Dans  cette  partie, les  définitions  fondamentales  liées  au chaos  dans  les
systèmes booléens sont rappelées et plusieurs résultats théoriques sont montrés.

\begin{Def}[Chaos (Devaney)]
Une fonction $k$ continue sur un espace métrique $(\mathcal{X},d)$ est \textbf{chaotique}
si elle est transitive,
régulière et fortement sensible aux conditions initiales.
\end{Def}

\begin{Def}[Transitivité]
Une fonction $k$ est  \textbf{transitive} sur $(\mathcal{X},d)$ si  la propriété suivante est établie:
\[
\forall X, Y\in \mathcal{X},
\forall \epsilon > 0,
\exists  Z \in \mathcal{X},
\exists  t \in \Nats,
d(X,Z) < \epsilon  \land k^t(Z) = Y
\] 
\end{Def}

\begin{Def}[Point périodique]
  Un point $P  \in \mathcal{X}$ est dit \textbf{périodique}  de période $t$ pour
  une fonction $k$ si $t$ est un entier  naturel non nul tel que $k^t(P) = P$ et
  pour tout $n$, $0 < n \le t-1$, on a $k^n(P) \neq P$.
  Par la  suite, $\textbf{Per(k)}$ dénote  l'ensemble des points  périodiques de
  $k$ dans $\mathcal{X}$ de période quelconque.
\end{Def}

\begin{Def}[Régularité]
Une fonction $k$  est dite \textbf{régulière} dans $(\mathcal{X},d)$ 
si l'ensemble des points périodiques de $k$ est dense dans $\mathcal{X}$, 
c'est-à-dire  si la propriété suivante est établie: 
\[
\forall X \in \mathcal{X}, \forall \epsilon > 0, \exists Y \in \textit{Per}(k) 
 \textrm{ tel que } d(X,Y) < \epsilon.
\]
\end{Def}

\begin{Def}[Forte sensibilité aux conditions initiales]
Une fonction $k$ définie sur $(\mathcal{X},d)$ 
est  \textbf{fortement sensible aux conditions initiales} 
s'il existe une valeur $\epsilon> 0$ telle que
pour tout $X \in \mathcal{X}$ et pour tout 
 $\delta > 0$, il existe  $Y \in  \mathcal{X}$ et  
$t \in \Nats$ qui vérifient  $d(X,Y) < \delta$ et 
$d(k^t(X) , k^t(Y)) > \epsilon$.
\end{Def}


John Banks et ses collègues ont cependant
démontré que la sensibilité aux conditions initiales est une conséquence
de la régularité et de la transitivité topologique~\cite{Banks92}. 
On ne se focalise donc que sur ces deux dernières
propriétés pour caractériser les fonctions booléennes $f$ 
rendant chaotique la fonction engendrée $G_f$.
Ceci est réalisé en établissant les relations d'inclusion entre 
les ensembles $\mathcal{T}$ des fonctions topologiquement transitives, 
$\mathcal{R}$ des fonctions régulières  
et $\mathcal{C}$ des fonctions chaotiques définis respectivement ci-dessous:
\begin{itemize}
\item   $\mathcal{T}   =    \left\{f   :   \mathds{B}^n   \to
\mathds{B}^n \big/ G_f \textrm{ est transitive} \right\}$,
\item   $\mathcal{R}   =    \left\{f   :   \mathds{B}^n   \to
\mathds{B}^n \big/ G_f \textrm{ est régulière} \right\}$,
\item   $\mathcal{C}   =    \left\{f   :   \mathds{B}^n   \to
\mathds{B}^n  \big/  G_f  \textrm{  est chaotique} \right\}$.
\end{itemize}


Commençons par caractériser l'ensemble $\mathcal{T}$ des fonctions transitives:

\begin{Theo} $G_f$  est transitive si et seulement si 
 $\Gamma(f)$ est fortement connexe.
\end{Theo}

\begin{Proof} 

$\Longleftarrow$ Supposons que $\Gamma(f)$ soit fortement connexe.
Soient $(S,x)$ et $(S',x')$ deux points de $\mathcal{X}$ et  $\varepsilon >0$. 
On construit la stratégie $\tilde S$ telle que la distance 
entre $(\tilde S,x)$ et  $(S,x)$ est inférieure à 
$\varepsilon$ et telle que les  itérations parallèles de $G_f$ depuis
$(\tilde S,x)$ mènent au point $(S',x')$.

Pour cela, on pose $t_1 =-\lfloor\log_{10}(\varepsilon)\rfloor$ et   $x''$ la 
configuration de $\Bool^n$ obtenue depuis $(S,x)$ après $t_1$ itérations
parallèles de $G_f$. 
Comme $\Gamma(f)$ est fortement connexe, il existe une 
stratégie $S''$ et un entier  $t_2$ tels que $x'$ est atteint depuis 
$(S'',x'')$ après $t_2$ itérations de $G_f$.

