From 4e673fe23eacd3db39c4bc51610f1650c372b13c Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?utf8?q?Jean-Fran=C3=A7ois=20Couchot?= Date: Thu, 28 May 2015 14:51:39 +0200 Subject: [PATCH] =?utf8?q?fin=20chap=20FCT11=20juste=20la=20g=C3=A9n=C3=A9?= =?utf8?q?ration?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=utf8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- 11FCT.tex | 26 +++- 12TIPE.tex | 71 +++++----- 15TSI.tex | 44 +++--- annexesccg.tex | 120 ++++++++-------- caracgeneralise.tex | 52 +++---- caracunaire.tex | 52 +++---- devaney.tex | 80 ++++------- main.pdf | Bin 1864947 -> 1886023 bytes main.tex | 18 ++- mixage.tex | 2 +- modelchecking.tex | 331 ++++++++++++++++++++++++-------------------- 11 files changed, 407 insertions(+), 389 deletions(-) diff --git a/11FCT.tex b/11FCT.tex index 5c7747a..8ab511e 100644 --- a/11FCT.tex +++ b/11FCT.tex @@ -59,15 +59,35 @@ $f$ dont le graphe d'itérations Soit $f$ une fonction de $\Bool^{\mathsf{N}}$ vers lui-même telle que: \begin{enumerate} \item -$G(f)$ n'a pas de cycle de longueur supérieure ou égale à deux; +$\Gamma(f)$ n'a pas de cycle de longueur supérieure ou égale à deux; \item -chaque sommet de $G(f)$ qui possède une boucle +chaque sommet de $\Gamma(f)$ qui possède une boucle positive a aussi une boucle négative; \item -chaque sommet de $G(f)$ est accessible depuis un sommet qui possède +chaque sommet de $\Gamma(f)$ est accessible depuis un sommet qui possède une boucle négative. \end{enumerate} Alors, $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe. \end{theorem} La preuve de ce théorème est donnée en annexe~\ref{anx:sccg}. + +Illustrons ce théorème par un exemple. On considère par le graphe d'interactions +$\Gamma(f)$ donné en figure~\ref{fig:G}. +Il vérifie le théorème~\ref{th:Adrien}: +toutes les fonctions $f$ possédant un tel graphe d'interactions +ont un graphe d'itérations $\textsc{giu}(f)$ fortement connexe. +Pratiquement, il existe 34226 fonctions de $\Bool^4$ dans lui même qui +vérifient ce graphe d'intéraction. +Cependant, nombreuses sont celles qui possèdent un comportement équivalent. +Deux fonctions sont equivalentes si leurs \textsc{giu} sont isomorphes +(au sens de l'isomorphisme de graphes). Il ne reste alors plus que +520 fonctions $f$ non équivalentes de graphe d'interactions $\Gamma(f)$. + +\begin{figure}%[h] + \begin{center} + \includegraphics[scale=0.5]{images/Gi.pdf} + \end{center} +\caption{Exemple de graphe d'interactions vérifiant le théorème~\ref{th:Adrien}} \label{fig:G} +\end{figure} + diff --git a/12TIPE.tex b/12TIPE.tex index e735c46..4f9fa9b 100644 --- a/12TIPE.tex +++ b/12TIPE.tex @@ -9,38 +9,32 @@ $\Bool^{{\mathsf{N}}}$ dans lui-même. Dans le schéma unaire, à la $t^{\textrm{ème}}$ itération, seul le $s_{t}^{\textrm{ème}}$ composant (entre 1 et $n$) est mis à jour. - -Formellement, pour une stratégie $s = \left(s_t\right)_{t \in \mathds{N}}$ +Pour une stratégie $s = \left(s_t\right)_{t \in \mathds{N}}$ (\textit{i.e.}, une séquence d'indices -de $\llbracket 1;\mathsf{N} \rrbracket$), on définit -la fonction $F_f: \Bool^{\mathsf{N}} \times \llbracket1;\mathsf{N}\rrbracket$ +de $\llbracket 1;\mathsf{N} \rrbracket$), on peut définir +la fonction $F_{f_u}: \Bool^{\mathsf{N}} \times \llbracket1;\mathsf{N}\rrbracket$ vers $\Bool^\mathsf{N}$ par \[ -F_f(x,i)=(x_1,\dots,x_{i-1},f_i(x),x_{i+1},\dots,x_\mathsf{N}). +F_{f_u}(x,i)=(x_1,\dots,x_{i-1},f_i(x),x_{i+1},\dots,x_\mathsf{N}). \] Dans le schéma des itérations unaires pour une configuration initiale $x^0\in\Bool^\mathsf{N}$ et une stratégie $s\in \llbracket1;\mathsf{N}\rrbracket^\Nats$, les configurations $x^t$ sont définies par la récurrence -x\begin{equation}\label{eq:asyn} -x^{t+1}=F_f(x^t,s_t). +\begin{equation}\label{eq:asyn} +x^{t+1}=F_{f_u}(x^t,s_t). \end{equation} -Les itérations parallèles de $G_f$ depuis un point initial -$X^0=(s,x^0)$ décrivent la même orbite que les -itérations asynchrones de $f$ induites par $x^0$ et la stratégie -$s$. - On peut alors construire l'espace -$\mathcal{X} = +$\mathcal{X}_u = \Bool^{{\mathsf{N}}} \times \llbracket1;{\mathsf{N}}\rrbracket^{\Nats}$ -et la fonction d'iteration $G_f$ définie de -$\mathcal{X}$ +et la fonction d'iteration $G_{f_u}$ définie de +$\mathcal{X}_u$ dans lui-même par \[ -G_f(x,s)=(F_f(x,s_0),\sigma(s)). +G_{f_u}(x,s)=(F_{f_u}(x,s_0),\sigma(s)). \] Dans cette définition, la fonction @@ -57,14 +51,13 @@ $$ Ainsi, effectuer des itérations unaires sur la fonction $f$ selon une stratégie $s$ revient à effectuer des itérations -parallèles de la fonctions $G_f$ dans $\mathcal{X}$. +parallèles de la fonctions $G_{f_u}$ dans $\mathcal{X}_u$. +La section suivante introduit une métrique sur $\mathcal{X}_u$. -La section suivante introduit une métrique sur $\mathcal{X}$. - -\subsection{Une métrique pour $\mathcal{X}$} -Sur $\mathcal{X}$, +\subsection{Une métrique pour $\mathcal{X}_u$} +Sur $\mathcal{X}_u$, on définit la distance $d$ entre les points $X=(x,s)$ et -$X'=(x',s')$ de $\mathcal{X}$ par +$X'=(x',s')$ de $\mathcal{X}_u$ par \[ d(X,X')= d_H(x,x')+d_S(s,s'),~\textrm{où}~ \left\{ @@ -88,40 +81,40 @@ $(l+1)^{\textrm{ème}}$ décimale de $d_S(s,s')$ n'est pas nulle, alors $s_l$ est différent de $s'_l$. -La section fournit quelques résultats de caractérisation de fonctions -chaotiques pour le schéma unaire. +Se pose la question de caractériser les fonctions $f$ telles que +les itérations de $G_{f_u}$ associées à leurs itérations unaires +sont chaotiques dans $\mathcal{X}_u$. La section suivante +apporte une réponse à cette question. + +\subsection{Caractérisation des fonctions rendant +chaotiques $G_{f_u}$ sur $\mathcal{X}_u$} -\subsection{Caractérisation des fonctions chaotiques -pour le schéma unaire} On peut tout d'abord démontrer que pour toute fonction booléenne $f$, -$G_f$ est continue sur $\mathcal{X}$ (cf annexe~\ref{anx:cont}). +$G_{f_u}$ est continue sur $\mathcal{X}_u$ (cf annexe~\ref{anx:cont}). -Pour charactérister les fonctions rendant chaotiques dans $ -\mathcal{X}$ les itérations de $G_f$ -on se focalise donc que sur la régularité et -sur la transitivité de $G_f$. - +Pour charactérister les fonctions rendant chaotiques dans $\mathcal{X}_u$ les itérations de $G_{f_u}$ +on se focalise donc que sur la régularité et sur la transitivité de $G_{f_u}$. Ceci se réalise en établissant les relations d'inclusion entre les ensembles $\mathcal{T}$ des fonctions topologiquement transitives, $\mathcal{R}$ des fonctions régulières et $\mathcal{C}$ des fonctions chaotiques définis respectivement ci-dessous: \begin{itemize} \item $\mathcal{T} = \left\{f : \mathds{B}^n \to -\mathds{B}^n \big/ G_f \textrm{ est transitive} \right\}$, +\mathds{B}^n \big/ G_{f_u} \textrm{ est transitive} \right\}$, \item $\mathcal{R} = \left\{f : \mathds{B}^n \to -\mathds{B}^n \big/ G_f \textrm{ est régulière} \right\}$, +\mathds{B}^n \big/ G_{f_u} \textrm{ est régulière} \right\}$, \item $\mathcal{C} = \left\{f : \mathds{B}^n \to -\mathds{B}^n \big/ G_f \textrm{ est chaotique} \right\}$. +\mathds{B}^n \big/ G_{f_u} \textrm{ est chaotique} \right\}$. \end{itemize} On énnonce les théorèmes successifs suivants. Leur preuve est donnée en annexe~\ref{anx:chaos:unaire}. -\begin{theorem} $G_f$ est transitive si et seulement si - $\Gamma(f)$ est fortement connexe. +\begin{theorem} $G_{f_u}$ est transitive si et seulement si + $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe. \end{theorem} \begin{theorem} @@ -133,8 +126,8 @@ On peut conclure que $\mathcal{C} = \mathcal{R} \cap \mathcal{T} \begin{theorem}%[Characterization of $\mathcal{C}$] \label{Th:CaracIC} -Soit $f:\Bool^n\to\Bool^n$. La fonction $G_f$ est chaotique -si et seulement si $\Gamma(f)$ est fortement connexe. +Soit $f:\Bool^n\to\Bool^n$. La