From d69000ebda300fc836232f34cebb88ddfce4ac98 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: couchot <couchot@localhost.localdomain>
Date: Thu, 1 Sep 2016 11:33:43 +0200
Subject: [PATCH] chapitre chaos repris
---
11FCT.tex | 7 ++++---
12TIPE.tex | 35 ++++++++++++++++----------------
15TSI.tex | 32 ++++++++++++++++++++---------
annexesccg.tex | 6 ++++--
caracgeneralise.tex | 19 +++++------------
demandeInscription/president.tex | 3 ++-
demandeInscription/synthese.tex | 4 +---
main.tex | 24 +++++++++++-----------
preuveDistanceGeneralisee.tex | 3 ++-
9 files changed, 70 insertions(+), 63 deletions(-)
diff --git a/11FCT.tex b/11FCT.tex
index 45d91c9..498af15 100644
--- a/11FCT.tex
+++ b/11FCT.tex
@@ -55,7 +55,8 @@ $f_j$ et qui permet de n'engendrer que des fonctions
$f$ dont le graphe d'itérations
$\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe.
-\begin{theorem}\label{th:Adrien}
+\begin{restatable}{theorem}{thAdrien}
+\label{th:Adrien}
Soit $f$ une fonction de $\Bool^{\mathsf{N}}$ vers lui-même telle que:
\begin{enumerate}
\item
@@ -68,11 +69,11 @@ chaque sommet de $\Gamma(f)$ est accessible depuis un sommet qui possède
une boucle négative.
\end{enumerate}
Alors, $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe.
-\end{theorem}
+\end{restatable}
La preuve de ce théorème est donnée en annexe~\ref{anx:sccg}.
-Illustrons ce théorème par un exemple. On considère par le graphe d'interactions
+Illustrons ce théorème par un exemple. On considère le graphe d'interactions
$\Gamma(f)$ donné en figure~\ref{fig:Adrien:G}.
Il vérifie le théorème~\ref{th:Adrien}:
toutes les fonctions $f$ possédant un tel graphe d'interactions
diff --git a/12TIPE.tex b/12TIPE.tex
index 7ebcfde..afd6077 100644
--- a/12TIPE.tex
+++ b/12TIPE.tex
@@ -8,11 +8,11 @@ $\Bool^{{\mathsf{N}}}$ dans lui-même.
Dans le schéma unaire, à la $t^{\textrm{ème}}$ itération,
seul le $s_{t}^{\textrm{ème}}$
-composant (entre 1 et $n$) est mis à jour.
+composant (entre 1 et $\mathsf{N}$) est mis à jour.
Pour une stratégie $s = \left(s_t\right)_{t \in \mathds{N}}$
(\textit{i.e.}, une séquence d'indices
-de $\llbracket 1;\mathsf{N} \rrbracket$), on peut définir
-la fonction $F_{f_u}: \Bool^{\mathsf{N}} \times \llbracket1;\mathsf{N}\rrbracket$
+de $[\mathsf{N}]$), on peut définir
+la fonction $F_{f_u}: \Bool^{\mathsf{N}} \times [\mathsf{N}]$
vers $\Bool^\mathsf{N}$ par
\[
F_{f_u}(x,i)=(x_1,\dots,x_{i-1},f_i(x),x_{i+1},\dots,x_\mathsf{N}).
@@ -20,7 +20,7 @@ F_{f_u}(x,i)=(x_1,\dots,x_{i-1},f_i(x),x_{i+1},\dots,x_\mathsf{N}).
Dans le schéma des itérations unaires pour une configuration initiale
$x^0\in\Bool^\mathsf{N}$ et une stratégie $s\in
-\llbracket1;\mathsf{N}\rrbracket^\Nats$, les configurations $x^t$
+[\mathsf{N}]^\Nats$, les configurations $x^t$
sont définies par la récurrence
\begin{equation}\label{eq:asyn}
x^{t+1}=F_{f_u}(x^t,s_t).
@@ -29,7 +29,7 @@ x^{t+1}=F_{f_u}(x^t,s_t).
On peut alors construire l'espace
$\mathcal{X}_u =
-\Bool^{{\mathsf{N}}} \times \llbracket1;{\mathsf{N}}\rrbracket^{\Nats}$
+\Bool^{{\mathsf{N}}} \times [{\mathsf{N}}]^{\Nats}$
et la fonction d'itération $G_{f_u}$ définie de
$\mathcal{X}_u$
dans lui-même par
@@ -39,8 +39,8 @@ G_{f_u}(x,s)=(F_{f_u}(x,s_0),\sigma(s)).
