X-Git-Url: https://bilbo.iut-bm.univ-fcomte.fr/and/gitweb/modelisationMathS3.git/blobdiff_plain/ffce293ccbd93a8d34365b009c246eead8d3b0be..f182c99c4479f3f0875b1d7b162248b7a00fc7b5:/rsa.tex?ds=sidebyside

diff --git a/rsa.tex b/rsa.tex
index 541d3c2..a96d0a2 100644
--- a/rsa.tex
+++ b/rsa.tex
@@ -24,6 +24,7 @@ Dans le cas oÃ¹ l'on utilise une clÃ© de cryptage, on a le schÃ©ma prÃ©sentÃ©
 Ã  la figure~\ref{Fig:schemageneral}.
 \begin{figure}[ht]
 \begin{center}
+%\includegraphics[scale=0.5]{schemacrypto.pdf}
 \includegraphics[scale=0.5]{schemacrypto.eps}
 \end{center}
 \caption{SchÃ©ma gÃ©nÃ©ral d'une mÃ©thode de cryptage/dÃ©cryptage}\label{Fig:schemageneral}
@@ -190,13 +191,13 @@ Dans la preuve de la proposition prÃ©cÃ©dente, on avait successivement
 
 \begin{eqnarray}
 a &=& b \times q_1 +r_1 \label{eq:def:r1} \\
-b &=& r_1 \times q_2 +r_2 \\
-r_1 &=& r_2 \times q_3 +r_3 \\
+b &=& r_1 \times q_2 +r_2 \nonumber \\
+r_1 &=& r_2 \times q_3 +r_3 \nonumber\\
 & \vdots & \nonumber\\
 r_{n-4} & = & r_{n-3} \times q_{n-2} + r_{n-2} \label{eq:def:rnm4} \\
 r_{n-3} & = & r_{n-2} \times q_{n-1} + r_{n-1} \label{eq:def:rnm3} \\
 r_{n-2} & = & r_{n-1} \times q_{n} + r_{n} \label{eq:def:rnm2}\\
-r_{n-1} & = & r_{n} \times q_{n+1} + 0 
+r_{n-1} & = & r_{n} \times q_{n+1} + 0 \nonumber 
 \end{eqnarray}
 
 
@@ -204,20 +205,19 @@ On sait que $a\land b$ est $r_n$ le dernier reste non nul.
 On remonte les Ã©quations une Ã  une en dÃ©marrant de (\ref{eq:def:rnm2}).
 \begin{eqnarray}
 r_{n}  & = & r_{n-2} - r_{n-1} \times q_{n}  \nonumber \\
-  & = & r_{n-2} - (r_{n-3} - r_{n-2} \times q_{n-1}) \times q_{n} (\textrm{on remplace $r_{n-1}$ par sa def dans (\ref{eq:def:rnm3})}) \nonumber\\
-  & = & r_{n-2}. (1 + q_{n-1}. q_{n}) - r_{n-3}. q_{n} (\textrm{factorisation})\nonumber \\
-   & = & (r_{n-4} - r_{n-3} \times q_{n-2}). (1 + q_{n-1}. q_{n}) - r_{n-3}. q_{n}(\textrm{on remplace $r_{n-2}$ par sa def dans (\ref{eq:def:rnm4})}) \nonumber \\
+  & = & r_{n-2} - (r_{n-3} - r_{n-2} \times q_{n-1}) \times q_{n} \textrm{ (on remplace $r_{n-1}$ par son expression tirÃ©e de  (\ref{eq:def:rnm3})}) \nonumber\\
+  & = & r_{n-2}. (1 + q_{n-1}. q_{n}) - r_{n-3}. q_{n} \textrm{ (factorisation)}\nonumber \\
+   & = & (r_{n-4} - r_{n-3} \times q_{n-2}). (1 + q_{n-1}. q_{n}) - r_{n-3}. q_{n}\textrm{ (on remplace $r_{n-2}$ par son expression tirÃ©e de (\ref{eq:def:rnm4})}) \nonumber \\
 & \vdots & \nonumber \\
-& = & \ldots (\textrm{on remplace $r_{1}$ par sa def dans (\ref{eq:def:r1})}) \nonumber\\ 
-& = ax + by \nonumber
+& = & \ldots \textrm{ (on remplace $r_{1}$ par son expression tirÃ©e de (\ref{eq:def:r1})}) \nonumber\\ 
+& = &ax + by \nonumber
 \end{eqnarray}
-
 \end{Proof}
 