fonction $G_{f_u}$ est chaotique +si et seulement si $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe. \end{theorem} diff --git a/15TSI.tex b/15TSI.tex index 47ecd36..7d1d842 100644 --- a/15TSI.tex +++ b/15TSI.tex @@ -1,7 +1,6 @@ On reprend ici le même plan que dans la section précédente. -Soit ${\mathsf{N}}$ un entier naturel et $f$ une fonction de -$\Bool^{{\mathsf{N}}}$ dans lui-même. + \subsection{Des itérations généralisées aux itérations parallèles} @@ -11,10 +10,10 @@ c'est l'ensemble des $s_{t}^{\textrm{ème}}$ éléments (inclus dans $[n]$) qui sont mis à jour (c.f. équation~(\ref{eq:schema:generalise})). On redéfinit la fonction la fonction - $F_f: \Bool^{\mathsf{N}} \times \mathcal{P}(\{1, \ldots, \mathsf{N}\}) + $F_{f_g}: \Bool^{\mathsf{N}} \times \mathcal{P}(\{1, \ldots, \mathsf{N}\}) \rightarrow \Bool^{\mathsf{N}}$ par \[ - F_f(x,s)_i=\left\{ + F_{f_g}(x,s)_i=\left\{ \begin{array}{l} f_i(x) \textrm{ si $i \in s$;}\\ x_i \textrm{ sinon.} @@ -28,28 +27,26 @@ $x^0\in\Bool^{\mathsf{N}}$ et une stratégie $S = \left(s_t\right)_{t \in \math les configurations $x^t$ sont définies par la récurrence \begin{equation}\label{eq:asyn} - x^{t+1}=F_f(s_t,x^t). + x^{t+1}=F_{f_g}(s_t,x^t). \end{equation} - Soit alors $G_f$ une fonction de $\Bool^{\mathsf{N}} \times \mathcal{P}(\{1, \ldots, {\mathsf{N}}\})^{\Nats}$ + Soit alors $G_{f_g}$ une fonction de $\Bool^{\mathsf{N}} \times \mathcal{P}(\{1, \ldots, {\mathsf{N}}\})^{\Nats}$ dans lui-même définie par \[ - G_f(S,x)=(\sigma(S),F_f(s_0,x)), + G_{f_g}(S,x)=(\sigma(S),F_{f_g}(s_0,x)), \] - où la fonction $\sigma$ est définit comme à la section précédente. + où la fonction $\sigma$ est définie comme à la section précédente. A nouveau, les itérations généralisées de $f$ induites par $x^0$ et la stratégie $S$. décrivent la même orbite que les - itérations parallèles de $G_f$ depuis un point initial + itérations parallèles de $G_{f_g}$ depuis un point initial $X^0=(x^0,S)$ - -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -On peut alors construire l'espace -$\mathcal{X} = \Bool^{\mathsf{N}} \times +On onstruit cette fois-ci l'espace +$\mathcal{X}_g = \Bool^{\mathsf{N}} \times \mathcal{P}(\{1, \ldots, {\mathsf{N}}\})^{\Nats}$ -\subsection{Une métrique pour $\mathcal{X}$} +\subsection{Une métrique pour $\mathcal{X}_g$} Cette nouvelle distance va comparer des ensembles. On rappelle pour quelques notions ensemblistes. @@ -61,10 +58,10 @@ A \Delta B = (A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B) \] où $\overline{B}$ désigne le complémentaire de $B$ dans $\Omega$. -On considère l'espace $\mathcal{X}=\mathcal{P}(\{1, \ldots, {\mathsf{N}}\})^{\Nats}\times +On considère l'espace $\mathcal{X}_g=\mathcal{P}(\{1, \ldots, {\mathsf{N}}\})^{\Nats}\times \Bool^{\mathsf{N}}$ et on définit la distance $d$ entre les points $X=(S,x)$ et -$X'=(S',x')$ de $\mathcal{X}$ par +$X'=(S',x')$ de $\mathcal{X}_g$ par \[ d(X,X')= d_H(x,x')+d_S(S,S'),~\textrm{où}~ \left\{ @@ -84,14 +81,15 @@ de montrer que $d_S$ en une aussi, ce qui est fait en annexe~\ref{anx:distance:g La section suivante caractérise les fonctions $f$ qui sont chaotiques pour le schéma généralisées. - -\subsection{Caractérisation des fonctions chaotiques -pour le schéma généralisé} +\subsection{Caractérisation des fonctions rendant +chaotiques $G_{f_g}$ sur $\mathcal{X}_g$} +On reprend les définitions des ensembles $\mathcal{T}$, $\mathcal{R}$ et $\mathcal{C}$ +en les adaptant à $G_{f_g}$. On a les théorèmes suivants dont les preuves sont données en annexe~\ref{anx:chaos:generalise}. -\begin{theorem} $G_f$ est transitive si et seulement si - $\Gamma(f)$ est fortement connexe. +\begin{theorem} $G_{f_g}$ est transitive si et seulement si + $\textsc{gig}(f)$ est fortement connexe. \end{theorem} \begin{theorem} @@ -101,8 +99,8 @@ annexe~\ref{anx:chaos:generalise}. \begin{theorem}%[Characterization