-\section{L'algorithme RSA}
-
-\subsection{Les étapes détaillées de l'algorithme}
-
-On rappelle qu'un système cryptographique à clé publique est
-initialisé par le receveur, c.-à-d. celui qui veut recevoir des messages de
-manière sure.
-
-\paragraph{Première étape: choix des deux nombres $p$ et $q$.}
-Le receveur choisit deux grands nombres premiers
-$p$ et $q$ et calcule $n = pq$. Puis il calcule $\varphi(n)$,
-où $\varphi : \N^* \rightarrow \N^* $ est la \emph{fonction d'Euler}
-définie par $\varphi(n)$ est le nombre d'entiers dans $\{1, 2, \dots , n -1 \}$
-qui sont premiers avec $n$.
-\paragraph{Deuxième étape: choix de la clé publique.}
-Le receveur choisit $e \in
-\{1, \dots , n-1\}$ premier avec $\varphi(n)$.
-La clé publique est la paire $(e,n)$. L'expéditeur
-va s'en servir pour crypter son message à la quatrième étape ci-dessous.
-\paragraph{Troisième étape: construction de la clé privée.}
-Le receveur calcule l'entier $d \in \{1,\dots, n-1\}$
-tel que le reste de la division de $ed$ par $\varphi(n)$ est 1.
-Ceci se note aussi $ed \equiv 1 [\varphi(n)]$ qui se lie $ed$ est congru
-à 1 modulo $\varphi(n)$.
-La paire $(d,n)$ est la clé privée de décryptage. Elle
-est secrète et permet au receveur de décrypter tous les messages reçus
-et cryptés avec $(e,n)$.
-\paragraph{Quatrième étape: cryptage du message.}
-L’expéditeur peut crypter tout message écrit sous la forme
-d'un nombre $m$ appartenant à $\{1, \dots , n-1\}$ et qui est
-premier avec $n$.
-Le message codé est le reste $a$ de la division de $m^e$ par $n$.
-On a donc $m^e \equiv a [n]$, où $a \in \{1, \dots , n - 1\}$.
-\paragraph{Cinquième étape: décryptage du message.}
-Le receveur dispose de $a$ et de sa clé privée $(d,n)$.
-Pour décrypter $a$, il calcule le reste dans la division par $n$
-de $a^d$ (c.-à-d. $a^d [n]$).
-Si aucune erreur de calcul n'a été effectuée, c'est le message initial $m$.
-
-
-\subsection{Sur un exemple très petit}
-Le receveur choisit $p=7$, $q=13$.
-\begin{enumerate}
-\item Construire l'ensemble des entiers qui sont premiers avec $n=pq$
- et en déduire que $\varphi(91)=72$.
-\item Montrer que $(29,91)$ est un candidat acceptable de clé publique.
-\item Trouver la clé privée associée.
-\item Montrer que l'expéditeur a la possibilité de crypter le message $m=59$.
-\item Construire le message crypté $a$ à l'aide de la clé publique.
-\item Décrypter
- le message $a$ à l'aide de la clé privée. Il doit s'agir de $m$.
-\end{enumerate}
-
-
-\subsection{Les points clés}
-L'algorithme RSA repose sur plusieurs points clés rencontrés successivement:
-\begin{itemize}
-\item la génération de deux grands nombres premiers $p$ et $q$ ;
-\item la multiplication de grands nombres : $pq$, $ed$,
-\item l'arithmétique modulaire;
-\item l'algorithme d'Euclide de génération de PGCD et son corollaire de Bézout;
-\item la factorisation, qui tant qu'elle n'est pas réalisable sur des grands nombres, garantit la sécurité du cryptage des données.
-\end{itemize}
-
-\section{Rappels d'arithmétique}
+\section{Rappels d'arithmétique jusqu'au PGCD}
Soit deux entiers $a$ et $b$ dans $\Z$.
On dit que $a$ divise $b$ (que l'on note $a | b$)
\item Si $d | a$ et $d | b$, alors $d | a\land b$.
\end{itemize}
-\subsection{Algorithme d'Euclide de calcul de PGCD}
+
+\begin{Exo}
+Déterminer $550 \land 1540$.
+\end{Exo}
+
+
+%\subsection{Algorithme d'Euclide de calcul de PGCD}
Par définition, le PGCD de $a$ non nul avec
0 est $a$ (définition raisonnable, car 0
et $b$ tels que $a>b \ge 0$ et qui retourne leur PGCD
\end{Exo}
-\subsection{Les incontournables Bézout et Gau{\ss}}
\begin{Prop}[Identite de Bézout]
On considère deux nombres entiers strictement positifs $a$ et $b$.
