On remonte les équations une à une en démarrant de (\ref{eq:def:rnm2}).
\begin{eqnarray}
r_{n} & = & r_{n-2} - r_{n-1} \times q_{n} \nonumber \\
- & = & r_{n-2} - (r_{n-3} - r_{n-2} \times q_{n-1}) \times q_{n} (\textrm{on remplace $r_{n-1}$ par sa def dans (\ref{eq:def:rnm3})}) \nonumber\\
- & = & r_{n-2}. (1 + q_{n-1}. q_{n}) - r_{n-3}. q_{n} (\textrm{factorisation})\nonumber \\
- & = & (r_{n-4} - r_{n-3} \times q_{n-2}). (1 + q_{n-1}. q_{n}) - r_{n-3}. q_{n}(\textrm{on remplace $r_{n-2}$ par sa def dans (\ref{eq:def:rnm4})}) \nonumber \\
+ & = & r_{n-2} - (r_{n-3} - r_{n-2} \times q_{n-1}) \times q_{n} \textrm{ (on remplace $r_{n-1}$ par son expression tirée de (\ref{eq:def:rnm3})}) \nonumber\\
+ & = & r_{n-2}. (1 + q_{n-1}. q_{n}) - r_{n-3}. q_{n} \textrm{ (factorisation)}\nonumber \\
+ & = & (r_{n-4} - r_{n-3} \times q_{n-2}). (1 + q_{n-1}. q_{n}) - r_{n-3}. q_{n}\textrm{ (on remplace $r_{n-2}$ par son expression tirée de (\ref{eq:def:rnm4})}) \nonumber \\
& \vdots & \nonumber \\
-& = & \ldots (\textrm{on remplace $r_{1}$ par sa def dans (\ref{eq:def:r1})}) \nonumber\\
+& = & \ldots \textrm{ (on remplace $r_{1}$ par son expression tirée de (\ref{eq:def:r1})}) \nonumber\\
& = &ax + by \nonumber
\end{eqnarray}
\end{Proof}
suivante permet de trouver le valeur de la fonction d'Euler en un seul
produit:
\begin{equation}
-\varphi(pq)=(p-1)(q-1) \label{FEuler}
+\varphi(pq)=(p-1)(q-1). \label{FEuler}
\end{equation}
-
\end{Prop}
+
\begin{Exo}[Preuve de l'expression d'Euler]
On doit compter le cardinal des nombres de $\{1, 2, . . . , pq -1\}$ qui sont
premiers avec $pq$.
+
+
+
%Refaire cet exo avec 27x +8y = 1
\begin{Exo}
L'objectif est de résoudre l'équation $(E)$ $405x -120y =15$
+\begin{Exo}
+ Soit $p$ un nombre premier.
+\begin{enumerate}
+\item Calculer $\varphi(p^2)$.
+\item Est-ce que RSA fonctionnerait aussi avec l'entier $n = p^2$ à la place de $n=pq$?
+\end{enumerate}
+\end{Exo}
+
\begin{Exo}[Sujet du bac S Liban 2005]
On rappelle le résultat suivant appelé le corollaire du
-\section{Arithmétique modulaire}
+\section{Congruence modulo}
\begin{Def}[Congruence modulo]
Soit $a$ et $b$ deux entiers relatifs.
\end{Exo}
\begin{Prop}
-Soit deux entiers naturels $a$ et $n$ tels que $a< n$.
+Soit deux entiers naturels $a$ et $n$ tels que $1< a< n$.
Si $a$ et $n$ sont premier entre eux,
alors il existe un unique $x \in \{1, \dots, n-1\}$ tel
que $ax \equiv 1[n]$.
\begin{itemize}
\item[\textbf{Existence.}]
Comme $a$ et $n$ sont premiers entre eux, d'après le théorème de Bézout,
-il existe $x$ et $y$ entiers tels que
-PREUVE A FINIR
-
-
+il existe $x$ et $y$ entiers tels que $ax+ny = 1$, soit encore $ax \equiv 1[n]$.