of $\mathcal{C}$] \label{Th:CaracIC} -Soit $f:\Bool^{\mathsf{N}}\to\Bool^{\mathsf{N}}$. La fonction $G_f$ est chaotique -si et seulement si $\Gamma(f)$ est fortement connexe. +Soit $f:\Bool^{\mathsf{N}}\to\Bool^{\mathsf{N}}$. La fonction $G_{f_g}$ est chaotique +si et seulement si $\textsc{gig}(f)$ est fortement connexe. \end{theorem} diff --git a/annexesccg.tex b/annexesccg.tex index 3db4320..9d32b22 100644 --- a/annexesccg.tex +++ b/annexesccg.tex @@ -1,13 +1,13 @@ Soit $\alpha\in\Bool$. -On nomme $f^{\alpha}$ la fonction de $\Bool^{n-1}$ +On nomme $f^{\alpha}$ la fonction de $\Bool^{{\mathsf{N}}-1}$ dans lui-même définie pour -chaque $x\in\Bool^{n-1}$ par +chaque $x\in\Bool^{{\mathsf{N}}-1}$ par \[ -f^{\alpha}(x)=(f_1(x,\alpha),\dots,f_{n-1}(x,\alpha)). +f^{\alpha}(x)=(f_1(x,\alpha),\dots,f_{{\mathsf{N}}-1}(x,\alpha)). \] -On nomme $\Gamma(f)^\alpha$ le sous-graphe -de $\Gamma(f)$ engendré par le sous-ensemble -$\Bool^{n-1} \times \{\alpha\}$ de $\Bool^n$. +On nomme $\textsc{giu}(f)^\alpha$ le sous-graphe +de $\textsc{giu}(f)$ engendré par le sous-ensemble +$\Bool^{{\mathsf{N}}-1} \times \{\alpha\}$ de $\Bool^{\mathsf{N}}$. @@ -16,27 +16,27 @@ $\Bool^{n-1} \times \{\alpha\}$ de $\Bool^n$. \begin{lemma}\label{lemma:subgraph} $G(f^\alpha)$ est un sous-graphe de $G(f)$: chaque arc de $G(f^\alpha)$ est -un arc de $G(f)$. De plus si $G(f)$ n'a pas d'arc de $n$ vers un autre -sommet $i\neq n$, alors on déduit -$G(f^\alpha)$ de $G(f)$ en supprimant le sommet $n$ ainsi que tous les -arcs dont $n$ est soit l'extrémité, soit l'origine (et dans ce dernier -cas, les arcs sont des boucles sur $n$). +un arc de $G(f)$. De plus si $G(f)$ n'a pas d'arc de ${\mathsf{N}}$ vers un autre +sommet $i\neq {\mathsf{N}}$, alors on déduit +$G(f^\alpha)$ de $G(f)$ en supprimant le sommet ${\mathsf{N}}$ ainsi que tous les +arcs dont ${\mathsf{N}}$ est soit l'extrémité, soit l'origine (et dans ce dernier +cas, les arcs sont des boucles sur ${\mathsf{N}}$). \end{lemma} \begin{Proof} Supposons que $G(f^{\alpha})$ possède un arc de $j$ vers $i$ de signe -$s$. Par définition, il existe un sommet $x\in\Bool^{n-1}$ tel que +$s$. Par définition, il existe un sommet $x\in\Bool^{{\mathsf{N}}-1}$ tel que $f^{\alpha}_{ij}(x)=s$, et puisque $f^{\alpha}_{ij}(x)=f_{ij}(x,\alpha)$, on en déduit que $G(f)$ possède un arc de $j$ à $i$ de signe $s$. Ceci prouve la première assertion. Pour démontrer la seconde, il suffit de prouver que si -$G(f)$ a un arc de $j$ vers $i$ de signe $s$, avec $i,j\neq n$, alors +$G(f)$ a un arc de $j$ vers $i$ de signe $s$, avec $i,j\neq {\mathsf{N}}$, alors $G(f^\alpha)$ contient aussi cet arc. Ainsi, supposons que $G(f)$ a un -arc de $j$ vers $i$ de signe $s$, avec $i,j\neq n$. +arc de $j$ vers $i$ de signe $s$, avec $i,j\neq {\mathsf{N}}$. Alors, il existe -$x\in\Bool^{n-1}$ et $\beta\in\Bool$ tels que +$x\in\Bool^{{\mathsf{N}}-1}$ et $\beta\in\Bool$ tels que $f_{ij}(x,\beta)=s$. Si $f_{ij}(x,\beta)\neq f_{ij}(x,\alpha)$, alors -$f_i$ dépend du $n^{\textrm{ème}}$ composant, ce qui est en contradiction +$f_i$ dépend du ${\mathsf{N}}^{\textrm{ème}}$ composant, ce qui est en contradiction avec les hypothèses. Ainsi $f_{ij}(x,\alpha)$ est égal à $s$. On a donc aussi @@ -45,80 +45,80 @@ arc de $j$ vers $i$ de signe $s$. \end{Proof} \begin{lemma}\label{lemma:iso} -Les graphes $\Gamma(f^\alpha)$ et $\Gamma(f)^\alpha$ sont isomorphes. +Les graphes $\textsc{giu}(f^\alpha)$ et $\textsc{giu}(f)^\alpha$ sont isomorphes. \end{lemma} \begin{Proof} -Soit $h$ la bijection de $\Bool^{n-1}$ vers -$\Bool^{n-1}\times \{\alpha\}$ définie par $h(x)=(x,\alpha)$ pour chaque -$x\in\Bool^{n-1}$. +Soit $h$ la bijection de $\Bool^{{\mathsf{N}}-1}$ vers +$\Bool^{{\mathsf{N}}-1}\times \{\alpha\}$ définie par $h(x)=(x,\alpha)$ pour chaque +$x\in\Bool^{{\mathsf{N}}-1}$. On voit facilement que $h$ permet de définir un isomorphisme -entre $\Gamma(f^\alpha)$ et $\Gamma(f)^\alpha$: -$\Gamma(f^\alpha)$ possède un arc de $x$ vers $y$ si et seulement si -$\Gamma(f)^\alpha$ a un arc de $h(x)$ vers $h(y)$. +entre $\textsc{giu}(f^\alpha)$ et $\textsc{giu}(f)^\alpha$: +$\textsc{giu}(f^\alpha)$ possède un arc de $x$ vers $y$ si et seulement si +$\textsc{giu}(f)^\alpha$ a un arc de $h(x)$ vers $h(y)$. \end{Proof} \begin{Proof} du Théorème~\ref{th:Adrien}. -La preuve se fait par induction sur $n$. -Soit $f$ une fonction de $\Bool^n$ dans lui-même et qui vérifie les hypothèses +La preuve se fait par induction sur ${\mathsf{N}}$. +Soit $f$ une fonction de $\Bool^{\mathsf{N}}$ dans lui-même et qui vérifie les hypothèses du théorème. -Si $n=1$ la démonstration est élémentaire: +Si ${\mathsf{N}}=1$ la démonstration est élémentaire: en raison du troisième point du théorème, $G(f)$ a une boucle négative; -ainsi $f(x)=\overline{x}$ et $\Gamma(f)$ est un cycle de longueur 2. -On suppose donc que $n>1$ et que le théorème est valide pour toutes les -fonctions de $\Bool^{n-1}$ dans lui-même. +ainsi $f(x)=\overline{x}$ et $\textsc{giu}(f)$ est un cycle de longueur 2. +On suppose donc que ${\mathsf{N}}>1$ et que le théorème est valide pour toutes les +fonctions de $\Bool^{{\mathsf{N}}-1}$ dans lui-même. En raison du premier point du théorème, $G(f)$ contient au moins un sommet $i$ tel qu'il n'existe pas dans $G(f)$ d'arc de $i$ vers un autre sommet $j\neq i$. Sans perte de généralité, on peut considérer que -ce sommet est $n$. +ce sommet est ${\mathsf{N}}$. Alors, d'après le lemme~\ref{lemma:subgraph}, $f^0$ et $f^1$ vérifient les conditions de l'hypothèse. -Alors, par hypothèse d'induction $\Gamma(f^0)$ et -$\Gamma(f^1)$ sont fortement connexes. +Alors, par hypothèse d'induction $\textsc{giu}(f^0)$ et +$\textsc{giu}(f^1)$ sont fortement connexes. Ainsi, d'après le lemme~\ref{lemma:iso}, -$\Gamma(f)^0$ et $\Gamma(f)^1$ sont fortement +$\textsc{giu}(f)^0$ et $\textsc{giu}(f)^1$ sont fortement connexes. -Pour prouver que $\Gamma(f)$ est fortement connexe, il suffit -de prouver que $\Gamma(f)$ contient un arc $x\to y$ avec -$x_n=0y_n$. +Pour prouver que $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe, il suffit +de prouver que $\textsc{giu}(f)$ contient un arc $x\to y$ avec +$x_{\mathsf{N}}=0y_{\mathsf{N}}$. En d'autres mots, il suffit de prouver que: \begin{equation}\tag{$*$} -\forall \alpha\in\Bool,~\exists x\in\Bool^n,\qquad x_n=\alpha\neq f_n(x). +\forall \alpha\in\Bool,~\exists x\in\Bool^{\mathsf{N}},\qquad x_{\mathsf{N}}=\alpha\neq f_{\mathsf{N}}(x). \end{equation} -On suppose tout d'abord que $n$ a une boucle +On suppose tout d'abord que ${\mathsf{N}}$ a une boucle négative. Alors, d'après la définition de -$G(f)$, il existe $x\in\Bool^n$ tel que $f_{nn}(x)<0$. -Ainsi si $x_n=0$, on a $f_n(x)>f_n(\overline{x}^n)$, et donc -$x_n=0\neq f_n(x)$ et -$\overline{x}^n_n=1\neq f_n(\overline{x}^n)$; -et si $x_n=1$, on a -$f_n(x)f_{\mathsf{N}}(\overline{x}^{\mathsf{N}})$, et donc +$x_{\mathsf{N}}=0\neq f_{\mathsf{N}}(x)$ et +$\overline{x}^{\mathsf{N}}_{\mathsf{N}}=1\neq f_{\mathsf{N}}(\overline{x}^{\mathsf{N}})$; +et si $x_{\mathsf{N}}=1$, on a +$f_{\mathsf{N}}(x)0$. +$\Longleftarrow$ Supposons que $\textsc{gig}(f)$ soit fortement connexe. +Soient $(x,S)$ et $(x',S')$ deux points de $\mathcal{X}_g$ et $\varepsilon >0$. On construit la stratégie $\tilde S$ telle que la distance entre $(x,\tilde S)$ et $(x,S)$ est inférieure à -$\varepsilon$ et telle que les itérations parallèles de $G_f$ depuis +$\varepsilon$ et telle que les itérations parallèles de $G_{f_g}$ depuis $(x,\tilde S)$ mènent au point $(x',S')$. Pour cela, on pose $t_1 =-\lfloor\log_{10}(\varepsilon)\rfloor$ et $x''$ la configuration de $\Bool^{\mathsf{N}}$ obtenue depuis $(x,S)$ après $t_1$ itérations -parallèles de $G_f$. -Comme $\Gamma(f)$ est fortement connexe, il existe une +parallèles