On remonte les équations une à une en démarrant de (\ref{eq:def:rnm2}).
\begin{eqnarray}
r_{n} & = & r_{n-2} - r_{n-1} \times q_{n} \nonumber \\
- & = & r_{n-2} - (r_{n-3} - r_{n-2} \times q_{n-1}) \times q_{n} (\textrm{on remplace $r_{n-1}$ par sa def dans (\ref{eq:def:rnm3})}) \nonumber\\
- & = & r_{n-2}. (1 + q_{n-1}. q_{n}) - r_{n-3}. q_{n} (\textrm{factorisation})\nonumber \\
- & = & (r_{n-4} - r_{n-3} \times q_{n-2}). (1 + q_{n-1}. q_{n}) - r_{n-3}. q_{n}(\textrm{on remplace $r_{n-2}$ par sa def dans (\ref{eq:def:rnm4})}) \nonumber \\
+ & = & r_{n-2} - (r_{n-3} - r_{n-2} \times q_{n-1}) \times q_{n} \textrm{ (on remplace $r_{n-1}$ par son expression tirée de (\ref{eq:def:rnm3})}) \nonumber\\
+ & = & r_{n-2}. (1 + q_{n-1}. q_{n}) - r_{n-3}. q_{n} \textrm{ (factorisation)}\nonumber \\
+ & = & (r_{n-4} - r_{n-3} \times q_{n-2}). (1 + q_{n-1}. q_{n}) - r_{n-3}. q_{n}\textrm{ (on remplace $r_{n-2}$ par son expression tirée de (\ref{eq:def:rnm4})}) \nonumber \\
& \vdots & \nonumber \\
-& = & \ldots (\textrm{on remplace $r_{1}$ par sa def dans (\ref{eq:def:r1})}) \nonumber\\
+& = & \ldots \textrm{ (on remplace $r_{1}$ par son expression tirée de (\ref{eq:def:r1})}) \nonumber\\
& = &ax + by \nonumber
\end{eqnarray}
\end{Proof}
+\begin{Exo}
+Montrer qu'il existe $x$ et $y$ tels que
+$29x + 72y=1$ puis trouver une valeur pour $x$ et $y$.
+\end{Exo}
+
+
+\begin{Exo}
+Montrer que les propriétés $ a \land m = 1 $
+et $ b \land m = 1 $ impliquent $ ab \land m = 1 $.
+\end{Exo}
\begin{Def}[Nombres premiers entre eux]
leur plus grand commun diviseur est égal à 1.
\end{Def}
+\begin{Exo}
+Montrer que 55 et 21 sont premiers entre eux.
+\end{Exo}
+
+
+
+
+
+\section{L'algorithme RSA}
+
+\subsection{Les étapes détaillées de l'algorithme}
+
+On rappelle qu'un système cryptographique à clé publique est
+initialisé par le receveur, c.-à-d. celui qui veut recevoir des messages de
+manière sure.
+
+\paragraph{Première étape: choix des deux nombres $p$ et $q$.}
+Le receveur choisit deux grands nombres premiers
+$p$ et $q$ et calcule $n = pq$. Puis il calcule $\varphi(n)$,
+où $\varphi : \N^* \rightarrow \N^* $ est la \emph{fonction d'Euler}
+L'entier $\varphi(n)$ est le nombre d'entiers
+dans $\{1, 2, \dots , n -1 \}$ qui sont premiers avec $n$.
+
+\begin{Exo}
+Le receveur choisit $p=7$, $q=13$.
+Construire l'ensemble des entiers qui sont premiers avec $n=pq$
+et en déduire que $\varphi(91)=72$.
+\end{Exo}
+
+
+\paragraph{Deuxième étape: choix de la clé publique.}
+Le receveur choisit $e \in
+\{1, \dots , n-1\}$ premier avec $\varphi(n)$.
+La clé publique est la paire $(e,n)$.
+Chaque expéditeur
+va s'en servir pour crypter son message à destination de ce receveur.
+Le cryptage est détaillé
+ à la quatrième étape ci-dessous.
+
+\begin{Exo}
+Montrer que $(29,91)$ est un candidat acceptable de clé publique.
+\end{Exo}
+
+\paragraph{Troisième étape: construction de la clé privée.}
+Le receveur calcule l'entier $d \in \{1,\dots, n-1\}$
+tel que le reste de la division de $ed$ par $\varphi(n)$ est 1.
+Ceci se note aussi $ed \equiv 1 [\varphi(n)]$ qui se lie $ed$ est congru
+à 1 modulo $\varphi(n)$.
+La paire $(d,n)$ est la clé privée de décryptage.
+Elle est secrète et permet au receveur de décrypter tous les messages reçus
+et cryptés avec $(e,n)$.
+
+\begin{Exo}
+ Trouver la clé privée associée.
+\end{Exo}
+
+
+\paragraph{Quatrième étape: cryptage du message.}
+L’expéditeur peut crypter tout message écrit sous la forme
+d'un nombre $m$ appartenant à $\{1, \dots , n-1\}$ et qui est
+premier avec $n$.
+Le message codé est le reste $a$ de la division de $m^e$ par $n$.
+On a donc $m^e \equiv a [n]$, où $a \in \{1, \dots , n - 1\}$.
+
+\begin{Exo}
+\begin{enumerate}
+\item Montrer que l'expéditeur a la possibilité de crypter le message $m=59$.
