From 6a1d659a8d09f1c48fe968a3d6b9941576e22dfe Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: couchot <jf.couchot@gmail.com>
Date: Thu, 4 Sep 2014 08:25:33 +0200
Subject: [PATCH] debut premiers
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rsa.tex | 122 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++---
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diff --git a/rsa.tex b/rsa.tex
index fae4839..d9312ed 100644
--- a/rsa.tex
+++ b/rsa.tex
@@ -24,8 +24,8 @@ Dans le cas où l'on utilise une clé de cryptage, on a le schéma présenté
à la figure~\ref{Fig:schemageneral}.
\begin{figure}[ht]
\begin{center}
-\includegraphics[scale=0.5]{schemacrypto.pdf}
-%\includegraphics[scale=0.5]{schemacrypto.eps}
+%\includegraphics[scale=0.5]{schemacrypto.pdf}
+\includegraphics[scale=0.5]{schemacrypto.eps}
\end{center}
\caption{Schéma général d'une méthode de cryptage/décryptage}\label{Fig:schemageneral}
\end{figure}
@@ -259,6 +259,7 @@ produit:
\begin{equation}
\varphi(pq)=(p-1)(q-1) \label{FEuler}
\end{equation}
+
\end{Prop}
\begin{Exo}[Preuve de l'expression d'Euler]
On doit compter le cardinal des nombres de $\{1, 2, . . . , pq -1\}$ qui sont
@@ -384,11 +385,39 @@ il exite $x$ et $y$ entiers tels que
\end{enumerate}
\end{Exo}
+\begin{Exo}
+On se place dans le contexte de cryptographie par RSA.
+Démontrer que si la clé d'encryptage est $e < \varphi(n)$, alors
+il existe une unique clé de décodage entre 1 et $\varphi(n)$.
+\end{Exo}
-% cf TD maths discrète;
-% Corollaire 7.6 du chap RSA
-% unicité de la clef de décodage
-
+\begin{Prop}[Théorème d'Euler]
+ Si $m<n$ est relativement premier avec $n$, alors
+\begin{equation}
+m^{\varphi(n)}\equiv1 [n].
+\end{equation}
+\end{Prop}
+On laisse de côté la démonstration.
+
+\begin{Prop}[Correction de RSA]
+Le cryptage-décryptage du code RSA est correct:
+on crypte un message $m$ tel que
+$m\land n= 1$ en $a$ avec
+$ m^e \equiv a [n]$ selon la clé $(e,n)$.
+Alors le décryptage selon la clé $(d,n)$ redonne
+le message initial : $a^d \equiv m [n]$.
+\end{Prop}
+\begin{Proof}
+\begin{eqnarray*}
+a^d & \equiv & (m^e)^d [n]\\
+& \equiv & m^{ed} [n] (\textrm{ réécriture})\\
+& \equiv & m^{k.\varphi(n)+1} [n] (\textrm{ définition de $d$})\\
+& \equiv & m^{k.\varphi(n)}m [n] (\textrm{ réécriture})\\
+& \equiv & (m^{\varphi(n)})^km [n] (\textrm{ réécriture})\\
+& \equiv & (1)^km [n] (\textrm{ théorème d'Euler})\\
+& \equiv & m [n] (\textrm{ réécriture})\\
+\end{eqnarray*}
+\end{Proof}
\subsection{Puissance de grands nombres}
@@ -400,6 +429,87 @@ $$(x +1) ^n \equiv x ^n +1[n].$$
\section{Génération de grands nombres premiers}
+Depuis Euclide, on sait qu'il y a une infinité de nombres premiers.
+Fermat avait cru donner une formule ne générant que des nombres premiers.
+Il affirmait que pour tout $n \in \N$, le nombre
+\begin{eqnarray}
+F_n &= & 2^{2^n} +1
+\end{eqnarray}
+était premier. Or 641 divise $F_5$. Aujourd'hui, on pense que seuls
+les nombres de $F_0$ à $F_4$ sont premiers, les qutres étant composés.
+
+\subsection{Distribution des nombres premier parmi les entiers}
+
+Même si on ne connaît pas de formule permettant de construire tous les
+nombres premiers, tout n'est pas perdu puisque les nombres premiers
+ne sont pas si rares que cela. Le théorème suivant donne même la distribution
+la proportion approximative des entiers inférieurs ou égaux Ã
+$N$ qui sont premiers.
+\begin{Prop}[Théorème des nombres premiers]
+La fonction $\pi:\N \rightarrow \N$ associe
+à chaque nombre $n$ nombre d'entiers inférieurs ou égaux à $n$ qui sont
+premiers, soit $\pi(N) = |\{p \le N | p \textrm{premier}\}|$.
+Lorsque $n$ est grand, on a:
+\begin{eqnarray}
+\pi(N) &\approx& \dfrac{N}{\ln(N)}
+\end{eqnarray}
+\end{Prop}
+La preuve de ce théorème est d'un niveau très avancé et n'est pas reproduite
+ici.
+
+Pour obtenir un entier de 100 chiffres, il suffit de considérer
+$N= 10^{100}$. Si on choisit au hasard un nombre $n$ dans $\N_{N}^{*}$,
+la probabilité qu'il soit premier est:
+\begin{eqnarray*}
+\textrm{Prob}(n \textrm{ premier}) &\approx&
+ \dfrac{\dfrac{N}{\ln(N)}}{N} \\
+ &\approx&
+ \dfrac{1}{\ln(N)}
+\end{eqnarray*}
+Le tableau~\ref{Table:propPrem} donne une valeur approchée de
+cette probabilité pour quelques nombres de chiffres.
+Dans celui-ci:
+\begin{itemize}
+\item la seconde ligne n'impose aucune restriction sur le dernier chiffre;
+\item la troisième ligne impose que le dernier chiffre soit dans
+ $\{1,3,5,7,9\}$: il est inutile de vérifier que les
+ multiples de 2 sont premiers!
+\item la quatrième ligne impose que le dernier chiffre soit dans $\{1,3,7,9\}$:
+ les multiples de 5 ne sont pas premiers!
+\end{itemize}
+On constate que si l'on tire au hasard un nombre (même de 100 chiffres),
+et que ce nombre se termine par$\{1,3,7,9\}$,
+la probabilité qu'il soit premier n'est pas infime. La solution au problème
+de génération de nombres premiers repose sur la capacité ou non a disposer
+d'un test efficace de primalité pour des grands nombres.
+
+Pour peut qu'on dispose d'un test de primalité rapide,
+
+
+il \og suffit \fg{}
+de tirer quelques nombres au hasard pour avoir
+
+%% Attention ce tableau est généré par ailleurs
+\begin{table}[ht]
+\begin{center}
+\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|}
+ \hline
+Nombre de chiffres & \textbf{75}& \textbf{100}& \textbf{125}& \textbf{150}& \textbf{175}& \textbf{200}& \textbf{225}& \textbf{250}& \textbf{275}& \textbf{300}\\
+\hline
+Dernier chiffre quelconque & 172& 230& 287& 345& 402& 460& 518& 575& 633& 690\\
+\hline
+Dernier chiffre impair & 86& 115& 143& 172& 201& 230& 259& 287& 316& 345\\
+\hline
+Dernier chiffre dans $\{1,3,7,9\}$& 69& 92& 115& 138& 161& 184& 207& 230& 253& 276\\
+\hline
+ \end{tabular}
+\end{center}
+\caption{Probabilités inverse d'obtenir un \label{Table:propPrem}}
+\end{table}
+
+\subsection{Tests de primalité}
+
+
\section{Factorisation}
--
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