From: couchot <jf.couchot@gmail.com>
Date: Fri, 22 May 2015 08:14:56 +0000 (+0200)
Subject: cs
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cs
---

diff --git a/12TIPE.tex b/12TIPE.tex
index 4171437..e735c46 100644
--- a/12TIPE.tex
+++ b/12TIPE.tex
@@ -1,84 +1,5 @@
-La première section  rappelle ce que sont les systèmes dynamiques chaotiques.
 
-\section{Systèmes dynamiques chaotiques selon Devaney}
-\label{subsec:Devaney}
-Dans  cette  partie, les  définitions  fondamentales  liées  au chaos
-dans  les systèmes booléens sont rappelées.
 
-
-
-Soit un espace topologique $(\mathcal{X},\tau)$ et une fonction continue $f :
-\mathcal{X} \rightarrow \mathcal{X}$.
-
-
-
-
-\begin{Def}[Chaos selon Devaney~\cite{Devaney}]
-La fonction $f$  \emph{chaotique} sur $(\mathcal{X},\tau)$ 
-si elles est régulière et topologiquement transitive.
-\end{Def}
-
-
-
-\begin{Def}[Transitivite topologique]
-La fonction  $f$ est dite  \emph{topologiquement transitive} si, 
-pour chaque paire d'ensembles ouverts
-$U,V \subset \mathcal{X}$, 
-il existe  $k>0$ tel que $f^k(U) \cap V \neq
-\varnothing$.
-\end{Def}
-
-\begin{Def}[Point périodique]
-  Un point $P  \in \mathcal{X}$ est dit \emph{périodique}  de période $t$ pour
-  une fonction $k$ si $t$ est un entier  naturel non nul tel que $k^t(P) = P$ et
-  pour tout $n$, $0 < n \le t-1$, on a $k^n(P) \neq P$.
-  Par la  suite, $\emph{Per(k)}$ dénote  l'ensemble des points  périodiques de
-  $k$ dans $\mathcal{X}$ de période quelconque.
-\end{Def}
-
-
-
-\begin{Def}[Régularité]
-La fonction $f$ est dite \emph{régulière} 
-sur $(\mathcal{X}, \tau)$ si l'ensemble des points périodiques 
- de $f$ is dense in $\mathcal{X}$: 
-pour chaque point $x \in \mathcal{X}$, chaque voisin 
-de $x$ contient au moins un point périodique 
-(sans que la période soit nécessairement constante).
-\end{Def}
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-La propriété de chaos est souvent associée à la notion de 
-\og sensibilité aux conditions initiales\fg{}, notion définie elle 
-sur un espace métrique $(\mathcal{X},d)$ par:
-
-
-\begin{Def}[Forte sensibilité aux conditions initiales]
-Une fonction $k$ définie sur $(\mathcal{X},\tau)$ 
-est  \emph{fortement sensible aux conditions initiales} 
-s'il existe une valeur $\epsilon> 0$ telle que
-pour tout $X \in \mathcal{X}$ et pour tout 
- $\delta > 0$, il existe  $Y \in  \mathcal{X}$ et  
-$t \in \Nats$ qui vérifient  $d(X,Y) < \delta$ et 
-$d(k^t(X) , k^t(Y)) > \epsilon$.
-
-La constante $\delta$ est appelée \emph{constante de sensibilité} de $f$.
-\end{Def}
-
-John Banks et ses collègues ont cependant
-démontré que la sensibilité aux conditions initiales est une conséquence
-de la régularité et de la transitivité topologique~\cite{Banks92}. 
-
-
-
-\section{Schéma unaire}
 Soit ${\mathsf{N}}$ un entier naturel et $f$ une fonction de 
 $\Bool^{{\mathsf{N}}}$ dans lui-même.
 
@@ -221,6 +142,6 @@ si et seulement si $\Gamma(f)$ est fortement connexe.
 
 
 
