X-Git-Url: https://bilbo.iut-bm.univ-fcomte.fr/and/gitweb/modelisationMathS3.git/blobdiff_plain/6a1d659a8d09f1c48fe968a3d6b9941576e22dfe..f182c99c4479f3f0875b1d7b162248b7a00fc7b5:/rsa.tex

diff --git a/rsa.tex b/rsa.tex
index d9312ed..a96d0a2 100644
--- a/rsa.tex
+++ b/rsa.tex
@@ -205,11 +205,11 @@ On sait que $a\land b$ est $r_n$ le dernier reste non nul.
 On remonte les Ã©quations une Ã  une en dÃ©marrant de (\ref{eq:def:rnm2}).
 \begin{eqnarray}
 r_{n}  & = & r_{n-2} - r_{n-1} \times q_{n}  \nonumber \\
-  & = & r_{n-2} - (r_{n-3} - r_{n-2} \times q_{n-1}) \times q_{n} (\textrm{on remplace $r_{n-1}$ par sa def dans (\ref{eq:def:rnm3})}) \nonumber\\
-  & = & r_{n-2}. (1 + q_{n-1}. q_{n}) - r_{n-3}. q_{n} (\textrm{factorisation})\nonumber \\
-   & = & (r_{n-4} - r_{n-3} \times q_{n-2}). (1 + q_{n-1}. q_{n}) - r_{n-3}. q_{n}(\textrm{on remplace $r_{n-2}$ par sa def dans (\ref{eq:def:rnm4})}) \nonumber \\
+  & = & r_{n-2} - (r_{n-3} - r_{n-2} \times q_{n-1}) \times q_{n} \textrm{ (on remplace $r_{n-1}$ par son expression tirÃ©e de  (\ref{eq:def:rnm3})}) \nonumber\\
+  & = & r_{n-2}. (1 + q_{n-1}. q_{n}) - r_{n-3}. q_{n} \textrm{ (factorisation)}\nonumber \\
+   & = & (r_{n-4} - r_{n-3} \times q_{n-2}). (1 + q_{n-1}. q_{n}) - r_{n-3}. q_{n}\textrm{ (on remplace $r_{n-2}$ par son expression tirÃ©e de (\ref{eq:def:rnm4})}) \nonumber \\
 & \vdots & \nonumber \\
-& = & \ldots (\textrm{on remplace $r_{1}$ par sa def dans (\ref{eq:def:r1})}) \nonumber\\ 
+& = & \ldots \textrm{ (on remplace $r_{1}$ par son expression tirÃ©e de (\ref{eq:def:r1})}) \nonumber\\ 
 & = &ax + by \nonumber
 \end{eqnarray}
 \end{Proof}
@@ -257,10 +257,10 @@ Si $p$ et $q$ sont deux nombres premiers distincts alors l'Ã©galitÃ©
 suivante permet de trouver le valeur de la fonction d'Euler en un seul 
 produit:
 \begin{equation}
-\varphi(pq)=(p-1)(q-1) \label{FEuler}
+\varphi(pq)=(p-1)(q-1). \label{FEuler}
 \end{equation} 
-
 \end{Prop}
+
 \begin{Exo}[Preuve de l'expression d'Euler]
 On doit compter le cardinal des nombres de $\{1, 2, . . . , pq -1\}$ qui sont 
 premiers avec $pq$.
@@ -278,6 +278,9 @@ premiers avec $pq$.
 
 
 
+
+
+
 %Refaire cet exo avec 27x +8y = 1
 \begin{Exo}
 L'objectif est de rÃ©soudre l'Ã©quation $(E)$ $405x -120y =15$ 
@@ -294,9 +297,18 @@ d'inconnues $x$ et $y$.
 