\end{equation}
Dans cette définition, la fonction
-$\sigma: \llbracket1;{\mathsf{N}}\rrbracket^{\Nats} \longrightarrow
- \llbracket1;{\mathsf{N}}\rrbracket^{\Nats}
+$\sigma: {\mathsf{N}}]^{\Nats} \longrightarrow
+ [{\mathsf{N}}]^{\Nats}
$
décale
la stratégie fournie en argument d'un élément vers la gauche en supprimant
@@ -59,7 +59,7 @@ La section suivante introduit une métrique sur $\mathcal{X}_u$.
Sur $\mathcal{X}_u$,
on définit la distance $d$ entre les points $X=(x,s)$ et
$X'=(x',s')$ de $\mathcal{X}_u$ par
-\[
+\begin{equation}
d(X,X')= d_H(x,x')+d_S(s,s'),~\textrm{où}~
\left\{
\begin{array}{l}
@@ -67,7 +67,8 @@ d(X,X')= d_H(x,x')+d_S(s,s'),~\textrm{où}~
\displaystyle{d_S(s,s')=\frac{9}{n}\sum_{t\in\Nats}\frac{|s_t-s'_t|}{10^{t+1}}}.
\end{array}
\right.\,.
-\]
+\end{equation}
+
On note que dans le calcul de $d_H(x,x')$--
appelée distance de Hamming entre $x$ et $x'$--
les termes $x_i$ et $x'_i$ sont considérés comme des entiers naturels
@@ -92,8 +93,8 @@ apporte une réponse à cette question.
chaotiques $G_{f_u}$ sur $\mathcal{X}_u$}
-On peut tout d'abord démontrer que pour toute fonction booléenne $f$,
-$G_{f_u}$ est continue sur $\mathcal{X}_u$ (cf annexe~\ref{anx:cont}).
+% On peut tout d'abord démontrer que pour toute fonction booléenne $f$,
+% $G_{f_u}$ est continue sur $\mathcal{X}_u$ (cf annexe~\ref{anx:cont}).
Pour caractériser les fonctions rendant chaotiques dans $\mathcal{X}_u$ les itérations de $G_{f_u}$
on se focalise donc que sur la régularité et sur la transitivité de $G_{f_u}$.
@@ -103,16 +104,16 @@ $\mathcal{R}$ des fonctions régulières
et $\mathcal{C}$ des fonctions chaotiques définis respectivement ci-dessous:
\begin{itemize}
\item $\mathcal{T} = \left\{f : \mathds{B}^n \to
-\mathds{B}^n \big/ G_{f_u} \textrm{ est transitive} \right\}$,
+\mathds{B}^n \textrm{ t. q. } G_{f_u} \textrm{ est transitive} \right\}$,
\item $\mathcal{R} = \left\{f : \mathds{B}^n \to
-\mathds{B}^n \big/ G_{f_u} \textrm{ est régulière} \right\}$,
+\mathds{B}^n \textrm{ t. q. } G_{f_u} \textrm{ est régulière} \right\}$,
\item $\mathcal{C} = \left\{f : \mathds{B}^n \to
-\mathds{B}^n \big/ G_{f_u} \textrm{ est chaotique} \right\}$.
+\mathds{B}^n \textrm{ t. q. } G_{f_u} \textrm{ est chaotique} \right\}$.
\end{itemize}
-On énonce les théorèmes successifs suivants.
-Leur preuve est donnée en annexe~\ref{anx:chaos:unaire}.
+On énonce les théorèmes successifs suivants dont les preuves sont données
+dans~\cite{guyeux10}.
\begin{theorem} $G_{f_u}$ est transitive si et seulement si
$\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe.
@@ -127,7 +128,7 @@ On peut conclure que $\mathcal{C} = \mathcal{R} \cap \mathcal{T}
\begin{theorem}%[Characterization of $\mathcal{C}$]
\label{Th:CaracIC}
-Soit $f:\Bool^n\to\Bool^n$. La fonction $G_{f_u}$ est chaotique
+Soit $f:\Bool^{\mathsf{N}}\to\Bool^{\mathsf{N}}$. La fonction $G_{f_u}$ est chaotique
si et seulement si $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe.