+\item Construire le message crypté $a$ à l'aide de la clé publique.
+\end{enumerate}
+\end{Exo}
+
+\paragraph{Cinquième étape: décryptage du message.}
+Le receveur dispose de $a$ et de sa clé privée $(d,n)$.
+Pour décrypter $a$, il calcule le reste dans la division par $n$
+de $a^d$ (c.-à-d. $a^d [n]$).
+Si aucune erreur de calcul n'a été effectuée, c'est le message initial $m$.
+
+
+\begin{Exo}
+Décrypter
+ le message $a$ à l'aide de la clé privée. Il doit s'agir de $m$.
+\end{Exo}
+
+
+\subsection{Les points clés}
+L'algorithme RSA repose sur plusieurs points clés rencontrés successivement:
+\begin{itemize}
+\item la génération de deux grands nombres premiers $p$ et $q$ ;
+\item la multiplication de grands nombres : $pq$, $ed$,
+\item l'arithmétique modulaire;
+\item l'algorithme d'Euclide de génération de PGCD et son corollaire de Bézout;
+\item la factorisation, qui tant qu'elle n'est pas réalisable sur des grands nombres, garantit la sécurité du cryptage des données.
+\end{itemize}
+
+
+
+%\subsection{L'algorithme de RSA est correct}
+
+\section{Les incontournables théorèmes de Bézout et de
+ Gau{\ss}}
+
\begin{Prop}[Théorème de Bézout]
Deux entiers strictement positifs
$a$ et $b$ sont premiers entre eux, si et seulement s'il
et s'il est premier avec $b$, alors il divise $c$.
\end{Prop}
+
\begin{Exo}
-Faire la preuve de ce théorème
+Faire la preuve du théorème de Gau{\ss}.
\end{Exo}
\begin{Prop}[Fonction d'Euler]
suivante permet de trouver le valeur de la fonction d'Euler en un seul
produit:
\begin{equation}
-\varphi(pq)=(p-1)(q-1) \label{FEuler}
+\varphi(pq)=(p-1)(q-1). \label{FEuler}
\end{equation}
-
\end{Prop}
+
\begin{Exo}[Preuve de l'expression d'Euler]
On doit compter le cardinal des nombres de $\{1, 2, . . . , pq -1\}$ qui sont
premiers avec $pq$.
+
+
+
%Refaire cet exo avec 27x +8y = 1
\begin{Exo}
L'objectif est de résoudre l'équation $(E)$ $405x -120y =15$
-
-\begin{Exo}[Sujet du bac S Liban 2005]
-On rappelle le résultat suivant appelé petit théorème de Fermat.
-
-\emph{Si $p$ est un nombre premier et $a$ un entier non divisible par $p$,
- alors $a^{p-1}-1$ est un multiple de $p$.}
-\begin{enumerate}
-\item On considère l’équation $(E)$ : $109x-226y=1$ où $x$ et $y$
- sont des entiers relatifs.
-\begin{enumerate}
-\item Déterminer $109\land 226$.
- Que peut-on en conclure pour l'équation $(E)$?
-\item Montrer que l'ensemble des solutions de $(E)$
- est l'ensemble des couples de la forme
- $(141+226k ;68+109k)$, où $k$ appartient à $\Z$.
- En déduire qu'il existe un unique entier naturel non nul $d$
- inférieur ou égal à 226 et un unique entier naturel non nul $e$ tels que
- $109d =1+226 e$ (on précisera les valeurs des entiers $d$ et $e$).
-\end{enumerate}
-\item Démontrer que 227 est un nombre premier.
-\item On note $A=\{0,1,2,\dots,226\}$. On considère les deux fonctions
- $f$ et $g$ de $A$ dans $A$ définies de la manière suivante:
-\begin{itemize}
-\item A tout entier $a\in A$, $f$ associe le reste de
- la division euclidienne de $a^{109}$ par 227.
-\item A tout entier $a\in A$, $g$ associe le reste de la
- division euclidienne de $a^{141}$ par 227.
-\end{itemize}
+\begin{Exo}
+ Soit $p$ un nombre premier.
\begin{enumerate}
-\item Vérifier que $g(f(0))=0$ .
-\item Montrer que, quel que soit l'entier non nul $a$ de $A$ , $a^{226}-1$ est multiple de 227.
-\item En déduire que, quel que soit l'entier non nul $a$ de $A$,
-$g(f(a))=a$ . Que peut-on dire de $f(g(a))=a$?
-\end{enumerate}
+\item Calculer $\varphi(p^2)$.
+\item Est-ce que RSA fonctionnerait aussi avec l'entier $n = p^2$ à la place de $n=pq$?
\end{enumerate}
\end{Exo}
-\section{Arithmétique modulaire}
+
+
+\section{Congruence modulo}
\begin{Def}[Congruence modulo]
Soit $a$ et $b$ deux entiers relatifs.
\end{Exo}
\begin{Prop}
-Soit deux entiers naturels $a$ et $n$ tels que $a< n$.
+Soit deux entiers naturels $a$ et $n$ tels que $1< a< n$.
