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diff --git a/rsa.tex b/rsa.tex
index fae4839..0316be6 100644
--- a/rsa.tex
+++ b/rsa.tex
@@ -24,8 +24,8 @@ Dans le cas où l'on utilise une clé de cryptage, on a le schéma présenté
 à la figure~\ref{Fig:schemageneral}.
 \begin{figure}[ht]
 \begin{center}
-\includegraphics[scale=0.5]{schemacrypto.pdf}
-%\includegraphics[scale=0.5]{schemacrypto.eps}
+%\includegraphics[scale=0.5]{schemacrypto.pdf}
+\includegraphics[scale=0.5]{schemacrypto.eps}
 \end{center}
 \caption{Schéma général d'une méthode de cryptage/décryptage}\label{Fig:schemageneral}
 \end{figure}
@@ -205,11 +205,11 @@ On sait que $a\land b$ est $r_n$ le dernier reste non nul.
 On remonte les équations une à une en démarrant de (\ref{eq:def:rnm2}).
 \begin{eqnarray}
 r_{n}  & = & r_{n-2} - r_{n-1} \times q_{n}  \nonumber \\
-  & = & r_{n-2} - (r_{n-3} - r_{n-2} \times q_{n-1}) \times q_{n} (\textrm{on remplace $r_{n-1}$ par sa def dans (\ref{eq:def:rnm3})}) \nonumber\\
-  & = & r_{n-2}. (1 + q_{n-1}. q_{n}) - r_{n-3}. q_{n} (\textrm{factorisation})\nonumber \\
-   & = & (r_{n-4} - r_{n-3} \times q_{n-2}). (1 + q_{n-1}. q_{n}) - r_{n-3}. q_{n}(\textrm{on remplace $r_{n-2}$ par sa def dans (\ref{eq:def:rnm4})}) \nonumber \\
+  & = & r_{n-2} - (r_{n-3} - r_{n-2} \times q_{n-1}) \times q_{n} \textrm{ (on remplace $r_{n-1}$ par son expression tirée de  (\ref{eq:def:rnm3})}) \nonumber\\
+  & = & r_{n-2}. (1 + q_{n-1}. q_{n}) - r_{n-3}. q_{n} \textrm{ (factorisation)}\nonumber \\
+   & = & (r_{n-4} - r_{n-3} \times q_{n-2}). (1 + q_{n-1}. q_{n}) - r_{n-3}. q_{n}\textrm{ (on remplace $r_{n-2}$ par son expression tirée de (\ref{eq:def:rnm4})}) \nonumber \\
 & \vdots & \nonumber \\
-& = & \ldots (\textrm{on remplace $r_{1}$ par sa def dans (\ref{eq:def:r1})}) \nonumber\\ 
+& = & \ldots \textrm{ (on remplace $r_{1}$ par son expression tirée de (\ref{eq:def:r1})}) \nonumber\\ 
 & = &ax + by \nonumber
 \end{eqnarray}
 \end{Proof}
@@ -257,9 +257,10 @@ Si $p$ et $q$ sont deux nombres premiers distincts alors l'égalité
 suivante permet de trouver le valeur de la fonction d'Euler en un seul 
 produit:
 \begin{equation}
-\varphi(pq)=(p-1)(q-1) \label{FEuler}
+\varphi(pq)=(p-1)(q-1). \label{FEuler}
 \end{equation} 
 \end{Prop}
+
 \begin{Exo}[Preuve de l'expression d'Euler]
 On doit compter le cardinal des nombres de $\{1, 2, . . . , pq -1\}$ qui sont 
 premiers avec $pq$.
@@ -277,6 +278,9 @@ premiers avec $pq$.
 
 
 
+
+
+
 %Refaire cet exo avec 27x +8y = 1
 \begin{Exo}
 L'objectif est de résoudre l'équation $(E)$ $405x -120y =15$ 
@@ -293,9 +297,42 @@ d'inconnues $x$ et $y$.
 
