From: couchot <jf.couchot@gmail.com>
Date: Wed, 26 Aug 2015 09:31:17 +0000 (+0200)
Subject: ajout de qques exos
X-Git-Url: https://bilbo.iut-bm.univ-fcomte.fr/and/gitweb/modelisationMathS3.git/commitdiff_plain/refs/heads/master?hp=f14f155ac3fd4de01b79c669af7f037baba449e3

ajout de qques exos
---

diff --git a/main.tex b/main.tex
index 244a854..22badb0 100755
--- a/main.tex
+++ b/main.tex
@@ -38,14 +38,14 @@
 
 
 
-\theoremstyle{plain}
+\theoremstyle{nonumberplain}
 \theoremheaderfont{\normalfont\sc}
 \theorembodyfont{\slshape}
-\theoremsymbol{$\dagger$}
+\theoremsymbol{}
 \theoremprework{\medskip}
 %\theorempostwork{}
 \theoremseparator{. }
-\newtheorem{Proof}{Preuve}%[chapter]
+\newtheorem{Proof}{Preuve}%[]
 
 
 \theoremstyle{plain}
@@ -56,6 +56,8 @@
 \newtheorem{Exo}{Exercice}[chapter]
 
 
+
+
 \theoremstyle{plain}
 %\theoremsymbol{\ensuremath{\clubsuit}}
 \theoremseparator{.}
diff --git a/rsa.tex b/rsa.tex
index a96d0a2..eee81e5 100644
--- a/rsa.tex
+++ b/rsa.tex
@@ -55,71 +55,7 @@ Il s'inspire largement de~\cite{RSA09}
 
 
 
-\section{L'algorithme RSA}
-
-\subsection{Les étapes détaillées de l'algorithme}
-
-On rappelle qu'un système cryptographique à clé publique est
-initialisé par le receveur, c.-à-d. celui qui veut recevoir des messages de
-manière sure. 
-
-\paragraph{Première étape: choix des deux nombres $p$ et $q$.} 
-Le receveur choisit deux grands nombres premiers
-$p$ et $q$ et calcule $n = pq$. Puis il calcule $\varphi(n)$, 
-où $\varphi : \N^* \rightarrow \N^* $ est la \emph{fonction d'Euler} 
-définie par $\varphi(n)$  est le nombre d'entiers dans $\{1, 2, \dots , n -1 \}$ 
-qui sont premiers avec $n$.
-\paragraph{Deuxième  étape: choix de la clé publique.} 
-Le receveur choisit $e \in 
-\{1, \dots , n-1\}$  premier avec $\varphi(n)$.
-La clé publique est la paire $(e,n)$. L'expéditeur
-va s'en servir pour crypter son message à la quatrième étape ci-dessous.
-\paragraph{Troisième  étape: construction de la clé privée.}
-Le receveur calcule l'entier $d \in \{1,\dots, n-1\}$
-tel que le reste de la division de $ed$ par $\varphi(n)$ est 1. 
-Ceci se note aussi $ed \equiv 1 [\varphi(n)]$ qui se lie $ed$ est congru 
-à 1 modulo $\varphi(n)$.
-La paire $(d,n)$ est la clé privée de décryptage. Elle
-est secrète et permet au receveur de décrypter tous les messages reçus
-et cryptés avec $(e,n)$. 
-\paragraph{Quatrième  étape: cryptage du message.}
-L’expéditeur peut crypter tout message écrit sous la forme 
-d'un nombre $m$ appartenant à $\{1, \dots , n-1\}$ et qui est 
-premier avec $n$. 
-Le message codé est le reste $a$ de la division de $m^e$ par $n$. 
-On a donc $m^e \equiv a [n]$, où $a \in \{1, \dots , n - 1\}$.
-\paragraph{Cinquième  étape:  décryptage du message.} 
-Le receveur dispose de $a$ et de sa clé privée $(d,n)$. 
-Pour décrypter $a$, il calcule le reste dans la division par $n$
-de $a^d$ (c.-à-d. $a^d [n]$). 
-Si aucune erreur de calcul n'a été effectuée, c'est le message initial $m$.
-
-
-\subsection{Sur un exemple très petit}
-Le receveur choisit $p=7$, $q=13$.
-\begin{enumerate}
-\item Construire l'ensemble des entiers qui sont premiers avec $n=pq$ 
-  et en déduire que $\varphi(91)=72$.
-\item Montrer que $(29,91)$ est un candidat acceptable de clé publique.
-\item Trouver la clé privée associée.
-\item Montrer que  l'expéditeur a la possibilité de crypter le message $m=59$.
-\item Construire le message crypté $a$ à l'aide de la clé publique.
-\item Décrypter
- le message $a$ à l'aide de la clé privée. Il doit s'agir de $m$. 
-\end{enumerate} 
-
-
-\subsection{Les points clés}
-L'algorithme RSA repose sur plusieurs points clés rencontrés successivement:
-\begin{itemize}
-\item la génération de deux grands nombres premiers $p$ et $q$ ;
-\item la multiplication de grands nombres : $pq$, $ed$,   
-\item l'arithmétique modulaire;
-\item l'algorithme d'Euclide de génération de PGCD et son corollaire de Bézout;
-\item la factorisation, qui tant qu'elle n'est pas réalisable sur des grands nombres, garantit la sécurité du cryptage des données.
-\end{itemize}
-
-\section{Rappels d'arithmétique}
+\section{Rappels d'arithmétique jusqu'au PGCD} 
 