Si $a$ et $n$ sont premier entre eux,
alors il existe un unique $x \in \{1, \dots, n-1\}$ tel
que $ax \equiv 1[n]$.
\begin{itemize}
\item[\textbf{Existence.}]
Comme $a$ et $n$ sont premiers entre eux, d'après le théorème de Bézout,
-il exite $x$ et $y$ entiers tels que
+il existe $x$ et $y$ entiers tels que $ax+ny = 1$, soit encore $ax \equiv 1[n]$.
+\item [\textbf{Unicité.}]
+Supposons qu'il existe une seconde solution $x'\in \{1, \dots, n-1\}$ telle que
+$ax' \equiv 1[n]$. Donc $a(x-x') \equiv 0[n]$. Or $n$ est premier avec $a$.
+D'après le théorème de Gau{\ss}, $n$ divise donc $x-x'$.
+Or $x-x'\in \{-n+2,-n+3,\dots,-1,0,1, \dots, n-2\}$. Le seul nombre divisible par $n$ est 0 et donc $x=x'$.
\end{itemize}
\end{Proof}
+\begin{Exp}
+Trouvons les nombres $x$ tels que $7x+11$ soit multiple de 36. Dit autrement,
+résoudre l'équation $7x \equiv -11 [36]$.
+
+On cherche un \og inverse \fg{} de 7 c.-à-d. un nombre $t$, $1 < t < 35$
+tel que $7t \equiv 1 [36]$.
+Soit à résoudre $7t \equiv 1 [36]$ qui revient à trouver $t$ et $u$ tels
+que $7t -36u = 1$, soit encore les coefficient de Bézout relatifs à
+(7 et 36). On trouve successivement
+\begin{eqnarray*}
+36 & = & 7 \times 5 +1 \\
+7 & = & 7 \times 1 + 0 \\
+& \textrm{et donc}&\\
+1 & = & 36 - 7 \times 5
+\end{eqnarray*}
+et donc $t = -5$ (et $u=-1$).
+On en déduit $7x \equiv -11 [36]$ est équivalent à
+$(-5).7x \equiv (-5).-11 [36]$ soit encore
+$x \equiv 55 [36] \equiv 19 [36]$.
+\end{Exp}
+
+\begin{Exo}
+Trouver les entiers relatif $x$ tels que
+$261x +2$ soit multiple de 305.
+\end{Exo}
+
+
\begin{Exo}
\begin{enumerate}
-\item Démonter que $35 \equiv 1 [11]$
+\item Démonter que $3^5 \equiv 1 [11]$
\item En déduire que pour tous entiers naturels $k$ et $r$ on a
- $35k +r \equiv 3r [11]$.
+ $3^{5k +r} \equiv 3^r [11]$.
\item $n$ étant un entier naturel, quels sont les restes possibles
dans la division de $3^n$ par 11?
-\item Trouvez pour quelles valeurs de $n$, $3n + 7$ est divisible par 11
+\item Trouvez pour quelles valeurs de $n$, $3^n + 7$ est divisible par 11.
\end{enumerate}
\end{Exo}
+\begin{Exo}
+Soit $p$ un nombre premier tel que $p \equiv 3 [4]$.
+Soit $a$ un entier qui est un carré, modulo $p$:
+il existe $b$ tel que $a \equiv b^2 [p]$.
+Montrer que
+$a^{(p+1)/4}$ est une racine carré de $a$, modulo $p$.
+\end{Exo}
+
+
+
\begin{Exo}
On se place dans le contexte de cryptographie par RSA.
Démontrer que si la clé d'encryptage est $e < \varphi(n)$, alors
il existe une unique clé de décodage entre 1 et $\varphi(n)$.
\end{Exo}
-\begin{Prop}[Théorème d'Euler]
- Si $m<n$ est relativement premier avec $n$, alors
+\begin{Prop}[Théorème d'Euler]\label{th:Euler}
+Soit $n \in \N^*$ et $m$, $m<n$ un entier relativement premier avec $n$.
+Alors
\begin{equation}
m^{\varphi(n)}\equiv1 [n].
\end{equation}
\begin{Proof}
\begin{eqnarray*}
a^d & \equiv & (m^e)^d [n]\\
-& \equiv & m^{ed} [n] (\textrm{ réécriture})\\
-& \equiv & m^{k.\varphi(n)+1} [n] (\textrm{ définition de $d$})\\
-& \equiv & m^{k.\varphi(n)}m [n] (\textrm{ réécriture})\\
-& \equiv & (m^{\varphi(n)})^km [n] (\textrm{ réécriture})\\
-& \equiv & (1)^km [n] (\textrm{ théorème d'Euler})\\
-& \equiv & m [n] (\textrm{ réécriture})\\
+& \equiv & m^{ed} [n] \textrm{ (réécriture)}\\
+& \equiv & m^{k.\varphi(n)+1} [n] \textrm{ (définition de $d$)}\\
+& \equiv & m^{k.\varphi(n)}m [n] \textrm{ (réécriture)}\\
+& \equiv & (m^{\varphi(n)})^km [n] \textrm{ (réécriture)}\\
+& \equiv & (1)^km [n] \textrm{ (théorème d'Euler)}\\
+& \equiv & m [n] \textrm{ (réécriture)}\\
+\end{eqnarray*}
+\end{Proof}
+
+
+\begin{Exo}
+On considère l'algorithme suivant:
+on choisit deux nombres premiers $p$ et $q$
+distincts tels que
+$p \equiv 2 [3]$ et $s \equiv 2 [3]$.
