i \in s^t \\ 
+      x^{t}_i  \textrm{ sinon.}
     \end{array} 
   \right.
 \end{equation}
diff --git a/talk/asynchrone.tex b/talk/asynchrone.tex
index 3a83f7e..d408ddf 100644
--- a/talk/asynchrone.tex
+++ b/talk/asynchrone.tex
@@ -2,9 +2,9 @@
  \item Deux modes: 
 \begin{itemize}
  \item 
-   \emph{synchrone}: chaque élément attend la valeur des élements dont il dépend;
+   \emph{Synchrone}: chaque élément attend la valeur des élements dont il dépend.
  \item 
-  \emph{asynchrone}: chaque élément met  à jour sa valeur sans attendre.
+  \emph{Asynchrone}: chaque élément met  à jour sa valeur sans attendre.
  \end{itemize}
 
 \item  $(D^{t})^{t \in  \Nats}$:  suite de matrices de taille $\mathsf{N}  \times \mathsf{N}$ t.q.  
diff --git a/talk/attracteurs.tex b/talk/attracteurs.tex
index edc0088..c5ccf6f 100644
--- a/talk/attracteurs.tex
+++ b/talk/attracteurs.tex
@@ -9,7 +9,7 @@
 \end{itemize}
 
 \vspace{-1em}
-\begin{exampleblock}{Attracteurs de 
+\begin{block}{Attracteurs de 
 $(x_1, x_2, x_3) \mapsto 
 ((\overline{x_1} + \overline{x_2}).x_3,
 x_1.x_3,
@@ -43,4 +43,4 @@ x_1 + x_2 + x_3)$.}
     }
   \end{center}
 \end{figure}
-\end{exampleblock}
+\end{block}
diff --git a/talk/chaosDevaney.tex b/talk/chaosDevaney.tex
new file mode 100644
index 0000000..1226075
--- /dev/null
+++ b/talk/chaosDevaney.tex
@@ -0,0 +1,15 @@
+\begin{definition}[Chaos selon Devaney]
+$k$ continue sur $(\mathcal{X},d)$ est chaotique si elle est transitive,
+régulière et fortement sensible aux conditions initiales.
+
+\begin{itemize}
+\item \emph{Transitivitivé}: pour chaque point, chacun de ses voisinages
+  a un futur pouvant contenir tout point de l'espace.
+\item  \emph{Régularité}:   l'ensemble de ses points 
+périodiques est dense dans $\mathcal{X}$.
+\item \emph{Forte sensibilité aux cond. initiales}: pour chaque point, 
+  chacun de  ses voisinages a un point dont un futur est éloigné.
+\end{itemize}
+\end{definition}
+
+
diff --git a/talk/chaosDevaneyGeneralisees.tex b/talk/chaosDevaneyGeneralisees.tex
new file mode 100644
index 0000000..99fd442
--- /dev/null
+++ b/talk/chaosDevaneyGeneralisees.tex
@@ -0,0 +1,36 @@
+\begin{itemize}
+\item Vers une fonction de 
+$\mathcal{X}_g =\Bool^{\mathsf{N}} 
+\times  \left(\mathcal{P}([{\mathsf{N}}]\right)^{\Nats}$ 
+dans lui même:
+\begin{itemize}
+\item   $F_{f_g}:  \Bool^{\mathsf{N}} \times \mathcal{P}([{\mathsf{N}}]) 
+  \rightarrow \Bool^{\mathsf{N}}$  par
+  $
+  F_{f_g}(x,s)_i=\left\{
+    \begin{array}{l}
+      f_i(x) \textrm{ si $i \in s$;}\\   
+      x_i \textrm{ sinon.}
+    \end{array}\right.
+  $
+\item $\sigma: 
+ \mathcal{P}([{\mathsf{N}}])^{\Nats}
+ \rightarrow 
+ \mathcal{P}([{\mathsf{N}}])^{\Nats}$
+ t.q. $\forall t\in\Nats,\sigma(s)_t=s_{t+1}$
+\item $G_{f_g}$ définie par 
+   $
+  G_{f_g}(x,S)=(F_{f_g}(x,s_0),\sigma(S)),
+  $ 
+
+\end{itemize}
+
+\item Distance $d$: $d((x,s),(x',s'))= d_H(x,x')+d'_S(s,s')$
+\end{itemize}
+
+\begin{theorem}[Fonctions t.q.  $G_{f_g}$ est chaotique]
+\label{Th:CaracIC}  
+Soit $f:\Bool^{\mathsf{N}}\to\Bool^{\mathsf{N}}$. 
+Les itérations de la fonction $G_{f_g}$ sont chaotiques  
+si et seulement si $\textsc{gig}(f)$ est fortement connexe.
+\end{theorem}
diff --git a/talk/chaosDevaneyTransitivite.tex b/talk/chaosDevaneyTransitivite.tex
new file mode 100644
index 0000000..a3fa494
--- /dev/null
+++ b/talk/chaosDevaneyTransitivite.tex
@@ -0,0 +1,29 @@
+\begin{definition}[Chaos selon Devaney]
+$k$ continue sur $(\mathcal{X},d)$ est chaotique si elle est transitive,
+régulière et fortement sensible aux conditions initiales.
+
+\begin{itemize}
+\item \emph{Transitivitivé}: pour chaque point, chacun de ses voisinages
+  a un futur pouvant contenir tout point de l'espace.
+\item  \emph{Régularité}:   l'ensemble de ses points 
+périodiques est dense dans $\mathcal{X}$.
+\item \emph{Forte sensibilité aux cond. initiales}: pour chaque point, 
+  chacun de  ses voisinages a un point dont un futur est éloigné.
+\end{itemize}
+\end{definition}
+
+\begin{itemize}
+\item Vers une fonction de 
+$\mathcal{X}_u =\Bool^{\mathsf{N}} \times \llbracket1;{\mathsf{N}}\rrbracket^\Nats$ 
+dans lui même
+\begin{itemize}
+\item $F_{f_u}: \mathcal{X} \rightarrow \Bool^{\mathsf{N}}$, 
+$(x,i) \mapsto (x_1,\dots,x_{i-1},f_i(x),x_{i+1},\dots,x_{\mathsf{N}})$
+\item $\sigma: \llbracket1;{\mathsf{N}}\rrbracket^\Nats \rightarrow \llbracket1;{\mathsf{N}}\rrbracket^\Nats$ t.q. $\forall t\in\Nats,\sigma(s)_t=s_{t+1}$
+\item $G_{f_u}$ définie par 
+  $G_{f_u}(s,x)=(F_{f_u}(x,s_0),\sigma(s))$
+\end{itemize}
+
+\item Distance $d$: $d((x,s),(x',s'))= d_H(x,x')+d_S(s,s')$
+\end{itemize}
+
diff --git a/talk/chaosDevaneyUnaire.tex b/talk/chaosDevaneyUnaire.tex
new file mode 100644
index 0000000..f3efc5e
--- /dev/null
+++ b/talk/chaosDevaneyUnaire.tex
@@ -0,0 +1,21 @@
+\begin{itemize}
+\item Vers une fonction de 
+$\mathcal{X}_u =\Bool^{\mathsf{N}} \times [{\mathsf{N}}]^\Nats$ 
+dans lui même~\cite{guyeuxphd}:
+\begin{itemize}
+\item $F_{f_u}: \Bool^{\mathsf{N}} \times [{\mathsf{N}}] \rightarrow \Bool^{\mathsf{N}}$, 
+$(x,i) \mapsto (x_1,\dots,x_{i-1},f_i(x),x_{i+1},\dots,x_{\mathsf{N}})$
+\item $\sigma: [{\mathsf{N}}]^\Nats \rightarrow [{\mathsf{N}}]^\Nats$ t.q. $\forall t\in\Nats,\sigma(s)_t=s_{t+1}$
+\item $G_{f_u}$ définie par 
+  $G_{f_u}(x,s)=(F_{f_u}(x,s_0),\sigma(s))$
+\end{itemize}
+
+\item Distance $d$: $d((x,s),(x',s'))= d_H(x,x')+d_S(s,s')$
+\end{itemize}
+
+\begin{theorem}[Fonctions t.q.  $G_{f_u}$ est chaotique~\cite{bcg11:ij}]
+\label{Th:CaracIC}  
+Soit $f:\Bool^{\mathsf{N}}\to\Bool^{\mathsf{N}}$. 
+Les itérations de la fonction $G_{f_u}$ sont chaotiques  
+si et seulement si $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe.
+\end{theorem}
diff --git a/talk/condunif.tex b/talk/condunif.tex
new file mode 100644
index 0000000..c23cf31
--- /dev/null
+++ b/talk/condunif.tex
@@ -0,0 +1,56 @@
+ \begin{theorem}[Uniformité de la sortie~\cite{bcgr11:ip}]
+  Soit $f: \Bool^{\mathsf{N}} \rightarrow \Bool^{\mathsf{N}}$, $\textsc{giu}(f)$ son 
+  graphe d'itérations , $\check{M}$ sa matrice d'adjacence.
+  Si $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe, alors 
+  la sortie du générateur de nombres pseudo-aléatoires suit une loi qui 
+  tend vers la distribution uniforme ssi  $\dfrac{1}{\mathsf{N}} \check{M}$ est  doublement stochastique.
+\end{theorem}
+
+
+\begin{minipage}[b]{0.45\textwidth}
+\begin{block}{}
+  \begin{minipage}[b]{0.15\textwidth}
+    \includegraphics[height=3cm]{../images/g.pdf}
+  \end{minipage}
+  \begin{minipage}[b]{0.80\textwidth}
+    \begin{itemize}
+    \item $g(x_1,x_2)=(\overline{x_1},x_1\overline{x_2})$
+    \item $M_g = \dfrac{1}{2}\left( 
+        \begin{array}{c} 
+          1  0  1  0 \\ 
+          1  0  0  1 \\ 
+          1  0  0  1 \\ 
+          0  1  1  0 
+        \end{array}
+      \right)$
+    \item $\pi_g=(\frac{4}{10}, \frac{1}{10},\frac{3}{10},\frac{2}{10})$
+    \end{itemize}
+  \end{minipage}
+\end{block}
+\end{minipage}
+\quad
+\begin{minipage}[b]{0.50\textwidth}
+  \begin{block}{}
+  \begin{minipage}[b]{0.15\textwidth}
+    \includegraphics[height=3cm]{../images/h.pdf}
+  \end{minipage}
+  \begin{minipage}[b]{0.82\textwidth}
+    \vspace{-2em}
+  \begin{itemize}
+  \item $h(x_1,x_2)=(\overline{x_1},x_1\overline{x_2}+\overline{x_1}x_2)$
+  \item $M_h = \dfrac{1}{2}\left( 
+      \begin{array}{c} 
+        1  0  1  0 \\ 
+        0  1  0  1 \\ 
+        1  0  0  1 \\ 
+        0  1  1  0 
+        
+      \end{array}
+    \right)
+    $
+  \item $\pi_h=(\frac{1}{2}, \frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})$
+  \end{itemize}
+\end{minipage}
+\end{block}  
+\end{minipage}
+
diff --git a/talk/ctx.tex b/talk/ctx.tex
index a003116..e4f8b32 100644
--- a/talk/ctx.tex
+++ b/talk/ctx.tex
@@ -1,16 +1,16 @@
-\begin{exampleblock}{Utilisation des nombres aléatoires}
+\begin{block}{Utilisation des nombres aléatoires}
 \begin{itemize}
 \item Vie courante: localisation GPS, cryptage de données (RSA);
 \item Science: statistiques, en probabilité, en simulation numérique.
 \end{itemize}
-\end{exampleblock}
+\end{block}
 