-\section{Schéma généralisé}
+
 
 
diff --git a/15TSI.tex b/15TSI.tex
new file mode 100644
index 0000000..47ecd36
--- /dev/null
+++ b/15TSI.tex
@@ -0,0 +1,115 @@
+On reprend ici le même plan que dans la section précédente.
+
+Soit ${\mathsf{N}}$ un entier naturel et $f$ une fonction de 
+$\Bool^{{\mathsf{N}}}$ dans lui-même.
+
+
+\subsection{Des itérations généralisées aux itérations parallèles}
+
+Dans le schéma généralisé, à la  $t^{\textrm{ème}}$ itération, 
+c'est l'ensemble 
+des $s_{t}^{\textrm{ème}}$ éléments (inclus dans $[n]$) qui 
+sont  mis à jour (c.f. équation~(\ref{eq:schema:generalise})).
+On redéfinit la fonction la fonction
+  $F_f:  \Bool^{\mathsf{N}} \times \mathcal{P}(\{1, \ldots, \mathsf{N}\}) 
+  \rightarrow \Bool^{\mathsf{N}}$  par
+  \[
+  F_f(x,s)_i=\left\{
+    \begin{array}{l}
+      f_i(x) \textrm{ si $i \in s$;}\\   
+      x_i \textrm{ sinon.}
+    \end{array}\right.
+  \]
+  
+Dans ce schéma d'itérations généralisées, 
+pour une configuration initiale
+$x^0\in\Bool^{\mathsf{N}}$ et une stratégie $S = \left(s_t\right)_{t \in  \mathds{N}}
+\in \mathcal{P}(\{1, \ldots, {\mathsf{N}}\})^{\Nats}$,
+les
+configurations $x^t$ sont définies par la récurrence
+\begin{equation}\label{eq:asyn}
+    x^{t+1}=F_f(s_t,x^t).
+  \end{equation}
+  Soit alors $G_f$ une fonction de $\Bool^{\mathsf{N}}  \times  \mathcal{P}(\{1, \ldots, {\mathsf{N}}\})^{\Nats}$ 
+  dans lui-même définie par 
+  \[
+  G_f(S,x)=(\sigma(S),F_f(s_0,x)),
+  \] 
+  où la fonction $\sigma$ est définit comme à la section précédente.
+  A nouveau, les itérations généralisées 
+  de $f$ induites par $x^0$ et la  stratégie $S$.
+  décrivent la même orbite que les 
+  itérations parallèles de $G_f$ depuis un point initial
+  $X^0=(x^0,S)$ 
+  
+  
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+On peut alors construire l'espace 
+$\mathcal{X} = \Bool^{\mathsf{N}} \times
+\mathcal{P}(\{1, \ldots, {\mathsf{N}}\})^{\Nats}$
+
+\subsection{Une métrique pour $\mathcal{X}$}
+
+Cette nouvelle distance va comparer des ensembles. 
+On rappelle pour quelques notions ensemblistes. 
+Pour $A$ et $B$ deux ensembles de l'univers $\Omega$,
+on rappelle la définition de l'opérateur 
+de \emph{différence ensembliste} symétrique :
+\[
+A \Delta B = (A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B)
+\]  
+où $\overline{B}$ désigne le complémentaire de $B$ dans $\Omega$.
+
+On considère l'espace $\mathcal{X}=\mathcal{P}(\{1, \ldots, {\mathsf{N}}\})^{\Nats}\times
+\Bool^{\mathsf{N}}$ et
+on définit la distance $d$ entre les points $X=(S,x)$ et
+$X'=(S',x')$ de $\mathcal{X}$ par 
+\[
+d(X,X')= d_H(x,x')+d_S(S,S'),~\textrm{où}~
+\left\{
+\begin{array}{l}
+\displaystyle{d_H(x,x')=\sum_{i=1}^{\mathsf{N}} |x_i-x'_i|}\\[5mm] 
+\displaystyle{d_S(S,S')=\frac{9}{{\mathsf{N}}}\sum_{t\in\Nats}\frac{|S_t \Delta S'_t|}{10^{t+1}}}.
+\end{array}
+\right.\,.
+\]
+
+La fonction $d$ est une somme de deux fonctions.
+La fonction $d_H$ est la distance de Hamming; il est aussi établi que la 
+somme de deux distances est une distance.
+Ainsi, pour montrer que $d$ est aussi une distance, il suffit 
+de montrer que $d_S$ en une aussi, ce qui est fait en annexe~\ref{anx:distance:generalise}.
+
+La section suivante caractérise les fonctions $f$ qui sont  
+chaotiques pour le schéma généralisées.
+
+
+\subsection{Caractérisation des fonctions chaotiques 
+pour le schéma généralisé}
+On a les théorèmes suivants dont les preuves sont données en 
+annexe~\ref{anx:chaos:generalise}.
+
+\begin{theorem} $G_f$  est transitive si et seulement si 
+ $\Gamma(f)$ est fortement connexe.
+\end{theorem}
+
+\begin{theorem}
+\label{Prop: T est dans R} $\mathcal{T} \subset \mathcal{R}$.
+\end{theorem}
+
+
+\begin{theorem}%[Characterization of $\mathcal{C}$]
+\label{Th:CaracIC}  
+Soit $f:\Bool^{\mathsf{N}}\to\Bool^{\mathsf{N}}$. La fonction $G_f$ est chaotique  
+si et seulement si $\Gamma(f)$ est fortement connexe.
+\end{theorem}
+
+
+
+
+
+
+
+
+
diff --git a/caracgeneralise.tex b/caracgeneralise.tex
new file mode 100644
index 0000000..e1c825a
--- /dev/null
+++ b/caracgeneralise.tex
@@ -0,0 +1,97 @@
+
+Commençons par caractériser l'ensemble $\mathcal{T}$ des fonctions transitives:
+
+\begin{theorem} $G_f$  est transitive si et seulement si 
+ $\Gamma(f)$ est fortement connexe.
+\end{theorem}
+
+\begin{Proof} 
+
+$\Longleftarrow$ Supposons que $\Gamma(f)$ soit fortement connexe.
+Soient $(x,S)$ et $(x',S')$ deux points de $\mathcal{X}$ et  $\varepsilon >0$. 
+On construit la stratégie $\tilde S$ telle que la distance 
+entre $(x,\tilde S)$ et  $(x,S)$ est inférieure à 
+$\varepsilon$ et telle que les  itérations parallèles de $G_f$ depuis
+$(x,\tilde S)$ mènent au point $(x',S')$.
+
+Pour cela, on pose $t_1 =-\lfloor\log_{10}(\varepsilon)\rfloor$ et   $x''$ la 
+configuration de $\Bool^{\mathsf{N}}$ obtenue depuis $(x,S)$
+après $t_1$ itérations
+parallèles de $G_f$. 
+Comme $\Gamma(f)$ est fortement connexe, il existe une 
+stratégie $S''$ et un entier  $t_2$ tels que $x'$ est atteint depuis 
+$(x'',S'')$ après $t_2$ itérations de $G_f$.
+
+Considérons à présent la stratégie 
+$\tilde S=(s_0,\dots,s_{t_1-1},s''_0,\dots,s''_{t_2-1},s'_0,s'_1,s'_2,s'_3\dots)$.
+Il est évident que $(x',s')$ est atteint depuis  $(x,\tilde S)$ après 
+$t_1+t_2$ itérations parallèles de $G_f$. Puisque 
+$\tilde s_t=s_t$ pour $t<t_1$, grâce au choix de $t_1$,
+on a $d((x,S),(x,\tilde S))<\epsilon$. 
+Par conséquent, $G_f$ est transitive.
+
+$\Longrightarrow$ Démontrons la contraposée.
+Si $\Gamma(f)$ n'est pas  fortement connexe, alors 
+il existe deux configurations $x$  et $x'$ telles qu'aucun chemin de 
+$\Gamma(f)$ ne mène de $x$ à $x'$. 
+Soient $S$ et $S'$ deux stratégies et $\varepsilon \in ]0;1[$.
+Alors, pour tout $(x'',S'')$ tel que 
+$d((x'',S''),(x,S))<\varepsilon$ on a $x''$ qui est égal à $x$.
+Comme il n'existe aucun chemin de $\Gamma(f)$ 
+qui mène de $x$ à $x'$, 
+les itérations de $G_f$ à partir de 
+$(x'',S'') = (x,S'')$ ne peuvent atteindre que des points 
+$(x''',S''')$ de $\mathcal{X}$ tels que $x''' \neq x'$, 
+et donc ne peuvent pas atteindre $(x',S')$. 
+On peut remarquer que, du fait que $x''' \neq x'$, 
+elles n'atteignent que des points de $\mathcal{X}$
+dont la distance à $(x',S')$ est supérieure à 1.
+Pour tout entier naturel $t$, on a 
+$G_f^t(x'',S'') \neq (x',S')$.
+Ainsi $G_f$ n'est pas transitive et 
+par contraposée, on a la démonstration souhaitée.
+\end{Proof}
+
+
+Prouvons à présent le théorème suivant: 
+
+\begin{theorem}
+\label{Prop: T est dans R} $\mathcal{T} \subset \mathcal{R}$.
+\end{theorem}
+
+
+\begin{Proof}  
+Soit $f:\Bool^{\mathsf{N}}\to\Bool^{\mathsf{N}}$ telle que  $G_f$ est transitive (\textit{i.e.}
+$f$ appartient à $\mathcal{T}$). 
+Soit $(x,S) \in\mathcal{X}$ et $\varepsilon >0$. Pour 
+prouver que $f$ appartient à  $\mathcal{R}$, il suffit de prouver 
+qu'il existe une stratégie $\tilde S$ telle que la distance entre
+$(x,\tilde S)$ et $(x,S)$ est inférieure à  $\varepsilon$ et telle que 
+$(x,\tilde S)$ est un  point périodique.
+
+Soit $t_1=-\lfloor \log_{10}(\varepsilon)\rfloor$  et soit $x'$ la 
+configuration obtenue après $t_1$ itérations de $G_f$ depuis  $(x,S)$. 
+D'après la proposition précédente, $\Gamma(f)$ est fortement connexe.
+Ainsi, il existe une stratégie $S'$ et un nombre $t_2\in\Nats$ tels
+que $x$ est atteint depuis $(x',S')$ après $t_2$ itérations de $G_f$.
+
+Soit alors la  stratégie $\tilde S$ qui alterne les $t_1$ premiers termes
+de $S$ avec les $t_2$ premiers termes de $S'$. 
+Ainsi $\tilde S$ est définie par 
+\begin{equation*}
+(s_0,\dots,s_{t_1-1},s'_0,\dots,s'_{t_2-1},s_0,\dots,s_{t_1-1},s'_0,\dots,s'_{t_2-1},s_0,\dots).
+\end{equation*}
+Il est évident que  $(x,\tilde S)$ s'obtient à partir de  $(x,\tilde S)$ après
+$t_1+t_2$ itérations parallèles de $G_f$. Ainsi $(x,\tilde S)$ est un point 
+périodique. Puisque $\tilde s_t$ est égal à $s_t$ pour $t<t_1$, d'après le 
+choix de  $t_1$, on a  $d((x,S),(x,\tilde S))<\epsilon$.
+\end{Proof}
+
+On peut conclure  que $\mathcal{C} = \mathcal{R} \cap \mathcal{T}
+= \mathcal{T}$. On a alors la  caractérisation suivante:
+
+\begin{theorem}%[Characterization of $\mathcal{C}$]
+\label{Th:CaracIC}  
+Soit $f:\Bool^{\mathsf{N}}\to\Bool^{\mathsf{N}}$. La fonction $G_f$ est chaotique  
+si et seulement si $\Gamma(f)$ est fortement connexe.
+\end{theorem}
diff --git a/caracunaire.tex b/caracunaire.tex
index 7f3fbc4..d21e7c1 100644
--- a/caracunaire.tex
+++ b/caracunaire.tex
@@ -11,26 +11,26 @@ On prouve les théorèmes suivants
 \begin{Proof} 
 