+Soit $n = pq$.
+Alice veut envoyer un message à Bob.
+Comme dans RSA, son message est un nombre $m \in \ \{1, . . . , n - 1\}$
+tel que $m \land n = 1$
+Le message codé d'Alice est le résultat $a= m^3[n]$.
+Bob décode $a$ en calculant
+\[
+m' \equiv a^{d} [n] \textrm{ où $d=\dfrac{2(p-1)(q-1)+1}{3}$}
+\]
+Normalement $m$ doit être égal à $m'$.
+
+\begin{enumerate}
+\item Choisir $p=11$, $q=17$, $m=4$ puis construire le message codé ainsi que le message décodé.
+\item Montrer que $d$ est toujours un entier.
+\item Expliquer pourquoi $a$ et $m'$ ne sont pas divisibles par $n$.
+\item Montrer que Bob a bien décodé le message d’Alice.
+\end{enumerate}
+
+\end{Exo}
+
+
+\begin{Prop}[Petit théorème de Fermat]
+Si $p$ est un nombre premier et $a$ un entier
+alors $a^{p} \equiv a [p]$.
+\end{Prop}
+
+\begin{Proof}
+La preuve se fait par récurrence sur $a$.
+\begin{itemize}
+\item Pour $a=0$, c'est trivial.
+\item Supposons la formule établie pour $k=a$ et montrons qu'elle l'est aussi
+pour $k=a+1$.
+On remarque tout d'abord que pour chaque $k$, $0 < k < p$, le coefficient
+binomial $\binom{p}{k} = \dfrac{p!}{k!(p-k)!}$ est divisible par $p$, c.-à-d.
+$\binom{p}{k} \equiv 0 [p]$.
+On a alors successivement:
+\begin{eqnarray*}
+(k+1)^p &=& a^p +
+\binom{p}{1}a^{p-1}+\binom{p}{2}a^{p-2}+\dots +\binom{p}{p-1}a^{1}+1\\
+&\equiv& a^p +1 [p]\textrm{ (d'après la remarque sur les coeff. binomiaux)}\\\
+&\equiv& a +1 [p]\textrm{ (par hypothèse de récurrence).}\\\
\end{eqnarray*}
+\end{itemize}
\end{Proof}
+\begin{Prop}[Corrolaire du petit théorème de Fermat]
+Si $p$ est un nombre premier et $a$ un entier non divisible par $p$,
+alors $a^{p-1}-1$ est un multiple de $p$.
+\end{Prop}
+\begin{Proof}
+D'après le petit théorème de Fermat, $a^{p} \equiv a [p]$. Dit Autrement
+$p$ divise $a^{p} - a = a (a^{p-1}-1)$. Or $p$ est premier avec $a$ d'après les
+hypothèses. D'après le théorème de Gau{\ss}, $p$ divise $a^{p-1}-1$.
+\end{Proof}
+
+
+\begin{Exo}[Sujet du bac S Liban 2005]
+% On rappelle le résultat suivant appelé le corollaire du
+% petit théorème de Fermat.
+
+% \emph{Si $p$ est un nombre premier et $a$ un entier non divisible par $p$,
+% alors $a^{p-1}-1$ est un multiple de $p$.}
+\begin{enumerate}
+\item On considère l’équation $(E)$ : $109x-226y=1$ où $x$ et $y$
+ sont des entiers relatifs.
+\begin{enumerate}
+\item Déterminer $109\land 226$.
+ Que peut-on en conclure pour l'équation $(E)$?
+\item Montrer que l'ensemble des solutions de $(E)$
+ est l'ensemble des couples de la forme
+ $(141+226k ;68+109k)$, où $k$ appartient à $\Z$.
+ En déduire qu'il existe un unique entier naturel non nul $d$
+ inférieur ou égal à 226 et un unique entier naturel non nul $e$ tels que
+ $109d =1+226 e$ (on précisera les valeurs des entiers $d$ et $e$).
+\end{enumerate}
+\item Démontrer que 227 est un nombre premier.
+\item On note $A=\{0,1,2,\dots,226\}$. On considère les deux fonctions
+ $f$ et $g$ de $A$ dans $A$ définies de la manière suivante:
+\begin{itemize}
+\item A tout entier $a\in A$, $f$ associe le reste de
+ la division euclidienne de $a^{109}$ par 227.
+\item A tout entier $a\in A$, $g$ associe le reste de la
+ division euclidienne de $a^{141}$ par 227.