-\begin{exampleblock}{Génération}
+\begin{block}{Génération}
 \begin{itemize}
 \item Réellement aléatoire: processus physique $\leadsto$ non reproductible.
 \item Pseudo-aléatoire (PRNG): algorithme $\leadsto$ reproductible, quid de la sécurité?
 \end{itemize}
-\end{exampleblock}
+\end{block}
 
 \begin{alertblock}{Problématique}
 Les systèmes dynamiques sont-ils un bon outil mathématique pour 
diff --git a/talk/graphes.tex b/talk/graphes.tex
index 621c886..bf29c3e 100644
--- a/talk/graphes.tex
+++ b/talk/graphes.tex
@@ -1,4 +1,4 @@
-\begin{exampleblock}{Graphes des itérations de  
+\begin{block}{Graphes des itérations de  
 $(x_1, x_2, x_3) \mapsto 
 ((\overline{x_1} + \overline{x_2}).x_3,
 x_1.x_3,
@@ -33,6 +33,6 @@ x_1 + x_2 + x_3)$.}
   \end{center}
   %\caption{}
 \end{figure}
-\end{exampleblock}
+\end{block}
 % On remarque le cycle $((101,111),(111,011),(011,101))$ 
 %  à la \textsc{Figure}~(\ref{fig:fsig}).
\ No newline at end of file
diff --git a/talk/gray.tex b/talk/gray.tex
new file mode 100644
index 0000000..b272a46
--- /dev/null
+++ b/talk/gray.tex
@@ -0,0 +1,15 @@
+\begin{itemize}
+\item Intuition de convergence rapide vers la distribution uniforme:  
+  supprimer un cycle hamiltonien équilibré (chaque bit nié autant de fois).
+\item 
+ Extension de \emph{Robinson-Cohn} \cite{ZanSup04}: 
+ preuve de l'existence (sans construction) de cycle hamiltonien équilibré.
+
+\begin{theorem}[Constr. de cycles hamiltonien équilibré~\cite{ccgh16}]
+Il existe une séquence (et construction de celle-ci)  dans de l'extension
+de l'algorithme de \emph{Robinson-Cohn}  telle que le cycle est équilibré.
+\end{theorem}
+
+\item Pratique: grande famille de cycles hamiltonien équilibrés 
+  ($\mathsf{N} \le 16$).
+\end{itemize}
diff --git a/talk/hamiltonien1.tex b/talk/hamiltonien1.tex
new file mode 100644
index 0000000..b532822
--- /dev/null
+++ b/talk/hamiltonien1.tex
@@ -0,0 +1,46 @@
+\begin{block}{}
+\begin{itemize}
+\item CLPFD: approche de type \og générer, tester\fg{}.
+\item $f^*(x_1,x_2,x_3) = 
+(x_2 \oplus x_3, \overline{x_1}\overline{x_3} + x_1\overline{x_2},
+\overline{x_1}\overline{x_3} + x_1x_2)$: très faible $b$.
+\item $f^*$: $3$-cube ss le \emph{cycle hamiltonien}
+$000,100,101,001,011,111,110,010,000$. 
+
+\end{itemize}
+\vspace{-1em}
+\begin{minipage}{0.49\textwidth}
+%\includegraphics[scale=0.5]{iter_f0c}
+  \includegraphics<1>[scale=0.4]{../images/iter_f0c}
+  \includegraphics<2>[scale=0.4]{../images/iter_f0d}
+\end{minipage}
+\begin{minipage}{0.49\textwidth}
+\vspace{-1em}
+
+\[
+M=\dfrac{1}{3} \left(
+\begin{array}{llllllll}
+1&1&1&0&0&0&0&0 \\
+1&1&0&0&0&1&0&0 \\
+0&0&1&1&0&0&1&0 \\
+0&1&1&1&0&0&0&0 \\
+1&0&0&0&1&0&1&0 \\
+0&0&0&0&1&1&0&1 \\
+0&0&0&0&1&0&1&1 \\
+0&0&0&1&0&1&0&1 
+\end{array}
+\right)
+\]
+\end{minipage}
+\end{block}
+
+
+\begin{theorem}[ $\mathsf{N}$-cube privé d'un cycle hamiltonien ~\cite{chgw+14:oip}]
+  Dans un $\mathsf{N}$-cube,  dans lequel un  cycle hamiltonien a été enelvé:
+  \begin{itemize}
+  \item La matrice de Markov engendrée est  doublement stochastique.
+  \item Le  graphe $\textsc{giu}$ correspondant est fortement connexe.
+  \end{itemize}
+\end{theorem}
+
+
diff --git a/talk/heam.tex b/talk/heam.tex
new file mode 100644
index 0000000..451b6ac
--- /dev/null
+++ b/talk/heam.tex
@@ -0,0 +1,37 @@
+ 
+\begin{theorem}[Temps de mixage sans chemin hamiltonien~\cite{ccgh16}]
+On considère un $\mathsf{N}$-cube dans lequel un chemin hamiltonien a été supprimé et la fonction de 
+probabilités $p$ définie sur l'ensemble des arcs comme suit:
+\[
+p(e) \left\{
+\begin{array}{ll}
+= \frac{1}{2} + \frac{1}{2\mathsf{N}} \textrm{ si $e=(v,v)$ avec $v \in \Bool^{\mathsf{N}}$,}\\
+= \frac{1}{2\mathsf{N}} \textrm{ sinon.}
+\end{array}
+\right.  
+\]
+
+La chaîne de Markov associée converge vers la distribution uniforme et 
+
+\[
+ \, t_{\rm mix}(\varepsilon) 
+\leq \lceil\log_2(\varepsilon^{-1})\rceil
+4(8{\mathsf{N}}^2+ 4{\mathsf{N}}\ln ({\mathsf{N}}+1))
+\] 
+
+\end{theorem}
+\begin{itemize}
+\item Remarques sur la preuve:
+\begin{itemize}
+\item Itérations paresseuses $\not \equiv$ algorithme. 
+\item Hypothèse très faible: suppressions d'un arc entrant et d'un arc sortant 
+par n{\oe}ud.
+\item Pratiquement: 
+$
+4(8{\mathsf{N}}^2+ 4{\mathsf{N}}\ln ({\mathsf{N}}+1))
+\leadsto
+4(2\mathsf{N}\ln(2\mathsf{N}+8)).
+$
+
+\end{itemize}
+\end{itemize}
diff --git a/talk/jacobienne.tex b/talk/jacobienne.tex
index b76dbc7..144bfdc 100644
--- a/talk/jacobienne.tex
+++ b/talk/jacobienne.tex
@@ -3,14 +3,14 @@
 $f'_{ij}=\dfrac{f_i(\overline{x}^j){-}f_i(x)}{\overline{x_j}{-}x_j}$.
 \item Représentée par un \emph{graphe des interactions} orienté:
 \begin{itemize}
-\item Sommets: $\{1, \ldots, {\mathsf{N}}\}$ 
+\item Sommets: $[{\mathsf{N}}]$ 
 \item Arcs: $j \xrightarrow{s} i$ si $\exists x \in \Bool^{\mathsf{N}}$ tq. 
   $f'_{ij}(x)=s$, 
  $s\in\{-1,1\}$
 \end{itemize}
 \end{itemize}
 
-\begin{exampleblock}{Graphes des interractions de 
+\begin{block}{Graphes des interractions de 
 $(x_1, x_2, x_3) \mapsto 
 ((\overline{x_1} + \overline{x_2}).x_3,
 x_1.x_3,
@@ -50,4 +50,4 @@ f' = \left(
 \begin{minipage}{0.2\textwidth}
 \includegraphics[scale=0.4]{gf}
 \end{minipage}
-\end{exampleblock}
+\end{block}
diff --git a/talk/main-nup.pdf b/talk/main-nup.pdf
index 091dd3b..ae74de8 100644
Binary files a/talk/main-nup.pdf and b/talk/main-nup.pdf differ
diff --git a/talk/main.aux b/talk/main.aux
index 891b673..2409d8b 100644
--- a/talk/main.aux
+++ b/talk/main.aux
@@ -93,38 +93,89 @@
 \@writefile{snm}{\beamer@slide {sec:sddchaos}{14}}
 \@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {3}{0}{1}{14/14}{}{0}}}
 \@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {14}{14}}}
-\@writefile{toc}{\beamer@sectionintoc {4}{Applications \IeC {\`a} la g\IeC {\'e}n\IeC {\'e}ration de nombres pseudo-al\IeC {\'e}atoires}{15}{0}{4}}
-\@writefile{nav}{\headcommand {\sectionentry {4}{Applications \IeC {\`a} la g\IeC {\'e}n\IeC {\'e}ration de nombres pseudo-al\IeC {\'e}atoires}{15}{Applications \IeC {\`a} la g\IeC {\'e}n\IeC {\'e}ration de nombres pseudo-al\IeC {\'e}atoires}{0}}}
-\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@sectionpages {14}{14}}}
-\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@subsectionpages {14}{14}}}
-\newlabel{sec:prng}{{4}{15}{Applications à la génération de nombres pseudo-aléatoires}{Doc-Start}{}}
-\@writefile{snm}{\beamer@slide {sec:prng}{15}}
-\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {4}{0}{1}{15/15}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {3}{0}{2}{15/15}{}{0}}}
 \@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {15}{15}}}
-\@writefile{toc}{\beamer@sectionintoc {5}{Application au masquage d'information}{16}{0}{5}}
-\@writefile{nav}{\headcommand {\sectionentry {5}{Application au masquage d'information}{16}{Application au masquage d'information}{0}}}
-\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@sectionpages {15}{15}}}
-\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@subsectionpages {15}{15}}}
-\newlabel{sec:ih}{{5}{16}{Application au masquage d'information}{Doc-Start}{}}
-\@writefile{snm}{\beamer@slide {sec:ih}{16}}
-\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {5}{0}{1}{16/16}{}{0}}}
+\citation{guyeuxphd}
+\citation{bcg11:ij}
+\newlabel{Th:CaracIC}{{4}{16}{Fonctions t.q. $G_{f_u}$ est chaotique~\cite {bcg11:ij}}{Doc-Start}{}}
+\@writefile{snm}{\beamer@slide {Th:CaracIC}{16}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {3}{0}{3}{16/16}{}{0}}}
 \@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {16}{16}}}
-\@writefile{toc}{\beamer@sectionintoc {6}{Conclusion}{17}{0}{6}}
-\@writefile{nav}{\headcommand {\sectionentry {6}{Conclusion}{17}{Conclusion}{0}}}
-\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@sectionpages {16}{16}}}
-\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@subsectionpages {16}{16}}}
-\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {6}{0}{1}{17/17}{}{0}}}
+\newlabel{Th:CaracIC}{{5}{17}{Fonctions t.q. $G_{f_g}$ est chaotique}{Doc-Start}{}}
+\@writefile{snm}{\beamer@slide {Th:CaracIC}{17}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {3}{0}{4}{17/17}{}{0}}}
 \@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {17}{17}}}
-\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {6}{0}{2}{18/18}{}{0}}}
+\citation{bcgr11:ip}
+\newlabel{th:Adrien}{{6}{18}{Fonctions avec $\textsc {giu}$ fort. connexe~\cite {bcgr11:ip}}{Doc-Start}{}}
+\@writefile{snm}{\beamer@slide {th:Adrien}{18}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {3}{0}{5}{18/18}{}{0}}}
 \@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {18}{18}}}
+\@writefile{toc}{\beamer@sectionintoc {4}{Applications \IeC {\`a} la g\IeC {\'e}n\IeC {\'e}ration de nombres pseudo-al\IeC {\'e}atoires}{19}{0}{4}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\sectionentry {4}{Applications \IeC {\`a} la g\IeC {\'e}n\IeC {\'e}ration de nombres pseudo-al\IeC {\'e}atoires}{19}{Applications \IeC {\`a} la g\IeC {\'e}n\IeC {\'e}ration de nombres pseudo-al\IeC {\'e}atoires}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@sectionpages {14}{18}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@subsectionpages {14}{18}}}
+\newlabel{sec:prng}{{4}{19}{Applications à la génération de nombres pseudo-aléatoires}{Doc-Start}{}}
+\@writefile{snm}{\beamer@slide {sec:prng}{19}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {4}{0}{1}{19/19}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {19}{19}}}
+\citation{bcgw11:ip}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {4}{0}{2}{20/20}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {20}{20}}}
+\citation{bcgr11:ip}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {4}{0}{3}{21/21}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {21}{21}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {4}{0}{4}{22/22}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {22}{22}}}
+\citation{ccgh16}
+\citation{ccgh16}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {4}{0}{5}{23/23}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {23}{23}}}
+\citation{chgw+14:oip}
+\citation{chgw+14:oip}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {4}{0}{6}{24/25}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {24}{25}}}
+\citation{ZanSup04}
+\citation{ccgh16}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {4}{0}{7}{26/26}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {26}{26}}}
+\citation{ccgh16}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {4}{0}{8}{27/27}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {27}{27}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {4}{0}{9}{28/28}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {28}{28}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {4}{0}{10}{29/29}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {29}{29}}}
+\@writefile{toc}{\beamer@sectionintoc {5}{Application au masquage d'information}{30}{0}{5}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\sectionentry {5}{Application au masquage d'information}{30}{Application au masquage d'information}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@sectionpages {19}{29}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@subsectionpages {19}{29}}}
+\newlabel{sec:ih}{{5}{30}{Application au masquage d'information}{Doc-Start}{}}
+\@writefile{snm}{\beamer@slide {sec:ih}{30}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {5}{0}{1}{30/30}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {30}{30}}}
+\@writefile{toc}{\beamer@sectionintoc {6}{Conclusion}{31}{0}{6}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\sectionentry {6}{Conclusion}{31}{Conclusion}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@sectionpages {30}{30}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@subsectionpages {30}{30}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {6}{0}{1}{31/31}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {31}{31}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {6}{0}{2}{32/32}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {32}{32}}}
 \bibstyle{alpha}
 \bibdata{abbrev,biblioand}
 \bibcite{abcvs05}{\hyperlink {beamerbibabcvs05}{ABCVS05}}
+\bibcite{bcg11:ij}{\hyperlink {beamerbibbcg11:ij}{BCG12}}
+\bibcite{bcgr11:ip}{\hyperlink {beamerbibbcgr11:ip}{BCGR11}}
+\bibcite{bcgw11:ip}{\hyperlink {beamerbibbcgw11:ip}{BCGW11}}
 \bibcite{BCVC10:ir}{\hyperlink {beamerbibBCVC10:ir}{BCVC10}}
+\bibcite{ccgh16}{\hyperlink {beamerbibccgh16}{CCVHG16}}
+\bibcite{chgw+14:oip}{\hyperlink {beamerbibchgw+14:oip}{CHG{$^{+}$}14}}
 \bibcite{Cou10:ir}{\hyperlink {beamerbibCou10:ir}{Cou10}}
+\bibcite{guyeuxphd}{\hyperlink {beamerbibguyeuxphd}{Guy10}}
 \bibcite{Hol03}{\hyperlink {beamerbibHol03}{Hol03}}
-\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@partpages {1}{20}}}
-\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@subsectionpages {17}{20}}}
-\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@sectionpages {17}{20}}}
-\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@documentpages {20}}}
-\@writefile{nav}{\headcommand {\def \inserttotalframenumber {18}}}
+\bibcite{ZanSup04}{\hyperlink {beamerbibZanSup04}{ZS04}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@partpages {1}{37}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@subsectionpages {31}{37}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@sectionpages {31}{37}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@documentpages {37}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\def \inserttotalframenumber {31}}}
diff --git a/talk/main.bbl b/talk/main.bbl
index 0765a59..ef7c33d 100644
--- a/talk/main.bbl
+++ b/talk/main.bbl
@@ -1,4 +1,5 @@
-\begin{thebibliography}{ABCVS05}
+\newcommand{\etalchar}[1]{$^{#1}$}
+\begin{thebibliography}{CCVHG16}
 