 
 
+\begin{Exo}
+  Soit $p$ un nombre premier.
+\begin{enumerate}
+\item Calculer $\varphi(p^2)$.
+\item Est-ce que RSA  fonctionnerait aussi avec l'entier $n = p^2$ Ã  la place de $n=pq$?
+\end{enumerate}
+\end{Exo}
+
 
 \begin{Exo}[Sujet du bac S Liban 2005]
-On rappelle le rÃ©sultat suivant appelÃ© petit thÃ©orÃ¨me de Fermat.
+On rappelle le rÃ©sultat suivant appelÃ© le corollaire du 
+petit thÃ©orÃ¨me de Fermat.
 
 \emph{Si $p$ est un nombre premier et $a$ un entier non divisible par $p$,
  alors $a^{p-1}-1$ est un multiple de $p$.}
@@ -333,7 +345,7 @@ $g(f(a))=a$ . Que peut-on dire de $f(g(a))=a$?
 
 
 
-\section{ArithmÃ©tique modulaire}
+\section{Congruence modulo}
 
 \begin{Def}[Congruence modulo]
 Soit $a$ et $b$ deux entiers relatifs.
@@ -359,7 +371,7 @@ DÃ©montrer la proposition prÃ©cÃ©dente.
 \end{Exo}
 
 \begin{Prop}
-Soit deux entiers naturels $a$ et $n$ tels que $a< n$.
+Soit deux entiers naturels $a$ et $n$ tels que $1< a< n$.
 Si $a$ et $n$ sont premier entre eux, 
 alors il existe un unique $x \in \{1, \dots, n-1\}$ tel 
 que $ax \equiv 1[n]$.
@@ -369,30 +381,66 @@ que $ax \equiv 1[n]$.
 \begin{itemize}
 \item[\textbf{Existence.}]
 Comme $a$ et $n$ sont premiers entre eux, d'aprÃ¨s le thÃ©orÃ¨me de BÃ©zout,
-il exite $x$ et $y$ entiers tels que 
+il existe $x$ et $y$ entiers tels que $ax+ny = 1$, soit encore $ax \equiv 1[n]$.
+\item [\textbf{UnicitÃ©.}]
+Supposons qu'il existe une seconde solution $x'\in \{1, \dots, n-1\}$ telle que 
+$ax' \equiv 1[n]$. Donc $a(x-x') \equiv 0[n]$. Or $n$ est premier avec  $a$.
+D'aprÃ¨s le thÃ©orÃ¨me de Gau{\ss}, $n$ divise donc $x-x'$.
+Or $x-x'\in \{-n+2,-n+3,\dots,-1,0,1, \dots, n-2\}$. Le seul nombre divisible par $n$ est 0 et donc $x=x'$.
 \end{itemize} 
 \end{Proof}
 
+\begin{Exp}
+Trouvons les nombres $x$ tels que $7x+11$ soit multiple de 36. Dit autrement, 
+rÃ©soudre l'Ã©quation $7x \equiv -11 [36]$. 
+
+On cherche un \og inverse \fg{} de 7 c.-Ã -d. un nombre $t$, $1 < t < 35$ 
+tel que $7t \equiv 1 [36]$. 
+Soit Ã  rÃ©soudre $7t \equiv 1 [36]$ qui revient Ã  trouver $t$ et $u$ tels
+que  $7t -36u = 1$, soit encore les coefficient de BÃ©zout relatifs Ã  
+(7 et 36). On trouve successivement 
+\begin{eqnarray*}
+36 & = & 7  \times 5 +1 \\ 
+7 & = & 7 \times 1 + 0 \\
+& \textrm{et donc}&\\
+1 & = & 36 - 7 \times 5
+\end{eqnarray*}
+et donc $t = -5$ (et $u=-1$). 
+On en dÃ©duit $7x \equiv -11 [36]$ est Ã©quivalent Ã  
+$(-5).7x \equiv (-5).-11 [36]$ soit encore 
+$x \equiv 55 [36] \equiv 19 [36]$.
+\end{Exp}
+
+\begin{Exo}
+Trouver les entiers relatif $x$ tels que 
+$261x +2$ soit multiple de 305.
+\end{Exo}
+
+
 