\end{theorem}
diff --git a/15TSI.tex b/15TSI.tex
index f2fe17b..138036f 100644
--- a/15TSI.tex
+++ b/15TSI.tex
@@ -7,7 +7,7 @@ On reprend ici le même plan que dans la section précédente.
Dans le schéma généralisé, à la $t^{\textrm{ème}}$ itération,
c'est l'ensemble
-des $s_{t}^{\textrm{ème}}$ éléments (inclus dans $[n]$) qui
+des $s_{t}^{\textrm{ème}}$ éléments (inclus dans $[{\mathsf{N}}]$) qui
sont mis à jour (cf. équation~(\ref{eq:schema:generalise})).
On redéfinit la fonction la fonction
$F_{f_g}: \Bool^{\mathsf{N}} \times \mathcal{P}(\{1, \ldots, \mathsf{N}\})
@@ -36,7 +36,7 @@ configurations $x^t$ sont définies par la récurrence
\]
où la fonction $\sigma$ est définie comme à la section précédente.
A nouveau, les itérations généralisées
- de $f$ induites par $x^0$ et la stratégie $S$.
+ de $f$ induites par $x^0$ et la stratégie $S$
décrivent la même orbite que les
itérations parallèles de $G_{f_g}$ depuis un point initial
$X^0=(x^0,S)$
@@ -62,7 +62,8 @@ On considère l'espace $\mathcal{X}_g=\mathcal{P}(\{1, \ldots, {\mathsf{N}}\})^{
\Bool^{\mathsf{N}}$ et
on définit la distance $d$ entre les points $X=(S,x)$ et
$X'=(S',x')$ de $\mathcal{X}_g$ par
-\[
+
+\begin{equation}
d(X,X')= d_H(x,x')+d_S(S,S'),~\textrm{où}~
\left\{
\begin{array}{l}
@@ -70,7 +71,8 @@ d(X,X')= d_H(x,x')+d_S(S,S'),~\textrm{où}~
\displaystyle{d_S(S,S')=\frac{9}{{\mathsf{N}}}\sum_{t\in\Nats}\frac{|S_t \Delta S'_t|}{10^{t+1}}}.
\end{array}
\right.\,.
-\]
+\label{eq:distance:Xg}
+\end{equation}
La fonction $d$ est une somme de deux fonctions.
La fonction $d_H$ est la distance de Hamming; il est aussi établi que la
@@ -79,7 +81,7 @@ Ainsi, pour montrer que $d$ est aussi une distance, il suffit
de montrer que $d_S$ en une aussi, ce qui est fait en annexe~\ref{anx:distance:generalise}.
La section suivante caractérise les fonctions $f$ qui sont
-chaotiques pour le schéma généralisées.
+chaotiques pour le schéma généralisé.
\subsection{Caractérisation des fonctions rendant
chaotiques $G_{f_g}$ sur $\mathcal{X}_g$}
@@ -88,13 +90,23 @@ en les adaptant à $G_{f_g}$.
On a les théorèmes suivants dont les preuves sont données en
annexe~\ref{anx:chaos:generalise}.
-\begin{theorem} $G_{f_g}$ est transitive si et seulement si
+
+
+\begin{restatable}{theorem}{caractransitivegeneralise}
+\label{Theo:carac:transitive:gen}
+$G_{f_g}$ est transitive si et seulement si
$\textsc{gig}(f)$ est fortement connexe.
-\end{theorem}
+\end{restatable}
-\begin{theorem}
-\label{Prop: T est dans R:g} $\mathcal{T} \subset \mathcal{R}$.
-\end{theorem}
+
+
+\begin{restatable}{theorem}{caracsubgeneralise}
+\label{Prop: T est dans R:g}
+ $\mathcal{T} \subset \mathcal{R}$.
+\end{restatable}
+
+On peut conclure que $\mathcal{C} = \mathcal{R} \cap \mathcal{T}
+= \mathcal{T}$. On a alors la caractérisation suivante:
\begin{theorem}%[Characterization of $\mathcal{C}$]
diff --git a/annexesccg.tex b/annexesccg.tex
index 9d32b22..257f86c 100644
--- a/annexesccg.tex
+++ b/annexesccg.tex
@@ -59,8 +59,10 @@ $\textsc{giu}(f)^\alpha$ a un arc de $h(x)$ vers $h(y)$.