 
 
+\begin{Exo}
+  Soit $p$ un nombre premier.
+\begin{enumerate}
+\item Calculer $\varphi(p^2)$.
+\item Est-ce que RSA  fonctionnerait aussi avec l'entier $n = p^2$ à la place de $n=pq$?
+\end{enumerate}
+\end{Exo}
+
+\begin{Exo}
+On considère l'algorithme suivant: 
+on choisit deux nombres premiers $p$ et $q$
+distincts tels que 
+$p \equiv 2 [3]$ et $s \equiv 2 [3]$.
+Soit $n = pq$. 
+Alice veut envoyer un message  à Bob. 
+Comme dans RSA, son message est un nombre $m \in \ \{1, . . . , n - 1\}$ 
+tel que $m \land  n = 1$
+Le message codé d'Alice est le résultat $a= m^3[n]$.
+Bob décode $a$ en calculant 
+\[
+m' \equiv a^{d} [n] \textrm{ où $d=\dfrac{2(p-1)(q-1)+1}{3}$} 
+\]
+Normalement $m$ doit être égal à $m'$.
+
+\begin{enumerate}
+\item Choisir $p=11$, $q=17$, $m=4$ puis construire le message codé ainsi que le message décodé.
+\item  Montrer que $d$ est toujours un entier.
+\item Expliquer pourquoi $a$ et $m'$ ne sont pas divisibles par $n$.
+\item Montrer que Bob a bien décodé le message d’Alice.
+\end{enumerate}
+
+\end{Exo}
 
 \begin{Exo}[Sujet du bac S Liban 2005]
-On rappelle le résultat suivant appelé petit théorème de Fermat.
+On rappelle le résultat suivant appelé le corollaire du 
+petit théorème de Fermat.
 
 \emph{Si $p$ est un nombre premier et $a$ un entier non divisible par $p$,
  alors $a^{p-1}-1$ est un multiple de $p$.}
@@ -332,7 +369,7 @@ $g(f(a))=a$ . Que peut-on dire de $f(g(a))=a$?
 
 
 
-\section{Arithmétique modulaire}
+\section{Congruence modulo}
 
 \begin{Def}[Congruence modulo]
 Soit $a$ et $b$ deux entiers relatifs.
@@ -358,7 +395,7 @@ Démontrer la proposition précédente.
 \end{Exo}
 
 \begin{Prop}
-Soit deux entiers naturels $a$ et $n$ tels que $a< n$.
+Soit deux entiers naturels $a$ et $n$ tels que $1< a< n$.
 Si $a$ et $n$ sont premier entre eux, 
 alors il existe un unique $x \in \{1, \dots, n-1\}$ tel 
 que $ax \equiv 1[n]$.
@@ -368,10 +405,42 @@ que $ax \equiv 1[n]$.
 \begin{itemize}
 \item[\textbf{Existence.}]
 Comme $a$ et $n$ sont premiers entre eux, d'après le théorème de Bézout,
-il exite $x$ et $y$ entiers tels que 
+il existe $x$ et $y$ entiers tels que $ax+ny = 1$, soit encore $ax \equiv 1[n]$.
+\item [\textbf{Unicité.}]
+Supposons qu'il existe une seconde solution $x'\in \{1, \dots, n-1\}$ telle que 
+$ax' \equiv 1[n]$. Donc $a(x-x') \equiv 0[n]$. Or $n$ est premier avec  $a$.
+D'après le théorème de Gau{\ss}, $n$ divise donc $x-x'$.
+Or $x-x'\in \{-n+2,-n+3,\dots,-1,0,1, \dots, n-2\}$. Le seul nombre divisible par $n$ est 0 et donc $x=x'$.
 \end{itemize} 
 \end{Proof}
 
+\begin{Exp}
+Trouvons les nombres $x$ tels que $7x+11$ soit multiple de 36. Dit autrement, 
+résoudre l'équation $7x \equiv -11 [36]$. 
+
+On cherche un \og inverse \fg{} de 7 c.-à-d. un nombre $t$, $1 < t < 35$ 
+tel que $7t \equiv 1 [36]$. 
+Soit à résoudre $7t \equiv 1 [36]$ qui revient à trouver $t$ et $u$ tels
+que  $7t -36u = 1$, soit encore les coefficient de Bézout relatifs à 
+(7 et 36). On trouve successivement 
+\begin{eqnarray*}
+36 & = & 7  \times 5 +1 \\ 
+7 & = & 7 \times 1 + 0 \\
+& \textrm{et donc}&\\
+1 & = & 36 - 7 \times 5
+\end{eqnarray*}
+et donc $t = -5$ (et $u=-1$). 
+On en déduit $7x \equiv -11 [36]$ est équivalent à 
+$(-5).7x \equiv (-5).-11 [36]$ soit encore 
+$x \equiv 55 [36] \equiv 19 [36]$.
+\end{Exp}
+
+\begin{Exo}
+Trouver les entiers relatif $x$ tels que 
+$261x +2$ soit multiple de 305.
+\end{Exo}
+
+
 