 \begin{Exo}
 \begin{enumerate}
-\item DÃ©monter que $35 \equiv 1 [11]$
+\item DÃ©monter que $3^5 \equiv 1 [11]$
 \item En dÃ©duire que pour tous entiers naturels $k$ et $r$ on a 
-                                        $35k +r \equiv 3r [11]$.
+                                        $3^{5k +r} \equiv 3^r [11]$.
 \item  $n$ Ã©tant un entier naturel, quels sont les restes possibles
   dans la division de $3^n$ par 11?
-\item  Trouvez pour quelles valeurs de $n$, $3n + 7$ est divisible par 11
+\item  Trouvez pour quelles valeurs de $n$, $3^n + 7$ est divisible par 11.
 \end{enumerate}
 \end{Exo}
 
+
+
+
 \begin{Exo}
 On se place dans le contexte de cryptographie par RSA.
 DÃ©montrer que si la clÃ© d'encryptage est $e < \varphi(n)$, alors 
 il existe une unique clÃ© de dÃ©codage entre 1 et $\varphi(n)$.
 \end{Exo}
 
-\begin{Prop}[ThÃ©orÃ¨me d'Euler]
-  Si $m<n$ est  relativement premier avec $n$, alors 
+\begin{Prop}[ThÃ©orÃ¨me d'Euler]\label{th:Euler}
+Soit $n \in \N^*$ et $m$, $m<n$ un entier relativement premier avec $n$.
+Alors 
 \begin{equation}
 m^{\varphi(n)}\equiv1 [n].
 \end{equation}
@@ -410,45 +458,133 @@ le message initial : $a^d \equiv m [n]$.
 \begin{Proof}
 \begin{eqnarray*}
 a^d & \equiv &   (m^e)^d [n]\\
-& \equiv &   m^{ed} [n] (\textrm{ rÃ©Ã©criture})\\
-& \equiv &   m^{k.\varphi(n)+1} [n] (\textrm{ dÃ©finition de $d$})\\
-& \equiv &   m^{k.\varphi(n)}m [n] (\textrm{ rÃ©Ã©criture})\\
-& \equiv &   (m^{\varphi(n)})^km [n] (\textrm{ rÃ©Ã©criture})\\
-& \equiv &   (1)^km [n] (\textrm{ thÃ©orÃ¨me d'Euler})\\
-& \equiv &   m [n] (\textrm{ rÃ©Ã©criture})\\
+& \equiv &   m^{ed} [n] \textrm{ (rÃ©Ã©criture)}\\
+& \equiv &   m^{k.\varphi(n)+1} [n] \textrm{ (dÃ©finition de $d$)}\\
+& \equiv &   m^{k.\varphi(n)}m [n] \textrm{ (rÃ©Ã©criture)}\\
+& \equiv &   (m^{\varphi(n)})^km [n] \textrm{ (rÃ©Ã©criture)}\\
+& \equiv &   (1)^km [n] \textrm{ (thÃ©orÃ¨me d'Euler)}\\
+& \equiv &   m [n] \textrm{ (rÃ©Ã©criture)}\\
+\end{eqnarray*}
+\end{Proof}
+
+
+\begin{Exo}
+On considÃ¨re l'algorithme suivant: 
+on choisit deux nombres premiers $p$ et $q$
+distincts tels que 
+$p \equiv 2 [3]$ et $s \equiv 2 [3]$.
+Soit $n = pq$. 
+Alice veut envoyer un message  Ã  Bob. 
+Comme dans RSA, son message est un nombre $m \in \ \{1, . . . , n - 1\}$ 
+tel que $m \land  n = 1$
+Le message codÃ© d'Alice est le rÃ©sultat $a= m^3[n]$.
+Bob dÃ©code $a$ en calculant 
+\[