 
 
 \begin{Def}[Nombres premiers entre eux]
-Les deux entiers relatifs $a$ et $b$ sont premiers entre eux s 
+Les deux entiers relatifs $a$ et $b$ sont premiers entre eux si 
 leur plus grand commun diviseur est Ã©gal Ã  1.
 \end{Def}
 
@@ -237,7 +237,7 @@ car 1 est le PGCD de $a$ et de $b$.
 \item[\textbf{Si.}] 
   Supposons qu'il existe un couple $(x,y)$ 
   d'entiers relatifs vÃ©rifiant $ax + by = 1$ et $d = a \land b$.
-  Le $d$ divise $ax$ et $d$ divise $by$. Donc $d$ divise 
+  L'entier $d$ divise les produits $ax$ et $by$. Donc $d$ divise 
   $ax + by$ et donc $d$ est 1.   
 \end{itemize}
 \end{Proof}
@@ -257,9 +257,10 @@ Si $p$ et $q$ sont deux nombres premiers distincts alors l'Ã©galitÃ©
 suivante permet de trouver le valeur de la fonction d'Euler en un seul 
 produit:
 \begin{equation}
-\varphi(pq)=(p-1)(q-1) \label{FEuler}
+\varphi(pq)=(p-1)(q-1). \label{FEuler}
 \end{equation} 
 \end{Prop}
+
 \begin{Exo}[Preuve de l'expression d'Euler]
 On doit compter le cardinal des nombres de $\{1, 2, . . . , pq -1\}$ qui sont 
 premiers avec $pq$.
@@ -277,25 +278,37 @@ premiers avec $pq$.
 
 
 
+
+
+
 %Refaire cet exo avec 27x +8y = 1
 \begin{Exo}
-L'objectif est de rÃ©soudre l'Ã©quation $(E)$ d'inconnues $x$ et $y$ 
-$405x -120y =15$.
+L'objectif est de rÃ©soudre l'Ã©quation $(E)$ $405x -120y =15$ 
+d'inconnues $x$ et $y$.
 \begin{enumerate}
 \item Trouver le PGCD de 405 et 120  Ã  l'aide de l'algorithme d'Euclide.
 \item En dÃ©duire une solution particuliÃ¨re de cette Ã©quation.
 \item En utilisant la solution particuliÃ¨re, montrer que $(E)$ est 
   Ã©quivalente Ã  $27(x-3) = 8(y-10)$.
-\item Utiliser le thÃ©orÃ¨me de Gauss pour montrer que 
-  l'ensemble solution de $(E)$ est $\{(8k+3;27k+10)| k \in \Z\}$. 
+\item Utiliser le thÃ©orÃ¨me de Gau{\ss} pour montrer que 
+  l'ensemble des solutions de $(E)$ est $\{(8k+3;27k+10)| k \in \Z\}$. 
 \end{enumerate}
 \end{Exo}
 
 
 
+\begin{Exo}
+  Soit $p$ un nombre premier.
+\begin{enumerate}
+\item Calculer $\varphi(p^2)$.
+\item Est-ce que RSA  fonctionnerait aussi avec l'entier $n = p^2$ Ã  la place de $n=pq$?
+\end{enumerate}
+\end{Exo}
+
 
 \begin{Exo}[Sujet du bac S Liban 2005]
-On rappelle le rÃ©sultat suivant appelÃ© petit thÃ©orÃ¨me de Fermat.
+On rappelle le rÃ©sultat suivant appelÃ© le corollaire du 
+petit thÃ©orÃ¨me de Fermat.
 