Considérons à présent la stratégie 
$\tilde S=(s_0,\dots,s_{t_1-1},s''_0,\dots,s''_{t_2-1},s'_0,s'_1,s'_2,s'_3\dots)$.
Il est évident que $(s',x')$ est atteint depuis  $(\tilde S,x)$ après 
$t_1+t_2$ itérations parallèles de $G_f$. Puisque 
$\tilde s_t=s_t$ pour $t<t_1$, grâce au choix de $t_1$,
on a $d((S,x),(\tilde
S,x))<\epsilon$. 
Par conséquent, $G_f$ est transitive.

$\Longrightarrow$ Démontrons la contraposée.
Si $\Gamma(f)$ n'est pas  fortement connexe, alors 
il existe deux configurations $x$  et $x'$ telles qu'aucun chemin de 
$\Gamma(f)$ ne mène de $x$ à $x'$. 
Soient $S$ et $S'$ deux stratégies et $\varepsilon \in ]0;1[$.
Alors, pour tout $(S'',x'')$ tel que 
$d((S'',x''),(S,x))<\varepsilon$ on a $x''$ qui est égal à $x$.
Comme il n'existe aucun chemin de $\Gamma(f)$ 
qui mène de $x$ à $x'$, 
les itérations de $G_f$ à partir de 
$(S'', x'') = (S'', x)$ ne peuvent atteindre que des points 
$(S''', x''')$ de $\mathcal{X}$ tels que $x''' \neq x'$, 
et donc ne peuvent pas atteindre $(S', x')$. 
On peut remarquer que, du fait que $x''' \neq x'$, 
elles n'atteignent que des points de $\mathcal{X}$
dont la distance à $(S', x')$ est supérieure à 1.
Pour tout entier naturel $t$, on a 
$G_f^t(S'',x'') \neq (S',x')$.
Ainsi $G_f$ n'est pas transitive et 
par contraposée, on a la démonstration souhaitée.
\end{Proof}


Prouvons à présent le théorème suivant: 

\begin{Theo}
\label{Prop: T est dans R} $\mathcal{T} \subset \mathcal{R}$.
\end{Theo}


\begin{Proof}  
Soit $f:\Bool^n\to\Bool^n$ telle que  $G_f$ est transitive (\textit{i.e.}
$f$ appartient à $\mathcal{T}$). 
Soit $(S,x) \in\mathcal{X}$ et $\varepsilon >0$. Pour 
prouver que $f$ appartient à  $\mathcal{R}$, il suffit de prouver 
qu'il existe une stratégie $\tilde S$ telle que la distance entre
$(\tilde S,x)$ et $(S,x)$ est inférieure à  $\varepsilon$ et telle que 
$(\tilde S,x)$ est un  point périodique.

Soit $t_1=-\lfloor \log_{10}(\varepsilon)\rfloor$  et soit $x'$ la 
configuration obtenue après $t_1$ itérations de $G_f$ depuis  $(S,x)$. 
D'après la proposition précédente, $\Gamma(f)$ est fortement connexe.
Ainsi, il existe une stratégie $S'$ et un nombre $t_2\in\Nats$ tels
que $x$ est atteint depuis $(S',x')$ après $t_2$ itérations de $G_f$.

Soit alors la  stratégie $\tilde S$ qui alterne les $t_1$ premiers termes
de $S$ avec les $t_2$ premiers termes de $S'$. 
Ainsi $\tilde S$ est définie par 
\begin{equation*}
(s_0,\dots,s_{t_1-1},s'_0,\dots,s'_{t_2-1},s_0,\dots,s_{t_1-1},s'_0,\dots,s'_{t_2-1},s_0,\dots).
\end{equation*}
Il est évident que  $(\tilde S,x)$ s'obtient à partir de  $(\tilde S,x)$ après
$t_1+t_2$ itérations parallèles de $G_f$. Ainsi $(\tilde S,x)$ est un point 
périodique. Puisque $\tilde s_t$ est égal à $s_t$ pour $t<t_1$, d'après le 
choix de  $t_1$, on a  $d((S,x),(\tilde S,x))<\epsilon$.
\end{Proof}

On peut conclure  que $\mathcal{C} = \mathcal{R} \cap \mathcal{T}
= \mathcal{T}$. On a alors la  caractérisation suivante:

\begin{Theo}%[Characterization of $\mathcal{C}$]
\label{Th:CaracIC}  
Soit $f:\Bool^n\to\Bool^n$. La fonction $G_f$ est chaotique  
si et seulement si $\Gamma(f)$ est fortement connexe.
\end{Theo}


%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "main"
%%% End: 