 Soit deux entiers $a$ et $b$ dans $\Z$.
 On dit que $a$ divise $b$ (que l'on note $a | b$)
@@ -132,7 +68,13 @@ $a$ et $b$, noté $a\land b$ est l'entier naturel qui vérifie
 \item Si $d | a$ et $d | b$, alors $d | a\land b$.
 \end{itemize}
 
-\subsection{Algorithme d'Euclide de calcul de PGCD}
+
+\begin{Exo}
+Déterminer $550 \land 1540$.
+\end{Exo}
+
+
+%\subsection{Algorithme d'Euclide de calcul de PGCD}
 
 Par définition, le PGCD de $a$ non nul avec
 0 est $a$ (définition raisonnable, car 0
@@ -178,7 +120,6 @@ Donner le code d'un programme qui prend en entrée deux entiers naturels $a$
 et $b$ tels que $a>b \ge 0$ et qui retourne leur PGCD 
 \end{Exo}
 
-\subsection{Les incontournables Bézout et Gau{\ss}}
 
 \begin{Prop}[Identite   de Bézout]
 On considère deux nombres entiers strictement positifs $a$ et $b$. 
@@ -214,6 +155,16 @@ r_{n}  & = & r_{n-2} - r_{n-1} \times q_{n}  \nonumber \\
 \end{eqnarray}
 \end{Proof}
 
+\begin{Exo}
+Montrer qu'il existe $x$ et $y$ tels que 
+$29x + 72y=1$ puis trouver une valeur pour  $x$ et $y$.
+\end{Exo}
+
+
+\begin{Exo}
+Montrer que les propriétés $ a \land m = 1 $
+et $ b \land m = 1 $ impliquent $ ab \land m = 1 $.
+\end{Exo}
 
 
 \begin{Def}[Nombres premiers entre eux]
@@ -221,7 +172,108 @@ Les deux entiers relatifs $a$ et $b$ sont premiers entre eux si
 leur plus grand commun diviseur est égal à 1.
 \end{Def}
 
+\begin{Exo}
+Montrer que 55 et 21 sont premiers entre eux.
+\end{Exo}
+
+
+
+
+
+
+
+\section{L'algorithme RSA}
+
+\subsection{Les étapes détaillées de l'algorithme}
+
+On rappelle qu'un système cryptographique à clé publique est
+initialisé par le receveur, c.-à-d. celui qui veut recevoir des messages de
+manière sure. 
+
+\paragraph{Première étape: choix des deux nombres $p$ et $q$.} 
+Le receveur choisit deux grands nombres premiers
+$p$ et $q$ et calcule $n = pq$. Puis il calcule $\varphi(n)$, 
+où $\varphi : \N^* \rightarrow \N^* $ est la \emph{fonction d'Euler} 
+L'entier $\varphi(n)$  est le nombre d'entiers 
+dans $\{1, 2, \dots , n -1 \}$ qui sont premiers avec $n$.
+
+\begin{Exo}
+Le receveur choisit $p=7$, $q=13$.
+Construire l'ensemble des entiers qui sont premiers avec $n=pq$ 
+et en déduire que $\varphi(91)=72$.
+\end{Exo}
+
+
+\paragraph{Deuxième  étape: choix de la clé publique.} 
+Le receveur choisit $e \in 
+\{1, \dots , n-1\}$  premier avec $\varphi(n)$.
+La clé publique est la paire $(e,n)$. 
+Chaque expéditeur
+va s'en servir pour crypter son message à destination de ce receveur.
+Le cryptage est détaillé 
+ à la quatrième étape ci-dessous.
 