+m' \equiv a^{d} [n] \textrm{ oÃ¹ $d=\dfrac{2(p-1)(q-1)+1}{3}$} 
+\]
+Normalement $m$ doit Ãªtre Ã©gal Ã  $m'$.
+
+\begin{enumerate}
+\item Choisir $p=11$, $q=17$, $m=4$ puis construire le message codÃ© ainsi que le message dÃ©codÃ©.
+\item  Montrer que $d$ est toujours un entier.
+\item Expliquer pourquoi $a$ et $m'$ ne sont pas divisibles par $n$.
+\item Montrer que Bob a bien dÃ©codÃ© le message dâAlice.
+\end{enumerate}
+
+\end{Exo}
+
+
+\begin{Prop}[Petit thÃ©orÃ¨me de Fermat]
+Si $p$ est un nombre premier et $a$ un entier 
+alors $a^{p} \equiv a [p]$.
+\end{Prop}
+
+\begin{Proof}
+La preuve se fait par rÃ©currence sur $a$. 
+\begin{itemize}
+\item Pour $a=0$, c'est trivial.
+\item Supposons la formule Ã©tablie pour $k=a$ et montrons qu'elle l'est aussi
+pour $k=a+1$. 
+On remarque tout d'abord que pour chaque $k$, $0 < k < p$, le coefficient 
+binomial $\binom{p}{k} = \dfrac{p!}{k!(p-k)!}$ est divisible par $p$, c.-Ã -d.
+$\binom{p}{k} \equiv 0 [p]$.
+On a alors successivement:
+\begin{eqnarray*}
+(k+1)^p &=& a^p + 
+\binom{p}{1}a^{p-1}+\binom{p}{2}a^{p-2}+\dots +\binom{p}{p-1}a^{1}+1\\
+&\equiv& a^p +1 [p]\textrm{ (d'aprÃ¨s la remarque sur les coeff. binomiaux)}\\\
+&\equiv& a +1 [p]\textrm{ (par hypothÃ¨se de rÃ©currence).}\\\
 \end{eqnarray*}
+\end{itemize}
+\end{Proof}
+
+\begin{Prop}[Corrolaire du petit thÃ©orÃ¨me de Fermat]
+Si $p$ est un nombre premier et $a$ un entier non divisible par $p$,
+alors $a^{p-1}-1$ est un multiple de $p$.
+\end{Prop}
+\begin{Proof}
+D'aprÃ¨s le petit thÃ©orÃ¨me de Fermat, $a^{p}  \equiv a [p]$. Dit Autrement
+$p$ divise $a^{p} - a = a (a^{p-1}-1)$. Or $p$ est premier avec  $a$ d'aprÃ¨s les 
+hypothÃ¨ses. D'aprÃ¨s le thÃ©orÃ¨me de Gau{\ss}, $p$ divise $a^{p-1}-1$.
 \end{Proof}
 
 \subsection{Puissance de grands nombres}
 
+\begin{Exp}
+Calculons $666^{999}[13]$.
+On a successivement:
+\begin{eqnarray*}
+666^{999} & \equiv & (13\times 51 + 3)^{999} [13]\\ 
+ & \equiv & 3^{999} [13]\\ 
+ & \equiv & 3^{12\times83 +3} [13] \\
+ & \equiv & 3^3 \times (3^{12})^{83} [13] \\
+ & \equiv & 3^3 \times (1)^{83} [13] \textrm{(car $3^{12}\equiv 1 [13]$ d'aprÃ¨s le corollaire du petit thÃ©orÃ¨me de Fermat)}\\ 
+ & \equiv & 27 [13]\\
+ & \equiv & 1 [13]
+\end{eqnarray*} 
+\end{Exp}
+
+
 
 \begin{Exo}
-Montrer que l'entier naturel $n$ est premier si et seulement si 
-$$(x +1) ^n \equiv x ^n +1[n].$$
+Calculer $2^{500} [13]$ et $26^{1000} [17]$.
 \end{Exo}
 