 \emph{Si $p$ est un nombre premier et $a$ un entier non divisible par $p$,
  alors $a^{p-1}-1$ est un multiple de $p$.}
@@ -329,18 +342,415 @@ $g(f(a))=a$ . Que peut-on dire de $f(g(a))=a$?
 \end{enumerate}
 \end{enumerate}
 \end{Exo}
-\section{ArithmÃ©tique modulaire}
-% cf TD maths discrÃ¨te; 
-% Corollaire 7.6 du chap RSA
-% unicitÃ© de la clef de dÃ©codage
 
 
+
+\section{Congruence modulo}
+
+\begin{Def}[Congruence modulo]
+Soit $a$ et $b$ deux entiers relatifs.
+On dit que $a$ est congru $b$ modulo $n$ si $n$ divise $a-b$, c'est-Ã -dire
+s'il existe $x \in \Z$ tel que $(a-b) = nx$.
+On note    $a \equiv b [n]$. 
+La relation \og $\equiv [n]$ \fg{}
+est une relation d'Ã©quivalence appelÃ©e congruence modulo $n$.
+\end{Def}
+
+\begin{Prop}
+Soit $a$, $b$, $c$, $d$, $x$ et $y$ dans $\Z$. 
+Si $a \equiv c[n]$ et  $b \equiv d[n]$, alors
+\begin{enumerate}
+\item $a +b \equiv c + d [n]$;
+\item $ab \equiv cd [n]$;
+\item $ax +by \equiv cx +dy [n]$.
+\end{enumerate}
+\end{Prop}
+
+\begin{Exo}
+DÃ©montrer la proposition prÃ©cÃ©dente.
+\end{Exo}
+
+\begin{Prop}
+Soit deux entiers naturels $a$ et $n$ tels que $1< a< n$.
+Si $a$ et $n$ sont premier entre eux, 
+alors il existe un unique $x \in \{1, \dots, n-1\}$ tel 
+que $ax \equiv 1[n]$.
+\end{Prop}
+
+\begin{Proof}
+\begin{itemize}
+\item[\textbf{Existence.}]
+Comme $a$ et $n$ sont premiers entre eux, d'aprÃ¨s le thÃ©orÃ¨me de BÃ©zout,
+il existe $x$ et $y$ entiers tels que $ax+ny = 1$, soit encore $ax \equiv 1[n]$.
+\item [\textbf{UnicitÃ©.}]
+Supposons qu'il existe une seconde solution $x'\in \{1, \dots, n-1\}$ telle que 
+$ax' \equiv 1[n]$. Donc $a(x-x') \equiv 0[n]$. Or $n$ est premier avec  $a$.
+D'aprÃ¨s le thÃ©orÃ¨me de Gau{\ss}, $n$ divise donc $x-x'$.
+Or $x-x'\in \{-n+2,-n+3,\dots,-1,0,1, \dots, n-2\}$. Le seul nombre divisible par $n$ est 0 et donc $x=x'$.
+\end{itemize} 
+\end{Proof}
+
+\begin{Exp}
+Trouvons les nombres $x$ tels que $7x+11$ soit multiple de 36. Dit autrement, 
+rÃ©soudre l'Ã©quation $7x \equiv -11 [36]$. 
+
+On cherche un \og inverse \fg{} de 7 c.-Ã -d. un nombre $t$, $1 < t < 35$ 
+tel que $7t \equiv 1 [36]$. 
+Soit Ã  rÃ©soudre $7t \equiv 1 [36]$ qui revient Ã  trouver $t$ et $u$ tels