 $\Longleftarrow$ Supposons que $\Gamma(f)$ soit fortement connexe.
-Soient $(S,x)$ et $(S',x')$ deux points de $\mathcal{X}$ et  $\varepsilon >0$. 
+Soient $(x,S)$ et $(x',S')$ deux points de $\mathcal{X}$ et  $\varepsilon >0$. 
 On construit la stratégie $\tilde S$ telle que la distance 
-entre $(\tilde S,x)$ et  $(S,x)$ est inférieure à 
+entre $(x,\tilde S)$ et  $(x,S)$ est inférieure à 
 $\varepsilon$ et telle que les  itérations parallèles de $G_f$ depuis
-$(\tilde S,x)$ mènent au point $(S',x')$.
+$(x,\tilde S)$ mènent au point $(x',S')$.
 
 Pour cela, on pose $t_1 =-\lfloor\log_{10}(\varepsilon)\rfloor$ et   $x''$ la 
-configuration de $\Bool^n$ obtenue depuis $(S,x)$ après $t_1$ itérations
+configuration de $\Bool^{\mathsf{N}}$ obtenue depuis $(x,S)$ après $t_1$ 
+itérations
 parallèles de $G_f$. 
 Comme $\Gamma(f)$ est fortement connexe, il existe une 
 stratégie $S''$ et un entier  $t_2$ tels que $x'$ est atteint depuis 
-$(S'',x'')$ après $t_2$ itérations de $G_f$.
+$(x'',S'')$ après $t_2$ itérations de $G_f$.
 
 Considérons à présent la stratégie 
 $\tilde S=(s_0,\dots,s_{t_1-1},s''_0,\dots,s''_{t_2-1},s'_0,s'_1,s'_2,s'_3\dots)$.
-Il est évident que $(s',x')$ est atteint depuis  $(\tilde S,x)$ après 
+Il est évident que $(x',s')$ est atteint depuis  $(x,\tilde S)$ après 
 $t_1+t_2$ itérations parallèles de $G_f$. Puisque 
 $\tilde s_t=s_t$ pour $t<t_1$, grâce au choix de $t_1$,
-on a $d((S,x),(\tilde
-S,x))<\epsilon$. 
+on a $d((x,S),(x,\tilde S))<\epsilon$. 
 Par conséquent, $G_f$ est transitive.
 