 \bibitem[ABCVS05]{abcvs05}
 A.~Abbas, J.~M. Bahi, S.~Contassot-Vivier, and M.~Salomon.
@@ -8,6 +9,25 @@ A.~Abbas, J.~M. Bahi, S.~Contassot-Vivier, and M.~Salomon.
   Algorithms, DCDIS'2005}, pages 524--529, Guelph, Canada, July 2005.
 \newblock ISSN 1492-8760.
 
+\bibitem[BCG12]{bcg11:ij}
+Jacques Bahi, Jean-Fran\c{c}ois Couchot, and Christophe Guyeux.
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+\newblock {\em The Computer Journal}, 55(6):653--666, 2012.
+
+\bibitem[BCGR11]{bcgr11:ip}
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+\newblock In {\em FCT'11, 18th Int. Symp. on Fundamentals of Computation
+  Theory}, volume 6914 of {\em LNCS}, pages 126--137, Oslo, Norway, August
+  2011.
+
+\bibitem[BCGW11]{bcgw11:ip}
+Jacques Bahi, Jean-Fran\c{c}ois Couchot, Christophe Guyeux, and Qianxue Wang.
+\newblock Class of trustworthy pseudo random number generators.
+\newblock In {\em INTERNET 2011, the 3-rd Int. Conf. on Evolving Internet},
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 \bibitem[BCVC10]{BCVC10:ir}
 J.~M. Bahi, S.~Contassot-Vivier, and J.-F. Couchot.
 \newblock Convergence results of combining synchronism and asynchronism for
@@ -15,15 +35,49 @@ J.~M. Bahi, S.~Contassot-Vivier, and J.-F. Couchot.
 \newblock Research Report RR2010-02, LIFC - Laboratoire d’{I}nformatique de
   l'{U}niversit\'{e} de {F}ranche {C}omt\'{e}, May 2010.
 
+\bibitem[CCVHG16]{ccgh16}
+Jean-Fran\c{c}ois Couchot, Sylvain Contassot-Vivier, Pierre-Cyrille H\'eam, and
+  Christophe Guyeux.
+\newblock Random walk in a n-cube without hamiltonian cycle to chaotic
+  pseudorandom number generation: Theoretical and practical considerations.
+\newblock {\em International Journal of Bifurcation and Chaos}, 2016.
+\newblock Accepted on Oct 2016.
+
+\bibitem[CHG{\etalchar{+}}14]{chgw+14:oip}
+Jean-Fran\c{c}ois Couchot, Pierre-Cyrille H\'eam, Christophe Guyeux, Qianxue
+  Wang, and Jacques Bahi.
+\newblock Pseudorandom number generators with balanced gray codes.
+\newblock In {\em Secrypt 2014, 11th Int. Conf. on Security and Cryptography},
+  pages 469--475, Vienna, Austria, August 2014.
+
 \bibitem[Cou10]{Cou10:ir}
 J.-F. Couchot.
 \newblock Formal {C}onvergence {P}roof for {D}iscrete {D}ynamical {S}ystems.
 \newblock Research Report RR2010-03, LIFC - Laboratoire d’{I}nformatique de
   l'{U}niversit\'{e} de {F}ranche {C}omt\'{e}, May 2010.
 
+\bibitem[Guy10]{guyeuxphd}
+Christophe Guyeux.
+\newblock {\em Le désordre des it\'erations chaotiques et leur utilit\'e en
+  sécurit\'e informatique}.
+\newblock Th\`ese de {D}octorat, LIFC, Universit\'e de Franche-Comt\'e, 13
+  décembre 2010.
+\newblock Rapporteurs~: Pascale Charpin, Directrice de Recherche,
+  INRIA-Rocquencourt ; Eric Filiol, Professeur, ESIEA-Laval ; Pierre Spitéri,
+  Professeur Emérite, IRIT-ENSEEIHT. Examinateurs~: Michel de Labachelerie,
+  Directeur de recherche CNRS, Université de Franche-Comté ; Laurent Larger,
+  Professeur, Université de Franche-Comté ; Jean-Claude Miellou, Professeur,
+  Université de Franche-Comté ; Congduc Pham, Professeur, Université de Pau.
+  Directeur~: Jacques M. Bahi, Professeur, Université de Franche-Comté.
+
 \bibitem[Hol03]{Hol03}
 Gerard~J. Holzmann.
 \newblock {\em The SPIN Model Checker: Primer and Reference Manual}.
 \newblock Addison-Wesley, Pearson Education, 2003.
 
+\bibitem[ZS04]{ZanSup04}
+A.~J.~van Zanten and I.~N. Suparta.
+\newblock Totally balanced and exponentially balanced gray codes.
+\newblock {\em Discrete Analysis and Operational Research}, 11:81--98, 2004.
+
 \end{thebibliography}
diff --git a/talk/main.blg b/talk/main.blg
index cca2e0e..efed21f 100644
--- a/talk/main.blg
+++ b/talk/main.blg
@@ -4,44 +4,44 @@ The top-level auxiliary file: main.aux
 The style file: alpha.bst
 Database file #1: abbrev.bib
 Database file #2: biblioand.bib
-You've used 4 entries,
+You've used 11 entries,
             2543 wiz_defined-function locations,
-            635 strings with 6070 characters,
-and the built_in function-call counts, 1552 in all, are:
-= -- 153
-> -- 72
-< -- 5
-+ -- 26
-- -- 25
-* -- 104
-:= -- 271
-add.period$ -- 13
-call.type$ -- 4
-change.case$ -- 24
-chr.to.int$ -- 4
-cite$ -- 4
-duplicate$ -- 67
-empty$ -- 104
-format.name$ -- 31
-if$ -- 312
+            688 strings with 8219 characters,
+and the built_in function-call counts, 4929 in all, are:
+= -- 502
+> -- 252
+< -- 10
++ -- 92
+- -- 91
+* -- 361
+:= -- 819
+add.period$ -- 36
+call.type$ -- 11
+change.case$ -- 75
+chr.to.int$ -- 11
+cite$ -- 11
+duplicate$ -- 198
+empty$ -- 322
+format.name$ -- 104
+if$ -- 1005
 int.to.chr$ -- 1
 int.to.str$ -- 0
-missing$ -- 3
-newline$ -- 24
-num.names$ -- 12
-pop$ -- 27
+missing$ -- 9
+newline$ -- 62
+num.names$ -- 33
+pop$ -- 74
 preamble$ -- 1
-purify$ -- 29
+purify$ -- 87
 quote$ -- 0
-skip$ -- 50
+skip$ -- 159
 stack$ -- 0
-substring$ -- 61
-swap$ -- 13
-text.length$ -- 5
-text.prefix$ -- 2
+substring$ -- 242
+swap$ -- 47
+text.length$ -- 10
+text.prefix$ -- 3
 top$ -- 0
-type$ -- 28
+type$ -- 84
 warning$ -- 0
-while$ -- 13
-width$ -- 8
-write$ -- 56
+while$ -- 46
+width$ -- 16
+write$ -- 155
diff --git a/talk/main.log b/talk/main.log
index d7c0659..b989fad 100644
--- a/talk/main.log
+++ b/talk/main.log
@@ -1,8 +1,8 @@
-This is pdfTeX, Version 3.14159265-2.6-1.40.17 (TeX Live 2016/Debian) (preloaded format=pdflatex 2016.11.27)  6 JAN 2017 17:25
+This is pdfTeX, Version 3.14159265-2.6-1.40.17 (TeX Live 2016/Debian) (preloaded format=pdflatex 2016.11.27)  9 JAN 2017 14:31
 entering extended mode
  restricted \write18 enabled.
  %&-line parsing enabled.
-**main.tex
+**main.tex bib
 (./main.tex
 LaTeX2e <2016/03/31> patch level 3
 Babel <3.9r> and hyphenation patterns for 5 language(s) loaded.
@@ -1304,7 +1304,11 @@ File: lstmisc.sty 2015/06/04 1.6 (Carsten Heinz)
 File: listings.cfg 2015/06/04 1.6 listings configuration
 ))
 Package: listings 2015/06/04 1.6 (Carsten Heinz)
- (./main.aux)
+ (./main.aux
+
+LaTeX Warning: Label `Th:CaracIC' multiply defined.
+
+)
 \openout1 = `main.aux'.
 