+que  $7t -36u = 1$, soit encore les coefficient de BÃ©zout relatifs Ã  
+(7 et 36). On trouve successivement 
+\begin{eqnarray*}
+36 & = & 7  \times 5 +1 \\ 
+7 & = & 7 \times 1 + 0 \\
+& \textrm{et donc}&\\
+1 & = & 36 - 7 \times 5
+\end{eqnarray*}
+et donc $t = -5$ (et $u=-1$). 
+On en dÃ©duit $7x \equiv -11 [36]$ est Ã©quivalent Ã  
+$(-5).7x \equiv (-5).-11 [36]$ soit encore 
+$x \equiv 55 [36] \equiv 19 [36]$.
+\end{Exp}
+
+\begin{Exo}
+Trouver les entiers relatif $x$ tels que 
+$261x +2$ soit multiple de 305.
+\end{Exo}
+
+
+
+\begin{Exo}
+\begin{enumerate}
+\item DÃ©monter que $3^5 \equiv 1 [11]$
+\item En dÃ©duire que pour tous entiers naturels $k$ et $r$ on a 
+                                        $3^{5k +r} \equiv 3^r [11]$.
+\item  $n$ Ã©tant un entier naturel, quels sont les restes possibles
+  dans la division de $3^n$ par 11?
+\item  Trouvez pour quelles valeurs de $n$, $3^n + 7$ est divisible par 11.
+\end{enumerate}
+\end{Exo}
+
+
+
+
+\begin{Exo}
+On se place dans le contexte de cryptographie par RSA.
+DÃ©montrer que si la clÃ© d'encryptage est $e < \varphi(n)$, alors 
+il existe une unique clÃ© de dÃ©codage entre 1 et $\varphi(n)$.
+\end{Exo}
+
+\begin{Prop}[ThÃ©orÃ¨me d'Euler]\label{th:Euler}
+Soit $n \in \N^*$ et $m$, $m<n$ un entier relativement premier avec $n$.
+Alors 
+\begin{equation}
+m^{\varphi(n)}\equiv1 [n].
+\end{equation}
+\end{Prop}
+On laisse de cÃ´tÃ© la dÃ©monstration.
+
+\begin{Prop}[Correction de RSA]
+Le cryptage-dÃ©cryptage du code RSA est correct: 
+on crypte un message $m$ tel que 
+$m\land n= 1$ en $a$ avec  
+$ m^e  \equiv a [n]$ selon la clÃ© $(e,n)$.
+Alors le dÃ©cryptage selon la clÃ© $(d,n)$ redonne
+le message initial : $a^d \equiv m [n]$.
+\end{Prop} 
+\begin{Proof}
+\begin{eqnarray*}
+a^d & \equiv &   (m^e)^d [n]\\
+& \equiv &   m^{ed} [n] \textrm{ (rÃ©Ã©criture)}\\
+& \equiv &   m^{k.\varphi(n)+1} [n] \textrm{ (dÃ©finition de $d$)}\\
+& \equiv &   m^{k.\varphi(n)}m [n] \textrm{ (rÃ©Ã©criture)}\\
+& \equiv &   (m^{\varphi(n)})^km [n] \textrm{ (rÃ©Ã©criture)}\\
+& \equiv &   (1)^km [n] \textrm{ (thÃ©orÃ¨me d'Euler)}\\
+& \equiv &   m [n] \textrm{ (rÃ©Ã©criture)}\\
+\end{eqnarray*}
+\end{Proof}
+
+