 $\Longrightarrow$ Démontrons la contraposée.
@@ -38,19 +38,19 @@ Si $\Gamma(f)$ n'est pas  fortement connexe, alors
 il existe deux configurations $x$  et $x'$ telles qu'aucun chemin de 
 $\Gamma(f)$ ne mène de $x$ à $x'$. 
 Soient $S$ et $S'$ deux stratégies et $\varepsilon \in ]0;1[$.
-Alors, pour tout $(S'',x'')$ tel que 
-$d((S'',x''),(S,x))<\varepsilon$ on a $x''$ qui est égal à $x$.
+Alors, pour tout $(x'',S'')$ tel que 
+$d((x'',S''),(x,S))<\varepsilon$ on a $x''$ qui est égal à $x$.
 Comme il n'existe aucun chemin de $\Gamma(f)$ 
 qui mène de $x$ à $x'$, 
 les itérations de $G_f$ à partir de 
-$(S'', x'') = (S'', x)$ ne peuvent atteindre que des points 
-$(S''', x''')$ de $\mathcal{X}$ tels que $x''' \neq x'$, 
-et donc ne peuvent pas atteindre $(S', x')$. 
+$(x'',S'') = (x,S'')$ ne peuvent atteindre que des points 
+$(x''',S''')$ de $\mathcal{X}$ tels que $x''' \neq x'$, 
+et donc ne peuvent pas atteindre $(x',S')$. 
 On peut remarquer que, du fait que $x''' \neq x'$, 
 elles n'atteignent que des points de $\mathcal{X}$
-dont la distance à $(S', x')$ est supérieure à 1.
+dont la distance à $(x',S')$ est supérieure à 1.
 Pour tout entier naturel $t$, on a 
-$G_f^t(S'',x'') \neq (S',x')$.
+$G_f^t(x'',S'') \neq (x',S')$.
 Ainsi $G_f$ n'est pas transitive et 
 par contraposée, on a la démonstration souhaitée.
 \end{Proof}
@@ -64,19 +64,19 @@ Prouvons à présent le théorème suivant:
 
 
 \begin{Proof}  
-Soit $f:\Bool^n\to\Bool^n$ telle que  $G_f$ est transitive (\textit{i.e.}
+Soit $f:\Bool^{\mathsf{N}}\to\Bool^{\mathsf{N}}$ telle que  $G_f$ est transitive (\textit{i.e.}
 $f$ appartient à $\mathcal{T}$). 
-Soit $(S,x) \in\mathcal{X}$ et $\varepsilon >0$. Pour 
+Soit $(x,S) \in\mathcal{X}$ et $\varepsilon >0$. Pour 
 prouver que $f$ appartient à  $\mathcal{R}$, il suffit de prouver 
 qu'il existe une stratégie $\tilde S$ telle que la distance entre
-$(\tilde S,x)$ et $(S,x)$ est inférieure à  $\varepsilon$ et telle que 
-$(\tilde S,x)$ est un  point périodique.
+$(x,\tilde S)$ et $(x,S)$ est inférieure à  $\varepsilon$ et telle que 
+$(x,\tilde S)$ est un  point périodique.
 
 Soit $t_1=-\lfloor \log_{10}(\varepsilon)\rfloor$  et soit $x'$ la 
-configuration obtenue après $t_1$ itérations de $G_f$ depuis  $(S,x)$. 
+configuration obtenue après $t_1$ itérations de $G_f$ depuis  $(x,S)$. 
 D'après la proposition précédente, $\Gamma(f)$ est fortement connexe.
 Ainsi, il existe une stratégie $S'$ et un nombre $t_2\in\Nats$ tels
-que $x$ est atteint depuis $(S',x')$ après $t_2$ itérations de $G_f$.
+que $x$ est atteint depuis $(x',S')$ après $t_2$ itérations de $G_f$.
 
 Soit alors la  stratégie $\tilde S$ qui alterne les $t_1$ premiers termes
 de $S$ avec les $t_2$ premiers termes de $S'$. 
@@ -84,10 +84,10 @@ Ainsi $\tilde S$ est définie par
 \begin{equation*}
 (s_0,\dots,s_{t_1-1},s'_0,\dots,s'_{t_2-1},s_0,\dots,s_{t_1-1},s'_0,\dots,s'_{t_2-1},s_0,\dots).
 \end{equation*}
-Il est évident que  $(\tilde S,x)$ s'obtient à partir de  $(\tilde S,x)$ après
-$t_1+t_2$ itérations parallèles de $G_f$. Ainsi $(\tilde S,x)$ est un point 
+Il est évident que  $(x,\tilde S)$ s'obtient à partir de  $(x,\tilde S)$ après
+$t_1+t_2$ itérations parallèles de $G_f$. Ainsi $(x,\tilde S)$ est un point 
 périodique. Puisque $\tilde s_t$ est égal à $s_t$ pour $t<t_1$, d'après le 
-choix de  $t_1$, on a  $d((S,x),(\tilde S,x))<\epsilon$.
+choix de  $t_1$, on a  $d((x,S),(x,\tilde S))<\epsilon$.
 \end{Proof}
 
 On peut conclure  que $\mathcal{C} = \mathcal{R} \cap \mathcal{T}
@@ -95,7 +95,7 @@ On peut conclure  que $\mathcal{C} = \mathcal{R} \cap \mathcal{T}
 
 \begin{theorem}%[Characterization of $\mathcal{C}$]
 \label{Th:CaracIC}  
-Soit $f:\Bool^n\to\Bool^n$. La fonction $G_f$ est chaotique  
+Soit $f:\Bool^{\mathsf{N}}\to\Bool^{\mathsf{N}}$. La fonction $G_f$ est chaotique  
 si et seulement si $\Gamma(f)$ est fortement connexe.
 \end{theorem}
 