+\begin{Exo}
+Montrer que $(29,91)$ est un candidat acceptable de clé publique.
+\end{Exo}
+
+\paragraph{Troisième  étape: construction de la clé privée.}
+Le receveur calcule l'entier $d \in \{1,\dots, n-1\}$
+tel que le reste de la division de $ed$ par $\varphi(n)$ est 1. 
+Ceci se note aussi $ed \equiv 1 [\varphi(n)]$ qui se lie $ed$ est congru 
+à 1 modulo $\varphi(n)$.
+La paire $(d,n)$ est la clé privée de décryptage. 
+Elle est secrète et permet au receveur de décrypter tous les messages reçus
+et cryptés avec $(e,n)$. 
+
+\begin{Exo}
+ Trouver la clé privée associée.
+\end{Exo}
+
+
+\paragraph{Quatrième  étape: cryptage du message.}
+L’expéditeur peut crypter tout message écrit sous la forme 
+d'un nombre $m$ appartenant à $\{1, \dots , n-1\}$ et qui est 
+premier avec $n$. 
+Le message codé est le reste $a$ de la division de $m^e$ par $n$. 
+On a donc $m^e \equiv a [n]$, où $a \in \{1, \dots , n - 1\}$.
+
+\begin{Exo}
+\begin{enumerate}
+\item Montrer que  l'expéditeur a la possibilité de crypter le message $m=59$.
+\item Construire le message crypté $a$ à l'aide de la clé publique.
+\end{enumerate}
+\end{Exo}
+
+\paragraph{Cinquième  étape:  décryptage du message.} 
+Le receveur dispose de $a$ et de sa clé privée $(d,n)$. 
+Pour décrypter $a$, il calcule le reste dans la division par $n$
+de $a^d$ (c.-à-d. $a^d [n]$). 
+Si aucune erreur de calcul n'a été effectuée, c'est le message initial $m$.
+
+
+\begin{Exo}
+Décrypter
+ le message $a$ à l'aide de la clé privée. Il doit s'agir de $m$. 
+\end{Exo}
+
+
+\subsection{Les points clés}
+L'algorithme RSA repose sur plusieurs points clés rencontrés successivement:
+\begin{itemize}
+\item la génération de deux grands nombres premiers $p$ et $q$ ;
+\item la multiplication de grands nombres : $pq$, $ed$,   
+\item l'arithmétique modulaire;
+\item l'algorithme d'Euclide de génération de PGCD et son corollaire de Bézout;
+\item la factorisation, qui tant qu'elle n'est pas réalisable sur des grands nombres, garantit la sécurité du cryptage des données.
+\end{itemize}
+
+
+
+%\subsection{L'algorithme de RSA est correct}
+
+\section{Les incontournables théorèmes de Bézout et de 
+  Gau{\ss}}
 
 \begin{Prop}[Théorème de Bézout]
 Deux entiers strictement positifs 
@@ -248,8 +300,9 @@ Si $a$ divise le produit $bc$
 et s'il est premier avec $b$, alors il divise $c$.
 \end{Prop}
 
+
 \begin{Exo}
-Faire la preuve de ce théorème
+Faire la preuve du  théorème de Gau{\ss}.
 \end{Exo}
 
 \begin{Prop}[Fonction d'Euler]
@@ -306,42 +359,6 @@ d'inconnues $x$ et $y$.
 \end{Exo}
 