 \begin{Exo}
 \begin{enumerate}
@@ -380,18 +449,105 @@ il exite $x$ et $y$ entiers tels que
                                         $35k +r \equiv 3r [11]$.
 \item  $n$ étant un entier naturel, quels sont les restes possibles
   dans la division de $3^n$ par 11?
-\item  Trouvez pour quelles valeurs de $n$, $3n + 7$ est divisible par 11
+\item  Trouvez pour quelles valeurs de $n$, $3^n + 7$ est divisible par 11.
 \end{enumerate}
 \end{Exo}
 
 
-% cf TD maths discrète; 
-% Corollaire 7.6 du chap RSA
-% unicité de la clef de décodage
 
 
+\begin{Exo}
+On se place dans le contexte de cryptographie par RSA.
+Démontrer que si la clé d'encryptage est $e < \varphi(n)$, alors 
+il existe une unique clé de décodage entre 1 et $\varphi(n)$.
+\end{Exo}
+
+\begin{Prop}[Théorème d'Euler]\label{th:Euler}
+Soit $n \in \N^*$ et $m$, $m<n$ un entier relativement premier avec $n$.
+Alors 
+\begin{equation}
+m^{\varphi(n)}\equiv1 [n].
+\end{equation}
+\end{Prop}
+On laisse de côté la démonstration.
+
+\begin{Prop}[Correction de RSA]
+Le cryptage-décryptage du code RSA est correct: 
+on crypte un message $m$ tel que 
+$m\land n= 1$ en $a$ avec  
+$ m^e  \equiv a [n]$ selon la clé $(e,n)$.
+Alors le décryptage selon la clé $(d,n)$ redonne
+le message initial : $a^d \equiv m [n]$.
+\end{Prop} 
+\begin{Proof}
+\begin{eqnarray*}
+a^d & \equiv &   (m^e)^d [n]\\
+& \equiv &   m^{ed} [n] \textrm{ (réécriture)}\\
+& \equiv &   m^{k.\varphi(n)+1} [n] \textrm{ (définition de $d$)}\\
+& \equiv &   m^{k.\varphi(n)}m [n] \textrm{ (réécriture)}\\
+& \equiv &   (m^{\varphi(n)})^km [n] \textrm{ (réécriture)}\\
+& \equiv &   (1)^km [n] \textrm{ (théorème d'Euler)}\\
+& \equiv &   m [n] \textrm{ (réécriture)}\\
+\end{eqnarray*}
+\end{Proof}
+
+
+\begin{Prop}[Petit théorème de Fermat]
+Si $p$ est un nombre premier et $a$ un entier 
+alors $a^{p} \equiv a [p]$.
+\end{Prop}
+
+\begin{Proof}
+La preuve se fait par récurrence sur $a$. 
+\begin{itemize}
+\item Pour $a=0$, c'est trivial.
+\item Supposons la formule établie pour $k=a$ et montrons qu'elle l'est aussi
+pour $k=a+1$. 
+On remarque tout d'abord que pour chaque $k$, $0 < k < p$, le coefficient 
+binomial $\binom{p}{k} = \dfrac{p!}{k!(p-k)!}$ est divisible par $p$, c.-à-d.
+$\binom{p}{k} \equiv 0 [p]$.
+On a alors successivement:
+\begin{eqnarray*}
+(k+1)^p &=& a^p + 
+\binom{p}{1}a^{p-1}+\binom{p}{2}a^{p-2}+\dots +\binom{p}{p-1}a^{1}+1\\
+&\equiv& a^p +1 [p]\textrm{ (d'après la remarque sur les coeff. binomiaux)}\\\
+&\equiv& a +1 [p]\textrm{ (par hypothèse de récurrence).}\\\
+\end{eqnarray*}
+\end{itemize}
+\end{Proof}
+
+\begin{Prop}[Corrolaire du petit théorème de Fermat]
+Si $p$ est un nombre premier et $a$ un entier non divisible par $p$,
+alors $a^{p-1}-1$ est un multiple de $p$.
+\end{Prop}
+\begin{Proof}
+D'après le petit théorème de Fermat, $a^{p}  \equiv a [p]$. Dit Autrement
+$p$ divise $a^{p} - a = a (a^{p-1}-1)$. Or $p$ est premier avec  $a$ d'après les 
+hypothèses. D'après le théorème de Gau{\ss}, $p$ divise $a^{p-1}-1$.
+\end{Proof}
+
 \subsection{Puissance de grands nombres}
 