diff --git a/devaney.tex b/devaney.tex
new file mode 100644
index 0000000..1291793
--- /dev/null
+++ b/devaney.tex
@@ -0,0 +1,85 @@
+
+Dans  cette  partie, les  définitions  fondamentales  liées  au chaos
+dans  les systèmes booléens sont rappelées.
+
+
+
+Soit un espace topologique $(\mathcal{X},\tau)$ et une fonction continue $f :
+\mathcal{X} \rightarrow \mathcal{X}$.
+
+
+
+
+\begin{Def}[Chaos selon Devaney~\cite{Devaney}]
+La fonction $f$  \emph{chaotique} sur $(\mathcal{X},\tau)$ 
+si elles est régulière et topologiquement transitive.
+\end{Def}
+
+
+
+\begin{Def}[Transitivite topologique]
+La fonction  $f$ est dite  \emph{topologiquement transitive} si, 
+pour chaque paire d'ensembles ouverts
+$U,V \subset \mathcal{X}$, 
+il existe  $k>0$ tel que $f^k(U) \cap V \neq
+\varnothing$.
+\end{Def}
+
+\begin{Def}[Point périodique]
+  Un point $P  \in \mathcal{X}$ est dit \emph{périodique}  de période $t$ pour
+  une fonction $k$ si $t$ est un entier  naturel non nul tel que $k^t(P) = P$ et
+  pour tout $n$, $0 < n \le t-1$, on a $k^n(P) \neq P$.
+  Par la  suite, $\emph{Per(k)}$ dénote  l'ensemble des points  périodiques de
+  $k$ dans $\mathcal{X}$ de période quelconque.
+\end{Def}
+
+
+
+\begin{Def}[Régularité]
+La fonction $f$ est dite \emph{régulière} 
+sur $(\mathcal{X}, \tau)$ si l'ensemble des points périodiques 
+ de $f$ is dense in $\mathcal{X}$: 
+pour chaque point $x \in \mathcal{X}$, chaque voisin 
+de $x$ contient au moins un point périodique 
+(sans que la période soit nécessairement constante).
+\end{Def}
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+La propriété de chaos est souvent associée à la notion de 
+\og sensibilité aux conditions initiales\fg{}, notion définie elle 
+sur un espace métrique $(\mathcal{X},d)$ par:
+
+
+\begin{Def}[Forte sensibilité aux conditions initiales]
+Une fonction $k$ définie sur $(\mathcal{X},\tau)$ 
+est  \emph{fortement sensible aux conditions initiales} 
+s'il existe une valeur $\epsilon> 0$ telle que
+pour tout $X \in \mathcal{X}$ et pour tout 
+ $\delta > 0$, il existe  $Y \in  \mathcal{X}$ et  
+$t \in \Nats$ qui vérifient  $d(X,Y) < \delta$ et 
+$d(k^t(X) , k^t(Y)) > \epsilon$.
+
+La constante $\delta$ est appelée \emph{constante de sensibilité} de $f$.
+\end{Def}
+
+John Banks et ses collègues ont cependant
+démontré que la sensibilité aux conditions initiales est une conséquence
+de la régularité et de la transitivité topologique~\cite{Banks92}. 
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
diff --git a/main.pdf b/main.pdf
index 1d276aa..b151af3 100644
Binary files a/main.pdf and b/main.pdf differ
diff --git a/main.tex b/main.tex
index 16de4a6..a31f0bd 100644
--- a/main.tex
+++ b/main.tex
@@ -173,14 +173,23 @@ au chaos}
 
 \chapter{Characterisation des systèmes 
   discrets chaotiques}
+
+La première section  rappelle ce que sont les systèmes dynamiques chaotiques.
 Dire que cette caractérisation dépend du type de stratégie : unaire (TIPE), 
 généralisée (TSI).  Pour chacune d'elle, 
 on introduit une distance différente.
 
 On montre qu'on a des résultats similaires.
 
+\section{Systèmes dynamiques chaotiques selon Devaney}
+\label{subsec:Devaney}
+\input{devaney}
+
+\section{Schéma unaire}
 \input{12TIPE}
 
+\section{Schéma généralisé}
+\input{15TSI}
 
 
 générer des fonctions vérifiant ceci (TIPE12 juste sur le résultat d'adrien).
@@ -225,11 +234,18 @@ générer des fonctions vérifiant ceci (TIPE12 juste sur le résultat d'adrien)
 \input{annexecontinuite.tex}
 
 
+
+
 \section{Caractérisation des fonctions $f$ rendant chaotique $G_f$ dans $(\mathcal{X},d)$}\label{anx:chaos:unaire}
 \input{caracunaire.tex}
 
 
+\section{Preuve que $d$ est une distance sur $\mathcal{X}$}\label{anx:distance:generalise}
+\input{preuveDistanceGeneralisee}
+
 
+\section{Caractérisation des fonctions $f$ rendant chaotique $G_f$ dans $(\mathcal{X},d)$}\label{anx:chaos:generalise}
+\input{caracgeneralise.tex}
 
 
 
diff --git a/preuveDistanceGeneralisee.tex b/preuveDistanceGeneralisee.tex
new file mode 100644
index 0000000..9b7f3b6
--- /dev/null
+++ b/preuveDistanceGeneralisee.tex
@@ -0,0 +1,33 @@
+Pour $S,S' \in \mathcal{P}(\{1, \ldots, {\mathsf{N}}\})$, 
+on définit  
+\[
+\displaystyle{d_S(S,S')=\frac{9}{{\mathsf{N}}}\sum_{t\in\Nats}\frac{|S_t \Delta S'_t|}{10^{t+1}}}.
+\]
+Montrons que $d_S$ est une distance sur $\mathcal{P}(\{1, \ldots, {\mathsf{N}}\})$.
+
+
+
+Soit $S$, $S'$ et $S''$ trois parties de $[{\mathsf{N}}]$.
+\begin{itemize}
+\item De manière évidente, $d_s(S,S')$ est positive ou bien nulle si 
+  et seulement si $S$ et $S'$ sont égales.
+\item Comme la différence symétrique est commutative, la valeur de  
+  $d_S(S,S')$ est égale à  celle de $d_S(S',S)$.
+\item On a enfin la succession d'éléments suivants:
+  $$
+  \begin{array}{rcl}
+    S \Delta S' & = & (S \cap \overline{S'}) \cup (\overline{S} \cap S')\\
+    & = & (S \cap \overline{S'} \cap S'' ) \cup  (S \cap \overline{S'} \cap \overline{S''} ) \cup (\overline{S} \cap S'\cap S'') \cup (\overline{S} \cap S'\cap \overline{S''})\\
+    & \subseteq & (S \cap \overline{S'} \cap S'' ) \cup  (S \cap \overline{S'} \cap \overline{S''} ) \cup (\overline{S} \cap S'\cap S'') \cup (\overline{S} \cap S'\cap \overline{S''}) \cup \\
+     & & (\overline{S} \cap \overline{S'} \cap S'') \cup (S \cap S' \cap \overline{S''} ) \cup (\overline{S} \cap \overline{S'} \cap S'') \cup (S \cap S' \cap \overline{S''})\\     
+    & = & (\overline{S'} \cap S'' ) \cup  (S \cap \overline{S''} ) \cup (\overline{S} \cap S'') \cup (S'\cap \overline{S''}) \\
+    & = & (S \Delta S'') \cup (S'' \Delta S')   
+  \end{array}
+  $$
+  On en déduit ainsi que 
+$|S \Delta S'| \le |S \Delta S''| + |S'' \Delta S'|$ et donc que 
+l'égalité triangulaire $d_S(S,S') \le d_S(S,S'') + d_S(S'',S')$ est établie.
+\end{itemize}
+
+
+
diff --git a/sdd.tex b/sdd.tex
index 530ef34..eb51e97 100644
--- a/sdd.tex
+++ b/sdd.tex
@@ -23,32 +23,32 @@ de conjonction \og . \fg{} et
 unaire de négation \og $\overline{\mathstrut\enskip}$ \fg{}.
 
