-L'exploitation de \og systèmes chaotiques\fg{} pour générer des séquences
-pseudo-aléatoires est un sujet actif de recherche~\cite{915396,915385,5376454}.
-Ces systèmes sont choisis principalement
-en raison de leur imprévisibilité et de leur sensibilité aux conditions initiales.
-
-Souvent les travaux se limitent à itérer une fonction paramétrée
-\emph{chaotique} comme la fonction logistique~\cite{915396,915385}, ou encore
-celle du chat d'Arnold~\cite{5376454}\ldots Il reste à trouver les paramètres
-optimaux permettant d'éviter les attracteurs de telles fonctions et garantissant
-que les séquences de nombres produits suivent une loi de distribution uniforme.
-Pour vérifier la qualité des sorties produites il est usuel de soumettre les
-PRNG (Pseudo-Random Number Generator) à des tests statistiques tels
-DieHARD~\cite{Marsaglia1996}, NIST~\cite{Nist10} et TestU01~\cite{LEcuyerS07}.
-
-Dans son acception vulgarisée,
-la notion de chaos est souvent réduite à celle de forte sensibilité
-aux conditions initiales (le fameux \og \emph{effet papillon}\fg{}):
-une fonction continue $k$ définie sur un espace métrique
-est dite \emph{fortement sensible aux conditions initiales} si pour tout
-point $x$ et pour toute valeur positive $\epsilon$
-il est possible de trouver un point $y$, arbitrairement proche
-de $x$, et un entier $t$ tels que la distance entre les
-$t^{\textrm{ièmes}}$ itérés de $x$ et de $y$
--- notés $k^t(x)$ et $k^t(y)$
--- est supérieure à $\epsilon$.
-Cependant, dans sa définition du chaos,
-Devaney~\cite{Devaney} impose à la fonction chaotique deux autres propriétés
-appelées \emph{transitivité} et \emph{régularité},
-Les fonctions citées plus haut ont été étudiées
-au regard de ces propriétés et ont été prouvées comme chaotiques sur $\R$.
-Cependant, rien ne garantit que ces propriétés sont préservées sur les nombres
-flottants qui est le domaine d'interprétation des nombres réels de $\R$.
-
-Pour éviter cette perte de chaos, nous avons présenté des PRNGs qui itèrent des
-fonctions continues $G_f$ sur un domaine discret $\{ 1, \ldots, n \}^{\Nats}
-\times \{0,1\}^n$ où $f$ est une fonction booléenne (\textit{i.e.}, $f :
-\{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}^n$). Ces générateurs sont
+The exploitation of chaotic systems to generate pseudorandom sequences is
+an hot topic~\cite{915396,915385,5376454}. Such systems are fundamentally
+chosen due to their unpredictable character and their sensitiveness to initial conditions.
+In most cases, these generators simply consist in iterating a chaotic function like
+the logistic map~\cite{915396,915385} or the Arnold's one~\cite{5376454}\ldots
+It thus remains to find optimal parameters in such functions so that attractors are
+avoided, guaranteeing by doing so that generated numbers follow a uniform distribution.
+In order to check the quality of the produced outputs, it is usual to test the
+PRNGs (Pseudo-Random Number Generators) with statistical batteries like
+the so-called DieHARD~\cite{Marsaglia1996}, NIST~\cite{Nist10}, or TestU01~\cite{LEcuyerS07}.
+
+In its general understanding, the chaos notion is often reduced to the strong
+sensitiveness to the initial conditions (the well known ``butterfly effect''):
+a continuous function $k$ defined on a metrical space is said
+\emph{strongly sensitive to the initial conditions} if for all point
+$x$ and all positive value $\epsilon$, it is possible to find another
+point $y$, as close as possible to $x$, and an integer $t$ such that the distance
+between the $t$-th iterates of $x$ and $y$, denoted by $k^t(x)$ and $k^t(y)$,
+are larger than $\epsilon$. However, in his definition of chaos, Devaney~\cite{Devaney}
+impose to the chaotic function two other properties called
+\emph{transitivity} and \emph{regularity}. Functions evoked above have
+been studied according to these properties, and they have been proven as chaotic on $\R$.
+But nothing guarantees that such properties are preserved when iterating the functions
+on floating point numbers, which is the domain of interpretation of real numbers $\R$ on
+machines.
+
+To avoid this lack of chaos, we have previously presented some PRNGs that iterate
+continuous functions $G_f$ on a discrete domain $\{ 1, \ldots, n \}^{\Nats}
+ \times \{0,1\}^n$, where $f$ is a Boolean function (\textit{i.e.}, $f :
+ \{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}^n$). These generators are
$\textit{CIPRNG}_f^1(u)$ \cite{guyeuxTaiwan10,bcgr11:ip},
-$\textit{CIPRNG}_f^2(u,v)$ \cite{wbg10ip} et
-$\chi_{\textit{14Secrypt}}$ \cite{chgw14oip} où \textit{CI} signifie
+$\textit{CIPRNG}_f^2(u,v)$ \cite{wbg10ip} and
+$\chi_{\textit{14Secrypt}}$ \cite{chgw14oip} where \textit{CI} means
\emph{Chaotic Iterations}.