+\begin{Exp}
+Calculons $666^{999}[13]$.
+On a successivement:
+\begin{eqnarray*}
+666^{999} & \equiv & (13\times 51 + 3)^{999} [13]\\ 
+ & \equiv & 3^{999} [13]\\ 
+ & \equiv & 3^{12\times83 +3} [13] \\
+ & \equiv & 3^3 \times (3^{12})^{83} [13] \\
+ & \equiv & 3^3 \times (1)^{83} [13] \textrm{(car $3^{12}\equiv 1 [13]$ d'après le corollaire du petit théorème de Fermat)}\\ 
+ & \equiv & 27 [13]\\
+ & \equiv & 1 [13]
+\end{eqnarray*} 
+\end{Exp}
+
+
+
+\begin{Exo}
+Calculer $2^{500} [13]$ et $26^{1000} [17]$.
+\end{Exo}
+
 
 \begin{Exo}
 Montrer que l'entier naturel $n$ est premier si et seulement si 
@@ -399,10 +555,197 @@ $$(x +1) ^n \equiv x ^n +1[n].$$
 \end{Exo}
 
 
+
+
+
 \section{Génération de grands nombres premiers}
+Dans ce qui suit, on nomme $\Prem$ l'ensemble des nombres premiers.
+Depuis Euclide, on sait que $\Prem$ est de taille infinie.
+Fermat avait cru donner une formule ne générant que des nombres premiers.
+Il affirmait que pour tout $n \in \N$, le nombre 
+\begin{eqnarray}
+F_n &= & 2^{2^n} +1 
+\end{eqnarray}
+était premier. Or 641 divise $F_5$. Aujourd'hui, on pense que seuls 
+les nombres de $F_0$ à $F_4$ sont premiers.
+
+\subsection{Distribution des nombres premiers parmi les entiers}
+
+Même si on ne connaît pas de formule permettant de construire tous les 
+nombres premiers, tout n'est pas perdu puisque les nombres premiers 
+ne sont pas si rares que cela. Le théorème suivant donne même 
+la proportion approximative des entiers inférieurs ou égaux à
+$N$  qui sont premiers.
+\begin{Prop}[Théorème des nombres premiers]
+La fonction $\pi:\N \rightarrow \N$  associe 
+à chaque nombre $N$ le nombre d'entiers inférieurs ou égaux à $N$ qui sont 
+premiers, soit $\pi(N) = |\{p \le N | p \textrm{ premier}\}|$.
+Lorsque $n$ est grand, on a:
+\begin{eqnarray}
+\pi(N) &\approx& \dfrac{N}{\ln(N)}
+\end{eqnarray}
+\end{Prop}
+La preuve de ce théorème est d'un niveau très avancé et n'est pas reproduite 
+ici.
+
+Pour obtenir un  entier de 100 chiffres, il suffit de considérer 
+$N= 10^{100}$. Si on choisit au hasard un nombre $n$ dans $\N_{N}^{*}$,
+la probabilité qu'il soit premier est: 
+\begin{eqnarray*}
+\textrm{Prob}(n \textrm{ premier}) &\approx&
+ \dfrac{\dfrac{N}{\ln(N)}}{N} \\
+ &\approx&
+ \dfrac{1}{\ln(N)}
+\end{eqnarray*}
+Le tableau~\ref{Table:propPrem} donne une valeur approchée de 
+cette probabilité pour quelques nombres de chiffres. 
+Dans celui-ci:
+\begin{itemize}
+\item la seconde ligne n'impose aucune restriction sur le dernier chiffre;
+\item la troisième ligne impose que le dernier chiffre soit dans 
+  $\{1,3,5,7,9\}$: il est  inutile de vérifier que les
+  multiples de 2 sont premiers!
+\item la quatrième ligne impose que le dernier chiffre soit dans $\{1,3,7,9\}$:
+  les multiples de 5 ne sont pas premiers!
+\end{itemize}
+On constate que si l'on tire au hasard un nombre (même de 100 chiffres), 
+parmi ceux qui se terminent par $\{1,3,7,9\}$ (ensemble noté $B$ par la suite) 