+\item [\textbf{Unicité.}]
+Supposons qu'il existe une seconde solution $x'\in \{1, \dots, n-1\}$ telle que
+$ax' \equiv 1[n]$. Donc $a(x-x') \equiv 0[n]$. Or $n$ est premier avec $a$.
+D'après le théorème de Gau{\ss}, $n$ divise donc $x-x'$.
+Or $x-x'\in \{-n+2,-n+3,\dots,-1,0,1, \dots, n-2\}$. Le seul nombre divisible par $n$ est 0 et donc $x=x'$.
\end{itemize}
\end{Proof}
36 & = & 7 \times 5 +1 \\
7 & = & 7 \times 1 + 0 \\
& \textrm{et donc}&\\
-1 & = & 36 - 7 \time 5
+1 & = & 36 - 7 \times 5
\end{eqnarray*}
et donc $t = -5$ (et $u=-1$).
On en déduit $7x \equiv -11 [36]$ est équivalent à
\begin{Exo}
\begin{enumerate}
-\item Démonter que $35 \equiv 1 [11]$
+\item Démonter que $3^5 \equiv 1 [11]$
\item En déduire que pour tous entiers naturels $k$ et $r$ on a
- $35k +r \equiv 3r [11]$.
+ $3^{5k +r} \equiv 3^r [11]$.
\item $n$ étant un entier naturel, quels sont les restes possibles
dans la division de $3^n$ par 11?
-\item Trouvez pour quelles valeurs de $n$, $3n + 7$ est divisible par 11
+\item Trouvez pour quelles valeurs de $n$, $3^n + 7$ est divisible par 11.
\end{enumerate}
\end{Exo}
\end{Exo}
\begin{Prop}[Théorème d'Euler]\label{th:Euler}
- Si $m<n$ est relativement premier avec $n$, alors
+Soit $n \in \N^*$ et $m$, $m<n$ un entier relativement premier avec $n$.
+Alors
\begin{equation}
m^{\varphi(n)}\equiv1 [n].
\end{equation}
\begin{Proof}
\begin{eqnarray*}
a^d & \equiv & (m^e)^d [n]\\
-& \equiv & m^{ed} [n] (\textrm{ réécriture})\\
-& \equiv & m^{k.\varphi(n)+1} [n] (\textrm{ définition de $d$})\\
-& \equiv & m^{k.\varphi(n)}m [n] (\textrm{ réécriture})\\
-& \equiv & (m^{\varphi(n)})^km [n] (\textrm{ réécriture})\\
-& \equiv & (1)^km [n] (\textrm{ théorème d'Euler})\\
-& \equiv & m [n] (\textrm{ réécriture})\\
+& \equiv & m^{ed} [n] \textrm{ (réécriture)}\\
+& \equiv & m^{k.\varphi(n)+1} [n] \textrm{ (définition de $d$)}\\
+& \equiv & m^{k.\varphi(n)}m [n] \textrm{ (réécriture)}\\
+& \equiv & (m^{\varphi(n)})^km [n] \textrm{ (réécriture)}\\
+& \equiv & (1)^km [n] \textrm{ (théorème d'Euler)}\\
+& \equiv & m [n] \textrm{ (réécriture)}\\
\end{eqnarray*}
\end{Proof}
+\begin{Exo}
+On considère l'algorithme suivant:
+on choisit deux nombres premiers $p$ et $q$
+distincts tels que
+$p \equiv 2 [3]$ et $s \equiv 2 [3]$.
+Soit $n = pq$.
+Alice veut envoyer un message à Bob.
+Comme dans RSA, son message est un nombre $m \in \ \{1, . . . , n - 1\}$
+tel que $m \land n = 1$
+Le message codé d'Alice est le résultat $a= m^3[n]$.