\end{Proof}
+On peut alors prouver le théorème:
+\thAdrien*
+
\begin{Proof}
-du Théorème~\ref{th:Adrien}.
La preuve se fait par induction sur ${\mathsf{N}}$.
Soit $f$ une fonction de $\Bool^{\mathsf{N}}$ dans lui-même et qui vérifie les hypothèses
du théorème.
@@ -106,7 +108,7 @@ D'après la seconde hypothèse,
${\mathsf{N}}$ n'a pas de boucle, \emph{i.e.}, la valeur de $f_{\mathsf{N}}(x)$
ne dépend pas de la valeur de $x_{\mathsf{N}}$.
D'après la troisième hypothèse,
-il existe $i\in \llbracket 1;{\mathsf{N}} \rrbracket$ tel que $G(f)$ a un arc de
+il existe $i\in [{\mathsf{N}}]$ tel que $G(f)$ a un arc de
$i$ vers ${\mathsf{N}}$.
Ainsi, il existe $x \in \Bool^{\mathsf{N}}$ tel que $f_{{\mathsf{N}}i}(x) \neq 0$ et donc
%$n$ n'est donc pas de degré zéro dans $G(f)$, \emph{i.e.}
diff --git a/caracgeneralise.tex b/caracgeneralise.tex
index 54d99af..3014a6b 100644
--- a/caracgeneralise.tex
+++ b/caracgeneralise.tex
@@ -1,9 +1,8 @@
-Commençons par caractériser l'ensemble $\mathcal{T}$ des fonctions transitives:
+Commençons par caractériser l'ensemble $\mathcal{T}$ des fonctions transitives dans le cas
+des itérations généralisées.
-\begin{theorem} $G_{f_g}$ est transitive si et seulement si
- $\textsc{gig}(f)$ est fortement connexe.
-\end{theorem}
+\caractransitivegeneralise*
\begin{Proof}
@@ -55,9 +54,7 @@ par contraposée, on a la démonstration souhaitée.
Prouvons à présent le théorème suivant:
-\begin{theorem}
-\label{Prop: T est dans R:gp} $\mathcal{T} \subset \mathcal{R}$.
-\end{theorem}
+\caracsubgeneralise*
\begin{Proof}
@@ -88,10 +85,4 @@ choix de $t_1$, on a $d((x,S),(x,\tilde S))<\epsilon$.
\end{Proof}
On peut conclure que $\mathcal{C} = \mathcal{R} \cap \mathcal{T}
-= \mathcal{T}$. On a alors la caractérisation suivante:
-
-\begin{theorem}%[Characterization of $\mathcal{C}$]
-\label{Th:CaracIC:gp}
-Soit $f:\Bool^{\mathsf{N}}\to\Bool^{\mathsf{N}}$. La fonction $G_{f_g}$ est chaotique
-si et seulement si $\textsc{gig}(f)$ est fortement connexe.
-\end{theorem}
+= \mathcal{T}$.
\ No newline at end of file
diff --git a/demandeInscription/president.tex b/demandeInscription/president.tex
index 4dd1c77..c01b381 100644
--- a/demandeInscription/president.tex
+++ b/demandeInscription/president.tex
@@ -41,7 +41,8 @@ Par le présent courrier, je vous sollicite pour une inscription Ã
l'Habilitation à Diriger des Recheches (HDR).
Je vous informe que je n'ai effectué aucune demande inscription dans une
autre université cette année universitaire et que cette requête
-constitue ma première demande.
+constitue ma seconde demande. Ma première demande d'inscription
+a été formulé le 31 aout 2015.
diff --git a/demandeInscription/synthese.tex b/demandeInscription/synthese.tex
index 58ad6b7..4a31101 100755
--- a/demandeInscription/synthese.tex
+++ b/demandeInscription/synthese.tex
@@ -148,9 +148,7 @@ Je suis membre de l'équipe Algorithmique Numérique Distribuée (AND) du
Département d'Informatique des Systèmes Complexes (DISC)
du laboratoire FEMTO-ST.
Je relève de l'école doctorale 37 Sciences Pour l'Ingénieur et Microtechniques (SPIM) de l'UFC.
-Mon directeur de recherche pour cette HDR est Pr. J. {\sc Bahi}
-du département DISC. Son avis, ainsi que celui du directeur de l'équipe (Pr. R. {\sc Couturier}, du directeur de l'école doctorale (PR. P. {\sc Lutz})
-et du directeur du département (Pr. O. {\sc Kouchnarenko}) sont donnés en annexes.
