+\section{L'algorithme RSA}
+
+\subsection{Les étapes détaillées de l'algorithme}
+
+On rappelle qu'un système cryptographique à clé publique est
+initialisé par le receveur, c.-à-d. celui qui veut recevoir des messages de
+manière sure.
+
+\paragraph{Première étape: choix des deux nombres $p$ et $q$.}
+Le receveur choisit deux grands nombres premiers
+$p$ et $q$ et calcule $n = pq$. Puis il calcule $\varphi(n)$,
+où $\varphi : \N^* \rightarrow \N^* $ est la \emph{fonction d'Euler}
+L'entier $\varphi(n)$ est le nombre d'entiers
+dans $\{1, 2, \dots , n -1 \}$ qui sont premiers avec $n$.
+
+\begin{Exo}
+Le receveur choisit $p=7$, $q=13$.
+Construire l'ensemble des entiers qui sont premiers avec $n=pq$
+et en déduire que $\varphi(91)=72$.
+\end{Exo}
+
+
+\paragraph{Deuxième étape: choix de la clé publique.}
+Le receveur choisit $e \in
+\{1, \dots , n-1\}$ premier avec $\varphi(n)$.
+La clé publique est la paire $(e,n)$.
+Chaque expéditeur
+va s'en servir pour crypter son message à destination de ce receveur.
+Le cryptage est détaillé
+ à la quatrième étape ci-dessous.
+
+\begin{Exo}
+Montrer que $(29,91)$ est un candidat acceptable de clé publique.
+\end{Exo}
+
+\paragraph{Troisième étape: construction de la clé privée.}
+Le receveur calcule l'entier $d \in \{1,\dots, n-1\}$
+tel que le reste de la division de $ed$ par $\varphi(n)$ est 1.
+Ceci se note aussi $ed \equiv 1 [\varphi(n)]$ qui se lie $ed$ est congru
+à 1 modulo $\varphi(n)$.
+La paire $(d,n)$ est la clé privée de décryptage.
+Elle est secrète et permet au receveur de décrypter tous les messages reçus
+et cryptés avec $(e,n)$.
+
+\begin{Exo}
+ Trouver la clé privée associée.
+\end{Exo}
+
+
+\paragraph{Quatrième étape: cryptage du message.}
+L’expéditeur peut crypter tout message écrit sous la forme
+d'un nombre $m$ appartenant à $\{1, \dots , n-1\}$ et qui est
+premier avec $n$.
+Le message codé est le reste $a$ de la division de $m^e$ par $n$.
+On a donc $m^e \equiv a [n]$, où $a \in \{1, \dots , n - 1\}$.
+
+\begin{Exo}
+\begin{enumerate}
+\item Montrer que l'expéditeur a la possibilité de crypter le message $m=59$.
+\item Construire le message crypté $a$ à l'aide de la clé publique.
+\end{enumerate}
+\end{Exo}
+
+\paragraph{Cinquième étape: décryptage du message.}
+Le receveur dispose de $a$ et de sa clé privée $(d,n)$.
+Pour décrypter $a$, il calcule le reste dans la division par $n$
+de $a^d$ (c.-à-d. $a^d [n]$).
+Si aucune erreur de calcul n'a été effectuée, c'est le message initial $m$.
+
+
+\begin{Exo}
+Décrypter
+ le message $a$ à l'aide de la clé privée. Il doit s'agir de $m$.
+\end{Exo}
+
+
+\subsection{Les points clés}
+L'algorithme RSA repose sur plusieurs points clés rencontrés successivement:
+\begin{itemize}
+\item la génération de deux grands nombres premiers $p$ et $q$ ;
+\item la multiplication de grands nombres : $pq$, $ed$,
+\item l'arithmétique modulaire;
+\item l'algorithme d'Euclide de génération de PGCD et son corollaire de Bézout;
+\item la factorisation, qui tant qu'elle n'est pas réalisable sur des grands nombres, garantit la sécurité du cryptage des données.
+\end{itemize}
+
+
+
+%\subsection{L'algorithme de RSA est correct}
+
+\section{Les incontournables théorèmes de Bézout et de
+ Gau{\ss}}