 
+\begin{Exo}
+Montrer que si l'entier naturel $n$ est premier alors
+$$(x +1)^n \equiv x^n +1[n].$$
+
+On a mÃªme l'Ã©quivalence, cependant, l'autre sens est plus technique Ã  dÃ©montrer.
+
+\end{Exo}
+
+
+
+
+
 \section{GÃ©nÃ©ration de grands nombres premiers}
-Depuis Euclide, on sait qu'il y a une infinitÃ© de nombres premiers.
+Dans ce qui suit, on nomme $\Prem$ l'ensemble des nombres premiers.
+Depuis Euclide, on sait que $\Prem$ est de taille infinie.
 Fermat avait cru donner une formule ne gÃ©nÃ©rant que des nombres premiers.
 Il affirmait que pour tout $n \in \N$, le nombre 
 \begin{eqnarray}
 F_n &= & 2^{2^n} +1 
 \end{eqnarray}
 Ã©tait premier. Or 641 divise $F_5$. Aujourd'hui, on pense que seuls 
-les nombres de $F_0$ Ã  $F_4$ sont premiers, les qutres Ã©tant composÃ©s.
+les nombres de $F_0$ Ã  $F_4$ sont premiers.
 
-\subsection{Distribution des nombres premier parmi les entiers}
+\subsection{Distribution des nombres premiers parmi les entiers}
 
 MÃªme si on ne connaÃ®t pas de formule permettant de construire tous les 
 nombres premiers, tout n'est pas perdu puisque les nombres premiers 
-ne sont pas si rares que cela. Le thÃ©orÃ¨me suivant donne mÃªme la distribution 
+ne sont pas si rares que cela. Le thÃ©orÃ¨me suivant donne mÃªme 
 la proportion approximative des entiers infÃ©rieurs ou Ã©gaux Ã 
 $N$  qui sont premiers.
 \begin{Prop}[ThÃ©orÃ¨me des nombres premiers]
 La fonction $\pi:\N \rightarrow \N$  associe 
-Ã  chaque nombre $n$ nombre d'entiers infÃ©rieurs ou Ã©gaux Ã  $n$ qui sont 
-premiers, soit $\pi(N) = |\{p \le N | p \textrm{premier}\}|$.
+Ã  chaque nombre $N$ le nombre d'entiers infÃ©rieurs ou Ã©gaux Ã  $N$ qui sont 
+premiers, soit $\pi(N) = |\{p \le N | p \textrm{ premier}\}|$.
 Lorsque $n$ est grand, on a:
 \begin{eqnarray}
 \pi(N) &\approx& \dfrac{N}{\ln(N)}
@@ -478,17 +614,11 @@ Dans celui-ci:
   les multiples de 5 ne sont pas premiers!
 \end{itemize}
 On constate que si l'on tire au hasard un nombre (mÃªme de 100 chiffres), 
-et que ce nombre se termine par$\{1,3,7,9\}$, 
+parmi ceux qui se terminent par $\{1,3,7,9\}$ (ensemble notÃ© $B$ par la suite) 
 la probabilitÃ© qu'il soit premier n'est pas infime. La solution au problÃ¨me 
 de gÃ©nÃ©ration de nombres premiers repose sur la capacitÃ© ou non a disposer 
 d'un test efficace de primalitÃ© pour des grands nombres.
 