 
-\begin{Exo}[Sujet du bac S Liban 2005]
-On rappelle le résultat suivant appelé le corollaire du 
-petit théorème de Fermat.
-
-\emph{Si $p$ est un nombre premier et $a$ un entier non divisible par $p$,
- alors $a^{p-1}-1$ est un multiple de $p$.}
-\begin{enumerate}
-\item  On considère l’équation $(E)$ : $109x-226y=1$ où $x$ et $y$
-  sont des entiers relatifs.
-\begin{enumerate}
-\item  Déterminer $109\land 226$. 
-  Que peut-on en conclure pour l'équation $(E)$? 
-\item  Montrer que l'ensemble des solutions de $(E)$  
-  est l'ensemble des couples de la forme 
-  $(141+226k ;68+109k)$, où $k$ appartient à $\Z$.
-  En déduire qu'il existe un unique entier naturel non nul $d$ 
-  inférieur ou égal à 226 et un unique entier naturel non nul $e$ tels que
-  $109d =1+226 e$ (on précisera les valeurs des entiers $d$ et $e$).
-\end{enumerate}
-\item Démontrer que 227 est un nombre premier.
-\item  On note $A=\{0,1,2,\dots,226\}$. On considère les deux fonctions 
-  $f$ et $g$ de $A$ dans $A$ définies de la manière suivante: 
-\begin{itemize}
-\item  A tout entier $a\in A$, $f$ associe le reste de
-  la division euclidienne de $a^{109}$ par 227.
-\item A tout entier $a\in A$, $g$ associe le reste de la
-  division euclidienne de $a^{141}$ par 227.
-\end{itemize}
-\begin{enumerate}
-\item Vérifier que $g(f(0))=0$ .
-\item Montrer que, quel que soit l'entier non nul $a$ de $A$ , $a^{226}-1$ est multiple de 227.
-\item En déduire que, quel que soit l'entier non nul $a$ de $A$, 
-$g(f(a))=a$ . Que peut-on dire de $f(g(a))=a$?
-\end{enumerate}
-\end{enumerate}
-\end{Exo}
 
 
 
@@ -429,6 +446,13 @@ $261x +2$ soit multiple de 305.
 \end{enumerate}
 \end{Exo}
 
+\begin{Exo}
+Soit $p$ un nombre premier tel que $p \equiv 3 [4]$. 
+Soit $a$  un entier qui est un carré, modulo $p$:
+il existe $b$ tel que $a \equiv b^2 [p]$.
+Montrer que 
+$a^{(p+1)/4}$ est une racine carré de $a$, modulo $p$.  
+\end{Exo}
 
 
 
@@ -528,6 +552,46 @@ $p$ divise $a^{p} - a = a (a^{p-1}-1)$. Or $p$ est premier avec  $a$ d'après le
 hypothèses. D'après le théorème de Gau{\ss}, $p$ divise $a^{p-1}-1$.
 \end{Proof}
 
+
+\begin{Exo}[Sujet du bac S Liban 2005]
+% On rappelle le résultat suivant appelé le corollaire du 
+% petit théorème de Fermat.
+
+% \emph{Si $p$ est un nombre premier et $a$ un entier non divisible par $p$,
+%  alors $a^{p-1}-1$ est un multiple de $p$.}
+\begin{enumerate}
+\item  On considère l’équation $(E)$ : $109x-226y=1$ où $x$ et $y$
+  sont des entiers relatifs.
+\begin{enumerate}
+\item  Déterminer $109\land 226$. 
+  Que peut-on en conclure pour l'équation $(E)$? 
+\item  Montrer que l'ensemble des solutions de $(E)$  
+  est l'ensemble des couples de la forme 
+  $(141+226k ;68+109k)$, où $k$ appartient à $\Z$.
+  En déduire qu'il existe un unique entier naturel non nul $d$ 
+  inférieur ou égal à 226 et un unique entier naturel non nul $e$ tels que
+  $109d =1+226 e$ (on précisera les valeurs des entiers $d$ et $e$).
+\end{enumerate}
+\item Démontrer que 227 est un nombre premier.
+\item  On note $A=\{0,1,2,\dots,226\}$. On considère les deux fonctions 
+  $f$ et $g$ de $A$ dans $A$ définies de la manière suivante: 
+\begin{itemize}
+\item  A tout entier $a\in A$, $f$ associe le reste de
+  la division euclidienne de $a^{109}$ par 227.
+\item A tout entier $a\in A$, $g$ associe le reste de la
+  division euclidienne de $a^{141}$ par 227.
+\end{itemize}
+\begin{enumerate}
+\item Vérifier que $g(f(0))=0$ .
+\item Montrer que, quel que soit l'entier non nul $a$ de $A$ , $a^{226}-1$ est multiple de 227.
+\item En déduire que, quel que soit l'entier non nul $a$ de $A$, 
+$g(f(a))=a$ . Que peut-on dire de $f(g(a))=a$?
+\end{enumerate}
+\end{enumerate}
+\end{Exo}
+
+
+
 \subsection{Puissance de grands nombres}
 
