Nous avons  vu comment construire  un générateur de nombre  pseudo-aléatoires en
utilisant un système  booléen en mode chaotique.  Cependant,  cela nécessite une
contrainte forte  sur le graphe d'itérations  de la fonction  associée, qui doit
être fortement connexe.  Nous étudions  dans cette partie une méthode permettant
de relâcher  un peu les contraintes  sur les fonctions $f_i$  en enrichissant le
système initial de façon à modéliser la notion de \emph{retards} entre éléments.

\subsection{Les retards dans les systèmes dynamiques}
\label{sec:retards}

La notion  de retard provient  initialement du besoin  de prendre en  compte les
délais de transfert d'information entre les éléments d'un système.  Lorsque l'on
se place dans  le contexte général, ces délais peuvent  eux-mêmes varier dans le
temps. On décrit donc  le retard de l'élément $j$ par rapport  à l'élément $i$ à
l'instant $t$ par  $r_j^i(t)$. Ainsi, l'information reçue de $j$ en  $i$ à $t$ a
été générée à  l'instant (ou itération) $s_j^i(t)=t-r_j^i(t)$. On  en déduit que
la mise à jour de l'élément $i$ de l'instant $t$ à $t+1$ s'écrit :
\begin{equation*}
  x_i(t+1) = f_i(x_1^{s_1^i(t)},x_2^{s_2^i(t)},\dots,x_i^t,\dots,x_{n-1}^{s_{n-1}^i(t)},x_n^{s_n^i(t)})
\end{equation*}
On constate que même si le modèle le permet, on ne met généralement pas de délai
entre l'élément $i$ et lui-même car cela n'a pas d'intérêt pratique fort.

Plusieurs travaux  sur les systèmes  à retards (\cite{Mie75, Rob86,  BT89, BC02,
  TNN2006})  ont montré que  l'une des  influences majeures  des retards  sur la
dynamique du  système est d'augmenter  le nombre de transitions  possibles entre
les états. En  d'autres termes, cela revient à augmenter  la connexité du graphe
d'itérations, ce qui est justement la propriété recherchée.

Cependant, une difficulté  majeure dans notre contexte de  génération de nombres
pseudo-aléatoires  vient du  fait que  les retards  induisent une  dépendance du
système à son  \emph{historique} plus ancien que la  seule itération précédente.
Cela  empêche le  recours  aux chaînes  de  Markov classiques  pour établir  les
preuves que les propriétés nécessaires à un bon générateur sont vérifiées.

Afin  de  contourner  cet  obstacle,  nous  proposons  ici  une  méthode  simple
permettant de simuler des retards dans un système booléen chaotique.

\subsection{Simulation de retards dans un système booléen chaotique}
\label{sec:simuRets}

Soit un système  booléen à $n$ éléments dont la  dynamique chaotique est décrite
par $G_f$. Nous  proposons d'étendre ce système afin  d'y incorporer des retards
simulés.  Le  principe consiste  à ajouter un  n{\oe}ud intermédiaire au  niveau de
chaque interaction entre deux éléments  différents (les arcs $(i,s,j)$ t.q $i\ne
j$) du graphe d'interactions. Ainsi, si l'on considère l'arc $(i,s,j)$ du graphe
initial,  alors cet  arc  sera remplacé  dans  le nouveau  graphe  par les  arcs
$(i,+,k)$ et  $(k,s,j)$, avec $x_k$ un  nouvel élément booléen  du système ayant
pour fonction  d'évolution $f_k(x)=x_i$. De  plus, les occurrences  de l'élément
$x_i$ dans la fonction $f_j(x)$ seront  remplacées par $x_k$.  On note que l'arc
allant de $i$ à $k$ est systématiquement positif alors que l'arc allant de $k$ à
$j$ conserve le signe $s$ de l'ancien arc $(i,s,j)$.


%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "main"
%%% End: 