+\begin{Exo}
+On considÃ¨re l'algorithme suivant: 
+on choisit deux nombres premiers $p$ et $q$
+distincts tels que 
+$p \equiv 2 [3]$ et $s \equiv 2 [3]$.
+Soit $n = pq$. 
+Alice veut envoyer un message  Ã  Bob. 
+Comme dans RSA, son message est un nombre $m \in \ \{1, . . . , n - 1\}$ 
+tel que $m \land  n = 1$
+Le message codÃ© d'Alice est le rÃ©sultat $a= m^3[n]$.
+Bob dÃ©code $a$ en calculant 
+\[
+m' \equiv a^{d} [n] \textrm{ oÃ¹ $d=\dfrac{2(p-1)(q-1)+1}{3}$} 
+\]
+Normalement $m$ doit Ãªtre Ã©gal Ã  $m'$.
+
+\begin{enumerate}
+\item Choisir $p=11$, $q=17$, $m=4$ puis construire le message codÃ© ainsi que le message dÃ©codÃ©.
+\item  Montrer que $d$ est toujours un entier.
+\item Expliquer pourquoi $a$ et $m'$ ne sont pas divisibles par $n$.
+\item Montrer que Bob a bien dÃ©codÃ© le message dâAlice.
+\end{enumerate}
+
+\end{Exo}
+
+
+\begin{Prop}[Petit thÃ©orÃ¨me de Fermat]
+Si $p$ est un nombre premier et $a$ un entier 
+alors $a^{p} \equiv a [p]$.
+\end{Prop}
+
+\begin{Proof}
+La preuve se fait par rÃ©currence sur $a$. 
+\begin{itemize}
+\item Pour $a=0$, c'est trivial.
+\item Supposons la formule Ã©tablie pour $k=a$ et montrons qu'elle l'est aussi
+pour $k=a+1$. 
+On remarque tout d'abord que pour chaque $k$, $0 < k < p$, le coefficient 
+binomial $\binom{p}{k} = \dfrac{p!}{k!(p-k)!}$ est divisible par $p$, c.-Ã -d.
+$\binom{p}{k} \equiv 0 [p]$.
+On a alors successivement:
+\begin{eqnarray*}
+(k+1)^p &=& a^p + 
+\binom{p}{1}a^{p-1}+\binom{p}{2}a^{p-2}+\dots +\binom{p}{p-1}a^{1}+1\\
+&\equiv& a^p +1 [p]\textrm{ (d'aprÃ¨s la remarque sur les coeff. binomiaux)}\\\
+&\equiv& a +1 [p]\textrm{ (par hypothÃ¨se de rÃ©currence).}\\\
+\end{eqnarray*}
+\end{itemize}
+\end{Proof}
+
+\begin{Prop}[Corrolaire du petit thÃ©orÃ¨me de Fermat]
+Si $p$ est un nombre premier et $a$ un entier non divisible par $p$,
+alors $a^{p-1}-1$ est un multiple de $p$.
+\end{Prop}
+\begin{Proof}
+D'aprÃ¨s le petit thÃ©orÃ¨me de Fermat, $a^{p}  \equiv a [p]$. Dit Autrement
+$p$ divise $a^{p} - a = a (a^{p-1}-1)$. Or $p$ est premier avec  $a$ d'aprÃ¨s les 
+hypothÃ¨ses. D'aprÃ¨s le thÃ©orÃ¨me de Gau{\ss}, $p$ divise $a^{p-1}-1$.
+\end{Proof}
+
 \subsection{Puissance de grands nombres}
 