 \begin{Exp}
@@ -551,13 +615,13 @@ Calculer $2^{500} [13]$ et $26^{1000} [17]$.
 \end{Exo}
 
 
-\begin{Exo}
-Montrer que si l'entier naturel $n$ est premier alors
-$$(x +1)^n \equiv x^n +1[n].$$
+% \begin{Exo}
+% Montrer que si l'entier naturel $n$ est premier alors
+% $$(x +1)^n \equiv x^n +1[n].$$
 
-On a même l'équivalence, cependant, l'autre sens est plus technique à démontrer.
+% On a même l'équivalence, cependant, l'autre sens est plus technique à démontrer.
 
-\end{Exo}
+% \end{Exo}
 
 
 
@@ -585,7 +649,7 @@ $N$  qui sont premiers.
 La fonction $\pi:\N \rightarrow \N$  associe 
 à chaque nombre $N$ le nombre d'entiers inférieurs ou égaux à $N$ qui sont 
 premiers, soit $\pi(N) = |\{p \le N | p \textrm{ premier}\}|$.
-Lorsque $n$ est grand, on a:
+Lorsque $N$ est grand, on a:
 \begin{eqnarray}
 \pi(N) &\approx& \dfrac{N}{\ln(N)}
 \end{eqnarray}
@@ -594,7 +658,7 @@ La preuve de ce théorème est d'un niveau très avancé et n'est pas reproduite
 ici.
 
 Pour obtenir un  entier de 100 chiffres, il suffit de considérer 
-$N= 10^{100}$. Si on choisit au hasard un nombre $n$ dans $\N_{N}^{*}$,
+$N= 10^{100}$. Si on choisit au hasard un nombre dans $\N_{N}^{*}$,
 la probabilité qu'il soit premier est: 
 \begin{eqnarray*}
 \textrm{Prob}(n \textrm{ premier}) &\approx&
@@ -672,15 +736,15 @@ il suffit de vérifier  qu'il n'est pas multiple d'un nombre premiers inférieur
 
 \subsubsection{Tests probabilistes}
 
-\begin{Prop}[Corrolaire du petit théorème de Fermat]
-Si $p$ est un nombre premier et $a$ un entier non divisible par $p$,
-alors $a^{p-1}-1$ est un multiple de $p$, c'est-à-dire:
-\begin{equation}
- \forall a\in \N \forall p \in \N (   p \in \Prem \textrm{ et }   a \not\equiv  0[p] 
-  \Rightarrow a^{p-1}\equiv 1 [p]).
-\label{petittheremeFermat}
-\end{equation}
-\end{Prop}
+% \begin{Prop}[Corrolaire du petit théorème de Fermat]
+% Si $p$ est un nombre premier et $a$ un entier non divisible par $p$,
+% alors $a^{p-1}-1$ est un multiple de $p$, c'est-à-dire:
+% \begin{equation}
+%  \forall a\in \N \forall p \in \N (   p \in \Prem \textrm{ et }   a \not\equiv  0[p] 
+%   \Rightarrow a^{p-1}\equiv 1 [p]).
+% \label{petittheremeFermat}
+% \end{equation}
+% \end{Prop}
 
 
 \paragraph{Test de Fermat.}
@@ -699,7 +763,7 @@ pourtant $341 =  11 \times 31$.
 