+Bob décode $a$ en calculant
+\[
+m' \equiv a^{d} [n] \textrm{ où $d=\dfrac{2(p-1)(q-1)+1}{3}$}
+\]
+Normalement $m$ doit être égal à $m'$.
+
+\begin{enumerate}
+\item Choisir $p=11$, $q=17$, $m=4$ puis construire le message codé ainsi que le message décodé.
+\item Montrer que $d$ est toujours un entier.
+\item Expliquer pourquoi $a$ et $m'$ ne sont pas divisibles par $n$.
+\item Montrer que Bob a bien décodé le message d’Alice.
+\end{enumerate}
+
+\end{Exo}
+
+
\begin{Prop}[Petit théorème de Fermat]
Si $p$ est un nombre premier et $a$ un entier
alors $a^{p} \equiv a [p]$.
\item Supposons la formule établie pour $k=a$ et montrons qu'elle l'est aussi
pour $k=a+1$.
On remarque tout d'abord que pour chaque $k$, $0 < k < p$, le coefficient
-binomial $\binom{p}{k} = \frac{p!}{k!(p-k)!}$ est divisible par $p$, c.-à-d.
+binomial $\binom{p}{k} = \dfrac{p!}{k!(p-k)!}$ est divisible par $p$, c.-à-d.
$\binom{p}{k} \equiv 0 [p]$.
On a alors successivement:
\begin{eqnarray*}
(k+1)^p &=& a^p +
\binom{p}{1}a^{p-1}+\binom{p}{2}a^{p-2}+\dots +\binom{p}{p-1}a^{1}+1\\
&\equiv& a^p +1 [p]\textrm{ (d'après la remarque sur les coeff. binomiaux)}\\\
-&\equiv& a +1 [p]\textrm{ (par hypothèse de récurrence)}\\\
+&\equiv& a +1 [p]\textrm{ (par hypothèse de récurrence).}\\\
\end{eqnarray*}
+\end{itemize}
\end{Proof}
\begin{Prop}[Corrolaire du petit théorème de Fermat]
Si $p$ est un nombre premier et $a$ un entier non divisible par $p$,
-alors $a^{p-1}-1$ est un multiple de $p$,
+alors $a^{p-1}-1$ est un multiple de $p$.
\end{Prop}
\begin{Proof}
-D'après le petit théorèmede Fermat, $a^{p} \equiv a [p]$. Dit Autrement
-$p$ divise $a^{p} - a = a (a^{p-1}-1)$. Or $p$ ne divise pas $a$ d'après les
+D'après le petit théorème de Fermat, $a^{p} \equiv a [p]$. Dit Autrement
+$p$ divise $a^{p} - a = a (a^{p-1}-1)$. Or $p$ est premier avec $a$ d'après les
hypothèses. D'après le théorème de Gau{\ss}, $p$ divise $a^{p-1}-1$.
\end{Proof}
666^{999} & \equiv & (13\times 51 + 3)^{999} [13]\\
& \equiv & 3^{999} [13]\\
& \equiv & 3^{12\times83 +3} [13] \\
- & \equiv & 3^3 \time (3^{12})^{83} [13] \\
- & \equiv & 3^3 \time (1)^{83} [13] \textrm{(car $3^{12}\equiv 1 [13]$ d'après le corollaire du petit théorème de Fermat)}\\
+ & \equiv & 3^3 \times (3^{12})^{83} [13] \\
+ & \equiv & 3^3 \times (1)^{83} [13] \textrm{(car $3^{12}\equiv 1 [13]$ d'après le corollaire du petit théorème de Fermat)}\\
& \equiv & 27 [13]\\
& \equiv & 1 [13]
\end{eqnarray*}
\end{Exp}
+
\begin{Exo}
-Montrer que l'entier naturel $n$ est premier si et seulement si
-$$(x +1) ^n \equiv x ^n +1[n].$$
+Calculer $2^{500} [13]$ et $26^{1000} [17]$.
