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diff --git a/rsa.tex b/rsa.tex
index fae4839..cb11f3f 100644
--- a/rsa.tex
+++ b/rsa.tex
@@ -24,8 +24,8 @@ Dans le cas où l'on utilise une clé de cryptage, on a le schéma présenté
 à la figure~\ref{Fig:schemageneral}.
 \begin{figure}[ht]
 \begin{center}
-\includegraphics[scale=0.5]{schemacrypto.pdf}
-%\includegraphics[scale=0.5]{schemacrypto.eps}
+%\includegraphics[scale=0.5]{schemacrypto.pdf}
+\includegraphics[scale=0.5]{schemacrypto.eps}
 \end{center}
 \caption{Schéma général d'une méthode de cryptage/décryptage}\label{Fig:schemageneral}
 \end{figure}
@@ -259,6 +259,7 @@ produit:
 \begin{equation}
 \varphi(pq)=(p-1)(q-1) \label{FEuler}
 \end{equation} 
+
 \end{Prop}
 \begin{Exo}[Preuve de l'expression d'Euler]
 On doit compter le cardinal des nombres de $\{1, 2, . . . , pq -1\}$ qui sont 
@@ -384,11 +385,39 @@ il exite $x$ et $y$ entiers tels que
 \end{enumerate}
 \end{Exo}
 
+\begin{Exo}
+On se place dans le contexte de cryptographie par RSA.
+Démontrer que si la clé d'encryptage est $e < \varphi(n)$, alors 
+il existe une unique clé de décodage entre 1 et $\varphi(n)$.
+\end{Exo}
 
-% cf TD maths discrète; 
-% Corollaire 7.6 du chap RSA
-% unicité de la clef de décodage
-
+\begin{Prop}[Théorème d'Euler]\label{th:Euler}
+  Si $m<n$ est  relativement premier avec $n$, alors 
+\begin{equation}
+m^{\varphi(n)}\equiv1 [n].
+\end{equation}
+\end{Prop}
+On laisse de côté la démonstration.
+
+\begin{Prop}[Correction de RSA]
+Le cryptage-décryptage du code RSA est correct: 
+on crypte un message $m$ tel que 
+$m\land n= 1$ en $a$ avec  
+$ m^e  \equiv a [n]$ selon la clé $(e,n)$.
+Alors le décryptage selon la clé $(d,n)$ redonne
+le message initial : $a^d \equiv m [n]$.
+\end{Prop} 
+\begin{Proof}
+\begin{eqnarray*}
+a^d & \equiv &   (m^e)^d [n]\\
+& \equiv &   m^{ed} [n] (\textrm{ réécriture})\\
+& \equiv &   m^{k.\varphi(n)+1} [n] (\textrm{ définition de $d$})\\
+& \equiv &   m^{k.\varphi(n)}m [n] (\textrm{ réécriture})\\
+& \equiv &   (m^{\varphi(n)})^km [n] (\textrm{ réécriture})\\
+& \equiv &   (1)^km [n] (\textrm{ théorème d'Euler})\\
+& \equiv &   m [n] (\textrm{ réécriture})\\
+\end{eqnarray*}
+\end{Proof}
 