 \begin{Exo}
 Donner le code de la fonction \verb+testPrimaliteFermat(n,t)+ qui retourne 
-\verb+True+ si \verb+t+ evaluations de $\texttt{a}^{\texttt{p}-1}$ on retourné $ 1 [\texttt{p}]$ 
+\verb+True+ si \verb+t+ evaluations de $\texttt{a}^{\texttt{n}-1}$ ont retourné $ 1 [\texttt{n}]$ 
 pour un $a \in \N_{n-1}^{*}$ et \verb+False+ sinon.
 \end{Exo}
 
@@ -742,15 +806,86 @@ sous la forme de $p\times q$ si ces deux derniers nombres ont été mal choisis.
 
 
 \begin{Exo}
-On considère que l'étape 1 de l'algorithme RSA a généré deux nombre premiers $p$ et $q$ tels que $p>q$. On définit  $t = \frac{p+q}{2}$ et $s = \frac{p-q}{2}$.
+On considère que l'étape 1 de l'algorithme RSA a généré deux nombre premiers $p$ et $q$ proches tels que $p>q$. On définit  $t = \frac{p+q}{2}$ et $s = \frac{p-q}{2}$.
 Montrer que
 \begin{enumerate}
 \item le produit $n = pq = t^2 - s^2$;
 \item l'entier $t$ est légèrement supérieur à la racine carrée de $n$ et que $s $ est petit;
 \item l'on peut utiliser ces informations pour factoriser $n$ c.-à-d. retrouver $p$ et $q$;
-\item Factoriser 9623827 et  343570291. % res=2953*3259     res = 17729*19379
+\item Factoriser 896861 et  318040531. % res=2953*3037     res = 17729*17939
+\item Factoriser 9623827 et 343570291. % res=(3259, 2953)     res = (19379, 17729)
 \end{enumerate}
 \end{Exo}
 