\end{Exo}
+\begin{Exo}
+Montrer que si l'entier naturel $n$ est premier alors
+$$(x +1)^n \equiv x^n +1[n].$$
+On a même l'équivalence, cependant, l'autre sens est plus technique à démontrer.
-\begin{Exo}
-Calculer $2^{500} [13]$ et $26^{1000} [17]$.
\end{Exo}
+
+
+
\section{Génération de grands nombres premiers}
-Dans ce qui suit, on nomme $\Prem$ l'ensemble des nombrs premiers.
+Dans ce qui suit, on nomme $\Prem$ l'ensemble des nombres premiers.
Depuis Euclide, on sait que $\Prem$ est de taille infinie.
Fermat avait cru donner une formule ne générant que des nombres premiers.
Il affirmait que pour tout $n \in \N$, le nombre
F_n &= & 2^{2^n} +1
\end{eqnarray}
était premier. Or 641 divise $F_5$. Aujourd'hui, on pense que seuls
-les nombres de $F_0$ à $F_4$ sont premiers, les qutres étant composés.
+les nombres de $F_0$ à $F_4$ sont premiers.
-\subsection{Distribution des nombres premier parmi les entiers}
+\subsection{Distribution des nombres premiers parmi les entiers}
Même si on ne connaît pas de formule permettant de construire tous les
nombres premiers, tout n'est pas perdu puisque les nombres premiers
-ne sont pas si rares que cela. Le théorème suivant donne même la distribution
+ne sont pas si rares que cela. Le théorème suivant donne même
la proportion approximative des entiers inférieurs ou égaux à
$N$ qui sont premiers.
\begin{Prop}[Théorème des nombres premiers]
La fonction $\pi:\N \rightarrow \N$ associe
-à chaque nombre $n$ nombre d'entiers inférieurs ou égaux à $n$ qui sont
-premiers, soit $\pi(N) = |\{p \le N | p \textrm{premier}\}|$.
+à chaque nombre $N$ le nombre d'entiers inférieurs ou égaux à $N$ qui sont
+premiers, soit $\pi(N) = |\{p \le N | p \textrm{ premier}\}|$.
Lorsque $n$ est grand, on a:
\begin{eqnarray}
\pi(N) &\approx& \dfrac{N}{\ln(N)}
\hline
\end{tabular}
\end{center}
-\caption{Probabilités inverse d'obtenir un \label{Table:propPrem}}
+\caption{Probabilités inverse d'obtenir un nombre premier \label{Table:propPrem}}
\end{table}
\subsection{Tests de primalité}
-Chque section donne un algorithme permettant de décider si un entier $p$ fourni
+Chaque section donne un algorithme permettant de décider si un entier $p$ fourni
en entrée est premier ou non.
\subsubsection{Méthode naïve}
(avec un crible d'Ératosthène), pour ne tester que ceux-ci.
Par exemple, pour tester un nombre inférieur à 39 000,
-il suffit de vérifier qu'il nest pas multiple d'un nombre premiers inférieur
+il suffit de vérifier qu'il n'est pas multiple d'un nombre premiers inférieur
à 198 (car $198^2 = 39 204$); on doit faire au maximum 45 divisions.
\subsubsection{Tests probabilistes}
\item rien ne dit non plus que que si on a $a^{p-1}\equiv 1 [p]$ et que $a$ non divisible par $p$, alors $p$ est premier.
\end{itemize}
Cependant si on effectue un grand nombre de fois l'expérience de choisir
-$a \in \N_{n-1}^{*}$ et qu'à chaque foit on établit $a^{p-1}\equiv 1 [p]$,
+$a \in \N_{n-1}^{*}$ et qu'à chaque fois on établit $a^{p-1}\equiv 1 [p]$,
alors $p$ est probablement premier.
