From ac26aa33009d503bf9c04a2b00244c5bf723e694 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: couchot <couchot@couchot>
Date: Tue, 15 Nov 2016 15:19:58 +0100
Subject: [PATCH] =?utf8?q?ajout=20de=20l'=C3=A9tat=20de=20l'art=20PRBG=20c?=
 =?utf8?q?haotique?=
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index 38920d8..c1cf7d3 100644
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@@ -9,13 +9,67 @@ comme un générateur aléatoire.
 Ce chapitre  présente donc une application directe
 de la théorie développée ci-avant
 à la génération de nombres pseudo-aléatoires. 
+La section~\ref{sec:PRNG:chaos:autres} présente un état de l'art (incomplet) de l'exploitation de 
+fonctions au comportement chaotique pour obtenir des PRNGs.
 La section~\ref{sub:prng:algo} 
-présente tout d'abord l'algorithme de PRNG. La contrainte de  
+présente ensuite l'algorithme de PRNG. La contrainte de  
 distribution uniforme de la sortie est discutée dans cette section.
-La chaoticité du générateur est ensuite étudiée en 
+La chaoticité du générateur est  étudiée en 
 section~\ref{prng:unaire:chaos}.
 La section~\ref{sub:prng:algo}  a été publiée à ~\cite{bcgw11:ip,bcgr11:ip}.
 
+\section{Quelques PRNGs basés sur des fonctions aux itérations chaotiques}\label{sec:PRNG:chaos:autres}
+
+Les PRNGs chaotiques (CPRNGs) sont des générateurs non linéaires définis par 
+$x_0 \in \mathbb{R}$ et $x_{t+1} = f(x_t)$, où  $f$ est une fonction au comportement chaotique.
+Les raisons qui expliquent l'intérêt de telles fonctions sont naturellement la sensibilité aux conditions initiales, 
+leur imprévisibilité\ldots Cependant, comme l'ordinateur sur lequel elles s'exécutent a une précision finie, 
+les générateurs qui les embarquent peuvent avoir des périodes arbitrairement courtes, 
+ne pas fournir de sortie selon une distribution uniforme\ldots
+D'un point de vue cryptographique, ces CPRNGs sont critiquables~\cite{wiggins2003introduction}.
+Réduire ces critiques est l'objectif de nombreux travaux de recherche reportés ci dessous.
+
+
+Parmi les suites simples classiquement embarquées dans les CPRNGs, on trouve principalement
+la suite logistique et 
+la suite de Hénon. La suite logistique~\cite{may1976simple} est définie de $[0;1]$ dans lui même par $x_{t+1} = r \times x_t(1-x_t)$ 
+avec $x_0 \in [0;1]$ et $3,57<r<4,0$.
+La suite de Hénon~\cite{henon1976two} de $A \times B$ dans lui même, avec $A$ et $B$ deux sous-ensembles de $\R$, 
+est définie par  
+$x_{t+1} = (1-a x_t^2)+y_t$  et $y_{t+1}= bx_{t+1}$, où $a$ et $b$ sont les paramètres canoniques. 
+Pour $a=1,4$, $b=0,3$, $A=[-1,5;1,5]$ et $B=-[0,4;0,4]$ le comportement de cette suite est chaotique.
+
+La suite logistique est utilisée dans l'article~\cite{dabal2011chaos} dans lequel 
+les auteurs utilisent une représentation des réels à virgule fixe.
+Les auteurs de~\cite{dabal2012fpga} comparent leur implantation de la suite logistique avec celle 
+de la suite de Hénon. 
+Les auteurs de~\cite{6868789} ont exploité la réécriture de la suite logistique sous la forme
+$x_{t+1} = (r \times x_t)-(r \times x_t^2)$ et la possibilité de paralléliser ceci 
+pour accroître la fréquence du PRNG.   
+Les auteurs de~\cite{liu2008improved} proposent de coupler deux suites logistiques,
+chacune étant paramétrée différemment ($x_0$, $r_1$ et  $y_0$, $r_2$ respectivement). L'idée principale 
+est de modifier iterrativement le paramètre $r_2$ à l'aide des itérés de $x_t$.
+Quant aux auteurs de~\cite{merahcoupling13}, ils couplent la suite logistique et celle de Hénon. 
+La première suite sert à sélectionner les éléments parmi ceux générés par la seconde.
+Les auteurs de~\cite{mao2006design}, combinent spatialement $L$ suites logistiques 
+et construisent ainsi $x_t(0)$, \dots, $x_t(L-1)$ selon l'équation suivante:
+\begin{equation}
+x_{t+1}(i) = 
+(1- \varepsilon) f(x_t(i)) + 
+\frac{\varepsilon}{2} 
+(f(x_t(i-1)) + f(x_t(i+1))),
+\label{eq:cml}
+\end{equation}
+\noindent où 
+$i \in \dfrac{\Z}{L\Z}$,
+$f$ est une adaptation de la suite logistique au cas discret,
+la graine $(X_0(0),\dots, X_0(L-1))$ et la pondération $\varepsilon$ sont fournies par l'utilisateur.
+ 
+Certaines équations différentielles ont été à la base de PRNGs chaotiques. 
+On pense aux équations de Lorenz~\cite{Lorenz1963}, à celles de Rössler~\cite{Rossler1976397}\ldots
+Celles-ci ont par exemple embarquées dans les PRNG dans les articles~\cite{Silva:2009:LLP:1592409.1592411}
+et~\cite{mansingka2013fibonacci} respectivement.
+
 
 \section{ Nombres pseudo-aléatoires construits par itérations unaires}\label{sub:prng:algo}
 
@@ -758,6 +812,8 @@ est fortement connexe.
 % \end{proof}
 
 
+
+
 \section{Conclusion}
 Ce chapitre a proposé un algorithme permettant de construire un 
 PRNG chaotique à partir d'un PRNG existant. Pour ce faire, il est nécessaire 
diff --git a/conclusion.tex b/conclusion.tex
index 98fcbc5..c544c43 100644
--- a/conclusion.tex
+++ b/conclusion.tex
@@ -159,3 +159,4 @@ en deep-learning celles qui sont des convolutions directes. Il restera ensuite
 à adapter l'outil de deep learning aux caractéristiques restantes ce qui est un autre challenge 
 scientifique. 
 
+\subsection{}
\ No newline at end of file
diff --git a/main.tex b/main.tex
index 1cad5ec..094d3d3 100644
--- a/main.tex
+++ b/main.tex
@@ -311,6 +311,9 @@ de telles fonctions.
 \part{Applications à la génération de nombres 
 pseudo-aléatoires}
 
+
+
+
 \chapter{Caractérisation des générateurs chaotiques}\label{chap:PRNG:chao}
 \input{15RairoGen}
 
-- 
2.39.5