-Pour peut qu'on dispose d'un test de primalitÃ© rapide,
- 
-
-il \og suffit \fg{}
-de tirer quelques nombres au hasard pour avoir  
-
 %% Attention ce tableau est gÃ©nÃ©rÃ© par ailleurs 
 \begin{table}[ht]
 \begin{center}
@@ -504,15 +634,123 @@ Dernier chiffre dans $\{1,3,7,9\}$& 69& 92& 115& 138& 161& 184& 207& 230& 253& 2
 \hline
  \end{tabular}
 \end{center}
-\caption{ProbabilitÃ©s inverse d'obtenir un \label{Table:propPrem}}
+\caption{ProbabilitÃ©s inverse d'obtenir un nombre premier \label{Table:propPrem}}
 \end{table}
 
+
+On considÃ¨re comme expÃ©rience alÃ©atoire le fait de tirer un nombre au hasard 
+dans $B$. On a une probabilitÃ© $p$ que le nombre soit premier.
+Soit $X$ la variable alÃ©atoire qui compte le nombre 
+de fois oÃ¹ l'on a rÃ©alisÃ© cette expÃ©rience avant d'obtenir un nombre premier.
+$X$ suit une loi gÃ©omÃ©trique de paramÃ¨tre $p$:
+\[
+P(X=k) = (1-p)^{k-1}p.
+\]
+Or l'espÃ©rance d'une variable alÃ©atoire
+suivant une loi gÃ©omÃ©trique de paramÃ¨tre $p$ est $\frac{1}{p}$.
+Pour 100 chiffres, il faudra en moyenne 92 tirages pour gÃ©nÃ©rer un 
+nombre premier. 
+
+Il \og reste \fg{} Ã  fournir une mÃ©thode efficace pour dÃ©cider 
+de la primalitÃ© d'un entier, ce que prÃ©sente la section suivante.
+
+
 \subsection{Tests de primalitÃ©}
+Chaque section donne un algorithme permettant de dÃ©cider si un entier $p$ fourni
+en entrÃ©e est premier ou non.
 