+\begin{Exp}
+Calculons $666^{999}[13]$.
+On a successivement:
+\begin{eqnarray*}
+666^{999} & \equiv & (13\times 51 + 3)^{999} [13]\\ 
+ & \equiv & 3^{999} [13]\\ 
+ & \equiv & 3^{12\times83 +3} [13] \\
+ & \equiv & 3^3 \times (3^{12})^{83} [13] \\
+ & \equiv & 3^3 \times (1)^{83} [13] \textrm{(car $3^{12}\equiv 1 [13]$ d'aprÃ¨s le corollaire du petit thÃ©orÃ¨me de Fermat)}\\ 
+ & \equiv & 27 [13]\\
+ & \equiv & 1 [13]
+\end{eqnarray*} 
+\end{Exp}
+
+
+
+\begin{Exo}
+Calculer $2^{500} [13]$ et $26^{1000} [17]$.
+\end{Exo}
+
+
+\begin{Exo}
+Montrer que si l'entier naturel $n$ est premier alors
+$$(x +1)^n \equiv x^n +1[n].$$
+
+On a mÃªme l'Ã©quivalence, cependant, l'autre sens est plus technique Ã  dÃ©montrer.
+
+\end{Exo}
+
+
+
+
+
 \section{GÃ©nÃ©ration de grands nombres premiers}
+Dans ce qui suit, on nomme $\Prem$ l'ensemble des nombres premiers.
+Depuis Euclide, on sait que $\Prem$ est de taille infinie.
+Fermat avait cru donner une formule ne gÃ©nÃ©rant que des nombres premiers.
+Il affirmait que pour tout $n \in \N$, le nombre 
+\begin{eqnarray}
+F_n &= & 2^{2^n} +1 
+\end{eqnarray}
+Ã©tait premier. Or 641 divise $F_5$. Aujourd'hui, on pense que seuls 
+les nombres de $F_0$ Ã  $F_4$ sont premiers.
+
+\subsection{Distribution des nombres premiers parmi les entiers}
+
+MÃªme si on ne connaÃ®t pas de formule permettant de construire tous les 
+nombres premiers, tout n'est pas perdu puisque les nombres premiers 
+ne sont pas si rares que cela. Le thÃ©orÃ¨me suivant donne mÃªme 
+la proportion approximative des entiers infÃ©rieurs ou Ã©gaux Ã 
+$N$  qui sont premiers.
+\begin{Prop}[ThÃ©orÃ¨me des nombres premiers]
+La fonction $\pi:\N \rightarrow \N$  associe 
+Ã  chaque nombre $N$ le nombre d'entiers infÃ©rieurs ou Ã©gaux Ã  $N$ qui sont 
+premiers, soit $\pi(N) = |\{p \le N | p \textrm{ premier}\}|$.
+Lorsque $n$ est grand, on a:
+\begin{eqnarray}
+\pi(N) &\approx& \dfrac{N}{\ln(N)}
+\end{eqnarray}
+\end{Prop}
+La preuve de ce thÃ©orÃ¨me est d'un niveau trÃ¨s avancÃ© et n'est pas reproduite 
+ici.
+
+Pour obtenir un  entier de 100 chiffres, il suffit de considÃ©rer 
+$N= 10^{100}$. Si on choisit au hasard un nombre $n$ dans $\N_{N}^{*}$,
+la probabilitÃ© qu'il soit premier est: 
+\begin{eqnarray*}
+\textrm{Prob}(n \textrm{ premier}) &\approx&
+ \dfrac{\dfrac{N}{\ln(N)}}{N} \\
+ &\approx&
+ \dfrac{1}{\ln(N)}
+\end{eqnarray*}
+Le tableau~\ref{Table:propPrem} donne une valeur approchÃ©e de 
+cette probabilitÃ© pour quelques nombres de chiffres. 
+Dans celui-ci:
+\begin{itemize}
+\item la seconde ligne n'impose aucune restriction sur le dernier chiffre;
+\item la troisiÃ¨me ligne impose que le dernier chiffre soit dans 
+  $\{1,3,5,7,9\}$: il est  inutile de vÃ©rifier que les
+  multiples de 2 sont premiers!
+\item la quatriÃ¨me ligne impose que le dernier chiffre soit dans $\{1,3,7,9\}$:
+  les multiples de 5 ne sont pas premiers!
+\end{itemize}
+On constate que si l'on tire au hasard un nombre (mÃªme de 100 chiffres), 
+parmi ceux qui se terminent par $\{1,3,7,9\}$ (ensemble notÃ© $B$ par la suite) 