de $G_{f_g}$. +Comme $\textsc{gig}(f)$ est fortement connexe, il existe une stratégie $S''$ et un entier $t_2$ tels que $x'$ est atteint depuis -$(x'',S'')$ après $t_2$ itérations de $G_f$. +$(x'',S'')$ après $t_2$ itérations de $G_{f_g}$. Considérons à présent la stratégie $\tilde S=(s_0,\dots,s_{t_1-1},s''_0,\dots,s''_{t_2-1},s'_0,s'_1,s'_2,s'_3\dots)$. Il est évident que $(x',s')$ est atteint depuis $(x,\tilde S)$ après -$t_1+t_2$ itérations parallèles de $G_f$. Puisque +$t_1+t_2$ itérations parallèles de $G_{f_g}$. Puisque $\tilde s_t=s_t$ pour $t0$. Pour +Soit $(x,S) \in\mathcal{X}_g$ et $\varepsilon >0$. Pour prouver que $f$ appartient à $\mathcal{R}$, il suffit de prouver qu'il existe une stratégie $\tilde S$ telle que la distance entre $(x,\tilde S)$ et $(x,S)$ est inférieure à $\varepsilon$ et telle que $(x,\tilde S)$ est un point périodique. Soit $t_1=-\lfloor \log_{10}(\varepsilon)\rfloor$ et soit $x'$ la -configuration obtenue après $t_1$ itérations de $G_f$ depuis $(x,S)$. -D'après la proposition précédente, $\Gamma(f)$ est fortement connexe. +configuration obtenue après $t_1$ itérations de $G_{f_g}$ depuis $(x,S)$. +D'après la proposition précédente, $\textsc{gig}(f)$ est fortement connexe. Ainsi, il existe une stratégie $S'$ et un nombre $t_2\in\Nats$ tels -que $x$ est atteint depuis $(x',S')$ après $t_2$ itérations de $G_f$. +que $x$ est atteint depuis $(x',S')$ après $t_2$ itérations de $G_{f_g}$. Soit alors la stratégie $\tilde S$ qui alterne les $t_1$ premiers termes de $S$ avec les $t_2$ premiers termes de $S'$. @@ -82,7 +82,7 @@ Ainsi $\tilde S$ est définie par (s_0,\dots,s_{t_1-1},s'_0,\dots,s'_{t_2-1},s_0,\dots,s_{t_1-1},s'_0,\dots,s'_{t_2-1},s_0,\dots). \end{equation*} Il est évident que $(x,\tilde S)$ s'obtient à partir de $(x,\tilde S)$ après -$t_1+t_2$ itérations parallèles de $G_f$. Ainsi $(x,\tilde S)$ est un point +$t_1+t_2$ itérations parallèles de $G_{f_g}$. Ainsi $(x,\tilde S)$ est un point périodique. Puisque $\tilde s_t$ est égal à $s_t$ pour $t0$. +$\Longleftarrow$ Supposons que $\textsc{giu}(f)$ soit fortement connexe. +Soient $(x,S)$ et $(x',S')$ deux points de $\mathcal{X}_u$ et $\varepsilon >0$. On construit la stratégie $\tilde S$ telle que la distance entre $(x,\tilde S)$ et $(x,S)$ est inférieure à -$\varepsilon$ et telle que les itérations parallèles de $G_f$ depuis +$\varepsilon$ et telle que les itérations parallèles de $G_{f_u}$ depuis $(x,\tilde S)$ mènent au point $(x',S')$. Pour cela, on pose $t_1 =-\lfloor\log_{10}(\varepsilon)\rfloor$ et $x''$ la configuration de $\Bool^{\mathsf{N}}$ obtenue depuis $(x,S)$ après $t_1$ itérations -parallèles de $G_f$. -Comme $\Gamma(f)$ est fortement connexe, il existe une +parallèles de $G_{f_u}$. +Comme $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe, il existe une stratégie $S''$ et un entier $t_2$ tels que $x'$ est atteint depuis -$(x'',S'')$ après $t_2$ itérations de $G_f$. +$(x'',S'')$ après $t_2$ itérations de $G_{f_u}$. Considérons à présent la stratégie $\tilde S=(s_0,\dots,s_{t_1-1},s''_0,\dots,s''_{t_2-1},s'_0,s'_1,s'_2,s'_3\dots)$. Il est évident que $(x',s')$ est atteint depuis $(x,\tilde S)$ après -$t_1+t_2$ itérations parallèles de $G_f$. Puisque +$t_1+t_2$ itérations parallèles de $G_{f_u}$. Puisque $\tilde s_t=s_t$ pour $t0$. Pour +Soit $(x,S) \in\mathcal{X}_u$ et $\varepsilon >0$. Pour prouver que $f$ appartient à $\mathcal{R}$, il suffit de prouver qu'il existe une stratégie $\tilde S$ telle que la distance entre $(x,\tilde S)$ et $(x,S)$ est inférieure à $\varepsilon$ et telle que $(x,\tilde S)$ est un point périodique. Soit $t_1=-\lfloor \log_{10}(\varepsilon)\rfloor$ et soit $x'$ la -configuration obtenue après $t_1$ itérations de $G_f$ depuis $(x,S)$. -D'après la proposition précédente, $\Gamma(f)$ est fortement connexe. +configuration obtenue après $t_1$ itérations de $G_{f_u}$ depuis $(x,S)$. +D'après la proposition précédente, $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe. Ainsi, il existe une stratégie $S'$ et un nombre $t_2\in\Nats$ tels -que $x$ est atteint depuis $(x',S')$ après $t_2$ itérations de $G_f$. +que $x$ est atteint depuis $(x',S')$ après $t_2$ itérations de $G_{f_u}$. Soit alors la stratégie $\tilde S$ qui alterne les $t_1$ premiers termes de $S$ avec les $t_2$ premiers termes de $S'$. @@ -85,7 +85,7 @@ Ainsi $\tilde S$ est définie par (s_0,\dots,s_{t_1-1},s'_0,\dots,s'_{t_2-1},s_0,\dots,s_{t_1-1},s'_0,\dots,s'_{t_2-1},s_0,\dots). \end{equation*} Il est évident que $(x,\tilde S)$ s'obtient à partir de $(x,\tilde S)$ après -$t_1+t_2$ itérations parallèles de $G_f$. Ainsi $(x,\tilde S)$ est un point +$t_1+t_2$ itérations parallèles de $G_{f_u}$. Ainsi $(x,\tilde S)$ est un point périodique. Puisque $\tilde s_t$ est égal à $s_t$ pour $t0$ tel que $f^k(U) \cap V \neq -\varnothing$. +\begin{Def}[Transitivité] +Une fonction $k$ est \textbf{transitive} sur $(\mathcal{X},d)$ si la propriété suivante est établie: +\[ +\forall X, Y\in \mathcal{X}, +\forall \epsilon > 0, +\exists Z \in \mathcal{X}, +\exists t \in \Nats, +d(X,Z) < \epsilon \land k^t(Z) = Y +\] \end{Def} \begin{Def}[Point périodique] - Un point $P \in \mathcal{X}$ est dit \emph{périodique} de période $t$ pour + Un point $P \in \mathcal{X}$ est dit \textbf{périodique} de période $t$ pour une fonction $k$ si $t$ est un entier naturel non nul tel que $k^t(P) = P$ et pour tout $n$, $0 < n \le t-1$, on a $k^n(P) \neq P$. - Par la suite, $\emph{Per(k)}$ dénote l'ensemble des points périodiques de + Par la suite, $\textbf{Per(k)}$ dénote l'ensemble des points périodiques de $k$ dans $\mathcal{X}$ de période quelconque. \end{Def} - - \begin{Def}[Régularité] -La fonction $f$ est dite \emph{régulière} -sur $(\mathcal{X}, \tau)$ si l'ensemble des points périodiques - de $f$ is dense in $\mathcal{X}$: -pour chaque point $x \in \mathcal{X}$, chaque voisin -de $x$ contient au moins un point périodique -(sans que la période soit nécessairement constante). +Une fonction $k$ est dite \textbf{régulière} dans $(\mathcal{X},d)$ +si l'ensemble des points périodiques de $k$ est dense dans $\mathcal{X}$, +c'est-à-dire si la propriété suivante est établie: +\[ +\forall X \in \mathcal{X}, \forall \epsilon > 0, \exists Y \in \textit{Per}(k) + \textrm{ tel que } d(X,Y) < \epsilon. +\] \end{Def} - - - - - - - - -La propriété de chaos est souvent associée à la notion de -\og sensibilité aux conditions initiales\fg{}, notion définie elle -sur un espace métrique $(\mathcal{X},d)$ par: - - \begin{Def}[Forte sensibilité aux conditions initiales] -Une fonction $k$ définie sur $(\mathcal{X},\tau)$ -est \emph{fortement sensible aux conditions initiales} +Une fonction $k$ définie sur $(\mathcal{X},d)$ +est \textbf{fortement sensible aux conditions initiales} s'il existe une valeur $\epsilon> 0$ telle que pour tout $X \in \mathcal{X}$ et pour tout $\delta > 0$, il existe $Y \in \mathcal{X}$ et $t \in \Nats$ qui vérifient $d(X,Y) < \delta$ et $d(k^t(X) , k^t(Y)) > \epsilon$. - -La constante $\delta$ est appelée \emph{constante de sensibilité} de $f$. \end{Def} + John Banks et ses collègues ont cependant démontré que la sensibilité aux conditions initiales est une conséquence de la régularité et de la transitivité topologique~\cite{Banks92}. - - - +On ne se focalise donc dans la suite que sur ces deux dernières +propriétés pour caractériser les fonctions booléennes $f$ +rendant chaotique la fonction engendrée $G_f$. diff --git a/main.pdf b/main.pdf index 8210825f8bf5ff2da646b5c0d7320411a05ca9d3..23c1a19083fd78c669723f475935022aaad3a973 100644 GIT binary patch delta 234248 zcmZs>Wn7#+w>=DlySux)4esu)#jQ}>b#Qkn?k!N<-QC??3KS^r{&L^X`Jd-}ct7Mf zJ6UtB?47l*Oft#MvD0vz3o4b0gcK7SGZ#G7%);ObJbPL|FER}Z8yh@}f`z@6t2HSb zCl^l|nH~x)=%?1Y{kjyY-?H|EzFEFw3y)y{X~37pu)qecJTq`%5MJ?