+la probabilité qu'il soit premier n'est pas infime. La solution au problème 
+de génération de nombres premiers repose sur la capacité ou non a disposer 
+d'un test efficace de primalité pour des grands nombres.
+
+%% Attention ce tableau est généré par ailleurs 
+\begin{table}[ht]
+\begin{center}
+\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|}
+ \hline 
+Nombre de chiffres & \textbf{75}& \textbf{100}& \textbf{125}& \textbf{150}& \textbf{175}& \textbf{200}& \textbf{225}& \textbf{250}& \textbf{275}& \textbf{300}\\
+\hline 
+Dernier chiffre quelconque & 172& 230& 287& 345& 402& 460& 518& 575& 633& 690\\
+\hline 
+Dernier chiffre impair & 86& 115& 143& 172& 201& 230& 259& 287& 316& 345\\
+\hline 
+Dernier chiffre dans $\{1,3,7,9\}$& 69& 92& 115& 138& 161& 184& 207& 230& 253& 276\\
+\hline
+ \end{tabular}
+\end{center}
+\caption{Probabilités inverse d'obtenir un nombre premier \label{Table:propPrem}}
+\end{table}
+
+
+On considère comme expérience aléatoire le fait de tirer un nombre au hasard 
+dans $B$. On a une probabilité $p$ que le nombre soit premier.
+Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre 
+de fois où l'on a réalisé cette expérience avant d'obtenir un nombre premier.
+$X$ suit une loi géométrique de paramètre $p$:
+\[
+P(X=k) = (1-p)^{k-1}p.
+\]
+Or l'espérance d'une variable aléatoire
+suivant une loi géométrique de paramètre $p$ est $\frac{1}{p}$.
+Pour 100 chiffres, il faudra en moyenne 92 tirages pour générer un 
+nombre premier. 
+
+Il \og reste \fg{} à fournir une méthode efficace pour décider 
+de la primalité d'un entier, ce que présente la section suivante.
+
+
+\subsection{Tests de primalité}
+Chaque section donne un algorithme permettant de décider si un entier $p$ fourni
+en entrée est premier ou non.
+
+\subsubsection{Méthode naïve}
+On vérifie s'il est divisible par l'un des entiers pairs compris entre 2 et 
+$\sqrt{p}$. Si la réponse est négative, alors $p$ est premier, 
+sinon il est composé. Pour améliorer la performance de cette méthode, on peut 
+calculer à l'avance une liste des nombres premiers inférieurs à $\sqrt{p}$
+(avec un crible d'Ératosthène), pour ne tester que ceux-ci.
+
+Par exemple, pour tester un nombre inférieur à 39 000, 
+il suffit de vérifier  qu'il n'est pas multiple d'un nombre premiers inférieur
+à 198 (car $198^2 = 39 204$); on doit faire au maximum 45 divisions.
+
+\subsubsection{Tests probabilistes}
+
+\begin{Prop}[Corrolaire du petit théorème de Fermat]
+Si $p$ est un nombre premier et $a$ un entier non divisible par $p$,
+alors $a^{p-1}-1$ est un multiple de $p$, c'est-à-dire:
+\begin{equation}
+ \forall a\in \N \forall p \in \N (   p \in \Prem \textrm{ et }   a \not\equiv  0[p] 
+  \Rightarrow a^{p-1}\equiv 1 [p]).
+\label{petittheremeFermat}
+\end{equation}
+\end{Prop}
+
+
+\paragraph{Test de Fermat.}
+Le petit théorème de Fermat est une implication et non pas une équivalence:
+\begin{itemize}
+\item si on prend un $p\in \N$ et un $a \in\N$ quelconque, 