 
-Soit $n$ un entier naturel.
-On introduit quelques notations à propos d'éléments de $\Bool^n$. 
-L'ensemble $\{1,\dots, n\}$ sera par la suite noté $[n]$.
+Soit ${\mathsf{N}}$ un entier naturel.
+On introduit quelques notations à propos d'éléments de $\Bool^{\mathsf{N}}$. 
+L'ensemble $\{1,\dots, {\mathsf{N}}\}$ sera par la suite noté $[{\mathsf{N}}]$.
 Le $i^{\textrm{ème}}$ composant d'un élément 
-$x \in \Bool^n$ s'écrit  $x_i$.
-Si l'ensemble $I$ est une partie de $[n]$, alors 
-$\overline{x}^I$ est l'élément $y\in  \Bool^n$
+$x \in \Bool^{\mathsf{N}}$ s'écrit  $x_i$.
+Si l'ensemble $I$ est une partie de $[{\mathsf{N}}]$, alors 
+$\overline{x}^I$ est l'élément $y\in  \Bool^{\mathsf{N}}$
 tel que $y_i = 1 - x_i$ si $i\in I$ et  
 $y_i = x_i$ sinon. 
-On considère les deux abréviations $\overline{x}$ pour $\overline{x}^{[n]}$ 
+On considère les deux abréviations $\overline{x}$ pour $\overline{x}^{[{\mathsf{N}}]}$ 
 (chaque composant de $\overline{x}$ est nié:
 c'est une négation composante à composante)
-et $\overline{x}^i$ pour $\overline{x}^{\{i\}}$ pour $i \in [n]$
+et $\overline{x}^i$ pour $\overline{x}^{\{i\}}$ pour $i \in [{\mathsf{N}}]$
 (seul $x_i$ est nié dans $\overline{x}$).
-Pour tout $x$ et  $y$ dans  $\Bool^n$, l'ensemble 
-$\Delta(x, y)$,  contient les $i \in [n]$
+Pour tout $x$ et  $y$ dans  $\Bool^{\mathsf{N}}$, l'ensemble 
+$\Delta(x, y)$,  contient les $i \in [{\mathsf{N}}]$
 tels que $x_i \neq y_i$.
-Soit enfin $f : \Bool^n \rightarrow \Bool^n$. Son $i^{\textrm{ème}}$ composant
-est nommé $f_i$ qui est une fonction de $\Bool^n$ dans $\Bool$.
+Soit enfin $f : \Bool^n \rightarrow \Bool^{\mathsf{N}}$. Son $i^{\textrm{ème}}$ composant
+est nommé $f_i$ qui est une fonction de $\Bool^{\mathsf{N}}$ dans $\Bool$.
 Pour chaque 
-$x$ dans $\Bool^n$, l'ensemble 
+$x$ dans $\Bool^{\mathsf{N}}$, l'ensemble 
 $\Delta f(x)$ est défini par $\Delta f(x) = \Delta(x,f(x))$.
 On peut admettre que $f (x) = \overline{x}^{\Delta f(x)}$ .
 
 \begin{xpl}\label{xpl:1}
-On considère $n= 3$ et $f:\Bool^3 \rightarrow \Bool^3$ telle que
+On considère ${\mathsf{N}}= 3$ et $f:\Bool^3 \rightarrow \Bool^3$ telle que
 $f(x)=(f_1(x),f_2(x),f_3(x))$ avec  
 $$\begin{array}{rcl}
 f_1(x_1, x_2, x_3) &=& (\overline{x_1} + \overline{x_2}).x_3 \textrm{, }\\
@@ -110,58 +110,64 @@ d'éléments étudiés (gènes, protéines,\ldots).
 Un réseau booléen  est 
 défini à partir d'une fonction booléenne:
 \[
-f:\Bool^n\to\Bool^n,\qquad x=(x_1,\dots,x_n)\mapsto f(x)=(f_1(x),\dots,f_n(x)),
+f:\Bool^{\mathsf{N}}\to\Bool^{\mathsf{N}},\qquad x=(x_1,\dots,x_{\mathsf{N}})\mapsto f(x)=(f_1(x),\dots,f_{\mathsf{N}}(x)),
 \]
-et un  {\emph{schéma itératif}} ou  encore \emph{mode de  mise à jour}. À  partir d'une configuration initiale $x^0\in\Bool^n$,  la suite $(x^{t})^{t
+et un  {\emph{schéma itératif}} ou  encore \emph{mode de  mise à jour}. À  partir d'une configuration initiale $x^0\in\Bool^{\mathsf{N}}$,  la suite $(x^{t})^{t
   \in  \Nats}$ des  configurations  du  système est  construite  selon l'un  des
 schémas suivants :
 \begin{itemize}
 \item \textbf{Schéma parallèle  synchrone :} basé sur la  relation de récurrence
-  $x^{t+1}=f(x^t)$. Tous  les $x_i$, $1 \le  i \le n$,  sont ainsi mis à  jour à
+  $x^{t+1}=f(x^t)$. Tous  les $x_i$, $1 \le  i \le {\mathsf{N}}$,  sont ainsi mis à  jour à
   chaque itération en utilisant l'état global précédent du système $x^t$.
 \item \textbf{Schéma  unaire :} ce schéma  est parfois 
   qualifié de chaotique 
   dans  la littérature. 
   Il  consiste à modifier la valeur 
-  d'un unique élément $i$,  $1 \le i \le  n$, à
+  d'un unique élément $i$,  $1 \le i \le  {\mathsf{N}}$, à
   chaque itération. Le choix de l'élément qui est modifié à chaque itération est
   défini  par une  suite 
   $S  = \left(s^t\right)^{t \in  \mathds{N}}$ qui est  une séquence
-  d'indices dans $[n]$. Cette suite est appelée \emph{stratégie unaire}. 
-  Il est basé sur la relation définie pour tout $i \in [n]$ par
-  $$
+  d'indices dans $[{\mathsf{N}}]$. Cette suite est appelée \emph{stratégie unaire}. 
+  Il est basé sur la relation définie pour tout $i \in [{\mathsf{N}}]$ par
+  
+\begin{equation}
   x^{t+1}_i=
   \left\{ \begin{array}{l}
       f_i(x^t) \textrm{ si } i=s^t, \\
       x^t_i\textrm{ sinon.}
     \end{array}
-  \right.$$
+  \right.
+\label{eq:schema:unaire}
+\end{equation}
 