 LaTeX Font Info:    Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 64.
@@ -1322,8 +1326,7 @@ LaTeX Font Info:    ... okay on input line 64.
 LaTeX Font Info:    Checking defaults for PD1/pdf/m/n on input line 64.
 LaTeX Font Info:    ... okay on input line 64.
 LaTeX Font Info:    Try loading font information for T1+phv on input line 64.
-
-(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/psnfss/t1phv.fd
+ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/psnfss/t1phv.fd
 File: t1phv.fd 2001/06/04 scalable font definitions for T1/phv.
 )
 *geometry* driver: auto-detecting
@@ -1751,104 +1754,100 @@ Package pdftex.def Info: Hexagones.jpg used on input line 118.
 (pdftex.def)             Requested size: 99.58464pt x 53.12378pt.
  [7
 
- <../images/para_iterate_dec.pdf> <../images/chao_iterate_excerpt.pdf>] (./sddp
-roblematique.tex)
+ <../images/para_iterate_dec.pdf> <../images/chao_iterate_excerpt.pdf>] (./main
+.toc)
 File: logo-FEMTO.jpg Graphic file (type jpg)
  <use logo-FEMTO.jpg>
-Package pdftex.def Info: logo-FEMTO.jpg used on input line 119.
+Package pdftex.def Info: logo-FEMTO.jpg used on input line 120.
 (pdftex.def)             Requested size: 28.45274pt x 11.08414pt.
 File: Hexagones.jpg Graphic file (type jpg)
-
-<use Hexagones.jpg>
-Package pdftex.def Info: Hexagones.jpg used on input line 119.
+ <use Hexagones.jpg>
+Package pdftex.def Info: Hexagones.jpg used on input line 120.
 (pdftex.def)             Requested size: 99.58464pt x 53.12378pt.
  [8
 
-] (./main.toc)
+]
+(./main.toc)
 File: logo-FEMTO.jpg Graphic file (type jpg)
  <use logo-FEMTO.jpg>
-Package pdftex.def Info: logo-FEMTO.jpg used on input line 122.
+Package pdftex.def Info: logo-FEMTO.jpg used on input line 123.
 (pdftex.def)             Requested size: 28.45274pt x 11.08414pt.
 File: Hexagones.jpg Graphic file (type jpg)
  <use Hexagones.jpg>
-Package pdftex.def Info: Hexagones.jpg used on input line 122.
+Package pdftex.def Info: Hexagones.jpg used on input line 123.
 (pdftex.def)             Requested size: 99.58464pt x 53.12378pt.
-
-[9
+ [9
 
 ] (./synchronisons.tex)
 File: logo-FEMTO.jpg Graphic file (type jpg)
- <use logo-FEMTO.jpg>
-Package pdftex.def Info: logo-FEMTO.jpg used on input line 123.
+<use logo-FEMTO.jpg>
+Package pdftex.def Info: logo-FEMTO.jpg used on input line 124.
 (pdftex.def)             Requested size: 28.45274pt x 11.08414pt.
 File: Hexagones.jpg Graphic file (type jpg)
  <use Hexagones.jpg>
-Package pdftex.def Info: Hexagones.jpg used on input line 123.
+Package pdftex.def Info: Hexagones.jpg used on input line 124.
 (pdftex.def)             Requested size: 99.58464pt x 53.12378pt.
  [10
 
-]
-(./mixteexample.tex <../images/eval_sync.pdf, id=205, 1001.7425pt x 236.885pt>
+] (./mixteexample.tex
+<../images/eval_sync.pdf, id=201, 1001.7425pt x 236.885pt>
 File: ../images/eval_sync.pdf Graphic file (type pdf)
 
 <use ../images/eval_sync.pdf>
 Package pdftex.def Info: ../images/eval_sync.pdf used on input line 5.
 (pdftex.def)             Requested size: 200.34494pt x 47.37616pt.
 
-<../images/eval_async.pdf, id=206, 1001.7425pt x 236.885pt>
+<../images/eval_async.pdf, id=202, 1001.7425pt x 236.885pt>
 File: ../images/eval_async.pdf Graphic file (type pdf)
 
 <use ../images/eval_async.pdf>
 Package pdftex.def Info: ../images/eval_async.pdf used on input line 10.
 (pdftex.def)             Requested size: 200.34494pt x 47.37616pt.
 
-<../images/eval_mixte.pdf, id=207, 1001.7425pt x 236.885pt>
+<../images/eval_mixte.pdf, id=203, 1001.7425pt x 236.885pt>
 File: ../images/eval_mixte.pdf Graphic file (type pdf)
 
 <use ../images/eval_mixte.pdf>
 Package pdftex.def Info: ../images/eval_mixte.pdf used on input line 16.
 (pdftex.def)             Requested size: 200.34494pt x 47.37616pt.
 )
-Overfull \vbox (18.03525pt too high) detected at line 124
- []
-
 File: logo-FEMTO.jpg Graphic file (type jpg)
-<use logo-FEMTO.jpg>
-Package pdftex.def Info: logo-FEMTO.jpg used on input line 124.
+ <use logo-FEMTO.jpg>
+Package pdftex.def Info: logo-FEMTO.jpg used on input line 125.
 (pdftex.def)             Requested size: 28.45274pt x 11.08414pt.
 File: Hexagones.jpg Graphic file (type jpg)
  <use Hexagones.jpg>
-Package pdftex.def Info: Hexagones.jpg used on input line 124.
+Package pdftex.def Info: Hexagones.jpg used on input line 125.
 (pdftex.def)             Requested size: 99.58464pt x 53.12378pt.
- [11
+
+[11
 
  <../images/eval_sync.pdf> <../images/eval_async.pdf> <../images/eval_mixte.pdf
 >] (./preuveconvmotiv.tex)
 File: logo-FEMTO.jpg Graphic file (type jpg)
-
-<use logo-FEMTO.jpg>
-Package pdftex.def Info: logo-FEMTO.jpg used on input line 125.
+ <use logo-FEMTO.jpg>
+Package pdftex.def Info: logo-FEMTO.jpg used on input line 126.
 (pdftex.def)             Requested size: 28.45274pt x 11.08414pt.
 File: Hexagones.jpg Graphic file (type jpg)
  <use Hexagones.jpg>
-Package pdftex.def Info: Hexagones.jpg used on input line 125.
+Package pdftex.def Info: Hexagones.jpg used on input line 126.
 (pdftex.def)             Requested size: 99.58464pt x 53.12378pt.
  [12
 
-] (./sdd2promela.tex
+]
+(./sdd2promela.tex
 LaTeX Font Info:    Try loading font information for T1+pcr on input line 8.
-
-(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/psnfss/t1pcr.fd
+ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/psnfss/t1pcr.fd
 File: t1pcr.fd 2001/06/04 font definitions for T1/pcr.
 ))
 File: logo-FEMTO.jpg Graphic file (type jpg)
 
 <use logo-FEMTO.jpg>
-Package pdftex.def Info: logo-FEMTO.jpg used on input line 126.
+Package pdftex.def Info: logo-FEMTO.jpg used on input line 127.
 (pdftex.def)             Requested size: 28.45274pt x 11.08414pt.
 File: Hexagones.jpg Graphic file (type jpg)
  <use Hexagones.jpg>
-Package pdftex.def Info: Hexagones.jpg used on input line 126.
+Package pdftex.def Info: Hexagones.jpg used on input line 127.
 (pdftex.def)             Requested size: 99.58464pt x 53.12378pt.
  [13
 
@@ -1856,90 +1855,409 @@ Package pdftex.def Info: Hexagones.jpg used on input line 126.
 File: logo-FEMTO.jpg Graphic file (type jpg)
 
 <use logo-FEMTO.jpg>
-Package pdftex.def Info: logo-FEMTO.jpg used on input line 131.
+Package pdftex.def Info: logo-FEMTO.jpg used on input line 133.
 (pdftex.def)             Requested size: 28.45274pt x 11.08414pt.
 File: Hexagones.jpg Graphic file (type jpg)
  <use Hexagones.jpg>
-Package pdftex.def Info: Hexagones.jpg used on input line 131.
+Package pdftex.def Info: Hexagones.jpg used on input line 133.
 (pdftex.def)             Requested size: 99.58464pt x 53.12378pt.
  [14
 
-] (./main.toc)
+] (./chaosDevaney.tex)
 File: logo-FEMTO.jpg Graphic file (type jpg)
 
 <use logo-FEMTO.jpg>
-Package pdftex.def Info: logo-FEMTO.jpg used on input line 135.
+Package pdftex.def Info: logo-FEMTO.jpg used on input line 134.
 (pdftex.def)             Requested size: 28.45274pt x 11.08414pt.
 File: Hexagones.jpg Graphic file (type jpg)
  <use Hexagones.jpg>
-Package pdftex.def Info: Hexagones.jpg used on input line 135.
+Package pdftex.def Info: Hexagones.jpg used on input line 134.
 (pdftex.def)             Requested size: 99.58464pt x 53.12378pt.
  [15
 
-] (./main.toc)
+] (./chaosDevaneyUnaire.tex)
 File: logo-FEMTO.jpg Graphic file (type jpg)
 
 <use logo-FEMTO.jpg>
-Package pdftex.def Info: logo-FEMTO.jpg used on input line 140.
+Package pdftex.def Info: logo-FEMTO.jpg used on input line 135.
 (pdftex.def)             Requested size: 28.45274pt x 11.08414pt.
 File: Hexagones.jpg Graphic file (type jpg)
  <use Hexagones.jpg>
-Package pdftex.def Info: Hexagones.jpg used on input line 140.
+Package pdftex.def Info: Hexagones.jpg used on input line 135.
 (pdftex.def)             Requested size: 99.58464pt x 53.12378pt.
  [16
 
-] (./main.toc)
+] (./chaosDevaneyGeneralisees.texpdfTeX warning (ext4): destination with the sa
+me identifier (name{Th:CaracIC}) has been already used, duplicate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.32 \label{Th:CaracIC}
+                       )
+File: logo-FEMTO.jpg Graphic file (type jpg)
+ <use logo-FEMTO.jpg>
+Package pdftex.def Info: logo-FEMTO.jpg used on input line 136.
+(pdftex.def)             Requested size: 28.45274pt x 11.08414pt.
+File: Hexagones.jpg Graphic file (type jpg)
+ <use Hexagones.jpg>
+Package pdftex.def Info: Hexagones.jpg used on input line 136.
+(pdftex.def)             Requested size: 99.58464pt x 53.12378pt.
+ [17
+
+]
+(./tipe12.tex
+LaTeX Font Info:    Font shape `T1/phv/bx/sc' in size <12> not available
+(Font)              Font shape `T1/phv/b/sc' tried instead on input line 8.
+LaTeX Font Info:    Font shape `T1/phv/bx/n' in size <8> not available
+(Font)              Font shape `T1/phv/b/n' tried instead on input line 8.
+LaTeX Font Info:    Font shape `T1/phv/bx/n' in size <6> not available
+(Font)              Font shape `T1/phv/b/n' tried instead on input line 8.
+LaTeX Font Info:    Font shape `T1/phv/m/it' in size <9> not available
+(Font)              Font shape `T1/phv/m/sl' tried instead on input line 12.
+ <../images/Gi.pdf, id=280, 291.0875pt x 134.5025pt>
+File: ../images/Gi.pdf Graphic file (type pdf)
+
+<use ../images/Gi.pdf>
+Package pdftex.def Info: ../images/Gi.pdf used on input line 25.
+(pdftex.def)             Requested size: 116.43292pt x 53.80003pt.
+)
+LaTeX Font Info:    Font shape `T1/phv/bx/sc' in size <14.4> not available
+(Font)              Font shape `T1/phv/b/sc' tried instead on input line 137.
+LaTeX Font Info:    Font shape `T1/phv/bx/n' in size <10> not available
+(Font)              Font shape `T1/phv/b/n' tried instead on input line 137.
+LaTeX Font Info:    Font shape `T1/phv/bx/n' in size <7> not available
+(Font)              Font shape `T1/phv/b/n' tried instead on input line 137.
+
+Overfull \vbox (19.77614pt too high) detected at line 137
+ []
+
+File: logo-FEMTO.jpg Graphic file (type jpg)
+<use logo-FEMTO.jpg>
+Package pdftex.def Info: logo-FEMTO.jpg used on input line 137.
+(pdftex.def)             Requested size: 28.45274pt x 11.08414pt.
+File: Hexagones.jpg Graphic file (type jpg)
+ <use Hexagones.jpg>
+Package pdftex.def Info: Hexagones.jpg used on input line 137.
+(pdftex.def)             Requested size: 99.58464pt x 53.12378pt.
+ [18
+
+ <../images/Gi.pdf>] (./main.toc)
+File: logo-FEMTO.jpg Graphic file (type jpg)
+
+<use logo-FEMTO.jpg>
+Package pdftex.def Info: logo-FEMTO.jpg used on input line 141.
+(pdftex.def)             Requested size: 28.45274pt x 11.08414pt.
+File: Hexagones.jpg Graphic file (type jpg)
+ <use Hexagones.jpg>
+Package pdftex.def Info: Hexagones.jpg used on input line 141.
+(pdftex.def)             Requested size: 99.58464pt x 53.12378pt.
+ [19
+
+] (./prngualgo.tex)
 File: logo-FEMTO.jpg Graphic file (type jpg)
 