-
-Dans~\cite{bcgr11:ip} nous avons tout d'abord prouvé que pour établir la nature
-chaotique de l'algorithme $\textit{CIPRNG}_f^1$, il est nécessaire et suffisant
-que le graphe des itérations asynchrones soit fortement connexe. Nous avons
-ensuite prouvé que pour que la sortie de cet algorithme suive une loi de
-distribution uniforme, il est nécessaire et suffisant que la matrice de Markov
-associée à ce graphe soit doublement stochastique. Nous avons enfin établi des
-conditions suffisantes pour garantir la première propriété de connexité. Parmi
-les fonctions générées, on ne retenait ensuite que celles qui vérifiait la
-seconde propriété. Dans~\cite{chgw14oip}, nous avons proposé une démarche
-algorithmique permettant d'obtenir directement un graphe d'itérations fortement
-connexe et dont la matrice de Markov est doublement stochastique. Le travail
-présenté ici généralise ce dernier article en changeant le domaine d'itération,
-et donc de métrique. L'algorithme obtenu possède les même propriétés théoriques
-mais un temps de mélange plus réduit.
-
+We have firstly proven in~\cite{bcgr11:ip} that, to establish the chaotic nature
+of algorithm $\textit{CIPRNG}_f^1$, it is necessary and sufficient that the
+asynchronous iterations are strongly connected. We then have proven that it is necessary
+and sufficient that the Markov matrix associated to this graph is doubly stochastic,
+in order to have a uniform distribution of the outputs. We have finally established
+sufficient conditions to guarantee the first property of connectivity. Among the
+generated functions, we thus considered for further investigations only the one that
+satisfy the second property too. In~\cite{chgw14oip}, we have proposed an algorithmic
+method allowing to directly obtain a strongly connected iteration graph having a doubly
+stochastic Markov matrix. The research work presented here generalizes this latter article
+by updating the iteration domain and the metric. The obtained algorithm owns the same
+theoretical properties but with a reduced mixing time.
+
+%
% Pour décrire un peu plus précisément le principe de
% la génération pseudo-aléatoire, considérons l'espace booléen
% $\Bool=\{0,1\}$
% sur une batterie de tests.
+The remainder of this article is organized as follows. The next section is devoted to
+preliminaries, basic notations, and terminologies regarding asynchronous iterations.
+Then, in Section~\ref{sec:proofOfChaos}, Devaney's definition of chaos is recalled
+while the proofs of chaos of our most general PRNGs is provided. Section~\ref{sec:SCCfunc} shows how to generate functions and a number of iterations such that the iteration graph is strongly connected, making the
+PRNG chaotic. The next section focus on examples of such graphs obtained by modifying the
+hypercube, while Section~\ref{sec:prng} establishes the link between the theoretical study and
+pseudorandom number generation.
+This research work ends by a conclusion section, where the contribution is summarized and
+intended future work is outlined.
+
% Le reste de ce document est organisé comme suit.
% La section~\ref{section:chaos} présente ce qu'est un système dynamique discret booléen itérant une fonction $f$.
% La chaoticité de la fonction engendrée $G_f$ est caractérisée en
% les fonctions dont l'image est uniformément distribuée sur le domaine sont
% caractérisées et les générateurs sont évalués en section~\ref{sec:prng}.
-Dans la section suivante, nous rappelons les notions élémentaires sur les
-systèmes booléens. La section~\ref{section:caracterisation} présente les
-définitions théoriques liées au chaos. Ensuite, une application de ces résultats
-à la génération de nombres pseudo-aléatoires est proposée en
-section~\ref{section:genpa} ainsi qu'une méthode permettant d'obtenir des
-matrices d'itérations doublement stochastiques en
-section~\ref{section:genmat}. Enfin, en section~\ref{section:expes} la qualité
-du PRNG obtenu est éprouvée avec les tests standards du domaine.
-
+% Dans la section suivante, nous rappelons les notions élémentaires sur les
+% systèmes booléens. La section~\ref{section:caracterisation} présente les
+% définitions théoriques liées au chaos. Ensuite, une application de ces résultats
+% à la génération de nombres pseudo-aléatoires est proposée en
+% section~\ref{section:genpa} ainsi qu'une méthode permettant d'obtenir des
+% matrices d'itérations doublement stochastiques en
+% section~\ref{section:genmat}. Enfin, en section~\ref{section:expes} la qualité
+% du PRNG obtenu est éprouvée avec les tests standards du domaine.
+%
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