+\end{itemize}
+\begin{enumerate}
+\item Vérifier que $g(f(0))=0$ .
+\item Montrer que, quel que soit l'entier non nul $a$ de $A$ , $a^{226}-1$ est multiple de 227.
+\item En déduire que, quel que soit l'entier non nul $a$ de $A$,
+$g(f(a))=a$ . Que peut-on dire de $f(g(a))=a$?
+\end{enumerate}
+\end{enumerate}
+\end{Exo}
+
+
+
\subsection{Puissance de grands nombres}
+\begin{Exp}
+Calculons $666^{999}[13]$.
+On a successivement:
+\begin{eqnarray*}
+666^{999} & \equiv & (13\times 51 + 3)^{999} [13]\\
+ & \equiv & 3^{999} [13]\\
+ & \equiv & 3^{12\times83 +3} [13] \\
+ & \equiv & 3^3 \times (3^{12})^{83} [13] \\
+ & \equiv & 3^3 \times (1)^{83} [13] \textrm{(car $3^{12}\equiv 1 [13]$ d'après le corollaire du petit théorème de Fermat)}\\
+ & \equiv & 27 [13]\\
+ & \equiv & 1 [13]
+\end{eqnarray*}
+\end{Exp}
+
+
\begin{Exo}
-Montrer que l'entier naturel $n$ est premier si et seulement si
-$$(x +1) ^n \equiv x ^n +1[n].$$
+Calculer $2^{500} [13]$ et $26^{1000} [17]$.
\end{Exo}
+% \begin{Exo}
+% Montrer que si l'entier naturel $n$ est premier alors
+% $$(x +1)^n \equiv x^n +1[n].$$
+
+% On a même l'équivalence, cependant, l'autre sens est plus technique à démontrer.
+
+% \end{Exo}
+
+
+
+
+
\section{Génération de grands nombres premiers}
-Depuis Euclide, on sait qu'il y a une infinité de nombres premiers.
+Dans ce qui suit, on nomme $\Prem$ l'ensemble des nombres premiers.
+Depuis Euclide, on sait que $\Prem$ est de taille infinie.
Fermat avait cru donner une formule ne générant que des nombres premiers.
Il affirmait que pour tout $n \in \N$, le nombre
\begin{eqnarray}
F_n &= & 2^{2^n} +1
\end{eqnarray}
était premier. Or 641 divise $F_5$. Aujourd'hui, on pense que seuls
-les nombres de $F_0$ à $F_4$ sont premiers, les qutres étant composés.
+les nombres de $F_0$ à $F_4$ sont premiers.
-\subsection{Distribution des nombres premier parmi les entiers}
+\subsection{Distribution des nombres premiers parmi les entiers}
Même si on ne connaît pas de formule permettant de construire tous les
nombres premiers, tout n'est pas perdu puisque les nombres premiers
-ne sont pas si rares que cela. Le théorème suivant donne même la distribution
+ne sont pas si rares que cela. Le théorème suivant donne même
la proportion approximative des entiers inférieurs ou égaux à
$N$ qui sont premiers.
\begin{Prop}[Théorème des nombres premiers]
La fonction $\pi:\N \rightarrow \N$ associe
-à chaque nombre $n$ nombre d'entiers inférieurs ou égaux à $n$ qui sont
-premiers, soit $\pi(N) = |\{p \le N | p \textrm{premier}\}|$.
-Lorsque $n$ est grand, on a:
+à chaque nombre $N$ le nombre d'entiers inférieurs ou égaux à $N$ qui sont
+premiers, soit $\pi(N) = |\{p \le N | p \textrm{ premier}\}|$.
+Lorsque $N$ est grand, on a:
\begin{eqnarray}
\pi(N) &\approx& \dfrac{N}{\ln(N)}
\end{eqnarray}
ici.
Pour obtenir un entier de 100 chiffres, il suffit de considérer
-$N= 10^{100}$. Si on choisit au hasard un nombre $n$ dans $\N_{N}^{*}$,
+$N= 10^{100}$. Si on choisit au hasard un nombre dans $\N_{N}^{*}$,
la probabilité qu'il soit premier est:
\begin{eqnarray*}
\textrm{Prob}(n \textrm{ premier}) &\approx&
les multiples de 5 ne sont pas premiers!
\end{itemize}
On constate que si l'on tire au hasard un nombre (même de 100 chiffres),
-et que ce nombre se termine par$\{1,3,7,9\}$,
+parmi ceux qui se terminent par $\{1,3,7,9\}$ (ensemble noté $B$ par la suite)
la probabilité qu'il soit premier n'est pas infime. La solution au problème
de génération de nombres premiers repose sur la capacité ou non a disposer
d'un test efficace de primalité pour des grands nombres.