 <use logo-FEMTO.jpg>
+Package pdftex.def Info: logo-FEMTO.jpg used on input line 142.
+(pdftex.def)             Requested size: 28.45274pt x 11.08414pt.
+File: Hexagones.jpg Graphic file (type jpg)
+ <use Hexagones.jpg>
+Package pdftex.def Info: Hexagones.jpg used on input line 142.
+(pdftex.def)             Requested size: 99.58464pt x 53.12378pt.
+ [20
+
+] (./condunif.tex
+<../images/g.pdf, id=313, 84.315pt x 260.975pt>
+File: ../images/g.pdf Graphic file (type pdf)
+ <use ../images/g.pdf>
+Package pdftex.def Info: ../images/g.pdf used on input line 13.
+(pdftex.def)             Requested size: 27.57701pt x 85.35826pt.
+
+Overfull \hbox (6.83594pt too wide) in paragraph at lines 13--14
+[][] 
+ []
+
+<../images/h.pdf, id=314, 80.3pt x 260.975pt>
+File: ../images/h.pdf Graphic file (type pdf)
+ <use ../images/h.pdf>
+Package pdftex.def Info: ../images/h.pdf used on input line 35.
+(pdftex.def)             Requested size: 26.26381pt x 85.35826pt.
+
+Overfull \hbox (3.21802pt too wide) in paragraph at lines 35--36
+[][] 
+ []
+
+)
+File: logo-FEMTO.jpg Graphic file (type jpg)
+ <use logo-FEMTO.jpg>
 Package pdftex.def Info: logo-FEMTO.jpg used on input line 143.
 (pdftex.def)             Requested size: 28.45274pt x 11.08414pt.
 File: Hexagones.jpg Graphic file (type jpg)
  <use Hexagones.jpg>
 Package pdftex.def Info: Hexagones.jpg used on input line 143.
 (pdftex.def)             Requested size: 99.58464pt x 53.12378pt.
- [17
+ [21
+
+ <../images/g.pdf> <../images/h.pdf>] (./xplprngyestheorieko.tex
+File: ../images/Gi.pdf Graphic file (type pdf)
+ <use ../images/Gi.pdf>
+Package pdftex.def Info: ../images/Gi.pdf used on input line 3.
+(pdftex.def)             Requested size: 99.58464pt x 46.01346pt.
+
+Overfull \hbox (41.19882pt too wide) in paragraph at lines 3--4
+[][] 
+ []
+
+)
+File: logo-FEMTO.jpg Graphic file (type jpg)
+ <use logo-FEMTO.jpg>
+Package pdftex.def Info: logo-FEMTO.jpg used on input line 144.
+(pdftex.def)             Requested size: 28.45274pt x 11.08414pt.
+File: Hexagones.jpg Graphic file (type jpg)
+ <use Hexagones.jpg>
+Package pdftex.def Info: Hexagones.jpg used on input line 144.
+(pdftex.def)             Requested size: 99.58464pt x 53.12378pt.
+ [22
+
+] (./prngunauretheorieok.tex
+<../images/h2prng.pdf, id=338, 269.005pt x 378.41376pt>
+File: ../images/h2prng.pdf Graphic file (type pdf)
+
+<use ../images/h2prng.pdf>
+Package pdftex.def Info: ../images/h2prng.pdf used on input line 28.
+(pdftex.def)             Requested size: 94.15315pt x 132.4468pt.
+
+Overfull \hbox (1.96526pt too wide) in paragraph at lines 28--29
+ [] 
+ []
+
+<../images/h3prng.pdf, id=339, 460.72125pt x 378.41376pt>
+File: ../images/h3prng.pdf Graphic file (type pdf)
+
+<use ../images/h3prng.pdf>
+Package pdftex.def Info: ../images/h3prng.pdf used on input line 33.
+(pdftex.def)             Requested size: 161.25485pt x 132.4468pt.
+
+Overfull \hbox (38.34079pt too wide) in paragraph at lines 33--34
+ [] 
+ []
+
+)
+Overfull \vbox (39.68752pt too high) detected at line 147
+ []
+
+File: logo-FEMTO.jpg Graphic file (type jpg)
+<use logo-FEMTO.jpg>
+Package pdftex.def Info: logo-FEMTO.jpg used on input line 147.
+(pdftex.def)             Requested size: 28.45274pt x 11.08414pt.
+File: Hexagones.jpg Graphic file (type jpg)
+ <use Hexagones.jpg>
+Package pdftex.def Info: Hexagones.jpg used on input line 147.
+(pdftex.def)             Requested size: 99.58464pt x 53.12378pt.
+ [23
+
+ <../images/h2prng.pdf> <../images/h3prng.pdf
+
+pdfTeX warning: pdflatex (file ../images/h3prng.pdf): PDF inclusion: multiple p
+dfs with page group included in a single page
+>] (./hamiltonien1.tex
+<../images/iter_f0c.pdf, id=380, 350.30875pt x 260.975pt>
+File: ../images/iter_f0c.pdf Graphic file (type pdf)
+
+<use ../images/iter_f0c.pdf>
+Package pdftex.def Info: ../images/iter_f0c.pdf used on input line 14.
+(pdftex.def)             Requested size: 140.12102pt x 104.38815pt.
+
+Overfull \hbox (6.79517pt too wide) detected at line 33
+\T1/phv/m/sl/8 M \OT1/cmss/m/n/8 = [] []
+ []
+
+)
+Overfull \vbox (5.38306pt too high) detected at line 148
+ []
+
+File: logo-FEMTO.jpg Graphic file (type jpg)
+<use logo-FEMTO.jpg>
+Package pdftex.def Info: logo-FEMTO.jpg used on input line 148.
+(pdftex.def)             Requested size: 28.45274pt x 11.08414pt.
+File: Hexagones.jpg Graphic file (type jpg)
+ <use Hexagones.jpg>
+Package pdftex.def Info: Hexagones.jpg used on input line 148.
+(pdftex.def)             Requested size: 99.58464pt x 53.12378pt.
+ [24
+
+ <../images/iter_f0c.pdf>]
+(./hamiltonien1.tex <../images/iter_f0d.pdf, id=393, 350.30875pt x 260.975pt>
+File: ../images/iter_f0d.pdf Graphic file (type pdf)
+
+<use ../images/iter_f0d.pdf>
+Package pdftex.def Info: ../images/iter_f0d.pdf used on input line 15.
+(pdftex.def)             Requested size: 140.12102pt x 104.38815pt.
+
+Overfull \hbox (6.79517pt too wide) detected at line 33
+\T1/phv/m/sl/8 M \OT1/cmss/m/n/8 = [] []
+ []
+
+)
+Overfull \vbox (5.38306pt too high) detected at line 148
+ []
+
+File: logo-FEMTO.jpg Graphic file (type jpg)
+<use logo-FEMTO.jpg>
+Package pdftex.def Info: logo-FEMTO.jpg used on input line 148.
+(pdftex.def)             Requested size: 28.45274pt x 11.08414pt.
+File: Hexagones.jpg Graphic file (type jpg)
+ <use Hexagones.jpg>
+Package pdftex.def Info: Hexagones.jpg used on input line 148.
+(pdftex.def)             Requested size: 99.58464pt x 53.12378pt.
+ [25
+
+ <../images/iter_f0d.pdf>]
+(./gray.tex)
+File: logo-FEMTO.jpg Graphic file (type jpg)
+ <use logo-FEMTO.jpg>
+Package pdftex.def Info: logo-FEMTO.jpg used on input line 149.
+(pdftex.def)             Requested size: 28.45274pt x 11.08414pt.
+File: Hexagones.jpg Graphic file (type jpg)
+ <use Hexagones.jpg>
+Package pdftex.def Info: Hexagones.jpg used on input line 149.
+(pdftex.def)             Requested size: 99.58464pt x 53.12378pt.
+ [26
+
+] (./heam.tex)
+File: logo-FEMTO.jpg Graphic file (type jpg)
+
+<use logo-FEMTO.jpg>
+Package pdftex.def Info: logo-FEMTO.jpg used on input line 150.
+(pdftex.def)             Requested size: 28.45274pt x 11.08414pt.
+File: Hexagones.jpg Graphic file (type jpg)
+ <use Hexagones.jpg>
+Package pdftex.def Info: Hexagones.jpg used on input line 150.
+(pdftex.def)             Requested size: 99.58464pt x 53.12378pt.
+ [27
+
+] (./prnggeneralise.tex)
+File: logo-FEMTO.jpg Graphic file (type jpg)
+
+<use logo-FEMTO.jpg>
+Package pdftex.def Info: logo-FEMTO.jpg used on input line 151.
+(pdftex.def)             Requested size: 28.45274pt x 11.08414pt.
+File: Hexagones.jpg Graphic file (type jpg)
+ <use Hexagones.jpg>
+Package pdftex.def Info: Hexagones.jpg used on input line 151.
+(pdftex.def)             Requested size: 99.58464pt x 53.12378pt.
+ [28
+
+] (./prnggeneralise2.tex)
+File: logo-FEMTO.jpg Graphic file (type jpg)
+
+<use logo-FEMTO.jpg>
+Package pdftex.def Info: logo-FEMTO.jpg used on input line 152.
+(pdftex.def)             Requested size: 28.45274pt x 11.08414pt.
+File: Hexagones.jpg Graphic file (type jpg)
+ <use Hexagones.jpg>
+Package pdftex.def Info: Hexagones.jpg used on input line 152.
+(pdftex.def)             Requested size: 99.58464pt x 53.12378pt.
+ [29
+
+] (./main.toc)
+File: logo-FEMTO.jpg Graphic file (type jpg)
+
+<use logo-FEMTO.jpg>
+Package pdftex.def Info: logo-FEMTO.jpg used on input line 156.
+(pdftex.def)             Requested size: 28.45274pt x 11.08414pt.
+File: Hexagones.jpg Graphic file (type jpg)
+ <use Hexagones.jpg>
+Package pdftex.def Info: Hexagones.jpg used on input line 156.
+(pdftex.def)             Requested size: 99.58464pt x 53.12378pt.
+ [30
+
+] (./main.toc)
+File: logo-FEMTO.jpg Graphic file (type jpg)
+
+<use logo-FEMTO.jpg>
+Package pdftex.def Info: logo-FEMTO.jpg used on input line 161.
+(pdftex.def)             Requested size: 28.45274pt x 11.08414pt.
+File: Hexagones.jpg Graphic file (type jpg)
+ <use Hexagones.jpg>
+Package pdftex.def Info: Hexagones.jpg used on input line 161.
+(pdftex.def)             Requested size: 99.58464pt x 53.12378pt.
+ [31
 
 ] (./conclusion.tex)
 File: logo-FEMTO.jpg Graphic file (type jpg)
 
 <use logo-FEMTO.jpg>
-Package pdftex.def Info: logo-FEMTO.jpg used on input line 144.
+Package pdftex.def Info: logo-FEMTO.jpg used on input line 162.
 (pdftex.def)             Requested size: 28.45274pt x 11.08414pt.
 File: Hexagones.jpg Graphic file (type jpg)
  <use Hexagones.jpg>
-Package pdftex.def Info: Hexagones.jpg used on input line 144.
+Package pdftex.def Info: Hexagones.jpg used on input line 162.
 (pdftex.def)             Requested size: 99.58464pt x 53.12378pt.
- [18
+ [32
 
 ] (./main.bbl
 LaTeX Font Info:    Font shape `T1/phv/m/it' in size <10.95> not available
-(Font)              Font shape `T1/phv/m/sl' tried instead on input line 7.
+(Font)              Font shape `T1/phv/m/sl' tried instead on input line 8.
 
 Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []
 
 File: logo-FEMTO.jpg Graphic file (type jpg)
 
 <use logo-FEMTO.jpg>
-Package pdftex.def Info: logo-FEMTO.jpg used on input line 24.
+Package pdftex.def Info: logo-FEMTO.jpg used on input line 25.
 (pdftex.def)             Requested size: 28.45274pt x 11.08414pt.
 File: Hexagones.jpg Graphic file (type jpg)
  <use Hexagones.jpg>
-Package pdftex.def Info: Hexagones.jpg used on input line 24.
+Package pdftex.def Info: Hexagones.jpg used on input line 25.
 (pdftex.def)             Requested size: 99.58464pt x 53.12378pt.
- [19
+ [33
+
+ </usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/beamer/art/beamericonarticle.pdf>]
+Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []
+
+File: logo-FEMTO.jpg Graphic file (type jpg)
+
+<use logo-FEMTO.jpg>
+Package pdftex.def Info: logo-FEMTO.jpg used on input line 43.
+(pdftex.def)             Requested size: 28.45274pt x 11.08414pt.
+File: Hexagones.jpg Graphic file (type jpg)
+ <use Hexagones.jpg>
+Package pdftex.def Info: Hexagones.jpg used on input line 43.
+(pdftex.def)             Requested size: 99.58464pt x 53.12378pt.
+ [34]
+Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []
 
- </usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/beamer/art/beamericonarticle.pdf>])
+File: logo-FEMTO.jpg Graphic file (type jpg)
+
+<use logo-FEMTO.jpg>
+Package pdftex.def Info: logo-FEMTO.jpg used on input line 59.
+(pdftex.def)             Requested size: 28.45274pt x 11.08414pt.
+File: Hexagones.jpg Graphic file (type jpg)
+ <use Hexagones.jpg>
+Package pdftex.def Info: Hexagones.jpg used on input line 59.
+(pdftex.def)             Requested size: 99.58464pt x 53.12378pt.
+ [35]
+Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []
+
+File: logo-FEMTO.jpg Graphic file (type jpg)
+
+<use logo-FEMTO.jpg>
+Package pdftex.def Info: logo-FEMTO.jpg used on input line 75.
+(pdftex.def)             Requested size: 28.45274pt x 11.08414pt.
+File: Hexagones.jpg Graphic file (type jpg)
+ <use Hexagones.jpg>
+Package pdftex.def Info: Hexagones.jpg used on input line 75.
+(pdftex.def)             Requested size: 99.58464pt x 53.12378pt.
+ [36])
 File: logo-FEMTO.jpg Graphic file (type jpg)
  <use logo-FEMTO.jpg>
-Package pdftex.def Info: logo-FEMTO.jpg used on input line 187.
+Package pdftex.def Info: logo-FEMTO.jpg used on input line 205.
 (pdftex.def)             Requested size: 28.45274pt x 11.08414pt.
 File: Hexagones.jpg Graphic file (type jpg)
 
 <use Hexagones.jpg>
-Package pdftex.def Info: Hexagones.jpg used on input line 187.
+Package pdftex.def Info: Hexagones.jpg used on input line 205.
 (pdftex.def)             Requested size: 99.58464pt x 53.12378pt.
- [20]
+ [37]
 \tf@nav=\write7
 \openout7 = `main.nav'.
 
@@ -1949,31 +2267,29 @@ Package pdftex.def Info: Hexagones.jpg used on input line 187.
 \tf@snm=\write9
 \openout9 = `main.snm'.
 
-Package atveryend Info: Empty hook `BeforeClearDocument' on input line 187.
-Package atveryend Info: Empty hook `AfterLastShipout' on input line 187.
+Package atveryend Info: Empty hook `BeforeClearDocument' on input line 205.
+Package atveryend Info: Empty hook `AfterLastShipout' on input line 205.
  (./main.aux)
-Package atveryend Info: Executing hook `AtVeryEndDocument' on input line 187.
-Package atveryend Info: Executing hook `AtEndAfterFileList' on input line 187.
+Package atveryend Info: Executing hook `AtVeryEndDocument' on input line 205.
+Package atveryend Info: Executing hook `AtEndAfterFileList' on input line 205.
 Package rerunfilecheck Info: File `main.out' has not changed.
 (rerunfilecheck)             Checksum: 42DC76BBFB38CF9DC81B59C3E1BC3FE7;471.
-Package atveryend Info: Empty hook `AtVeryVeryEnd' on input line 187.
+
+
+LaTeX Warning: There were multiply-defined labels.
+
+Package atveryend Info: Empty hook `AtVeryVeryEnd' on input line 205.
  ) 
 Here is how much of TeX's memory you used:
- 25971 strings out of 494916
- 485747 string characters out of 6179762
- 570134 words of memory out of 5000000
- 28553 multiletter control sequences out of 15000+600000
- 96440 words of font info for 113 fonts, out of 8000000 for 9000
+ 26154 strings out of 494916
+ 488035 string characters out of 6179762
+ 576534 words of memory out of 5000000
+ 28635 multiletter control sequences out of 15000+600000
+ 139211 words of font info for 132 fonts, out of 8000000 for 9000
  14 hyphenation exceptions out of 8191
- 58i,21n,63p,413b,1128s stack positions out of 5000i,500n,10000p,200000b,80000s
-pdfTeX warning (dest): name{beamerbibCou10\\penalty\040\\@M\040\040:ir} has b
-een referenced but does not exist, replaced by a fixed one
-
-pdfTeX warning (dest): name{beamerbibBCVC10\\penalty\040\\@M\040\040:ir} has be
-en referenced but does not exist, replaced by a fixed one
-
-pdfTeX warning (dest): name{sec\\penalty\040\\@M\040\040:ih} has been reference
-d but does not exist, replaced by a fixed one
+ 58i,21n,63p,417b,1128s stack positions out of 5000i,500n,10000p,200000b,80000s
+pdfTeX warning (dest): name{sec\\penalty\040\\@M\040\040:ih} has been referen
+ced but does not exist, replaced by a fixed one
 
 pdfTeX warning (dest): name{sec\\unskip\040\\penalty\040\\@M\040\040:prng} has 
 been referenced but does not exist, replaced by a fixed one
@@ -1984,6 +2300,24 @@ has been referenced but does not exist, replaced by a fixed one
 pdfTeX warning (dest): name{sec\\unskip\040\\penalty\040\\@M\040\040:sdd} has b
 een referenced but does not exist, replaced by a fixed one
 
+pdfTeX warning (dest): name{beamerbibchgw+14\\penalty\040\\@M\040\040:oip} has 
+been referenced but does not exist, replaced by a fixed one
+
+pdfTeX warning (dest): name{beamerbibbcgw11\\penalty\040\\@M\040\040:ip} has be
+en referenced but does not exist, replaced by a fixed one
+
+pdfTeX warning (dest): name{beamerbibbcgr11\\penalty\040\\@M\040\040:ip} has be
+en referenced but does not exist, replaced by a fixed one
+
+pdfTeX warning (dest): name{beamerbibbcg11\\penalty\040\\@M\040\040:ij} has bee
+n referenced but does not exist, replaced by a fixed one
+
+pdfTeX warning (dest): name{beamerbibCou10\\penalty\040\\@M\040\040:ir} has bee
+n referenced but does not exist, replaced by a fixed one
+
+pdfTeX warning (dest): name{beamerbibBCVC10\\penalty\040\\@M\040\040:ir} has be
+en referenced but does not exist, replaced by a fixed one
+
 {/usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/enc/dvips/base/8r.enc}</usr/share/texlive/
 texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cmextra/cmex8.pfb></usr/share/texlive/te
 xmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi12.pfb></usr/share/texlive/texmf-di
@@ -1995,16 +2329,18 @@ nts/cm/cmsy10.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm
 /cmsy6.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmsy8.
 pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/doublestroke/dsrom8.pfb><
 /usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/symbols/msam10.pfb></
-usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/symbols/msbm7.pfb></us
-r/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/urw/courier/ucrr8a.pfb></usr/share/texli
-ve/texmf-dist/fonts/type1/urw/helvetic/uhvb8a.pfb></usr/share/texlive/texmf-dis
-t/fonts/type1/urw/helvetic/uhvr8a.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type
-1/urw/helvetic/uhvro8a.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/urw/times
-/utmr8a.pfb>
-Output written on main.pdf (20 pages, 451909 bytes).
+usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/symbols/msbm10.pfb></u
+sr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/symbols/msbm7.pfb></usr
+/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/stmaryrd/stmary8.pfb></usr/share/t
+exlive/texmf-dist/fonts/type1/urw/courier/ucrr8a.pfb></usr/share/texlive/texmf-
+dist/fonts/type1/urw/helvetic/uhvb8a.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/t
+ype1/urw/helvetic/uhvr8a.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/urw/hel
+vetic/uhvro8a.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/urw/times/utmr8a.p
+fb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/urw/times/utmri8a.pfb>
+Output written on main.pdf (37 pages, 522078 bytes).
 PDF statistics:
- 396 PDF objects out of 1000 (max. 8388607)
- 307 compressed objects within 4 object streams
- 67 named destinations out of 1000 (max. 500000)
- 198 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000)
+ 598 PDF objects out of 1000 (max. 8388607)
+ 465 compressed objects within 5 object streams
+ 114 named destinations out of 1000 (max. 500000)
+ 227 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000)
 
diff --git a/talk/main.nav b/talk/main.nav
index 3f00c15..6b8ec85 100644
--- a/talk/main.nav
+++ b/talk/main.nav
@@ -36,25 +36,51 @@
 \headcommand {\beamer@subsectionpages {9}{13}}
 \headcommand {\slideentry {3}{0}{1}{14/14}{}{0}}
 \headcommand {\beamer@framepages {14}{14}}
-\headcommand {\sectionentry {4}{Applications \IeC {\`a} la g\IeC {\'e}n\IeC {\'e}ration de nombres pseudo-al\IeC {\'e}atoires}{15}{Applications \IeC {\`a} la g\IeC {\'e}n\IeC {\'e}ration de nombres pseudo-al\IeC {\'e}atoires}{0}}
-\headcommand {\beamer@sectionpages {14}{14}}
-\headcommand {\beamer@subsectionpages {14}{14}}
-\headcommand {\slideentry {4}{0}{1}{15/15}{}{0}}
+\headcommand {\slideentry {3}{0}{2}{15/15}{}{0}}
 \headcommand {\beamer@framepages {15}{15}}
-\headcommand {\sectionentry {5}{Application au masquage d'information}{16}{Application au masquage d'information}{0}}
-\headcommand {\beamer@sectionpages {15}{15}}
-\headcommand {\beamer@subsectionpages {15}{15}}
-\headcommand {\slideentry {5}{0}{1}{16/16}{}{0}}
+\headcommand {\slideentry {3}{0}{3}{16/16}{}{0}}
 \headcommand {\beamer@framepages {16}{16}}
-\headcommand {\sectionentry {6}{Conclusion}{17}{Conclusion}{0}}
-\headcommand {\beamer@sectionpages {16}{16}}
-\headcommand {\beamer@subsectionpages {16}{16}}
-\headcommand {\slideentry {6}{0}{1}{17/17}{}{0}}
+\headcommand {\slideentry {3}{0}{4}{17/17}{}{0}}
 \headcommand {\beamer@framepages {17}{17}}
-\headcommand {\slideentry {6}{0}{2}{18/18}{}{0}}
+\headcommand {\slideentry {3}{0}{5}{18/18}{}{0}}
 \headcommand {\beamer@framepages {18}{18}}
-\headcommand {\beamer@partpages {1}{20}}
-\headcommand {\beamer@subsectionpages {17}{20}}
-\headcommand {\beamer@sectionpages {17}{20}}
-\headcommand {\beamer@documentpages {20}}
-\headcommand {\def \inserttotalframenumber {18}}
+\headcommand {\sectionentry {4}{Applications \IeC {\`a} la g\IeC {\'e}n\IeC {\'e}ration de nombres pseudo-al\IeC {\'e}atoires}{19}{Applications \IeC {\`a} la g\IeC {\'e}n\IeC {\'e}ration de nombres pseudo-al\IeC {\'e}atoires}{0}}
+\headcommand {\beamer@sectionpages {14}{18}}
+\headcommand {\beamer@subsectionpages {14}{18}}
+\headcommand {\slideentry {4}{0}{1}{19/19}{}{0}}
+\headcommand {\beamer@framepages {19}{19}}
+\headcommand {\slideentry {4}{0}{2}{20/20}{}{0}}
+\headcommand {\beamer@framepages {20}{20}}
+\headcommand {\slideentry {4}{0}{3}{21/21}{}{0}}
+\headcommand {\beamer@framepages {21}{21}}
+\headcommand {\slideentry {4}{0}{4}{22/22}{}{0}}
+\headcommand {\beamer@framepages {22}{22}}
+\headcommand {\slideentry {4}{0}{5}{23/23}{}{0}}
+\headcommand {\beamer@framepages {23}{23}}
+\headcommand {\slideentry {4}{0}{6}{24/25}{}{0}}
+\headcommand {\beamer@framepages {24}{25}}
+\headcommand {\slideentry {4}{0}{7}{26/26}{}{0}}
+\headcommand {\beamer@framepages {26}{26}}
+\headcommand {\slideentry {4}{0}{8}{27/27}{}{0}}
+\headcommand {\beamer@framepages {27}{27}}
+\headcommand {\slideentry {4}{0}{9}{28/28}{}{0}}
+\headcommand {\beamer@framepages {28}{28}}
+\headcommand {\slideentry {4}{0}{10}{29/29}{}{0}}
+\headcommand {\beamer@framepages {29}{29}}
+\headcommand {\sectionentry {5}{Application au masquage d'information}{30}{Application au masquage d'information}{0}}
+\headcommand {\beamer@sectionpages {19}{29}}
+\headcommand {\beamer@subsectionpages {19}{29}}
+\headcommand {\slideentry {5}{0}{1}{30/30}{}{0}}
+\headcommand {\beamer@framepages {30}{30}}
+\headcommand {\sectionentry {6}{Conclusion}{31}{Conclusion}{0}}
+\headcommand {\beamer@sectionpages {30}{30}}
+\headcommand {\beamer@subsectionpages {30}{30}}
+\headcommand {\slideentry {6}{0}{1}{31/31}{}{0}}
+\headcommand {\beamer@framepages {31}{31}}
+\headcommand {\slideentry {6}{0}{2}{32/32}{}{0}}
+\headcommand {\beamer@framepages {32}{32}}
+\headcommand {\beamer@partpages {1}{37}}
+\headcommand {\beamer@subsectionpages {31}{37}}
+\headcommand {\beamer@sectionpages {31}{37}}
+\headcommand {\beamer@documentpages {37}}
+\headcommand {\def \inserttotalframenumber {31}}
diff --git a/talk/main.pdf b/talk/main.pdf
index 699e511..48e175b 100644
Binary files a/talk/main.pdf and b/talk/main.pdf differ
diff --git a/talk/main.snm b/talk/main.snm
index 014cdff..6dd371c 100644
--- a/talk/main.snm
+++ b/talk/main.snm
@@ -6,5 +6,8 @@
 \beamer@slide {fig:fgigb}{4}
 \beamer@slide {sec:sdd}{9}
 \beamer@slide {sec:sddchaos}{14}
-\beamer@slide {sec:prng}{15}
-\beamer@slide {sec:ih}{16}
+\beamer@slide {Th:CaracIC}{16}
+\beamer@slide {Th:CaracIC}{17}
+\beamer@slide {th:Adrien}{18}
+\beamer@slide {sec:prng}{19}
+\beamer@slide {sec:ih}{30}
diff --git a/talk/main.tex b/talk/main.tex
index 66ed27c..b6a1a15 100644
--- a/talk/main.tex
+++ b/talk/main.tex
@@ -116,28 +116,45 @@
 \inputFrameb{Dépendance entre éléments}{jacobienne}
 \inputFrameb{Mode asynchrone}{asynchrone}
 \inputFrameb{Un exemple motivant}{xplsddasync}
-\inputFrameb{Problématique}{sddproblematique}
+%\inputFrameb{Problématique}{sddproblematique}
+\frame{\frametitle{Plan}\tableofcontents[hideallsubsections]}
 