+la probabilitÃ© qu'il soit premier n'est pas infime. La solution au problÃ¨me 
+de gÃ©nÃ©ration de nombres premiers repose sur la capacitÃ© ou non a disposer 
+d'un test efficace de primalitÃ© pour des grands nombres.
+
+%% Attention ce tableau est gÃ©nÃ©rÃ© par ailleurs 
+\begin{table}[ht]
+\begin{center}
+\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|}
+ \hline 
+Nombre de chiffres & \textbf{75}& \textbf{100}& \textbf{125}& \textbf{150}& \textbf{175}& \textbf{200}& \textbf{225}& \textbf{250}& \textbf{275}& \textbf{300}\\
+\hline 
+Dernier chiffre quelconque & 172& 230& 287& 345& 402& 460& 518& 575& 633& 690\\
+\hline 
+Dernier chiffre impair & 86& 115& 143& 172& 201& 230& 259& 287& 316& 345\\
+\hline 
+Dernier chiffre dans $\{1,3,7,9\}$& 69& 92& 115& 138& 161& 184& 207& 230& 253& 276\\
+\hline
+ \end{tabular}
+\end{center}
+\caption{ProbabilitÃ©s inverse d'obtenir un nombre premier \label{Table:propPrem}}
+\end{table}
+
+
+On considÃ¨re comme expÃ©rience alÃ©atoire le fait de tirer un nombre au hasard 
+dans $B$. On a une probabilitÃ© $p$ que le nombre soit premier.
+Soit $X$ la variable alÃ©atoire qui compte le nombre 
+de fois oÃ¹ l'on a rÃ©alisÃ© cette expÃ©rience avant d'obtenir un nombre premier.
+$X$ suit une loi gÃ©omÃ©trique de paramÃ¨tre $p$:
+\[
+P(X=k) = (1-p)^{k-1}p.
+\]
+Or l'espÃ©rance d'une variable alÃ©atoire
+suivant une loi gÃ©omÃ©trique de paramÃ¨tre $p$ est $\frac{1}{p}$.
+Pour 100 chiffres, il faudra en moyenne 92 tirages pour gÃ©nÃ©rer un 
+nombre premier. 
+
+Il \og reste \fg{} Ã  fournir une mÃ©thode efficace pour dÃ©cider 
+de la primalitÃ© d'un entier, ce que prÃ©sente la section suivante.
+
+
+\subsection{Tests de primalitÃ©}
+Chaque section donne un algorithme permettant de dÃ©cider si un entier $p$ fourni
+en entrÃ©e est premier ou non.
+
+\subsubsection{MÃ©thode naÃ¯ve}
+On vÃ©rifie s'il est divisible par l'un des entiers pairs compris entre 2 et 
+$\sqrt{p}$. Si la rÃ©ponse est nÃ©gative, alors $p$ est premier, 
+sinon il est composÃ©. Pour amÃ©liorer la performance de cette mÃ©thode, on peut 
+calculer Ã  l'avance une liste des nombres premiers infÃ©rieurs Ã  $\sqrt{p}$
+(avec un crible d'ÃratosthÃ¨ne), pour ne tester que ceux-ci.
+
+Par exemple, pour tester un nombre infÃ©rieur Ã  39 000, 
+il suffit de vÃ©rifier  qu'il n'est pas multiple d'un nombre premiers infÃ©rieur
+Ã  198 (car $198^2 = 39 204$); on doit faire au maximum 45 divisions.
+
+\subsubsection{Tests probabilistes}
+
+\begin{Prop}[Corrolaire du petit thÃ©orÃ¨me de Fermat]
+Si $p$ est un nombre premier et $a$ un entier non divisible par $p$,
+alors $a^{p-1}-1$ est un multiple de $p$, c'est-Ã -dire:
+\begin{equation}
+ \forall a\in \N \forall p \in \N (   p \in \Prem \textrm{ et }   a \not\equiv  0[p] 
+  \Rightarrow a^{p-1}\equiv 1 [p]).
+\label{petittheremeFermat}
+\end{equation}
+\end{Prop}
+
+
+\paragraph{Test de Fermat.}
+Le petit thÃ©orÃ¨me de Fermat est une implication et non pas une Ã©quivalence:
+\begin{itemize}