-Pour peut qu'on dispose d'un test de primalité rapide,
-
-
-il \og suffit \fg{}
-de tirer quelques nombres au hasard pour avoir
-
%% Attention ce tableau est généré par ailleurs
\begin{table}[ht]
\begin{center}
\hline
\end{tabular}
\end{center}
-\caption{Probabilités inverse d'obtenir un \label{Table:propPrem}}
+\caption{Probabilités inverse d'obtenir un nombre premier \label{Table:propPrem}}
\end{table}
+
+On considère comme expérience aléatoire le fait de tirer un nombre au hasard
+dans $B$. On a une probabilité $p$ que le nombre soit premier.
+Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre
+de fois où l'on a réalisé cette expérience avant d'obtenir un nombre premier.
+$X$ suit une loi géométrique de paramètre $p$:
+\[
+P(X=k) = (1-p)^{k-1}p.
+\]
+Or l'espérance d'une variable aléatoire
+suivant une loi géométrique de paramètre $p$ est $\frac{1}{p}$.
+Pour 100 chiffres, il faudra en moyenne 92 tirages pour générer un
+nombre premier.
+
+Il \og reste \fg{} à fournir une méthode efficace pour décider
+de la primalité d'un entier, ce que présente la section suivante.
+
+
\subsection{Tests de primalité}
+Chaque section donne un algorithme permettant de décider si un entier $p$ fourni
+en entrée est premier ou non.
+
+\subsubsection{Méthode naïve}
+On vérifie s'il est divisible par l'un des entiers pairs compris entre 2 et
+$\sqrt{p}$. Si la réponse est négative, alors $p$ est premier,
+sinon il est composé. Pour améliorer la performance de cette méthode, on peut
+calculer à l'avance une liste des nombres premiers inférieurs à $\sqrt{p}$
+(avec un crible d'Ératosthène), pour ne tester que ceux-ci.
+
+Par exemple, pour tester un nombre inférieur à 39 000,
+il suffit de vérifier qu'il n'est pas multiple d'un nombre premiers inférieur
+à 198 (car $198^2 = 39 204$); on doit faire au maximum 45 divisions.
+
+\subsubsection{Tests probabilistes}
+
+% \begin{Prop}[Corrolaire du petit théorème de Fermat]
+% Si $p$ est un nombre premier et $a$ un entier non divisible par $p$,
+% alors $a^{p-1}-1$ est un multiple de $p$, c'est-à-dire:
+% \begin{equation}
+% \forall a\in \N \forall p \in \N ( p \in \Prem \textrm{ et } a \not\equiv 0[p]
+% \Rightarrow a^{p-1}\equiv 1 [p]).
+% \label{petittheremeFermat}
+% \end{equation}
+% \end{Prop}
+
+
+\paragraph{Test de Fermat.}
+Le petit théorème de Fermat est une implication et non pas une équivalence:
+\begin{itemize}
+\item si on prend un $p\in \N$ et un $a \in\N$ quelconque,
+ alors si $p$ est premier et $a$ non divisible par $p$, alors on peut en déduire que $a^{p-1}\equiv 1 [p]$;
+\item rien ne dit que si on a $a^{p-1}\equiv 1 [p]$, alors $p$ est premier et $a$ non divisible par $p$.
+\item rien ne dit non plus que que si on a $a^{p-1}\equiv 1 [p]$ et que $a$ non divisible par $p$, alors $p$ est premier.
+\end{itemize}
+Cependant si on effectue un grand nombre de fois l'expérience de choisir
+$a \in \N_{n-1}^{*}$ et qu'à chaque fois on établit $a^{p-1}\equiv 1 [p]$,
+alors $p$ est probablement premier.
+Cependant ce n'est pas toujours le cas: par exemple $2^{340} \equiv 1 [341]$ et
+pourtant $341 = 11 \times 31$.
+
+\begin{Exo}
+Donner le code de la fonction \verb+testPrimaliteFermat(n,t)+ qui retourne
+\verb+True+ si \verb+t+ evaluations de $\texttt{a}^{\texttt{n}-1}$ ont retourné $ 1 [\texttt{n}]$
+pour un $a \in \N_{n-1}^{*}$ et \verb+False+ sinon.
+\end{Exo}
+\paragraph{Test de Miller-Rabin}
+
+Soit $n$ un nombre premier impair,
+alors nous pouvons écrire $n - 1$ comme $2^s \times d$,
+où $s$ est un entier et $d$ est impair.
+Alors, pour tout entier naturel $a \in \N_{n-1}^*$
+tel que $a$ est premier avec $n$,
+une des conditions suivantes doit être vérifiée:
+\begin{enumerate}
+\item $a^{d} \equiv 1 [n]$, ou bien
+\item $a^{2^r\cdot d} \equiv -1 [n]$ pour un certain $0 \le r \le s-1$.
+\end{enumerate}
+La preuve de cette propriété est admise
+
+Le test de primalité de Miller-Rabin est basé sur les équations précédentes.
+Si on choisit un grand nombre $t$ de fois $a \in \N_{n-1}^*$
+et qu'on obtienne à chaque fois
+\begin{itemize}
+\item $a^{d} \equiv 1 [n]$ ou
+\item $a^{2^r\cdot d} \equiv -1 [n]$ pour un certain $0 \le r \le s-1$,
+\end{itemize}
+alors le nombre $n$ est probablement premier.