 \section{Réseaux booléens: des preuves de convergences}\label{sec:sdd}
 \frame{\frametitle{Plan}\tableofcontents[currentsection]}
-\inputFrameb{Un peu de Synchronisme}{synchronisons}
+\inputFrameb{Suffisamment de synchronisme}{synchronisons}
 \inputFrameb{Mode mixte avec $g$}{mixteexample}
 \inputFrameb{Convergence par la pratique}{preuveconvmotiv}
 \inputFrameb{Du système booléen au modèle PROMELA}{sdd2promela}
 
 
 
+
 \section{Des systèmes dynamiques discrets au chaos}\label{sec:sddchaos}
 \frame{\frametitle{Plan}\tableofcontents[currentsection]}
+\inputFrameb{Rappels sur les itérations chaotiques}{chaosDevaney}
+\inputFrameb{Espace pour itérations chaotiques (unaires)}{chaosDevaneyUnaire}
+\inputFrameb{Espace pour itérations chaotiques (généralisées)}{chaosDevaneyGeneralisees}
+\inputFrameb{Générer un graphe ${\textsc{giu}}$ fortement connexe}{tipe12}
 
 
 \section{Applications à la génération de nombres pseudo-aléatoires}\label{sec:prng}
 \frame{\frametitle{Plan}\tableofcontents[currentsection]}
+\inputFrameb{PRNG par itérations unaires}{prngualgo}
+\inputFrameb{Condition néc. suff. pour l'uniformité}{condunif}
+\inputFrameb{Succès pratiques et limites théoriques}{xplprngyestheorieko}
 
+\inputFrameb{Espace pour itérations chaotiques ($b$)}{prngunauretheorieok}
+\inputFrameb{$\textsc{giu}$ fortement connexe par construction}{hamiltonien1}
+\inputFrameb{Codes de Gray équilibrés}{gray}
+\inputFrameb{Evaluation de l'écart / ditribution uniforme}{heam}
+\inputFrameb{Et les itérations généralisées?}{prnggeneralise}
+\inputFrameb{Analyse  pratique des deux classes de PRNGS}{prnggeneralise2}
 
 
 \section{Application au masquage d'information}\label{sec:ih}
 \frame{\frametitle{Plan}\tableofcontents[currentsection]}
+%\inputFrameb{Marquer un média: un processsus chaotique}{marquage}
+
 
 \section{Conclusion}
 \frame{\frametitle{Plan}\tableofcontents[currentsection]}
diff --git a/talk/main.toc b/talk/main.toc
index fbd10b8..8766313 100644
--- a/talk/main.toc
+++ b/talk/main.toc
@@ -3,6 +3,6 @@
 \beamer@sectionintoc {1}{Introduction: iterations de r\IeC {\'e}seaux bool\IeC {\'e}ens}{2}{0}{1}
 \beamer@sectionintoc {2}{R\IeC {\'e}seaux bool\IeC {\'e}ens: des preuves de convergences}{9}{0}{2}
 \beamer@sectionintoc {3}{Des syst\IeC {\`e}mes dynamiques discrets au chaos}{14}{0}{3}
-\beamer@sectionintoc {4}{Applications \IeC {\`a} la g\IeC {\'e}n\IeC {\'e}ration de nombres pseudo-al\IeC {\'e}atoires}{15}{0}{4}
-\beamer@sectionintoc {5}{Application au masquage d'information}{16}{0}{5}
-\beamer@sectionintoc {6}{Conclusion}{17}{0}{6}
+\beamer@sectionintoc {4}{Applications \IeC {\`a} la g\IeC {\'e}n\IeC {\'e}ration de nombres pseudo-al\IeC {\'e}atoires}{19}{0}{4}
+\beamer@sectionintoc {5}{Application au masquage d'information}{30}{0}{5}
+\beamer@sectionintoc {6}{Conclusion}{31}{0}{6}
diff --git a/talk/mixteexample.tex b/talk/mixteexample.tex
index 0617945..b240c40 100644
--- a/talk/mixteexample.tex
+++ b/talk/mixteexample.tex
@@ -1,4 +1,4 @@
-\begin{exampleblock}{}
+\begin{block}{}
 \begin{figure}
 \subfloat[Parallèle synchrone]{
   \includegraphics[scale=0.2]{../images/eval_sync}
@@ -14,6 +14,6 @@
 \class{4} $=\{4,5\}$.]{
   \includegraphics[scale=0.2]{../images/eval_mixte}
 }
-\caption{Graphes des itérations de $g$} 
+%\caption{Graphes des itérations de $g$} 
 \end{figure}
-\end{exampleblock}
+\end{block}
diff --git a/talk/preuveconvmotiv.tex b/talk/preuveconvmotiv.tex
index b3e38d4..f6540e9 100644
--- a/talk/preuveconvmotiv.tex
+++ b/talk/preuveconvmotiv.tex
@@ -1,16 +1,16 @@
 
 \begin{itemize}
 \item Conditions suffisantes de convergence: facile à appliquer, 
-  domaine restreint
-\item Recherche d'une métrique decroissante minorée: difficile
+  domaine restreint.
+\item Recherche d'une métrique decroissante minorée: difficile.
 \item Simulations:  
 \begin{itemize}
 \item Non exhaustives pour les schémas généralisés et asynchrones.
 \item Verdict $\leftrightarrow$ vérité ssi divergence (contre-exemple).
 \end{itemize}
-\item Souhait: exploiter un outil qui traiterait toutes les transitions 
+\item Souhait: exploiter un outil qui traiterait toutes les transitions.
 \begin{itemize}
-\item explosion combinatoire: par abstraction,
+\item Explosion combinatoire: par abstraction,
   quotientage, ordre partiel\ldots
 \item Model checker: SPIN~\cite{Hol03}.
 \item Correction et complétude de la démarche.
diff --git a/talk/prnggeneralise.tex b/talk/prnggeneralise.tex
new file mode 100644
index 0000000..49152b8
--- /dev/null
+++ b/talk/prnggeneralise.tex
@@ -0,0 +1,26 @@
+\begin{block}{}
+ \begin{algorithm}[H]
+\KwIn{une fonction $f$, un nombre d'itérations $b$, 
+une configuration initiale $x^0$ (${\mathsf{N}}$ bits)}
+\KwOut{une configuration $x$ (${\mathsf{N}}$ bits)}
+$x\leftarrow x^0$\;
+$k\leftarrow b $\;
+\For{$i=1,\dots,k$}
+{
+$s\leftarrow{\textit{Set}(\textit{Random}(2^{\mathsf{N}}))}$\;
+$x\leftarrow{F_{f_g}(x,s)}$\;
+}
+return $x$\;
+\end{algorithm}
+\end{block}
+
+\begin{theorem}[Uniformité de la sortie ds le cas généralisé]
+  Soit $f: \Bool^{{\mathsf{N}}} \rightarrow \Bool^{{\mathsf{N}}}$ et
+  $\check{M}$ sa matrice d'adjacence.
+  Si $\textsc{gig}(f)$ est fortement connexe, alors 
+  la sortie du PRNG suit une loi qui 
+  tend vers la distribution uniforme si 
+  et ssi  $\dfrac{1}{2^{\mathsf{N}}} \check{M}
+$ est une matrice doublement stochastique.
+\end{theorem}
+
diff --git a/talk/prnggeneralise2.tex b/talk/prnggeneralise2.tex
new file mode 100644
index 0000000..9a900d9
--- /dev/null
+++ b/talk/prnggeneralise2.tex
@@ -0,0 +1,25 @@
+\begin{block}{Nombre moyen d'appels à un générateur binaire par bit généré}
+$$
+\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|}
+\hline
+\textrm{Itérations} & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 
+\hline
+\textrm{Unaires}         &  19.0 & 22.3  & 23.7 & 25.3 & 27.0\\  
+\hline
+\textrm{Généralisées}    &  17   & 13    & 11   & 10   & 9\\
+\hline
+\end{array}
+$$
+\end{block}
+
+
+\begin{itemize}
+\item Fréqence des configurations non accessibles en 1 itération:
+ \begin{itemize}
+\item Unaire: $1-\dfrac{n-1}{2^n}$ (croissant).
+\item généralisée: $1/2$ (constant), mais décroissance de la fréquence des 
+  bits constants.
+\end{itemize}
+\item Test de NIST: succès dans tous les cas. 
+\end{itemize}
+
diff --git a/talk/prngualgo.tex b/talk/prngualgo.tex
new file mode 100644
index 0000000..3111738
--- /dev/null
+++ b/talk/prngualgo.tex
@@ -0,0 +1,29 @@
+\begin{block}{Algorithme~\cite{bcgw11:ip}}
+\begin{algorithm}[H]
+%\begin{scriptsize}
+\KwIn{une fonction $f$, un nombre d'itérations $b$, 
+une configuration initiale $x^0$ (${\mathsf{N}}$ bits)}
+\KwOut{une configuration $x$ (${\mathsf{N}}$ bits)}
+$x\leftarrow x^0$\;
+%$k\leftarrow b + \textit{XORshift}(b+1)$\;
+\For{$i=1,\dots,b$}
+{
+$s\leftarrow{\textit{Random}({\mathsf{N}})}$\;
+%$s\leftarrow{\textit{XORshift}(n)}$\;
+$x\leftarrow{F_{f_u}(x,s)}$\;
+}
+return $x$\;
+%\end{scriptsize}
+%\caption{PRNG basé sur les itérations unaires.}
+%\label{CI Algorithm}
+\end{algorithm}
+\end{block}
+
+\begin{itemize}
+\item \textit{Random}: un PRNG ($\mathsf{N}$ bits).
+\item Remarques:
+\begin{itemize}
+\item $b=1$ $\leadsto$ itérations (chaotiques) de $F_{f_u}$
+\item Quid de l'uniformité de la sortie?
+\end{itemize}
+\end{itemize}
diff --git a/talk/prngunauretheorieok.tex b/talk/prngunauretheorieok.tex
new file mode 100644
index 0000000..38ec70d
--- /dev/null
+++ b/talk/prngunauretheorieok.tex
@@ -0,0 +1,74 @@
+\begin{itemize}
+\item Vers une fonction de 
+$\mathcal{X}_u =\Bool^{\mathsf{N}} \times \llbracket1;{\mathsf{N}}\rrbracket^\Nats$ 
+dans lui même~\cite{ccgh16}:
+\begin{itemize}
+\item $F_{f_u}: \Bool^{\mathsf{N}} \times \llbracket1;{\mathsf{N}}\rrbracket \rightarrow \Bool^{\mathsf{N}}$, 
+$(x,i) \mapsto (x_1,\dots,x_{i-1},f_i(x),x_{i+1},\dots,x_{\mathsf{N}})$
+\item $\sigma: \llbracket1;{\mathsf{N}}\rrbracket^\Nats \rightarrow \llbracket1;{\mathsf{N}}\rrbracket^\Nats$ t.q. $\forall t\in\Nats,\sigma(s)_t=s_{t+1}$
+\item $G_{{f_u},b}$ définie par 
+  $G_{{f_u},b}(x,s)=(F_{f_u}( \dots(F_{f_u}(x,s_0),\dots),s_{b-1}),\sigma^b(s))$
+\end{itemize}
+
+\item Distance $d((x,s),(x',s'))= d_H(x,x')+d''_S(s,s')$
+\end{itemize}
+
+\begin{theorem}[Fonctions t.q.  $G_{{f_u},b}$ est chaotique~\cite{ccgh16}]
+La fonction $G_{f_u,b}$ est chaotique sur 
+ $(\mathcal{X}_u,d)$ si et seulement si 
+le graphe d'itérations $\textsc{giu}_{b}(f)$ 
+est fortement connexe.
+\end{theorem}
+
+
+\vspace{-4.5em}
+\begin{center}
+\begin{minipage}{0.30\textwidth}
+  \begin{center}
+    \includegraphics[scale=0.35]{../images/h2prng}
+  \end{center}
+\end{minipage}
+\begin{minipage}{0.40\textwidth}
+  \begin{center}
+    \includegraphics[scale=0.35]{../images/h3prng}
+  \end{center}
+\end{minipage}
+\end{center}
+
+
+
+%  \begin{itemize}
+% \item Vers une fonction de 
+%   $\mathcal{X}_u$ dans lui même:
+% \begin{itemize}
+% \item   
+% $F_{{f_u},b} :  \mathds{B}^\mathsf{N} \times [\mathsf{N}]^{b}
+% \rightarrow \mathds{B}^\mathsf{N}$ définie par
+% $
+% F_{f_u,b} (x,(u^1, \hdots, u^{b})) = 
+% F_{f_u}(\hdots (F_{f_u}(x,u^1), \hdots), u^{b}).
+% $
+
+
+
+% \item $\sigma: 
+%  \left(\mathcal{P}(\llbracket 1;{\mathsf{N}}\rrbracket)\right)^{\Nats}
+%  \rightarrow 
+%  \left(\mathcal{P}(\llbracket 1;{\mathsf{N}}\rrbracket)\right)^{\Nats}$
+%  t.q. $\forall t\in\Nats,\sigma(s)_t=s_{t+1}$
+% \item $G_{f_g}$ définie par 
+%    \[
+%   G_{f_g}(x,S)=(F_{f_g}(x,s_0),\sigma(S)),
+%   \] 
+
+% \end{itemize}
+
+% \item Distance $d$: $d((x,s),(x',s'))= d_H(x,x')+d'_S(s,s')$
+% \end{itemize}
+
+% \begin{theorem}[Fonctions t.q.  $G_{f_g}$ est chaotique]
+% \label{Th:CaracIC}  
+% Soit $f:\Bool^{\mathsf{N}}\to\Bool^{\mathsf{N}}$. 
+% Les itérations de la fonction $G_{f_g}$ sont chaotiques  
+% si et seulement si $\textsc{gig}(f)$ est fortement connexe.
+% \end{theorem}
diff --git a/talk/rb.tex b/talk/rb.tex
index ad0d751..2a6c33d 100644
--- a/talk/rb.tex
+++ b/talk/rb.tex
@@ -9,7 +9,7 @@ $
 \item \emph{Parallèle synchrone:} 
   $x^{t+1}=f(x^t)$. 
 \item \emph{Unaire:}  à partir de la \emph{stratégie unaire}  
-  $S = \left(s^t\right)^{t \in  \mathds{N}}$, 
+  $\left(s^t\right)^{t \in  \mathds{N}} \in [\mathsf{N}]^{\Nats}$, 
   modification de l'élément $s^t$ de $x^t$ 
   $$  
   \begin{array}{l}   
@@ -25,9 +25,9 @@ $
 $$
 