 \subsection{Puissance de grands nombres}
 
@@ -400,9 +429,169 @@ $$(x +1) ^n \equiv x ^n +1[n].$$
 
 
 \section{Génération de grands nombres premiers}
+Dans ce qui suit, on nomme $\Prem$ l'ensemble des nombrs premiers.
+Depuis Euclide, on sait que $\Prem$ est de taille infinie.
+Fermat avait cru donner une formule ne générant que des nombres premiers.
+Il affirmait que pour tout $n \in \N$, le nombre 
+\begin{eqnarray}
+F_n &= & 2^{2^n} +1 
+\end{eqnarray}
+était premier. Or 641 divise $F_5$. Aujourd'hui, on pense que seuls 
+les nombres de $F_0$ à $F_4$ sont premiers, les qutres étant composés.
+
+\subsection{Distribution des nombres premier parmi les entiers}
+
+Même si on ne connaît pas de formule permettant de construire tous les 
+nombres premiers, tout n'est pas perdu puisque les nombres premiers 
+ne sont pas si rares que cela. Le théorème suivant donne même la distribution 
+la proportion approximative des entiers inférieurs ou égaux à
+$N$  qui sont premiers.
+\begin{Prop}[Théorème des nombres premiers]
+La fonction $\pi:\N \rightarrow \N$  associe 
+à chaque nombre $n$ nombre d'entiers inférieurs ou égaux à $n$ qui sont 
+premiers, soit $\pi(N) = |\{p \le N | p \textrm{premier}\}|$.
+Lorsque $n$ est grand, on a:
+\begin{eqnarray}
+\pi(N) &\approx& \dfrac{N}{\ln(N)}
+\end{eqnarray}
+\end{Prop}
+La preuve de ce théorème est d'un niveau très avancé et n'est pas reproduite 
+ici.
+
+Pour obtenir un  entier de 100 chiffres, il suffit de considérer 
+$N= 10^{100}$. Si on choisit au hasard un nombre $n$ dans $\N_{N}^{*}$,
+la probabilité qu'il soit premier est: 
+\begin{eqnarray*}
+\textrm{Prob}(n \textrm{ premier}) &\approx&
+ \dfrac{\dfrac{N}{\ln(N)}}{N} \\
+ &\approx&
+ \dfrac{1}{\ln(N)}
+\end{eqnarray*}
+Le tableau~\ref{Table:propPrem} donne une valeur approchée de 
+cette probabilité pour quelques nombres de chiffres. 
+Dans celui-ci:
+\begin{itemize}
+\item la seconde ligne n'impose aucune restriction sur le dernier chiffre;
+\item la troisième ligne impose que le dernier chiffre soit dans 
+  $\{1,3,5,7,9\}$: il est  inutile de vérifier que les
+  multiples de 2 sont premiers!
+\item la quatrième ligne impose que le dernier chiffre soit dans $\{1,3,7,9\}$:
+  les multiples de 5 ne sont pas premiers!
+\end{itemize}
+On constate que si l'on tire au hasard un nombre (même de 100 chiffres), 
+parmi ceux qui se terminent par $\{1,3,7,9\}$ (ensemble noté $B$ par la suite) 
+la probabilité qu'il soit premier n'est pas infime. La solution au problème 
+de génération de nombres premiers repose sur la capacité ou non a disposer 
+d'un test efficace de primalité pour des grands nombres.
+
+%% Attention ce tableau est généré par ailleurs 
+\begin{table}[ht]
+\begin{center}
+\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|}
+ \hline 
+Nombre de chiffres & \textbf{75}& \textbf{100}& \textbf{125}& \textbf{150}& \textbf{175}& \textbf{200}& \textbf{225}& \textbf{250}& \textbf{275}& \textbf{300}\\
+\hline 
+Dernier chiffre quelconque & 172& 230& 287& 345& 402& 460& 518& 575& 633& 690\\
+\hline 
+Dernier chiffre impair & 86& 115& 143& 172& 201& 230& 259& 287& 316& 345\\
+\hline 
+Dernier chiffre dans $\{1,3,7,9\}$& 69& 92& 115& 138& 161& 184& 207& 230& 253& 276\\
+\hline
+ \end{tabular}
+\end{center}
+\caption{Probabilités inverse d'obtenir un \label{Table:propPrem}}
+\end{table}
+
+
+On considère comme expérience aléatoire le fait de tirer un nombre au hasard 
+dans $B$. On a une probabilité $p$ que le nombre soit premier.
+Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre 
+de fois où l'on a réalisé cette expérience avant d'obtenir un nombre premier.
