à la figure~\ref{Fig:schemageneral}.
\begin{figure}[ht]
\begin{center}
+%\includegraphics[scale=0.5]{schemacrypto.pdf}
\includegraphics[scale=0.5]{schemacrypto.eps}
\end{center}
\caption{Schéma général d'une méthode de cryptage/décryptage}\label{Fig:schemageneral}
\begin{eqnarray}
a &=& b \times q_1 +r_1 \label{eq:def:r1} \\
-b &=& r_1 \times q_2 +r_2 \\
-r_1 &=& r_2 \times q_3 +r_3 \\
+b &=& r_1 \times q_2 +r_2 \nonumber \\
+r_1 &=& r_2 \times q_3 +r_3 \nonumber\\
& \vdots & \nonumber\\
r_{n-4} & = & r_{n-3} \times q_{n-2} + r_{n-2} \label{eq:def:rnm4} \\
r_{n-3} & = & r_{n-2} \times q_{n-1} + r_{n-1} \label{eq:def:rnm3} \\
r_{n-2} & = & r_{n-1} \times q_{n} + r_{n} \label{eq:def:rnm2}\\
-r_{n-1} & = & r_{n} \times q_{n+1} + 0
+r_{n-1} & = & r_{n} \times q_{n+1} + 0 \nonumber
\end{eqnarray}
& = & (r_{n-4} - r_{n-3} \times q_{n-2}). (1 + q_{n-1}. q_{n}) - r_{n-3}. q_{n}(\textrm{on remplace $r_{n-2}$ par sa def dans (\ref{eq:def:rnm4})}) \nonumber \\
& \vdots & \nonumber \\
& = & \ldots (\textrm{on remplace $r_{1}$ par sa def dans (\ref{eq:def:r1})}) \nonumber\\
-& = ax + by \nonumber
+& = &ax + by \nonumber
\end{eqnarray}
-
\end{Proof}
\begin{Def}[Nombres premiers entre eux]
-Les deux entiers relatifs $a$ et $b$ sont premiers entre eux s
+Les deux entiers relatifs $a$ et $b$ sont premiers entre eux si
leur plus grand commun diviseur est égal à 1.
\end{Def}
\item[\textbf{Si.}]
Supposons qu'il existe un couple $(x,y)$
d'entiers relatifs vérifiant $ax + by = 1$ et $d = a \land b$.
- Le $d$ divise $ax$ et $d$ divise $by$. Donc $d$ divise
+ L'entier $d$ divise les produits $ax$ et $by$. Donc $d$ divise
$ax + by$ et donc $d$ est 1.
\end{itemize}
\end{Proof}
\begin{equation}
\varphi(pq)=(p-1)(q-1) \label{FEuler}
\end{equation}
+
\end{Prop}
\begin{Exo}[Preuve de l'expression d'Euler]
On doit compter le cardinal des nombres de $\{1, 2, . . . , pq -1\}$ qui sont
%Refaire cet exo avec 27x +8y = 1
\begin{Exo}
-L'objectif est de résoudre l'équation $(E)$ d'inconnues $x$ et $y$
-$405x -120y =15$.
+L'objectif est de résoudre l'équation $(E)$ $405x -120y =15$
+d'inconnues $x$ et $y$.
\begin{enumerate}
\item Trouver le PGCD de 405 et 120 à l'aide de l'algorithme d'Euclide.
\item En déduire une solution particulière de cette équation.
\item En utilisant la solution particulière, montrer que $(E)$ est
équivalente à $27(x-3) = 8(y-10)$.
-\item Utiliser le théorème de Gauss pour montrer que
- l'ensemble solution de $(E)$ est $\{(8k+3;27k+10)| k \in \Z\}$.
+\item Utiliser le théorème de Gau{\ss} pour montrer que
+ l'ensemble des solutions de $(E)$ est $\{(8k+3;27k+10)| k \in \Z\}$.
\end{enumerate}
\end{Exo}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{Exo}
+
+
+
\section{Arithmétique modulaire}
-% cf TD maths discrète;
-% Corollaire 7.6 du chap RSA
-% unicité de la clef de décodage
+\begin{Def}[Congruence modulo]
+Soit $a$ et $b$ deux entiers relatifs.