 \item \emph{Généralisé:} à partir de la \emph{stratégie généralisée}
-  $\left(s^t\right)^{t \in  \mathds{N}}$, 
-  à  chaque  itération $t$, 
-  modification des éléments de $x^t$ dans $s^t\subset\{1,\ldots,n\}$ 
+  $\left(s^t\right)^{t \in  \mathds{N}} \in \mathcal{P}([\mathsf{N}])^{\Nats} $, 
+%  à  chaque  itération $t$, 
+  modification des éléments de $x^t$ dans $s^t\subset [\mathsf{N}]$ 
   $$  
   \begin{array}{l}   
     x^{t+1}= (x^{t+1}_1,\dots,x^{t+1}_n) \textrm{ où } 
diff --git a/talk/sdd2promela.tex b/talk/sdd2promela.tex
index 4676dfa..9389fc3 100644
--- a/talk/sdd2promela.tex
+++ b/talk/sdd2promela.tex
@@ -3,10 +3,10 @@
 \begin{itemize}
 \item Stratégie: pseudo périodicité garantie par le choix indéterministe de 
   SPIN.
-\item Délais(bornés par construction): oubli de certaines valeurs grâce à l'indéterminisme de SPIN.
+\item Délais (bornés par construction): oubli de certaines valeurs grâce à l'indéterminisme de SPIN.
 \end{itemize}
 \item Convergence universelle:   $\diamond  (\Box  \verb+Xp+ = \verb+X+)$.
-\end{itemize}
+
 
 \begin{theorem}[Correction et complétude de la traduction vers Promela~\cite{Cou10:ir}]
   Soit $\phi$ un modèle de système dynamique discret et $\psi$ sa traduction PROMELA.  
@@ -15,3 +15,16 @@
   $\psi$ vérifie
   la propriété  LTL  sous hypothèse d'équité faible.
 \end{theorem}
+
+% \item Equité faible grantie uniquement entre processus:
+% \begin{itemize}
+% \item L'imposer pour chaque choix où
+% \item Filtrer les traces non équitables retournée.
+% \end{itemize}
+\item Bilan: 
+\begin{itemize}
+\item Preuve automatique de convergence de modèles indpt. schéma/mode.
+\item A pu décider de la convergence d'exemples simples.
+\item Ne passe pas à l'échelle.
+\end{itemize}
+\end{itemize}
diff --git a/talk/sddproblematique.tex b/talk/sddproblematique.tex
index 960b079..c317a97 100644
--- a/talk/sddproblematique.tex
+++ b/talk/sddproblematique.tex
@@ -15,7 +15,7 @@
 \item Caractérisation d'un PRNG chaotique.  
 \item Générations et qualité.
 \end{itemize}
-\item Du Chaos au masquage d'information (Sec.\ref{sec:ih}).
+\item Du Chaos au masquage d'information (Sec.~\ref{sec:ih}).
 \begin{itemize}
 \item D'un point de vue chaotique.
 \item D'un point de vue analyse vectorielle discrète.
diff --git a/talk/tipe12.tex b/talk/tipe12.tex
new file mode 100644
index 0000000..0747529
--- /dev/null
+++ b/talk/tipe12.tex
@@ -0,0 +1,37 @@
+\begin{itemize}
+\item Méthode naïve: 
+  suppressions successives aléatoires d'arcs de 
+  $\textsc{giu}(\neg)$.
+\item $\leadsto$ Vérification portant sur le graphe des iterations.
+
+\item Souhait: cond. suffisantes sur le graphe d'interactions.
+\begin{theorem}[Fonctions avec $\textsc{giu}$  fort. connexe~\cite{bcgr11:ip}]
+\label{th:Adrien}
+Soit $f$ une fonction de $\Bool^{\mathsf{N}}$ vers lui-même telle que $\Gamma(f)$: 
+\begin{enumerate}
+\item 
+  N'a pas de cycle de longueur supérieure ou égale à deux.
+\item 
+  Chacun des sommets avec  une boucle +  a aussi une boucle -.
+\item
+Chacun des sommets est accessible depuis un sommet avec une boucle -.
+\end{enumerate}
+Alors, $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe.
+\end{theorem}
+\end{itemize}
+
+\begin{center}
+  \begin{minipage}{0.4\textwidth}
+    \includegraphics[scale=0.4]{../images/Gi.pdf}
+  \end{minipage}
+  \begin{minipage}{0.45\textwidth}
+  $\leadsto 
+  \left \{
+    \begin{array}{l}
+      \textrm{ 34226 fonctions} \\
+      \textrm{ 520 non isomorphes}
+    \end{array}
+    \right.
+    $
+  \end{minipage}
+\end{center}
diff --git a/talk/xplprngyestheorieko.tex b/talk/xplprngyestheorieko.tex
new file mode 100644
index 0000000..64ca989
--- /dev/null
+++ b/talk/xplprngyestheorieko.tex
@@ -0,0 +1,44 @@
+\begin{block}{}
+\begin{minipage}{0.19\textwidth}
+  \includegraphics[width=3.5cm]{../images/Gi.pdf}
+\end{minipage}
+\begin{minipage}{0.8\textwidth}
+\begin{itemize}
+\item Seules 16 vérifient les hypothèses du théorème précédent.
+\item $b$: nombre d'itérations suffisant pour une déviation p.r. la distribution uniforme inf. à  $10^{-4}$. 
+
+\begin{center}
+  \begin{tiny}
+    \begin{tabular}{|c|c|c|}
+      \hline
+      {Nom}& {Définition}&{$b$} \\
+      \hline 
+      $\mathcal{F}_1$ & 14, 15, 12, 13, 10, 11, 8, 9, 6, 7, 4, 5, 2, 3, 1, 0  & 206\\
+      \hline
+      $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ \\ 
+      \hline
+      $\mathcal{F}_9$ &14, 15, 12, 13, 10, 11, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 0, 1
+      & 42 \\
+      \hline
+      $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ \\ 
+      \hline
+      $\mathcal{F}_{16}$ &14, 15, 13, 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0
+      & 206 \\
+      \hline
+    \end{tabular}
+  \end{tiny}
+\end{center}
+\item Succès de tous les PRNGs issus de ces fonctions
+aux tests  du \emph{National Institute of Standards and Technology} (NIST).
+\end{itemize}
+\end{minipage}
+\end{block}
+\begin{itemize}
+\item Erreur de raisonnement:
+\begin{itemize}
+\item Générateur prouvé chaotique seulement pour $b=1$.
+\item Pas compatible avec la pratique: $b \geq 42$ nécessaire
+  pour suivre une loi uniforme (à $10^{-4}$ près).
+\item $\leadsto$ Etendre la théorie.
+\end{itemize}
+\end{itemize}
diff --git a/talk/xplsddasync.tex b/talk/xplsddasync.tex
index f7211bf..610a1af 100644
--- a/talk/xplsddasync.tex
+++ b/talk/xplsddasync.tex
@@ -1,4 +1,4 @@
-\begin{exampleblock}{ $g(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)  = 
+\begin{block}{ $g(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)  = 
 (x_1.\overline{x_2} + \overline{x_1}.x_2,\overline{x_1 + x_2}, x_3.\overline{x_1}, x_5, \overline{x_3} + x_4)$}
   \begin{figure}  
     \centering
@@ -11,9 +11,9 @@
 \caption{Graphes des itérations synchrones}
     \begin{itemize}
       \item Avec $D^t = t$ sauf $D^t_{12} = t-1$ pour  $t$ impair, 
-        $g$ oscille entre $(0,0,0,1,1)$ et $(0,1,0,1,1)$
-      \item Schéma parallèle: converge en synchrone, diverge en asynchrone 
+        $g$ oscille entre $3$ et $11$.
+      \item $\leadsto$ Schéma parallèle: converge en synchrone, diverge en asynchrone 
       \end{itemize}
 
 \end{figure}
-\end{exampleblock}
+\end{block}