& ztt7yV0zQE#IamfwE$q>nGt~Gi0A5@q1T&C^UE06qib_)EcW?{LR98F=*emQbtTC+| z?aH{3?Tr; z+SJ3LK%(c9xRQ^IYidA-%Zi~xM)eMt9!S%ZpR3_0+JpK_hp0nl@<)%M4VF_*jhbVi z2=~x7tPTaz52?`_oJ+vHjIb$N0O3f2W)G<&I|voi{7V2~AIc%6I5kSSxjE|&cVwS6 zMC=UN1WXv+v{mAa5OH$2MU*_+rGgVNxT|LnFRHvOnJ)LafI^sqTHmDBuOaid?9`%rZK??wBzfeP!aV?v%=5E6E>RH4()|@P`G-%}8R!70|^zC!O zD@bMTl&O<%P}7CM{?FO^WVy8Whb*4zddr*GdW91G`U1~(C}sHL!ir4<`fWsW%jj5P zF_AR*fGwjTqbA1AQQgGTBsLDKZ5C@!C9bLi)SIf-FmT!?+>fmIO#mSairkga{JT4r zs1j@vaoMA*qvS#gSIo?E3w#kZuB3;eI%rVVY~4msMLDo-TDje*F6cn9YOY5CHq4(P z`peR~DIHxjj{eUknZHS|MbPM1!_&HGR$LSdM$x}jQlS=VkOt>Z;c0lEg2?nNiYebR z{8|CVg^+6NON}X=g~cwITm`h=R>wL3V@5MB1LfV!YoS-z_wq!`C{DAzlxSK$CeX~T zKzd}G`HW7uX>f8!B@6dZjf~F~rJ!b$U+s3Olu~e};#J(tZ5bDz-dI>yyfRHzk?>lS z#pphHth&7N#mD>2gNKJaDFlbrNz7mjq{*8Y^Ls9fiBixwFaO~Kb1^={Oyif#)y17i zEYG`58&y38pVG;B>u&f$YE(&-CXl;HN1`Jg`EZh6=nO_kn8(4dG2jx~^U^@m2y2yH z?mAVkwAKc%=Az%xVs^@KvUwr+`|aAKBBN(w+zs?zO8k-_AQ9t^7>%0AlkuGF4az!bgC1Lzmo_C+zANxZLA1(m`F9KTd6E;WT!FJ$0w%as@vZ%pKE@ zQ1&V_+IyAhu&+KZ39{Xl2~OiI;bfF zS(OaN#((MvEvQbWt+zA3S9J>^9xU8;Y`(7yw2L|;0xw)Qt#MeC%vuQh4zQ#b<(ETW z81bGj|GI`C-@e{HE{ml;d}({RDC^KV4Saf2dGyovOvbX~&Rs?E=}Rg-o-dC-t8Q23 zkq0{WB%aFKeY}~vwDYYkjxHo9AT3LTt)SU6ul!{q2~wQUtE$|3DR5$Y)ZIEB;s3I4 z7iJzN)FRkg@y!2&l_%>1tZ5g_Bl$`jGmSk98Kahx3_ST<2RY3^423^A4qOnx#*sV; z&J4lM#+r61hQgN&1fa6Bagwr2(a+9*Nas7|Y^J#Pcj}82^dH%=d{j`Dg-hfdx zaJED=OaL2iny4}geln@97l55LxkiU18Ci=IoGtlM2NS@~_J2V3f59g$(quJbY;cbM zgK++f{MIH-^Y2AQN`BRW1+a7dADsIW7f!A)!3O8~Kdr#eR?_5lU6M4FDKudoRcUAz_!!C0U(4#hn(6}p9Bj!~IvB~cwx#uf7W|)e_J8W1kBKOw5d7;tCtGs2 zElx7XS}pnLD;9v0{lAQy9REToU)8}m|BZ|j_;OFf2_a3T8O961!;>~$ z0rLyM^Y1tUc>XgW|6<@g$z8UTY0_0Nq@Rk-mZD;$3Dm;;O4343{uCLU=QD58L>pjA z|7n=kAx)#Lg~3kaYKHlhT&2qh0P>_cwSC5E&0r}Nnqj2Vq*^~2UE5(e(-K-?Og_EAO}lM@QN`t8{U>Y( zQyX{zf&X3daIpR-cmDC+6M}=4EA6@!#y4#u6B+BX_TQNQ!T#xoGEKN0h8Tx~75M+d z#rFT?|Nm2Y;3t5C^&jssAUN3m^KSf4r)=!uc&3P-1*sX&6uAKiVB<=g&O|l^XZ!c- zX_8sUui)&7Xc+&vYDan|po zWSg~QD_$SF8x4YiD>|m*aor!yaP}fKcGi)&8iB0$`|^E`%|r4|E8HYMb^Uw-6I4Ud zQy3uSXfs4*RK!D^1M}RMbH?A1{6l^EQW)_!eigFipu%4b5KD2_kUOD#ORhhxR(1k? z(}d3Yr2MrJ zx{PDNSB;_3*;8nikcQrbn*Z23kE3oi{;w*pf~PtGRiQPZe zKhkk<{FAT$N5r(9QdG!)2j+8Hd8oMx$*UNecL^gzZkO1{bqc-^hc6Tr(Fj5o#nbC}@F?j%H zV4UpmBC7|+yarF>8zAJdI4^wFK_})7Z#hae$3@NjGaJ&2F4CA99hJC63s0U z*anm*bTL_5C&76b-23xD%~c9VPgug3npq+NE*iUyUC+zo-o~&s37NyJ)xJmA2@L^4 zQ*%)+Ns(~k&ajnCXSB1d`jhfF?f7v_p`F!{%K<+P(!9y(g~gaiwYHZNf2uMe2StYk z`GRKIL%|`u^8<|iU@Rem$n}1S45q1y)^jx zqnZ*~0~EmMM|Cx>FSt2G2st`8?e9V5KaHf=3U#{sSaWCE&&4Ou762|ft0pPyrWLmkc%PbUSm5QO^@hry;Hnt)YQ5MDD+ z^<|1fs+MY*K*mx?xIhNfB^^XeJG%tr%72M7<`qlg-CCyCk7pg2i<)c4E1C!GTVes* z8Si&3eJ)yIA0d=uEiaL2^a-Q(nU!wb8$}ma)9Qy$Z9Xo}4)1H$?8}H~_hKStEPFai zL$E~H7qo21Z?c?rN&|4IDX{X)4;u!69A6QGjy3H0T%)No&ShC4er&GKyK{)NJ4qA* zlR~|ZzmJMha*)8!#}%vt-l;(KSm7cUvk0V{{nR7aG6AyQ7Pe}uT}HQmb#+Wl7%~Kn 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z=f`u2*sSgj=oPgj?W*?TC9MCARcpDpBBe0}f-XBB~1irZ)qJ(LW-r^P4JIyRtf^ zgpAE6d+XXr;c-^~4HW`P0EU|*Z1S2*8T@#H8}i^aAyAXAgR!O5rl~2O;`3K5{Ut3D z6*gN|@5h@dq4GT*Kxm=Y3g@{nR7xWV>g_@;QHw^q3`@mbHHZ!Q@(kbA&A^>M?3>)^ zZ>*X_Wr5IP-JFUqJc(yVerA=C(_rVGtSo^xgwOqw_6@+&C%f?zywFtdyCNzD-!8E( zGuHmt&y>?#=U-{NLR;UOJUrN#LlhnPx9sjH*UDV<7?S-|$%Yy0LO5;7Z0cBx6n{rKf^2+0q{_nLvgx?eX37ZHxK;3dmsfyN5!WQ{}wxl^2F=OVsm zK3COz4kwtRye49~mtC4Yk= zeyNRE=pOyvpY{=GtLnSaNuH`129=EKpvq3{2uS@JXB~6JTSRA?z1v+q+WphP!fJ}& zXDAfL>cP%F7o3O&T=g!9A1m??-Mhmhf%Cm?WZ7hjEtT$864ecLLw-v;bT_@ z*|VeJO;4^5+kH>+Prrxcrh~pO;eRkvT(~QTjSM%m?4z+&CLJ!A7Pjk*;TtG4BmZ3L z2U7Izsy`8gWn>4ns4wK-xc5VEBircaTK+|Hh-rJhm%MpK2yW6ke)&uD%votu{pjNQrR`~?W{c@$C`PTJY<0Tb_oCfCEliayZNNX@n1``Km zR}zJg-zKx;ky5!JrugqZs`laZ&T0a_5`y>^hnf z)x4wB**@;OlNJU_-RP|am&{1SP(8AMQ`8qo7VK3s@R8{g_8CR40aN9U2rrwnwysN- zX+hf#+Xn$@FrI-0n70^XA6T6E1NZ&%t8C@vR8Y@2{l)3MK?|B7miYV z(VxU`6CxC)HLnu$O}iy+O^wM`RvV&Q$8_k6-O>kPdT}N*;#HE z^^0ZlJ`v}5kE|1v9Oie*qBr4cNgeXTBx**#bbbvr7&M7O>V 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