+Dans le cas contraire ($a^{d} \not\equiv 1 [n]$ et
+$a^{2^r \cdot d} \not\equiv -1 [n]$ pour tous les $0 \le r \le s-1$),
+$n$ n'est pas premier.
+
+\begin{Exo}
+Donner le code de la fonction \verb+testPrimaliteMillerRabin(n,t)+.
+\end{Exo}
+
+
\section{Factorisation}
+L'objectif de cette partie est de montrer qu'on peut factoriser $n$
+sous la forme de $p\times q$ si ces deux derniers nombres ont été mal choisis.
+
+
+\begin{Exo}
+On considère que l'étape 1 de l'algorithme RSA a généré deux nombre premiers $p$ et $q$ proches tels que $p>q$. On définit $t = \frac{p+q}{2}$ et $s = \frac{p-q}{2}$.
+Montrer que
+\begin{enumerate}
+\item le produit $n = pq = t^2 - s^2$;
+\item l'entier $t$ est légèrement supérieur à la racine carrée de $n$ et que $s $ est petit;
+\item l'on peut utiliser ces informations pour factoriser $n$ c.-à-d. retrouver $p$ et $q$;
+\item Factoriser 896861 et 318040531. % res=2953*3037 res = 17729*17939
+\item Factoriser 9623827 et 343570291. % res=(3259, 2953) res = (19379, 17729)
+\end{enumerate}
+\end{Exo}
+
+\begin{TP}
+L'objectif de ce TP est d'implanter toute la démarche RSA
+avec les éléments vus en TD.
+% Tout ceci est à synthétiser dans un document
+% libreoffice à renvoyer à l'adresse \url{couchot@femto-st.fr} avec pour sujet
+% RSA-NOM1-NOM2-TDX.
+\begin{enumerate}
+\item Quel est le plus petit nombre à trois chiffres?
+ Quel est le plus grand nombre à trois chiffres?
+ Comment générer aléatoirement un nombre qui a trois chiffres en utilisant
+ \verb+randint+?
+\item Même question que la question précédente, en remplaçant \og trois\fg{}
+ par $M$.
+\item On a vu qu'un nombre se terminant par 0,2,4,5,6,8 n'est jamais premier.
+ Comment générer un nombre qui a $N$ chiffres, dont le dernier chiffre
+ n'est pas dans la liste précédente.
+\item Pour affirmer qu'un nombre de 100 chiffres
+ est premier, on invoquera le test de Miller-Rabin avec 50
+ valeurs testées différentes $a$. Si toutes retournent qu'il est
+ probablement premier, on considérera qu'il l'est.
+ Construire la fonction \verb+genereUnNombrePremier(N)+ qui retourne
+ un nombre probablement premier selon cette méthode.
+ %Copier-coller cette fonction dans votre synthèse.
+\item A l'aide de l'agorithme précédent, générer deux nombres premiers
+ $p$ et $q$ de 100 chiffres.
+ %Copier et coller ces deux nombres dans votre synthèse.
+ Calculer $n=pq$ puis \verb+phi+ telle
+ que \verb+phi=(p-1)*(q-1)+.
+
+\item Contruire la partie $e$ de la clé publique $(e,n)$
+ comme un nombre premier de trente chiffres par exemple.
+ Si elle est première avec \verb+phi+, c'est une bonne clé, sinon on
+ regénere un nombre premier de trente chiffres.
+ %Copier et coller $e$ dans votre synthèse.
+
+\item Donner le code la fonction \verb+bezout(+$a$,$b$\verb+)+
+qui retourne $x$ et $y$ tels que $x.a + y.b = a \land b$.
+
+% \begin{verbatim}
+% def bezout(a,b):
+% if b==0: return [1,0]
+% else:
+% uv= bezout(b,a%b)
+% return [uv[1],uv[0]-uv[1]*(a/b)]
+% \end{verbatim}
+
+Se servir de cette fonction pour générer la partie $d$ de
+la clé privée $(d,n)$. Attention, faire en sorte que $0 \le d \le$\verb+phi+.
+%Copier-coller les instructions permettant d'obtenir $d$.
+%Copier-coller la valeur de $d$.
+
+\item Chiffrer à l'aide de la clé publique $(e,n)$
+ le message $m=3402752281514000316845$
+ qui est un numéro de carte bancaire comprenant les 16 chiffres,
+ la date de validité et le code de sécurité. Le mesage chiffré est $a$.
+ %Copier-coller l'instructions permettant d'obtenir $a$.
+ %Copier-coller la valeur de $a$.
+
+
+\item Déchiffrer $a$ à l'aide de la clé privée.
+ Vérifier que vous obtenez bien $m$ à nouveau.
+ %Copier-coller l'instructions permettant de déchiffrer $a$.
+\end{enumerate}
+
+
+
+\end{TP}
+
-\section{Conclusion}
-cf SMATH paragraphe applications p 223.
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+% \section{Conclusion}
+% cf SMATH paragraphe applications p 223.
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