+On dit que $a$ est congru $b$ modulo $n$ si $n$ divise $a-b$, c'est-à-dire
+s'il existe $x \in \Z$ tel que $(a-b) = nx$.
+On note $a \equiv b [n]$.
+La relation \og $\equiv [n]$ \fg{}
+est une relation d'équivalence appelée congruence modulo $n$.
+\end{Def}
+
+\begin{Prop}
+Soit $a$, $b$, $c$, $d$, $x$ et $y$ dans $\Z$.
+Si $a \equiv c[n]$ et $b \equiv d[n]$, alors
+\begin{enumerate}
+\item $a +b \equiv c + d [n]$;
+\item $ab \equiv cd [n]$;
+\item $ax +by \equiv cx +dy [n]$.
+\end{enumerate}
+\end{Prop}
+
+\begin{Exo}
+Démontrer la proposition précédente.
+\end{Exo}
+
+\begin{Prop}
+Soit deux entiers naturels $a$ et $n$ tels que $a< n$.
+Si $a$ et $n$ sont premier entre eux,
+alors il existe un unique $x \in \{1, \dots, n-1\}$ tel
+que $ax \equiv 1[n]$.
+\end{Prop}
+
+\begin{Proof}
+\begin{itemize}
+\item[\textbf{Existence.}]
+Comme $a$ et $n$ sont premiers entre eux, d'après le théorème de Bézout,
+il exite $x$ et $y$ entiers tels que
+\end{itemize}
+\end{Proof}
+
+
+\begin{Exo}
+\begin{enumerate}
+\item Démonter que $35 \equiv 1 [11]$
+\item En déduire que pour tous entiers naturels $k$ et $r$ on a
+ $35k +r \equiv 3r [11]$.
+\item $n$ étant un entier naturel, quels sont les restes possibles
+ dans la division de $3^n$ par 11?
+\item Trouvez pour quelles valeurs de $n$, $3n + 7$ est divisible par 11
+\end{enumerate}
+\end{Exo}
+
+\begin{Exo}
+On se place dans le contexte de cryptographie par RSA.
+Démontrer que si la clé d'encryptage est $e < \varphi(n)$, alors
+il existe une unique clé de décodage entre 1 et $\varphi(n)$.
+\end{Exo}
+
+\begin{Prop}[Théorème d'Euler]
+ Si $m<n$ est relativement premier avec $n$, alors
+\begin{equation}
+m^{\varphi(n)}\equiv1 [n].
+\end{equation}
+\end{Prop}
+On laisse de côté la démonstration.
+
+\begin{Prop}[Correction de RSA]
+Le cryptage-décryptage du code RSA est correct:
+on crypte un message $m$ tel que
+$m\land n= 1$ en $a$ avec
+$ m^e \equiv a [n]$ selon la clé $(e,n)$.
+Alors le décryptage selon la clé $(d,n)$ redonne
+le message initial : $a^d \equiv m [n]$.
+\end{Prop}
+\begin{Proof}
+\begin{eqnarray*}
+a^d & \equiv & (m^e)^d [n]\\
+& \equiv & m^{ed} [n] (\textrm{ réécriture})\\
+& \equiv & m^{k.\varphi(n)+1} [n] (\textrm{ définition de $d$})\\
+& \equiv & m^{k.\varphi(n)}m [n] (\textrm{ réécriture})\\
+& \equiv & (m^{\varphi(n)})^km [n] (\textrm{ réécriture})\\
+& \equiv & (1)^km [n] (\textrm{ théorème d'Euler})\\
+& \equiv & m [n] (\textrm{ réécriture})\\
+\end{eqnarray*}
+\end{Proof}
\subsection{Puissance de grands nombres}
+
+\begin{Exo}
+Montrer que l'entier naturel $n$ est premier si et seulement si
+$$(x +1) ^n \equiv x ^n +1[n].$$
+\end{Exo}
+
+
\section{Génération de grands nombres premiers}
+Depuis Euclide, on sait qu'il y a une infinité de nombres premiers.