+  alors si $p$ est premier et $a$ non divisible par $p$, alors on peut en déduire que $a^{p-1}\equiv 1 [p]$;
+\item rien ne dit que si on a  $a^{p-1}\equiv 1 [p]$, alors $p$ est premier et $a$ non divisible par $p$.
+\item rien ne dit non plus que que si on a  $a^{p-1}\equiv 1 [p]$ et que $a$ non divisible par $p$, alors $p$ est premier.
+\end{itemize}
+Cependant si on effectue un grand nombre de fois l'expérience de choisir 
+$a \in \N_{n-1}^{*}$ et qu'à chaque fois on établit $a^{p-1}\equiv 1 [p]$, 
+alors $p$ est probablement premier.
+Cependant ce n'est pas toujours le cas: par exemple $2^{340} \equiv 1 [341]$ et 
+pourtant $341 =  11 \times 31$.
+
+\begin{Exo}
+Donner le code de la fonction \verb+testPrimaliteFermat(n,t)+ qui retourne 
+\verb+True+ si \verb+t+ evaluations de $\texttt{a}^{\texttt{p}-1}$ on retourné $ 1 [\texttt{p}]$ 
+pour un $a \in \N_{n-1}^{*}$ et \verb+False+ sinon.
+\end{Exo}
+
+
+
+\paragraph{Test de Miller-Rabin}
+
+Soit $n$ un nombre premier impair,
+alors nous pouvons écrire $n - 1$ comme $2^s \times d$, 
+où $s$ est un entier et $d$ est impair.
+Alors, pour tout entier naturel $a \in \N_{n-1}^*$
+tel que $a$ est premier avec $n$, 
+une des conditions suivantes doit être vérifiée:
+\begin{enumerate}
+\item $a^{d} \equiv 1 [n]$, ou bien  
+\item $a^{2^r\cdot d} \equiv -1 [n]$ pour un certain $0 \le r \le s-1$.
+\end{enumerate} 
+La preuve de cette propriété est admise
+
+Le test de primalité de Miller-Rabin est basé sur les équations précédentes.
+Si on choisit un grand nombre $t$ de fois $a \in \N_{n-1}^*$
+et qu'on obtienne à chaque fois 
+\begin{itemize}
+\item $a^{d} \equiv 1 [n]$ ou 
+\item $a^{2^r\cdot d} \equiv -1 [n]$ pour un certain $0 \le r \le s-1$,
+\end{itemize}
+alors le nombre $n$ est probablement premier.
+Dans le cas contraire ($a^{d} \not\equiv 1 [n]$ et 
+$a^{2^r \cdot d} \not\equiv -1 [n]$ pour tous les  $0 \le r \le s-1$),
+$n$ n'est pas premier.
+
+\begin{Exo}
+Donner le code de la fonction \verb+testPrimaliteMillerRabin(n,t)+.
+\end{Exo}
+
 
 \section{Factorisation}
+L'objectif de cette partie est de montrer qu'on peut factoriser $n$ 
+sous la forme de $p\times q$ si ces deux derniers nombres ont été mal choisis.
 
 
-\section{Conclusion}
-cf SMATH paragraphe applications p 223.
\ No newline at end of file
+\begin{Exo}
+On considère que l'étape 1 de l'algorithme RSA a généré deux nombre premiers $p$ et $q$ tels que $p>q$. On définit  $t = \frac{p+q}{2}$ et $s = \frac{p-q}{2}$.
+Montrer que
+\begin{enumerate}
+\item le produit $n = pq = t^2 - s^2$;
+\item l'entier $t$ est légèrement supérieur à la racine carrée de $n$ et que $s $ est petit;
+\item l'on peut utiliser ces informations pour factoriser $n$ c.-à-d. retrouver $p$ et $q$;
+\item Factoriser 9623827 et  343570291. % res=2953*3259     res = 17729*19379
+\end{enumerate}
+\end{Exo}
+
+% \section{Conclusion}
+% cf SMATH paragraphe applications p 223.
\ No newline at end of file