+\begin{TP}
+L'objectif de ce TP est d'implanter toute la démarche RSA 
+avec les éléments vus en TD. 
+% Tout ceci est à synthétiser dans un document 
+% libreoffice à renvoyer à l'adresse \url{couchot@femto-st.fr} avec pour sujet 
+% RSA-NOM1-NOM2-TDX.
+\begin{enumerate}
+\item Quel est le plus petit nombre à trois chiffres? 
+  Quel est le plus grand nombre à trois chiffres? 
+  Comment générer aléatoirement un nombre qui a trois chiffres en utilisant 
+  \verb+randint+?
+\item Même question que la question précédente, en remplaçant \og trois\fg{}
+  par $M$.  
+\item On a vu qu'un nombre se terminant par 0,2,4,5,6,8 n'est jamais premier.
+  Comment générer un nombre qui a $N$ chiffres, dont le dernier chiffre 
+  n'est pas  dans la liste précédente.
+\item Pour affirmer qu'un nombre de 100 chiffres 
+  est premier, on invoquera le test de Miller-Rabin avec 50
+  valeurs testées  différentes $a$. Si toutes retournent qu'il est 
+  probablement premier, on considérera qu'il l'est.
+  Construire la fonction \verb+genereUnNombrePremier(N)+ qui retourne 
+  un nombre probablement premier selon cette méthode.
+  %Copier-coller cette fonction dans votre synthèse.
+\item A l'aide de l'agorithme précédent, générer deux nombres premiers 
+  $p$ et $q$ de 100 chiffres.
+  %Copier et coller ces deux nombres dans votre synthèse.
+  Calculer $n=pq$ puis \verb+phi+ telle 
+  que \verb+phi=(p-1)*(q-1)+.
+
+\item Contruire la partie $e$ de la clé publique $(e,n)$
+  comme un nombre premier de trente chiffres par exemple. 
+  Si elle est première avec \verb+phi+, c'est une bonne clé, sinon on 
+  regénere un nombre premier de trente chiffres.
+  %Copier et coller $e$ dans votre synthèse.
+
+\item Donner le code la fonction \verb+bezout(+$a$,$b$\verb+)+ 
+qui retourne $x$ et $y$ tels que $x.a + y.b = a \land b$.
+
+%  \begin{verbatim}
+% def bezout(a,b):
+%   if b==0: return [1,0]
+%   else:
+%     uv= bezout(b,a%b)
+%     return [uv[1],uv[0]-uv[1]*(a/b)]
+% \end{verbatim}
+
+Se servir de cette fonction pour générer la partie $d$ de 
+la clé privée $(d,n)$. Attention, faire en sorte que $0 \le d \le$\verb+phi+.
+%Copier-coller les instructions permettant d'obtenir $d$.
+%Copier-coller la valeur de $d$.
+
+\item Chiffrer à l'aide de la clé publique $(e,n)$
+  le message $m=3402752281514000316845$  
+  qui est un numéro de carte bancaire comprenant les 16 chiffres, 
+  la date de validité et le code de sécurité. Le mesage chiffré est $a$.
+  %Copier-coller l'instructions permettant d'obtenir $a$.
+  %Copier-coller la valeur de $a$.
+  
+
+\item Déchiffrer $a$ à l'aide de la clé privée. 
+  Vérifier que vous obtenez bien $m$ à nouveau.
+  %Copier-coller l'instructions permettant de déchiffrer $a$.
+\end{enumerate} 
+
+
+ 
+\end{TP}
+
+
+
 % \section{Conclusion}
 % cf SMATH paragraphe applications p 223.
\ No newline at end of file
diff --git a/tps/AlgoFermatFacto.py~ b/tps/AlgoFermatFacto.py~
deleted file mode 100644
index 685f2a7..0000000
--- a/tps/AlgoFermatFacto.py~
+++ /dev/null
@@ -1,28 +0,0 @@
-import math as m
-
-def estUnCarre(k):
-    return (int(m.sqrt(k)))**2 == k
-
-def facto(n):
-    t= int(m.sqrt(n))+1
-    sp = t**2 - n 
-    while not estUnCarre(sp):
-        t += 1
-        sp = t**2 -n
-        print "+",
-    return(int(t+m.sqrt(sp)),int(t-m.sqrt(sp)))
-    
-
-
-
-
-print facto(5959)
-print facto(2953*3037)
-print facto(6197*6299)
-print facto(2953*3037)        
-print facto(17729*17939)
-
-
-print facto(9623827)
-print facto(343570291)
-    
diff --git a/tps/testProbabilite.py~ b/tps/testProbabilite.py~
deleted file mode 100644
index 66edb82..0000000
--- a/tps/testProbabilite.py~
+++ /dev/null
@@ -1,125 +0,0 @@
-from random import *
-
-
-
-testes = []
-
-def testPrimaliteFermat(n,t):
-    global testes
-    j = 0 
-    ret = True
-    while j < t and ret :
-        print j
-        # choix de a 
-        a = randint(1,n-1)
-        while a in testes:
-            a = randint(1,n-1)
-        #calcul de a^(n-1) [n]
-        #if a**(n-1) % n != 1 :
-        if pow(a,n-1,n) != 1 :
-            ret = False
-        else : 
-            j+= 1
-            testes +=[a]
-    return ret
-
-
-
-
-
-
-
-def testPrimaliteMillerRabin(n,t):
-    global testes 
-    if n % 2 == 0:
-        return False
-    
-    # ecrire  n-1 comme 2**s * d
-    s,d = 0, n-1
-    while d % 2 == 0 :
-        s +=1