Cependant ce n'est pas toujours le cas: par exemple $2^{340} \equiv 1 [341]$ et
pourtant $341 = 11 \times 31$.
\begin{Exo}
-Donner le code de la fonction \verb+testPrimaliteFermat(n,t)+ qui retourne \verb+True+ si \verb+t+ evaluations de $\texttt{a}^{\texttt{p}-1}\equiv 1 [\texttt{p}]$ pour un
+Donner le code de la fonction \verb+testPrimaliteFermat(n,t)+ qui retourne
+\verb+True+ si \verb+t+ evaluations de $\texttt{a}^{\texttt{p}-1}$ on retourné $ 1 [\texttt{p}]$
+pour un $a \in \N_{n-1}^{*}$ et \verb+False+ sinon.
\end{Exo}
-\paragrpah{Test de Miller-Rabin}
+\paragraph{Test de Miller-Rabin}
-\section{Factorisation}
+Soit $n$ un nombre premier impair,
+alors nous pouvons écrire $n - 1$ comme $2^s \times d$,
+où $s$ est un entier et $d$ est impair.
+Alors, pour tout entier naturel $a \in \N_{n-1}^*$
+tel que $a$ est premier avec $n$,
+une des conditions suivantes doit être vérifiée:
+\begin{enumerate}
+\item $a^{d} \equiv 1 [n]$, ou bien
+\item $a^{2^r\cdot d} \equiv -1 [n]$ pour un certain $0 \le r \le s-1$.
+\end{enumerate}
+La preuve de cette propriété est admise
+
+Le test de primalité de Miller-Rabin est basé sur les équations précédentes.
+Si on choisit un grand nombre $t$ de fois $a \in \N_{n-1}^*$
+et qu'on obtienne à chaque fois
+\begin{itemize}
+\item $a^{d} \equiv 1 [n]$ ou
+\item $a^{2^r\cdot d} \equiv -1 [n]$ pour un certain $0 \le r \le s-1$,
+\end{itemize}
+alors le nombre $n$ est probablement premier.
+Dans le cas contraire ($a^{d} \not\equiv 1 [n]$ et
+$a^{2^r \cdot d} \not\equiv -1 [n]$ pour tous les $0 \le r \le s-1$),
+$n$ n'est pas premier.
+\begin{Exo}
+Donner le code de la fonction \verb+testPrimaliteMillerRabin(n,t)+.
+\end{Exo}
+
+
+\section{Factorisation}
+L'objectif de cette partie est de montrer qu'on peut factoriser $n$
+sous la forme de $p\times q$ si ces deux derniers nombres ont été mal choisis.
\begin{Exo}
-On considère que l'étape 1 de l'algorithme RSA a généré deux nombre premiers $p$ et $q$ tels que $p>q$. On definit $t = \frac{p+q}{2}$ et $s = \frac{p−q}{2}$.
+On considère que l'étape 1 de l'algorithme RSA a généré deux nombre premiers $p$ et $q$ tels que $p>q$. On définit $t = \frac{p+q}{2}$ et $s = \frac{p-q}{2}$.
Montrer que
\begin{enumerate}
-\item le produit $n = pq = t^2 − s^2$;
+\item le produit $n = pq = t^2 - s^2$;
\item l'entier $t$ est légèrement supérieur à la racine carrée de $n$ et que $s $ est petit;
-\item l'on peut utiliser ces informations pour factoriser $n$ c.-à-d. retrouver $p$ et $q$.
-\item Factoriser 9623827 et 343570291, % res=2953*3259 res = 17729*19379
+\item l'on peut utiliser ces informations pour factoriser $n$ c.-à-d. retrouver $p$ et $q$;
+\item Factoriser 9623827 et 343570291. % res=2953*3259 res = 17729*19379
\end{enumerate}
\end{Exo}
-\section{Conclusion}
-cf SMATH paragraphe applications p 223.
\ No newline at end of file
+% \section{Conclusion}
+% cf SMATH paragraphe applications p 223.
\ No newline at end of file