+$X$ suit une loi géométrique de paramètre $p$:
+\[
+P(X=k) = (1-p)^{k-1}p.
+\]
+Or l'espérance d'une variable aléatoire
+suivant une loi géométrique de paramètre $p$ est $\frac{1}{p}$.
+Pour 100 chiffres, il faudra en moyenne 92 tirages pour générer un 
+nombre premier. 
+
+Il \og reste \fg{} à fournir une méthode efficace pour décider 
+de la primalité d'un entier, ce que présente la section suivante.
+
+
+\subsection{Tests de primalité}
+Chque section donne un algorithme permettant de décider si un entier $p$ fourni
+en entrée est premier ou non.
+
+\subsubsection{Méthode naïve}
+On vérifie s'il est divisible par l'un des entiers pairs compris entre 2 et 
+$\sqrt{p}$. Si la réponse est négative, alors $p$ est premier, 
+sinon il est composé. Pour améliorer la performance de cette méthode, on peut 
+calculer à l'avance une liste des nombres premiers inférieurs à $\sqrt{p}$
+(avec un crible d'Ératosthène), pour ne tester que ceux-ci.
+
+Par exemple, pour tester un nombre inférieur à 39 000, 
+il suffit de vérifier  qu'il nest pas multiple d'un nombre premiers inférieur
+à 198 (car $198^2 = 39 204$); on doit faire au maximum 45 divisions.
+
+\subsubsection{Tests probabilistes}
+
+\begin{Prop}[Petit théorème de Fermat]
+Si $p$ est un nombre premier et $a$ un entier non divisible par $p$,
+alors $a^{p-1}-1$ est un multiple de $p$, c'est-à-dire:
+\begin{equation}
+ \forall a\in \N \forall p \in \N (   p \in \Prem \textrm{ et }   a \not\equiv  0[p] 
+  \Rightarrow a^{p-1}\equiv 1 [p]).
+\label{petittheremeFermat}
+\end{equation}
+\end{Prop}
+
+\begin{Proof}
+La preuve découle directement du théorème~\ref{th:Euler} d'Euleur.
+En effet on a successivement:
+\begin{eqnarray*}
+  a^{p-1} & =  & a^{\varphi(p)} \textrm{(comme p est premier)}\\
+  & \equiv  &  1 [p] \textrm{(théorème d'Euler)}
+\end{eqnarray*}
+\end{Proof}
+
+\paragraph{Test de Fermat.}
+Le petit théorème de Fermat est une implication et non pas une équivalence:
+\begin{itemize}
+\item si on prend un $p\in \N$ et un $a \in\N$ quelconque, 
+  alors si $p$ est premier et $a$ non divisible par $p$, alors on peut en déduire que $a^{p-1}\equiv 1 [p]$;
+\item rien ne dit que si on a  $a^{p-1}\equiv 1 [p]$, alors $p$ est premier et $a$ non divisible par $p$.
+\item rien ne dit non plus que que si on a  $a^{p-1}\equiv 1 [p]$ et que $a$ non divisible par $p$, alors $p$ est premier.
+\end{itemize}
+Cependant si on effectue un grand nombre de fois l'expérience de choisir 
+$a \in \N_{n-1}^{*}$ et qu'à chaque foit on établit $a^{p-1}\equiv 1 [p]$, 
+alors $p$ est probablement premier.
+Cependant ce n'est pas toujours le cas: par exemple $2^{340} \equiv 1 [341]$ et 
+pourtant $341 =  11 \times 31$.
+
+\begin{Exo}
+Donner le code de la fonction \verb+testPrimaliteFermat(n,t)+ qui retourne \verb+True+ si \verb+t+ evaluations de $\texttt{a}^{\texttt{p}-1}\equiv 1 [\texttt{p}]$ pour un  
+\end{Exo}
+
+
+
+\paragrpah{Test de Miller-Rabin}
 
 \section{Factorisation}
 
 
+
+\begin{Exo}
+On considère que l'étape 1 de l'algorithme RSA a généré deux nombre premiers $p$ et $q$ tels que $p>q$. On definit  $t = \frac{p+q}{2}$ et $s = \frac{p−q}{2}$.
+Montrer que
+\begin{enumerate}
+\item le produit $n = pq = t^2 − s^2$;
+\item l'entier $t$ est légèrement supérieur à la racine carrée de $n$ et que $s $ est petit;
+\item l'on peut utiliser ces informations pour factoriser $n$ c.-à-d. retrouver $p$ et $q$.
+\item Factoriser 9623827 et  343570291, % res=2953*3259     res = 17729*19379
+\end{enumerate}
+\end{Exo}
+
 \section{Conclusion}
 cf SMATH paragraphe applications p 223.
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