+\subsubsection{MÃ©thode naÃ¯ve}
+On vÃ©rifie s'il est divisible par l'un des entiers pairs compris entre 2 et 
+$\sqrt{p}$. Si la rÃ©ponse est nÃ©gative, alors $p$ est premier, 
+sinon il est composÃ©. Pour amÃ©liorer la performance de cette mÃ©thode, on peut 
+calculer Ã  l'avance une liste des nombres premiers infÃ©rieurs Ã  $\sqrt{p}$
+(avec un crible d'ÃratosthÃ¨ne), pour ne tester que ceux-ci.
+
+Par exemple, pour tester un nombre infÃ©rieur Ã  39 000, 
+il suffit de vÃ©rifier  qu'il n'est pas multiple d'un nombre premiers infÃ©rieur
+Ã  198 (car $198^2 = 39 204$); on doit faire au maximum 45 divisions.
+
+\subsubsection{Tests probabilistes}
+
+\begin{Prop}[Corrolaire du petit thÃ©orÃ¨me de Fermat]
+Si $p$ est un nombre premier et $a$ un entier non divisible par $p$,
+alors $a^{p-1}-1$ est un multiple de $p$, c'est-Ã -dire:
+\begin{equation}
+ \forall a\in \N \forall p \in \N (   p \in \Prem \textrm{ et }   a \not\equiv  0[p] 
+  \Rightarrow a^{p-1}\equiv 1 [p]).
+\label{petittheremeFermat}
+\end{equation}
+\end{Prop}
+
+
+\paragraph{Test de Fermat.}
+Le petit thÃ©orÃ¨me de Fermat est une implication et non pas une Ã©quivalence:
+\begin{itemize}
+\item si on prend un $p\in \N$ et un $a \in\N$ quelconque, 
+  alors si $p$ est premier et $a$ non divisible par $p$, alors on peut en dÃ©duire que $a^{p-1}\equiv 1 [p]$;
+\item rien ne dit que si on a  $a^{p-1}\equiv 1 [p]$, alors $p$ est premier et $a$ non divisible par $p$.
+\item rien ne dit non plus que que si on a  $a^{p-1}\equiv 1 [p]$ et que $a$ non divisible par $p$, alors $p$ est premier.
+\end{itemize}
+Cependant si on effectue un grand nombre de fois l'expÃ©rience de choisir 
+$a \in \N_{n-1}^{*}$ et qu'Ã  chaque fois on Ã©tablit $a^{p-1}\equiv 1 [p]$, 
+alors $p$ est probablement premier.
+Cependant ce n'est pas toujours le cas: par exemple $2^{340} \equiv 1 [341]$ et 
+pourtant $341 =  11 \times 31$.
+
+\begin{Exo}
+Donner le code de la fonction \verb+testPrimaliteFermat(n,t)+ qui retourne 
+\verb+True+ si \verb+t+ evaluations de $\texttt{a}^{\texttt{p}-1}$ on retournÃ© $ 1 [\texttt{p}]$ 
+pour un $a \in \N_{n-1}^{*}$ et \verb+False+ sinon.
+\end{Exo}
+
+
+
+\paragraph{Test de Miller-Rabin}
+
+Soit $n$ un nombre premier impair,
+alors nous pouvons Ã©crire $n - 1$ comme $2^s \times d$, 
+oÃ¹ $s$ est un entier et $d$ est impair.
+Alors, pour tout entier naturel $a \in \N_{n-1}^*$
+tel que $a$ est premier avec $n$, 
+une des conditions suivantes doit Ãªtre vÃ©rifiÃ©e:
+\begin{enumerate}
+\item $a^{d} \equiv 1 [n]$, ou bien  
+\item $a^{2^r\cdot d} \equiv -1 [n]$ pour un certain $0 \le r \le s-1$.
+\end{enumerate} 
+La preuve de cette propriÃ©tÃ© est admise
+
+Le test de primalitÃ© de Miller-Rabin est basÃ© sur les Ã©quations prÃ©cÃ©dentes.
+Si on choisit un grand nombre $t$ de fois $a \in \N_{n-1}^*$
+et qu'on obtienne Ã  chaque fois 
+\begin{itemize}
+\item $a^{d} \equiv 1 [n]$ ou 
+\item $a^{2^r\cdot d} \equiv -1 [n]$ pour un certain $0 \le r \le s-1$,
+\end{itemize}
+alors le nombre $n$ est probablement premier.
+Dans le cas contraire ($a^{d} \not\equiv 1 [n]$ et 
+$a^{2^r \cdot d} \not\equiv -1 [n]$ pour tous les  $0 \le r \le s-1$),
+$n$ n'est pas premier.
+
+\begin{Exo}
+Donner le code de la fonction \verb+testPrimaliteMillerRabin(n,t)+.
+\end{Exo}
 
 
 \section{Factorisation}
+L'objectif de cette partie est de montrer qu'on peut factoriser $n$ 
+sous la forme de $p\times q$ si ces deux derniers nombres ont Ã©tÃ© mal choisis.
 
 
-\section{Conclusion}
-cf SMATH paragraphe applications p 223.
\ No newline at end of file
+\begin{Exo}
+On considÃ¨re que l'Ã©tape 1 de l'algorithme RSA a gÃ©nÃ©rÃ© deux nombre premiers $p$ et $q$ tels que $p>q$. On dÃ©finit  $t = \frac{p+q}{2}$ et $s = \frac{p-q}{2}$.
+Montrer que
+\begin{enumerate}
+\item le produit $n = pq = t^2 - s^2$;
+\item l'entier $t$ est lÃ©gÃ¨rement supÃ©rieur Ã  la racine carrÃ©e de $n$ et que $s $ est petit;
+\item l'on peut utiliser ces informations pour factoriser $n$ c.-Ã -d. retrouver $p$ et $q$;
+\item Factoriser 9623827 et  343570291. % res=2953*3259     res = 17729*19379
+\end{enumerate}
+\end{Exo}
+
+% \section{Conclusion}
+% cf SMATH paragraphe applications p 223.
\ No newline at end of file