+Les avis du directeur de l'équipe AND (Pr. R. {\sc Couturier} et du directeur du département DISC (Pr. O. {\sc Kouchnarenko}) sont donnés en annexes.
% \subsection{Avis du directeur de l'équipe}\label{sec:avis:directeur:equipe}
diff --git a/main.tex b/main.tex
index 33a3ba1..628e4f9 100644
--- a/main.tex
+++ b/main.tex
@@ -221,15 +221,16 @@ au chaos}
La suite de ce document se focalise sur des systèmes dynamiques discrets qui ne
convergent pas. Parmi ceux-ci se trouvent ceux qui sont \og chaotiques\fg{}.
La première section de ce chapitre rappelle ce que sont les systèmes
-dynamiques chaotiques et leur caractéristiques. Celles-ci dépendent
-tout d'abord de la stratégie itérée. La section~\ref{sec:TIPE12}
-se focalise sur le schéma unaire tandis que la section~\ref{sec:chaos:TSI}
-considère le mode généralisé. Pour chacun de ces modes,
-une distance est définie. Finalement, la section~\ref{sec:11FCT}
+dynamiques chaotiques et leur caractéristiques.
+La section~\ref{sec:TIPE12}, qui est une reformulation de~\cite{guyeux10},
+se focalise sur le schéma unaire. Elle est rappelée pour avoir un document se
+suffisant à lui-même.
+La section~\ref{sec:chaos:TSI} étend ceci au mode généralisé. Pour chacun de ces modes,
+une métrique est définie. Finalement, la section~\ref{sec:11FCT}
exhibe des conditions suffisantes premettant d'engendrer
des fonctions chaotiques seon le mode unaire.
Les sections~\ref{sec:TIPE12} et~\ref{sec:11FCT} ont été publiées
-dans~\cite{bcgr11:ip}.
+dans~\cite{bcg11:ij,bcgr11:ip}.
\section{Systèmes dynamiques chaotiques selon Devaney}
\label{subsec:Devaney}
@@ -354,13 +355,12 @@ du chapitre 8}
\chapter{Preuves sur les systèmes chaotiques}
-\section{Continuité de $G_f$ dans $(\mathcal{X}_u,d)$}\label{anx:cont}
-\input{annexecontinuite.tex}
+%\section{Continuité de $G_f$ dans $(\mathcal{X}_u,d)$}\label{anx:cont}
+%\input{annexecontinuite.tex}
-\section{Caractérisation des fonctions $f$ rendant chaotique $G_{f_u}$ dans $(\mathcal{X}_u,d)$}\label{anx:chaos:unaire}
-\input{caracunaire.tex}
-
+%\section{Caractérisation des fonctions $f$ rendant chaotique $G_{f_u}$ dans $(\mathcal{X}_u,d)$}\label{anx:chaos:unaire}
+%\input{caracunaire.tex}
\section{Preuve que $d$ est une distance sur $\mathcal{X}_g$}\label{anx:distance:generalise}
\input{preuveDistanceGeneralisee}
@@ -370,7 +370,7 @@ du chapitre 8}
\input{caracgeneralise.tex}
-\section{Théorème~\ref{th:Adrien}}\label{anx:sccg}
+\section{Conditions suffisantes pour un $\textsc{giu}(f)$ fortement connexe \label{anx:sccg}}
\input{annexesccg}
diff --git a/preuveDistanceGeneralisee.tex b/preuveDistanceGeneralisee.tex
index 9b7f3b6..c8a6c5c 100644
--- a/preuveDistanceGeneralisee.tex
+++ b/preuveDistanceGeneralisee.tex
@@ -3,7 +3,8 @@ on définit
\[
\displaystyle{d_S(S,S')=\frac{9}{{\mathsf{N}}}\sum_{t\in\Nats}\frac{|S_t \Delta S'_t|}{10^{t+1}}}.
\]
-Montrons que $d_S$ est une distance sur $\mathcal{P}(\{1, \ldots, {\mathsf{N}}\})$.
+Montrons que $d_S$ est une distance sur $\mathcal{P}(\{1, \ldots, {\mathsf{N}}\})$ et ainsi
+que $d$ définie à l'equation~(\ref{eq:distance:Xg}) est une distance.
--
2.39.5