-        d /= 2 
-    #testes = []
-    j = 0 
-    ret = True
-    while j < t and ret :
-        # choix de a 
-        a = randint(1,n-1)
-        while a in testes:
-            a = randint(1,n-1)
-        # calcul de a^(d) [n]
-        if pow(a, d, n) != 1:
-            ret = False
-            r=0
-            while r < s and not ret:
-                if pow(a, 2**r * d, n) ==  n-1:
-                    ret= True
-                else :
-                    r+=1
-        j+=1
-        #print j
-        testes +=[a]
-
-    return ret
-
-
-n=651693055693681
-#n= 39341 
-#n=561
-
-#print "probabilite d'etre premier (FERMAT)", testPrimaliteFermat(n,500)
-#print "probabilite d'etre premier (Miller Rabin)", testPrimaliteMillerRabin(n,30)
-
-
-def genereUnNombrePremier(nbChiffre):
-    estPremier=False
-    compteur, r = 0, 0 
-    mini = 10**(nbChiffre-2)
-    maxi = 10**(nbChiffre-1)-1
-    chiffreFinal=[1,3,7,9]
-    while (not estPremier):
-        r = randint(mini,maxi)*10
-        r += chiffreFinal[randint(0,3)]
-        #print r
-        compteur += 1
-        if testPrimaliteMillerRabin(r,50):
-            estPremier = True
-    return (r,compteur)
-
-nbit,l=0,100
-for k in range(l):
-    (r,n)= genereUnNombrePremier(100)
-    nbit += n
-    print r
-print float(nbit)/l
-
-"""
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-    
-
-
-
-t = 50
-n = 393413 #premier
-n=651693055693681
-#n = 393417 #premier
-n=9623827 #et  343570291. % res=2953*3259     res = 17729*19379
-print "probabilite d'etre premier (FERMAT)", testPrimaliteFermat(n,t)
-print "probabilite d'etre premier (MILLER-RABIN)", testPrimaliteMillerRabin(n,t)
-
-    
-    
-
-"""
-    
diff --git a/tps/testProbabiliteAvecGeneration.py~ b/tps/testProbabiliteAvecGeneration.py~
deleted file mode 100644
index 66edb82..0000000
--- a/tps/testProbabiliteAvecGeneration.py~
+++ /dev/null
@@ -1,125 +0,0 @@
-from random import *
-
-
-
-testes = []
-
-def testPrimaliteFermat(n,t):
-    global testes
-    j = 0 
-    ret = True
-    while j < t and ret :
-        print j
-        # choix de a 
-        a = randint(1,n-1)
-        while a in testes:
-            a = randint(1,n-1)
-        #calcul de a^(n-1) [n]
-        #if a**(n-1) % n != 1 :
-        if pow(a,n-1,n) != 1 :
-            ret = False
-        else : 
-            j+= 1
-            testes +=[a]
-    return ret
-
-
-
-
-
-
-
-def testPrimaliteMillerRabin(n,t):
-    global testes 
-    if n % 2 == 0:
-        return False
-    
-    # ecrire  n-1 comme 2**s * d
-    s,d = 0, n-1
-    while d % 2 == 0 :
-        s +=1
-        d /= 2 
-    #testes = []
-    j = 0 
-    ret = True
-    while j < t and ret :
-        # choix de a 
-        a = randint(1,n-1)
-        while a in testes:
-            a = randint(1,n-1)
-        # calcul de a^(d) [n]
-        if pow(a, d, n) != 1:
-            ret = False
-            r=0
-            while r < s and not ret:
-                if pow(a, 2**r * d, n) ==  n-1:
-                    ret= True
-                else :
-                    r+=1
-        j+=1
-        #print j
-        testes +=[a]
-
-    return ret
-
-
-n=651693055693681
-#n= 39341 
-#n=561
-
-#print "probabilite d'etre premier (FERMAT)", testPrimaliteFermat(n,500)
-#print "probabilite d'etre premier (Miller Rabin)", testPrimaliteMillerRabin(n,30)
-
-
-def genereUnNombrePremier(nbChiffre):
-    estPremier=False
-    compteur, r = 0, 0 
-    mini = 10**(nbChiffre-2)
-    maxi = 10**(nbChiffre-1)-1
-    chiffreFinal=[1,3,7,9]
-    while (not estPremier):
-        r = randint(mini,maxi)*10
-        r += chiffreFinal[randint(0,3)]
-        #print r
-        compteur += 1
-        if testPrimaliteMillerRabin(r,50):
-            estPremier = True
-    return (r,compteur)
-
-nbit,l=0,100
-for k in range(l):
-    (r,n)= genereUnNombrePremier(100)
-    nbit += n
-    print r
-print float(nbit)/l
-
-"""
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-    
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-
-t = 50
-n = 393413 #premier
-n=651693055693681
-#n = 393417 #premier
-n=9623827 #et  343570291. % res=2953*3259     res = 17729*19379
-print "probabilite d'etre premier (FERMAT)", testPrimaliteFermat(n,t)
-print "probabilite d'etre premier (MILLER-RABIN)", testPrimaliteMillerRabin(n,t)
-
-    
-    
-
-"""
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