+\item si on prend un $p\in \N$ et un $a \in\N$ quelconque, 
+  alors si $p$ est premier et $a$ non divisible par $p$, alors on peut en dÃ©duire que $a^{p-1}\equiv 1 [p]$;
+\item rien ne dit que si on a  $a^{p-1}\equiv 1 [p]$, alors $p$ est premier et $a$ non divisible par $p$.
+\item rien ne dit non plus que que si on a  $a^{p-1}\equiv 1 [p]$ et que $a$ non divisible par $p$, alors $p$ est premier.
+\end{itemize}
+Cependant si on effectue un grand nombre de fois l'expÃ©rience de choisir 
+$a \in \N_{n-1}^{*}$ et qu'Ã  chaque fois on Ã©tablit $a^{p-1}\equiv 1 [p]$, 
+alors $p$ est probablement premier.
+Cependant ce n'est pas toujours le cas: par exemple $2^{340} \equiv 1 [341]$ et 
+pourtant $341 =  11 \times 31$.
+
+\begin{Exo}
+Donner le code de la fonction \verb+testPrimaliteFermat(n,t)+ qui retourne 
+\verb+True+ si \verb+t+ evaluations de $\texttt{a}^{\texttt{p}-1}$ on retournÃ© $ 1 [\texttt{p}]$ 
+pour un $a \in \N_{n-1}^{*}$ et \verb+False+ sinon.
+\end{Exo}
+
+
+
+\paragraph{Test de Miller-Rabin}
+
+Soit $n$ un nombre premier impair,
+alors nous pouvons Ã©crire $n - 1$ comme $2^s \times d$, 
+oÃ¹ $s$ est un entier et $d$ est impair.
+Alors, pour tout entier naturel $a \in \N_{n-1}^*$
+tel que $a$ est premier avec $n$, 
+une des conditions suivantes doit Ãªtre vÃ©rifiÃ©e:
+\begin{enumerate}
+\item $a^{d} \equiv 1 [n]$, ou bien  
+\item $a^{2^r\cdot d} \equiv -1 [n]$ pour un certain $0 \le r \le s-1$.
+\end{enumerate} 
+La preuve de cette propriÃ©tÃ© est admise
+
+Le test de primalitÃ© de Miller-Rabin est basÃ© sur les Ã©quations prÃ©cÃ©dentes.
+Si on choisit un grand nombre $t$ de fois $a \in \N_{n-1}^*$
+et qu'on obtienne Ã  chaque fois 
+\begin{itemize}
+\item $a^{d} \equiv 1 [n]$ ou 
+\item $a^{2^r\cdot d} \equiv -1 [n]$ pour un certain $0 \le r \le s-1$,
+\end{itemize}
+alors le nombre $n$ est probablement premier.
+Dans le cas contraire ($a^{d} \not\equiv 1 [n]$ et 
+$a^{2^r \cdot d} \not\equiv -1 [n]$ pour tous les  $0 \le r \le s-1$),
+$n$ n'est pas premier.
+
+\begin{Exo}
+Donner le code de la fonction \verb+testPrimaliteMillerRabin(n,t)+.
+\end{Exo}
+
 
 \section{Factorisation}
+L'objectif de cette partie est de montrer qu'on peut factoriser $n$ 
+sous la forme de $p\times q$ si ces deux derniers nombres ont Ã©tÃ© mal choisis.
 
 
-\section{Conclusion}
-cf SMATH paragraphe applications p 223.
\ No newline at end of file
+\begin{Exo}
+On considÃ¨re que l'Ã©tape 1 de l'algorithme RSA a gÃ©nÃ©rÃ© deux nombre premiers $p$ et $q$ tels que $p>q$. On dÃ©finit  $t = \frac{p+q}{2}$ et $s = \frac{p-q}{2}$.
+Montrer que
+\begin{enumerate}
+\item le produit $n = pq = t^2 - s^2$;
+\item l'entier $t$ est lÃ©gÃ¨rement supÃ©rieur Ã  la racine carrÃ©e de $n$ et que $s $ est petit;
+\item l'on peut utiliser ces informations pour factoriser $n$ c.-Ã -d. retrouver $p$ et $q$;
+\item Factoriser 9623827 et  343570291. % res=2953*3259     res = 17729*19379
+\end{enumerate}
+\end{Exo}
+
+% \section{Conclusion}
+% cf SMATH paragraphe applications p 223.
\ No newline at end of file