 
 
 \item \textbf{Schéma généralisé:}  dans ce schéma, ce sont les valeurs  
-  d'un ensemble d'éléments de $[n]$ qui sont modifiées à  chaque  itération.
+  d'un ensemble d'éléments de $[{\mathsf{N}}]$ qui sont modifiées à  chaque  itération.
   Dans  le  cas  particulier où  c'est la valeur d'un  singleton
-  $\{k\}$, $1 \le k  \le n$, qui est modifiée à
+  $\{k\}$, $1 \le k  \le {\mathsf{N}}$, qui est modifiée à
   chaque  itération, on retrouve le
   mode unaire. Dans le second cas particulier où ce sont les valeurs de 
-  tous les éléments de $\{1, \ldots,  n\}$ qui sont  modifiées
+  tous les éléments de $\{1, \ldots,  {\mathsf{N}}\}$ qui sont  modifiées
   à chaque  itération, on retrouve  le mode
   parallèle.  Ce mode généralise donc les deux modes précédents.  
   Plus formellement,  à  la  $t^{\textrm{ème}}$
   itération, seuls les éléments de la partie 
-  $s^{t} \in \mathcal{P}([n])$ sont mis à
+  $s^{t} \in \mathcal{P}([{\mathsf{N}}])$ sont mis à
   jour.  La  suite $S  = \left(s^t\right)^{t \in  \mathds{N}}$ est  une séquence
   de sous-ensembles 
-  de   $[n]$   appelée   \emph{stratégie généralisée}.
-  Il est basé sur la relation définie pour tout $i \in [n]$ par
-  $$
+  de   $[{\mathsf{N}}]$   appelée   \emph{stratégie généralisée}.
+  Il est basé sur la relation définie pour tout $i \in [{\mathsf{N}}]$ par
+  \begin{equation}
   x^{t+1}_i=
   \left\{ \begin{array}{l}
       f_i(x^t) \textrm{ si } i \in s^t, \\
       x^t_i\textrm{ sinon.}
     \end{array}
-  \right.$$
+  \right.
+\label{eq:schema:generalise}
+\end{equation}
+
 
 
 
@@ -176,22 +182,22 @@ La section suivante détaille comment représenter graphiquement les évolutions
 
 
 
-Pour un entier naturel $n$ et une 
-fonction $f : B^n \rightarrow B^n$, plusieurs évolutions sont possibles
+Pour un entier naturel ${\mathsf{N}}$ et une 
+fonction $f : B^{\mathsf{N}} \rightarrow B^{\mathsf{N}}$, plusieurs évolutions sont possibles
 en fonction du schéma itératif retenu. 
 Celles-ci sont représentées par un graphe orienté dont les noeuds 
-sont les éléments de $\Bool^n$ (voir \textsc{Figure}~\ref{fig:xpl:graphs}).
+sont les éléments de $\Bool^{\mathsf{N}}$ (voir \textsc{Figure}~\ref{fig:xpl:graphs}).
 
 
 \begin{itemize}
 \item Le \emph{graphe des itérations synchrones} de $f$, noté $\textsc{gis}(f)$ 
-est le graphe orienté de $\Bool^n$ qui contient un arc $x \rightarrow y$ si 
+est le graphe orienté de $\Bool^{\mathsf{N}}$ qui contient un arc $x \rightarrow y$ si 
 et seulement si $y=f(x)$.
 \item Le \emph{graphe des itérations unaires} de $f$, noté $\textsc{giu}(f)$
-est le graphe orienté de $\Bool^n$ qui contient un arc $x \rightarrow y$ si 
+est le graphe orienté de $\Bool^{\mathsf{N}}$ qui contient un arc $x \rightarrow y$ si 
 et seulement s'il existe $x \in \Delta f(x)$ tel que $y = \overline{x}^i$.
 \item Le \emph{graphe des itérations généralisées} de $f$, noté $\textsc{gig}(f)$
-est le graphe orienté de $\Bool^n$ qui contient un arc $x \rightarrow y$ si 
+est le graphe orienté de $\Bool^{\mathsf{N}}$ qui contient un arc $x \rightarrow y$ si 
 et seulement s'il existe un ensemble $I\subseteq \Delta f(x)$ tel que 
 $y = \overline{x}^I$. On peut remarquer que ce graphe contient comme 
 sous-graphe à la fois celui des itérations synchrones et celui 
@@ -251,7 +257,7 @@ On remarque le cycle $((101,111),(111,011),(011,101))$
 \subsection{Attracteurs}
 
 On dit que le point 
-$x \in \Bool^n$ est un \emph{point fixe} de $f$ si  $x = f (x)$.
+$x \in \Bool^{\mathsf{N}}$ est un \emph{point fixe} de $f$ si  $x = f (x)$.
 Les points fixes sont particulièrement intéressants car ils correspondent 
 aux états stables:
 dans chaque graphe d'itérations, le point $x$ est un point fixe 
@@ -259,12 +265,12 @@ si et seulement si il est son seul successeur.
 
 
 
-Soit $\Gamma$ un graphe d'itérations (synchrones, unaires ou généralisées)
+Soit un graphe d'itérations (synchrones, unaires ou généralisées)
 de $f$. 
-Les \emph{attracteurs}  de $\Gamma$ sont les 
+Les \emph{attracteurs}  de ce graphe sont les 
 plus petits sous-ensembles (au sens de l'inclusion) non vides
-$A \subseteq \Bool^n$ tels que pour tout arc
-$x \rightarrow y$ de $\Gamma$, si $x$ est un élément de $A$, alors 
+$A \subseteq \Bool^{\mathsf{N}}$ tels que pour tout arc
+$x \rightarrow y$, si $x$ est un élément de $A$, alors 
 $y$ aussi.
 Un attracteur qui contient au moins deux éléments  est dit \emph{cyclique}.
 On en déduit qu'un attracteur cyclique ne contient pas de point fixe.
@@ -277,12 +283,12 @@ On a la proposition suivante:
 
 \begin{theorem}\label{Prop:attracteur}
 Le point $x$ est un point fixe si et seulement si 
-$\{x\}$ est un attracteur de $\Gamma$.
-En d'autres termes, les attracteurs non cycliques de $\Gamma$ 
+$\{x\}$ est un attracteur du graphe d'itération (synchrone, unaire, généralisé).
+En d'autres termes, les attracteurs non cycliques de celui-ci 
 sont les points fixes de $f$.
-Ainsi pour chaque $x\in \Bool^n$, il existe au moins un chemin 
+Ainsi pour chaque $x\in \Bool^{\mathsf{N}}$, il existe au moins un chemin 
 depuis $x$ qui atteint un attracteur.
-Ainsi $\Gamma$ contient toujours au moins un attracteur.
+Ainsi tout graphe d'itérations contient toujours au moins un attracteur.
 \end{theorem}
 