+Fermat avait cru donner une formule ne générant que des nombres premiers.
+Il affirmait que pour tout $n \in \N$, le nombre
+\begin{eqnarray}
+F_n &= & 2^{2^n} +1
+\end{eqnarray}
+était premier. Or 641 divise $F_5$. Aujourd'hui, on pense que seuls
+les nombres de $F_0$ à $F_4$ sont premiers, les qutres étant composés.
+
+\subsection{Distribution des nombres premier parmi les entiers}
+
+Même si on ne connaît pas de formule permettant de construire tous les
+nombres premiers, tout n'est pas perdu puisque les nombres premiers
+ne sont pas si rares que cela. Le théorème suivant donne même la distribution
+la proportion approximative des entiers inférieurs ou égaux à
+$N$ qui sont premiers.
+\begin{Prop}[Théorème des nombres premiers]
+La fonction $\pi:\N \rightarrow \N$ associe
+à chaque nombre $n$ nombre d'entiers inférieurs ou égaux à $n$ qui sont
+premiers, soit $\pi(N) = |\{p \le N | p \textrm{premier}\}|$.
+Lorsque $n$ est grand, on a:
+\begin{eqnarray}
+\pi(N) &\approx& \dfrac{N}{\ln(N)}
+\end{eqnarray}
+\end{Prop}
+La preuve de ce théorème est d'un niveau très avancé et n'est pas reproduite
+ici.
+
+Pour obtenir un entier de 100 chiffres, il suffit de considérer
+$N= 10^{100}$. Si on choisit au hasard un nombre $n$ dans $\N_{N}^{*}$,
+la probabilité qu'il soit premier est:
+\begin{eqnarray*}
+\textrm{Prob}(n \textrm{ premier}) &\approx&
+ \dfrac{\dfrac{N}{\ln(N)}}{N} \\
+ &\approx&
+ \dfrac{1}{\ln(N)}
+\end{eqnarray*}
+Le tableau~\ref{Table:propPrem} donne une valeur approchée de
+cette probabilité pour quelques nombres de chiffres.
+Dans celui-ci:
+\begin{itemize}
+\item la seconde ligne n'impose aucune restriction sur le dernier chiffre;
+\item la troisième ligne impose que le dernier chiffre soit dans
+ $\{1,3,5,7,9\}$: il est inutile de vérifier que les
+ multiples de 2 sont premiers!
+\item la quatrième ligne impose que le dernier chiffre soit dans $\{1,3,7,9\}$:
+ les multiples de 5 ne sont pas premiers!
+\end{itemize}
+On constate que si l'on tire au hasard un nombre (même de 100 chiffres),
+et que ce nombre se termine par$\{1,3,7,9\}$,
+la probabilité qu'il soit premier n'est pas infime. La solution au problème
+de génération de nombres premiers repose sur la capacité ou non a disposer
+d'un test efficace de primalité pour des grands nombres.
+
+Pour peut qu'on dispose d'un test de primalité rapide,
+
+
+il \og suffit \fg{}
+de tirer quelques nombres au hasard pour avoir
+
+%% Attention ce tableau est généré par ailleurs
+\begin{table}[ht]
+\begin{center}
+\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|}
+ \hline
+Nombre de chiffres & \textbf{75}& \textbf{100}& \textbf{125}& \textbf{150}& \textbf{175}& \textbf{200}& \textbf{225}& \textbf{250}& \textbf{275}& \textbf{300}\\
+\hline
+Dernier chiffre quelconque & 172& 230& 287& 345& 402& 460& 518& 575& 633& 690\\
+\hline
+Dernier chiffre impair & 86& 115& 143& 172& 201& 230& 259& 287& 316& 345\\
+\hline
+Dernier chiffre dans $\{1,3,7,9\}$& 69& 92& 115& 138& 161& 184& 207& 230& 253& 276\\
+\hline
+ \end{tabular}
+\end{center}
+\caption{Probabilités inverse d'obtenir un \label{Table:propPrem}}
+\end{table}
+
+\subsection{Tests de primalité}
+
+
\section{Factorisation}