 
@@ -300,7 +306,7 @@ Les interactions entre les composants du
 système peuvent être mémorisées 
 dans la {\emph{matrice jacobienne discrète}} $f'$.
 Celle-ci est définie comme étant la fonction  qui  à chaque 
-configuration $x\in\Bool^n$ associe la matrice de taille 
+configuration $x\in\Bool^{\mathsf{N}}$ associe la matrice de taille 
 $n\times n$ telle que 
 \begin{equation}
 f'(x)=(f'_{ij}(x)),\qquad 
@@ -314,7 +320,7 @@ $\overline{x}^j_j$ et $x_j$ sont considérés comme des entiers naturels
  dans $\Z$.
 Lorsqu'on supprime les signes dans la matrice jacobienne discrète, 
 on obtient une matrice notée $B(f)$ aussi de taille 
-$n\times n$.
+${\mathsf{N}}\times {\mathsf{N}}$.
 Celle-ci mémorise uniquement 
 l'existence d'une dépendance de tel élément vis à vis de 
  tel élément.
@@ -323,7 +329,7 @@ les uns par rapport aux autres. Cette matrice est nommée
 \emph{matrice d'incidence}.  
 
 \begin{theorem}
-Si $f_i$ ne dépend pas de $x_j$, alors pour tout $x\in [n]$, 
+Si $f_i$ ne dépend pas de $x_j$, alors pour tout $x\in [{\mathsf{N}}]$, 
 $f_i(\overline{x}^j)$ est égal à  $f_i(x)$, \textit{i.e}, 
 $f'_{ij}(x)=0$. Ainsi $B(f)_{ij}$ est nulle. La réciproque est aussi vraie.
 \end{theorem} 
@@ -333,10 +339,10 @@ $f'_{ij}(x)=0$. Ainsi $B(f)_{ij}$ est nulle. La réciproque est aussi vraie.
 
 En outre, les interactions peuvent se  représenter à l'aide d'un 
 graphe $\Gamma(f)$ orienté et signé défini ainsi: 
-l'ensemble des sommets est 
-$[n]$ et il existe un arc de $j$ à $i$ de signe
+l'ensemble des sommet %s est 
+$[{\mathsf{N}}]$ et il existe un arc de $j$ à $i$ de signe
  $s\in\{-1,1\}$, noté $(j,s,i)$, si $f_{ij}(x)=s$ pour au moins
-un $x\in\Bool^n$. 
+un $x\in\Bool^{\mathsf{N}}$. 
 
 On note que la présence de 
 deux arcs de signes opposés entre deux sommets donnés 
@@ -515,28 +521,28 @@ arc positif (resp. un arc négatif) de $i$ vers lui-même.
 \subsection{Conditions de convergence}\label{sec:Robert:async}
 
 Parmi les itérations unaires caractérisées par leurs stratégies
-$S=(s^t)^{t \in \Nats}$ d'éléments appartenant à $[n]$,
+$S=(s^t)^{t \in \Nats}$ d'éléments appartenant à $[{\mathsf{N}}]$,
 sont jugées intéressantes 
 celles qui activent au moins une fois
-chacun des $i\in[n]$. Dans le cas contraire, un élément n'est jamais modifié. 
+chacun des $i\in[{\mathsf{N}}]$. Dans le cas contraire, un élément n'est jamais modifié. 
 
 Plus formellement, une séquence finie $S=(s^t)^{t \in \Nats}$
-est dite \emph{complète} relativement à $[n]$ si 
-tout indice de $[n]$
+est dite \emph{complète} relativement à $[{\mathsf{N}}]$ si 
+tout indice de $[{\mathsf{N}}]$
 s'y retrouve au moins une fois.
 
 Parmi toutes les stratégies unaires de 
-$[n]^{\Nats}$, on qualifie de:
+$[{\mathsf{N}}]^{\Nats}$, on qualifie de:
 \begin{itemize}
 \item \emph{périodiques} celles 
 qui sont constituées par une répétition indéfinie 
-d'une même séquence $S$ complète relativement à $[n]$.
+d'une même séquence $S$ complète relativement à $[{\mathsf{N}}]$.
 En particulier toute séquence périodique est complète.
 \item \emph{pseudo-périodiques} celles 
 qui sont constituées par une succession indéfinie de séquences 
 (de longueur éventuellement variable non supposée bornée) complètes.
 Autrement dit dans chaque stratégie pseudo-périodique, chaque indice de
-$1$ à $n$ revient indéfiniment.
+$1$ à ${\mathsf{N}}$ revient indéfiniment.
 \end{itemize}
 
 
@@ -547,14 +553,14 @@ dans le mode des itérations unaires.
 \begin{theorem}\label{Th:conv:GIU}
 Si le graphe $\Gamma(f)$ n'a pas de cycle et si la stratégie unaire est
 pseudo-périodique, alors tout chemin de $\textsc{giu}(f)$ atteint 
-l'unique point fixe $\zeta$ en au plus $n$ pseudo-périodes.
+l'unique point fixe $\zeta$ en au plus ${\mathsf{N}}$ pseudo-périodes.
 \end{theorem}
 
 Le qualificatif \emph{pseudo-périodique} peut aisément 
 s'étendre aux stratégies généralisées comme suit.
 Lorsqu'une stratégie généralisée est constituée d'une 
-succession indéfinie de séquences de parties de $[n]$ 
-dont l'union est $[n]$, cette stratégie est {pseudo-périodique}.
+succession indéfinie de séquences de parties de $[{\mathsf{N}}]$ 
+dont l'union est $[{\mathsf{N}}]$, cette stratégie est {pseudo-périodique}.
 J. Bahi~\cite{Bah00} a démontré le théorème suivant:
 
 \begin{theorem}\label{Th:Bahi}